stringtranslate.com

Георг Кантор

Георг Фердинанд Людвиг Филипп Кантор ( / ˈ k æ n t ɔːr / KAN -tor ; нем . [ˈɡeːɔʁk ˈfɛʁdinant ˈluːtvɪç ˈfiːlɪp ˈkantoːɐ̯] ; 3 марта [ OS 19 февраля] 1845 — 6 января 1918 [1] ) — математик , сыгравший ключевую роль в создании теории множеств , которая стала фундаментальной теорией в математике. Кантор установил важность взаимно-однозначного соответствия между членами двух множеств, определил бесконечные и вполне упорядоченные множества и доказал, что действительных чисел больше, чем натуральных . Метод доказательства этой теоремы Кантором подразумевает существование бесконечности бесконечностей . Он определил кардинальные и порядковые числа и их арифметику. Труды Кантора представляют большой философский интерес, и он это прекрасно осознавал. [2]

Первоначально теория трансфинитных чисел Кантора считалась контринтуитивной – даже шокирующей. Это вызвало сопротивление со стороны современников-математиков, таких как Леопольд Кронекер и Анри Пуанкаре [3] , а позднее – Германа Вейля и Л. Э. Дж. Брауэра , в то время как Людвиг Витгенштейн выдвинул философские возражения ; см. Спор о теории Кантора . Кантор, набожный лютеранин , [4] считал, что эта теория была сообщена ему Богом. [5] Некоторые христианские теологи (особенно неосхоласты ) рассматривали работу Кантора как вызов уникальности абсолютной бесконечности в природе Бога [6]  – однажды приравняв теорию трансфинитных чисел к пантеизму [7]  – предложение, которое Кантор решительно отверг. Не все теологи были против теории Кантора; Известный философ-неосхоласт Константин Гутберлет поддерживал эту теорию, а кардинал Иоганн Баптист Франзелин принял ее как обоснованную (после того, как Кантор внес некоторые важные разъяснения). [8]

Возражения против работы Кантора порой были яростными: публичная оппозиция и личные нападки Леопольда Кронекера включали описание Кантора как «научного шарлатана», «ренегата» и «развращателя молодежи». [9] Кронекер возражал против доказательств Кантора о том, что алгебраические числа исчислимы, а трансцендентные числа неисчислимы, результаты которых теперь включены в стандартную программу по математике. Спустя десятилетия после смерти Кантора Витгенштейн сетовал, что математика «пронизана насквозь пагубными идиомами теории множеств», которые он отверг как «полную чушь», которая «смехотворна» и «неправильна». [10] Повторяющиеся приступы депрессии Кантора с 1884 года и до конца его жизни были вызваны враждебным отношением многих его современников, [11] хотя некоторые объясняли эти эпизоды как вероятные проявления биполярного расстройства . [12]

Жесткая критика была подкреплена более поздними похвалами. В 1904 году Королевское общество наградило Кантора медалью Сильвестра , высшей наградой, которую оно может дать за работу в области математики. [13] Дэвид Гильберт защитил его от критиков, заявив: «Никто не изгонит нас из рая, созданного Кантором ». [14] [15]

Биография

Молодежь и учеба

Кантор, около 1870 г.

Георг Кантор, родившийся в 1845 году в Санкт-Петербурге , Российская империя, воспитывался в этом городе до одиннадцати лет. Старший из шести детей, он считался выдающимся скрипачом. Его дед Франц Бём (1788–1846) (брат скрипача Йозефа Бёма ) был известным музыкантом и солистом в российском императорском оркестре. [16] Отец Кантора был членом Санкт-Петербургской фондовой биржи ; когда он заболел, семья переехала в Германию в 1856 году, сначала в Висбаден , затем во Франкфурт , в поисках более мягких зим, чем в Санкт-Петербурге. В 1860 году Кантор с отличием окончил Реальное училище в Дармштадте ; были отмечены его исключительные способности в математике, в частности, в тригонометрии . В августе 1862 года он окончил «Höhere Gewerbeschule Darmstadt», ныне Технический университет Дармштадта . [17] [18] В 1862 году Кантор поступил в Швейцарский федеральный политехнический институт в Цюрихе. Получив значительное наследство после смерти отца в июне 1863 года, [19] Кантор перевелся в Берлинский университет , посещая лекции Леопольда Кронекера , Карла Вейерштрасса и Эрнста Куммера . Лето 1866 года он провел в Геттингенском университете , который тогда и позже стал центром математических исследований. Кантор был хорошим студентом и получил докторскую степень в 1867 году. [19] [20]

Преподаватель и исследователь

Кантор представил свою диссертацию по теории чисел в Берлинском университете в 1867 году. После недолгого преподавания в берлинской женской школе, он занял должность в Университете Галле , где провел всю свою карьеру. Он был удостоен необходимой степени доктора философии за свою диссертацию, также по теории чисел, которую он представил в 1869 году после своего назначения в Галле. [20] [21]

В 1874 году Кантор женился на Валли Гуттман. У них было шестеро детей, последний (Рудольф) родился в 1886 году. Кантор смог содержать семью, несмотря на свою скромную академическую зарплату, благодаря наследству, полученному от отца. Во время своего медового месяца в горах Гарц Кантор много времени проводил в математических дискуссиях с Рихардом Дедекиндом , с которым он познакомился в Интерлакене в Швейцарии двумя годами ранее во время отпуска.

Кантор был повышен до экстраординарного профессора в 1872 году и стал полным профессором в 1879 году. [20] [19] Достижение последнего звания в возрасте 34 лет было заметным достижением, но Кантор желал получить кафедру в более престижном университете, в частности в Берлине, в то время ведущем немецком университете. Однако его работа столкнулась со слишком большим сопротивлением, чтобы это стало возможным. [22] Кронекер, возглавлявший математику в Берлине до своей смерти в 1891 году, становился все более неуютным из-за перспективы иметь Кантора в качестве коллеги, [23] воспринимая его как «развращателя молодежи» за то, что он обучал своим идеям молодое поколение математиков. [24] Хуже того, Кронекер, известная фигура в математическом сообществе и бывший профессор Кантора, принципиально не соглашался с направлением работы Кантора с тех пор, как он намеренно отложил публикацию первой крупной публикации Кантора в 1874 году. [20] Кронекер, которого теперь считают одним из основателей конструктивной точки зрения в математике , не одобрял большую часть теории множеств Кантора, поскольку она утверждала существование множеств, удовлетворяющих определенным свойствам, не приводя конкретных примеров множеств, члены которых действительно удовлетворяли этим свойствам. Всякий раз, когда Кантор подавал заявку на должность в Берлине, ему отказывали, и в процессе обычно участвовал Кронекер, [20] поэтому Кантор пришел к убеждению, что позиция Кронекера сделает невозможным для него когда-либо покинуть Галле.

В 1881 году умер коллега Кантора из Галле Эдуард Гейне . Галле принял предложение Кантора предложить вакантное место Гейне Дедекинду, Генриху М. Веберу и Францу Мертенсу , в таком порядке, но каждый из них отказался от предложенного места. В конечном итоге был назначен Фридрих Вангерин, но он никогда не был близок с Кантором.

В 1882 году математическая переписка между Кантором и Дедекиндом прекратилась, по-видимому, из-за того, что Дедекинд отказался от кафедры в Галле. [25] Кантор также начал другую важную переписку с Гёстой Миттаг-Леффлером в Швеции и вскоре начал публиковаться в журнале Миттаг-Леффлера Acta Mathematica . Но в 1885 году Миттаг-Леффлер был обеспокоен философской природой и новой терминологией в статье, которую Кантор представил в Acta . [26] Он попросил Кантора отозвать статью из Acta , пока она находилась в корректуре, написав, что она «... примерно на сто лет раньше времени». Кантор подчинился, но затем прекратил свои отношения и переписку с Миттаг-Леффлером, написав третьему лицу: «Если бы Миттаг-Леффлер добился своего, мне пришлось бы ждать до 1984 года, что показалось мне слишком большим требованием! ... Но, конечно, я больше никогда ничего не хочу знать об Acta Mathematica ». [27]

Кантор перенес свой первый известный приступ депрессии в мае 1884 года. [19] [28] Критика его работы давила на него: каждое из пятидесяти двух писем, которые он написал Миттаг-Леффлеру в 1884 году, упоминало Кронекера. Отрывок из одного из этих писем показывает ущерб, нанесенный уверенности Кантора в себе:

... Я не знаю, когда вернусь к продолжению моей научной работы. В настоящее время я не могу делать с ней решительно ничего и ограничиваюсь самой необходимой обязанностью моих лекций; насколько счастливее я был бы быть научно активным, если бы только у меня была необходимая умственная свежесть. [29]

Этот кризис заставил его подать заявку на чтение лекций по философии, а не по математике. Он также начал интенсивное изучение елизаветинской литературы , думая, что могут быть доказательства того, что Фрэнсис Бэкон написал пьесы, приписываемые Уильяму Шекспиру (см. вопрос об авторстве Шекспира ); в конечном итоге это привело к двум памфлетам, опубликованным в 1896 и 1897 годах. [30]

Кантор вскоре после этого выздоровел и впоследствии внес еще один важный вклад, включая его диагональный аргумент и теорему . Однако он никогда больше не достигал высокого уровня своих замечательных работ 1874–84 годов, даже после смерти Кронекера 29 декабря 1891 года. [20] В конце концов он искал и добился примирения с Кронекером. Тем не менее, философские разногласия и трудности, разделявшие их, сохранялись.

В 1889 году Кантор сыграл важную роль в основании Немецкого математического общества [ 20] и председательствовал на его первом заседании в Галле в 1891 году, где впервые представил свой диагональный аргумент; его репутация была достаточно сильной, несмотря на оппозицию Кронекера его работе, чтобы обеспечить его избрание первым президентом этого общества. Оставив в стороне враждебность, которую Кронекер проявил по отношению к нему, Кантор пригласил его выступить на заседании, но Кронекер не смог этого сделать, потому что его жена умирала от травм, полученных в результате несчастного случая на лыжах в то время. Георг Кантор также сыграл важную роль в создании первого Международного конгресса математиков , который состоялся в Цюрихе, Швейцария, в 1897 году. [20]

Поздние годы и смерть

После госпитализации Кантора в 1884 году нет никаких записей о том, что он снова был в каком-либо санатории до 1899 года. [28] Вскоре после этой второй госпитализации младший сын Кантора Рудольф внезапно умер 16 декабря (Кантор читал лекцию о своих взглядах на теорию Бэкона и Уильяма Шекспира ), и эта трагедия истощила большую часть его страсти к математике. [31] Кантор был снова госпитализирован в 1903 году. Год спустя он был возмущен и взволнован докладом, представленным Юлиусом Кёнигом на Третьем международном конгрессе математиков . В докладе была сделана попытка доказать, что основные принципы теории трансфинитных множеств ложны. Поскольку доклад был зачитан перед его дочерьми и коллегами, Кантор счел себя публично униженным. [32] Хотя Эрнст Цермело менее чем через день продемонстрировал, что доказательство Кёнига провалилось, Кантор остался потрясённым и на мгновение задался вопросом о Боге. [13] Кантор страдал от хронической депрессии всю оставшуюся жизнь, за что его несколько раз освобождали от преподавания и неоднократно помещали в различные санатории. Событиям 1904 года предшествовала серия госпитализаций с интервалом в два или три года. [33] Однако он не отказался от математики полностью, читая лекции о парадоксах теории множеств ( парадокс Бурали-Форти , парадокс Кантора и парадокс Рассела ) на заседании Немецкого математического общества в 1903 году и посещая Международный конгресс математиков в Гейдельберге в 1904 году.

В 1911 году Кантор был одним из выдающихся иностранных учёных, приглашённых на 500-летие основания Университета Сент-Эндрюс в Шотландии. Кантор присутствовал, надеясь встретиться с Бертраном Расселом , чья недавно опубликованная работа Principia Mathematica неоднократно цитировала работу Кантора, но встреча не состоялась. В следующем году Сент-Эндрюс присудил Кантору почётную докторскую степень, но болезнь не позволила ему получить степень лично.

Кантор вышел на пенсию в 1913 году, жил в нищете и страдал от недоедания во время Первой мировой войны . [34] Публичное празднование его 70-летия было отменено из-за войны. В июне 1917 года он в последний раз лег в санаторий и постоянно писал жене, прося отпустить его домой. У Георга Кантора случился смертельный сердечный приступ 6 января 1918 года в санатории, где он провел последний год своей жизни. [19]

Математическая работа

Работа Кантора между 1874 и 1884 годами является источником теории множеств . [35] До этой работы концепция множества была довольно элементарной и использовалась неявно с самого начала математики, начиная с идей Аристотеля . Никто не осознавал, что теория множеств имеет какое-либо нетривиальное содержание. До Кантора существовали только конечные множества (которые легко понять) и «бесконечное» (которое считалось темой для философского, а не математического обсуждения). Доказав, что существует (бесконечно) много возможных размеров для бесконечных множеств, Кантор установил, что теория множеств не тривиальна, и ее необходимо изучать. Теория множеств стала играть роль основополагающей теории в современной математике в том смысле, что она интерпретирует предложения о математических объектах (например, числах и функциях) из всех традиционных областей математики (таких как алгебра , анализ и топология ) в единой теории и предоставляет стандартный набор аксиом для их доказательства или опровержения. Основные понятия теории множеств теперь используются во всей математике. [36]

В одной из своих самых ранних работ [37] Кантор доказал, что множество действительных чисел «более многочисленно», чем множество натуральных чисел ; это впервые показало, что существуют бесконечные множества разных размеров . Он также был первым, кто оценил важность взаимно-однозначных соответствий (далее обозначаемых как «соответствие 1 к 1») в теории множеств. Он использовал эту концепцию для определения конечных и бесконечных множеств , подразделив последние на счетные (или счетно-бесконечные) множества и несчетные множества (несчетно-бесконечные множества). [38]

Кантор разработал важные концепции в топологии и их связь с мощностью . Например, он показал, что множество Кантора , открытое Генри Джоном Стивеном Смитом в 1875 году, [39] нигде не плотно , но имеет ту же мощность, что и множество всех действительных чисел, тогда как рациональные числа всюду плотны, но счетны. Он также показал, что все счетные плотные линейные порядки без конечных точек порядково изоморфны рациональным числам .

Кантор ввел фундаментальные конструкции в теорию множеств, такие как множество мощности множества A , которое является множеством всех возможных подмножеств A. Позже он доказал, что размер множества мощности A строго больше размера A , даже когда A является бесконечным множеством; этот результат вскоре стал известен как теорема Кантора . Кантор разработал целую теорию и арифметику бесконечных множеств , называемых кардиналами и ординалами , которые расширили арифметику натуральных чисел. Его обозначение для кардинальных чисел было еврейской буквой ( ℵ , алеф ) с натуральным индексом; для ординалов он использовал греческую букву ( ω , омега ). Это обозначение используется и сегодня .

Гипотеза континуума , введенная Кантором, была представлена ​​Дэвидом Гильбертом как первая из его двадцати трех открытых проблем в его выступлении на Международном конгрессе математиков в Париже в 1900 году. Работа Кантора также привлекла благоприятное внимание помимо знаменитого панегирика Гильберта. [15] Американский философ Чарльз Сандерс Пирс высоко оценил теорию множеств Кантора, и после публичных лекций, прочитанных Кантором на первом Международном конгрессе математиков, состоявшемся в Цюрихе в 1897 году, Адольф Гурвиц и Жак Адамар также выразили свое восхищение. На этом конгрессе Кантор возобновил свою дружбу и переписку с Дедекиндом. С 1905 года Кантор переписывался со своим британским поклонником и переводчиком Филиппом Журденом по истории теории множеств и религиозным идеям Кантора. Это было позже опубликовано, как и несколько его разъяснительных работ.

Теория чисел, тригонометрические ряды и порядковые числа

Первые десять статей Кантора были посвящены теории чисел , теме его диссертации. По предложению Эдуарда Гейне , профессора в Галле, Кантор обратился к анализу . Гейне предложил Кантору решить открытую проблему , которая ускользнула от Петера Густава Лежена Дирихле , Рудольфа Липшица , Бернхарда Римана и самого Гейне: единственность представления функции тригонометрическим рядом . Кантор решил эту проблему в 1869 году. Именно во время работы над этой проблемой он открыл трансфинитные ординалы, которые появлялись как индексы n в n- м производном множестве S n множества S нулей тригонометрического ряда. Учитывая тригонометрический ряд f(x) с S в качестве множества нулей, Кантор открыл процедуру, которая производила другой тригонометрический ряд, имеющий S 1 в качестве своего множества нулей, где S 1 — множество предельных точек S . Если S k+1 является множеством предельных точек S k , то он мог построить тригонометрический ряд, нули которого S k+1 . Поскольку множества S k были замкнуты, они содержали свои предельные точки, а пересечение бесконечной убывающей последовательности множеств S , S 1 , S 2 , S 3 ,... образовывало предельное множество, которое мы теперь называем S ω , а затем он заметил, что S ω также должно иметь множество предельных точек S ω+1 , и так далее. У него были примеры, которые продолжались вечно, и поэтому здесь была естественно возникающая бесконечная последовательность бесконечных чисел ω , ω  + 1, ω  + 2, ... [40]

Между 1870 и 1872 годами Кантор опубликовал больше статей о тригонометрических рядах, а также статью, определяющую иррациональные числа как сходящиеся последовательности рациональных чисел . Дедекинд, с которым Кантор подружился в 1872 году, цитировал эту статью позже в том же году, в статье, где он впервые изложил свое знаменитое определение действительных чисел с помощью сечений Дедекинда . Расширяя понятие числа с помощью своей революционной концепции бесконечной мощности, Кантор парадоксальным образом выступал против теорий бесконечно малых своих современников Отто Штольца и Поля дю Буа-Реймона , описывая их как «мерзость» и « холерную палочку математики». [41] Кантор также опубликовал ошибочное «доказательство» непоследовательности бесконечно малых . [42]

Теория множеств

Иллюстрация диагонального аргумента Кантора в пользу существования несчетных множеств . [43] Последовательность внизу не может встречаться нигде в бесконечном списке последовательностей выше.

Начало теории множеств как раздела математики часто отмечается публикацией статьи Кантора 1874 года [35] « Об одном свойстве совокупности всех действительных алгебраических чисел». [44] Эта статья была первой, в которой было дано строгое доказательство того, что существует более одного вида бесконечности. Ранее все бесконечные совокупности неявно предполагались равновеликими ( то есть «одного размера» или имеющими одинаковое количество элементов). [45] Кантор доказал, что совокупность действительных чисел и совокупность положительных целых чисел не равновелики. Другими словами, действительные числа не являются счетными . Его доказательство отличается от диагонального аргумента , который он привел в 1891 году. [46] Статья Кантора также содержит новый метод построения трансцендентных чисел . Трансцендентные числа были впервые построены Жозефом Лиувиллем в 1844 году. [47]

Кантор установил эти результаты, используя две конструкции. Его первая конструкция показывает, как записать действительные алгебраические числа [48] в виде последовательности a 1 , a 2 , a 3 , .... Другими словами, действительные алгебраические числа счетны. Кантор начинает свою вторую конструкцию с любой последовательности действительных чисел. Используя эту последовательность, он строит вложенные интервалы , пересечение которых содержит действительное число, не входящее в последовательность. Поскольку каждая последовательность действительных чисел может быть использована для построения действительного числа, не входящего в последовательность, действительные числа не могут быть записаны в виде последовательности, то есть действительные числа не счетны. Применяя свою конструкцию к последовательности действительных алгебраических чисел, Кантор производит трансцендентное число. Кантор указывает, что его конструкции доказывают больше, а именно, они дают новое доказательство теоремы Лиувилля: каждый интервал содержит бесконечно много трансцендентных чисел. [49] Следующая статья Кантора содержит конструкцию, которая доказывает, что множество трансцендентных чисел имеет ту же «мощность» (см. ниже), что и множество действительных чисел. [50]

Между 1879 и 1884 годами Кантор опубликовал серию из шести статей в Mathematische Annalen , которые вместе составили введение в его теорию множеств. В то же время росло противодействие идеям Кантора во главе с Леопольдом Кронекером, который допускал математические концепции только в том случае, если они могли быть построены за конечное число шагов из натуральных чисел, которые он считал интуитивно данными. Для Кронекера иерархия бесконечностей Кантора была неприемлема, поскольку принятие концепции актуальной бесконечности открыло бы дверь парадоксам, которые поставили бы под сомнение обоснованность математики в целом. [51] Кантор также ввел множество Кантора в этот период.

Пятая статья в этой серии, « Grundlagen einer allgemeinen Mannigfaltigkeitslehre» (« Основы общей теории агрегатов» ), опубликованная в 1883 году [52] , была самой важной из шести и также была опубликована в виде отдельной монографии . Она содержала ответ Кантора его критикам и показывала, как трансфинитные числа были систематическим расширением натуральных чисел. Она начинается с определения вполне упорядоченных множеств. Затем вводятся порядковые числа как типы порядка вполне упорядоченных множеств. Затем Кантор определяет сложение и умножение кардинальных и порядковых чисел. В 1885 году Кантор расширил свою теорию типов порядка так, что порядковые числа просто стали частным случаем типов порядка.

В 1891 году он опубликовал статью, содержащую его элегантный «диагональный аргумент» в пользу существования несчетного множества. Он применил ту же идею для доказательства теоремы Кантора : мощность множества мощности множества A строго больше мощности A. Это установило богатство иерархии бесконечных множеств и кардинальной и порядковой арифметики , которую определил Кантор. Его аргумент является основополагающим в решении проблемы Остановки и доказательстве первой теоремы Гёделя о неполноте . Кантор писал о гипотезе Гольдбаха в 1894 году.

Отрывок из статьи Георга Кантора с его фиксированным определением

В 1895 и 1897 годах Кантор опубликовал двухчастную статью в Mathematische Annalen под редакцией Феликса Клейна ; это были его последние значимые статьи по теории множеств. [53] Первая статья начинается с определения множества, подмножества и т. д. способами, которые в значительной степени приемлемы сейчас. Рассматриваются кардинальная и порядковая арифметика. Кантор хотел, чтобы вторая статья включала доказательство гипотезы континуума, но был вынужден довольствоваться изложением своей теории вполне упорядоченных множеств и порядковых чисел. Кантор пытается доказать, что если A и B — множества, причем A эквивалентно подмножеству B , а B эквивалентно подмножеству A , то A и B эквивалентны. Эрнст Шрёдер сформулировал эту теорему немного ранее, но его доказательство, как и доказательство Кантора, было несовершенным. Феликс Бернштейн представил правильное доказательство в своей докторской диссертации 1898 года; отсюда и название — теорема Кантора–Бернштейна–Шредера .

Индивидуальная переписка

Биективная функция

Статья Кантора 1874 года в Крелле была первой, в которой упоминалось понятие соответствия 1 к 1 , хотя он не использовал эту фразу. Затем он начал искать соответствие 1 к 1 между точками единичного квадрата и точками единичного отрезка . В письме 1877 года Ричарду Дедекинду Кантор доказал гораздо более сильный результат: для любого положительного целого числа n существует соответствие 1 к 1 между точками на единичном отрезке и всеми точками в n -мерном пространстве . Об этом открытии Кантор написал Дедекинду: « Je le vois, mais je ne le crois pas! » («Я вижу это, но я не верю в это!») [54] Результат, который он нашел столь поразительным, имеет последствия для геометрии и понятия размерности .

В 1878 году Кантор представил еще одну статью в журнал Crelle's Journal, в которой он точно определил концепцию соответствия 1-к-1 и ввел понятие « мощности » (термин, который он взял у Якоба Штайнера ) или «эквивалентности» множеств: два множества эквивалентны (имеют одинаковую мощность), если между ними существует соответствие 1-к-1. Кантор определил счетные множества (или перечислимые множества) как множества, которые могут быть приведены в соответствие 1-к-1 с натуральными числами , и доказал, что рациональные числа перечислимы. Он также доказал, что n -мерное евклидово пространство R n имеет ту же мощность, что и действительные числа R , как и счетно бесконечное произведение копий R . Хотя он свободно использовал счетность как концепцию, он не писал слово «счетный» до 1883 года. Кантор также обсуждал свои мысли об размерности , подчеркивая, что его отображение между единичным интервалом и единичным квадратом не было непрерывным .

Эта статья не понравилась Кронекеру, и Кантор хотел отозвать ее; однако Дедекинд убедил его не делать этого, а Карл Вейерштрасс поддержал ее публикацию. [55] Тем не менее, Кантор больше никогда ничего не представлял Крелле.

Континуум-гипотеза

Кантор был первым, кто сформулировал то, что позже стало известно как гипотеза континуума или CH: не существует множества, мощность которого больше мощности натуральных чисел и меньше мощности действительных чисел (или, что эквивалентно, мощность действительных чисел равна точно алеф-один, а не просто по крайней мере алеф-один). Кантор считал, что гипотеза континуума верна, и много лет тщетно пытался ее доказать . Его неспособность доказать гипотезу континуума вызывала у него сильное беспокойство. [11]

Трудность, с которой столкнулся Кантор при доказательстве гипотезы континуума, была подчеркнута более поздними достижениями в области математики: результат Курта Гёделя 1940 года и результат Пола Коэна 1963 года вместе подразумевают, что гипотеза континуума не может быть ни доказана, ни опровергнута с использованием стандартной теории множеств Цермело–Френкеля плюс аксиомы выбора (комбинация, называемая « ZFC »). [56]

Абсолютная бесконечность, теорема о хорошем порядке и парадоксы

В 1883 году Кантор разделил бесконечное на трансфинитное и абсолютное . [ 57]

Трансфинитное может быть увеличено по величине, в то время как абсолютное не может быть увеличено. Например, ординал α является трансфинитным, потому что его можно увеличить до α + 1. С другой стороны, ординалы образуют абсолютно бесконечную последовательность, которая не может быть увеличена по величине, потому что нет более крупных ординалов, которые можно было бы к ней добавить. [58] В 1883 году Кантор также ввел принцип хорошего упорядочения «каждое множество может быть хорошо упорядочено» и заявил, что это «закон мышления». [59]

Кантор расширил свою работу над абсолютной бесконечностью, используя ее в доказательстве. Около 1895 года он начал рассматривать свой принцип хорошего упорядочения как теорему и попытался доказать ее. В 1899 году он послал Дедекинду доказательство эквивалентной теоремы алеф: мощность каждого бесконечного множества является алефом . [ 60] Во-первых, он определил два типа кратностей: согласованные кратности (множества) и несогласованные кратности (абсолютно бесконечные кратности). Затем он предположил, что ординалы образуют множество, доказал, что это приводит к противоречию, и пришел к выводу, что ординалы образуют несогласованную кратность. Он использовал эту несогласованную кратность для доказательства теоремы алеф. [61] В 1932 году Цермело раскритиковал конструкцию в доказательстве Кантора. [62]

Кантор избегал парадоксов , признавая, что существует два типа кратностей. В его теории множеств, когда предполагается, что ординалы образуют множество, результирующее противоречие подразумевает только то, что ординалы образуют противоречивую кратность. Напротив, Бертран Рассел рассматривал все коллекции как множества, что приводит к парадоксам. В теории множеств Рассела ординалы образуют множество, поэтому результирующее противоречие подразумевает, что теория противоречива . С 1901 по 1903 год Рассел открыл три парадокса, подразумевающих, что его теория множеств противоречива: парадокс Бурали-Форти (который был только что упомянут), парадокс Кантора и парадокс Рассела . [63] Рассел назвал парадоксы в честь Чезаре Бурали-Форти и Кантора, хотя ни один из них не верил, что нашел парадоксы. [64]

В 1908 году Цермело опубликовал свою систему аксиом для теории множеств . У него было две мотивации для разработки системы аксиом: устранение парадоксов и обеспечение своего доказательства теоремы о хорошем порядке . [65] Цермело доказал эту теорему в 1904 году, используя аксиому выбора , но его доказательство подверглось критике по ряду причин. [66] Его ответ на критику включал его систему аксиом и новое доказательство теоремы о хорошем порядке. Его аксиомы поддерживают это новое доказательство, и они устраняют парадоксы, ограничивая формирование множеств. [67]

В 1923 году Джон фон Нейман разработал систему аксиом, которая устраняет парадоксы, используя подход, аналогичный подходу Кантора, а именно, путем определения наборов, которые не являются множествами, и обработки их по-разному. Фон Нейман утверждал, что класс слишком велик, чтобы быть множеством, если его можно поставить во взаимно-однозначное соответствие с классом всех множеств. Он определил множество как класс, который является членом некоторого класса, и сформулировал аксиому: класс не является множеством тогда и только тогда, когда между ним и классом всех множеств существует взаимно-однозначное соответствие. Эта аксиома подразумевает, что эти большие классы не являются множествами, что устраняет парадоксы, поскольку они не могут быть членами какого-либо класса. [68] Фон Нейман также использовал свою аксиому для доказательства теоремы о хорошем упорядочении: подобно Кантору, он предположил, что ординалы образуют множество. Полученное противоречие подразумевает, что класс всех ординалов не является множеством. Тогда его аксиома обеспечивает взаимно-однозначное соответствие между этим классом и классом всех множеств. Это соответствие хорошо упорядочивает класс всех множеств, что подразумевает теорему о хорошем упорядочении. [69] В 1930 году Цермело определил модели теории множеств, которые удовлетворяют аксиоме фон Неймана . [70]

Философия, религия, литература и математика Кантора

Концепция существования актуальной бесконечности была важным общим вопросом в областях математики, философии и религии. Сохранение ортодоксальности отношений между Богом и математикой, хотя и не в той форме, которую придерживались его критики, долгое время было заботой Кантора. [71] Он напрямую обратился к этому пересечению между этими дисциплинами во введении к своему Grundlagen einer allgemeinen Mannigfaltigkeitslehre , где он подчеркнул связь между своим взглядом на бесконечность и философским взглядом. [72] Для Кантора его математические взгляды были неразрывно связаны с их философскими и теологическими последствиями — он отождествлял абсолютную бесконечность с Богом, [73] и считал, что его работа о трансфинитных числах была напрямую передана ему Богом, который выбрал Кантора, чтобы открыть их миру. [5] Он был набожным лютеранином, чьи явные христианские убеждения сформировали его философию науки. [74] Джозеф Добен проследил влияние христианских убеждений Кантора на развитие теории трансфинитных множеств. [75] [76]

Дебаты среди математиков выросли из противоположных взглядов в философии математики относительно природы актуальной бесконечности. Некоторые придерживались мнения, что бесконечность является абстракцией, которая не является математически законной, и отрицали ее существование. [77] Математики из трех основных школ мысли ( конструктивизм и два его ответвления, интуиционизм и финитизм ) выступили против теорий Кантора в этом вопросе. Для конструктивистов, таких как Кронекер, это отвержение актуальной бесконечности проистекает из фундаментального несогласия с идеей, что неконструктивные доказательства , такие как диагональный аргумент Кантора, являются достаточным доказательством того, что что-то существует, вместо этого утверждая, что требуются конструктивные доказательства . Интуиционизм также отвергает идею о том, что актуальная бесконечность является выражением какой-либо реальности, но приходит к решению другим путем, чем конструктивизм. Во-первых, аргумент Кантора опирается на логику, чтобы доказать существование трансфинитных чисел как реальной математической сущности, тогда как интуиционисты считают, что математические сущности не могут быть сведены к логическим предложениям, а возникают вместо этого в интуиции ума. [78] Во-вторых, понятие бесконечности как выражения реальности само по себе отвергается в интуиционизме, поскольку человеческий разум не может интуитивно построить бесконечное множество. [79] Математики, такие как Л. Э. Дж. Брауэр и особенно Анри Пуанкаре, заняли интуиционистскую позицию против работы Кантора. Наконец, нападки Витгенштейна были финитистскими: он считал, что диагональный аргумент Кантора смешивает интенцию множества кардинальных или действительных чисел с его расширением , тем самым смешивая концепцию правил для создания множества с реальным множеством. [10]

Некоторые христианские теологи рассматривали работу Кантора как вызов уникальности абсолютной бесконечности в природе Бога. [6] В частности, мыслители -неотомисты считали существование актуальной бесконечности, которая состояла бы из чего-то иного, чем Бог, ставящей под угрозу «исключительное притязание Бога на высшую бесконечность». [80] Кантор был твердо убежден, что эта точка зрения была неверным толкованием бесконечности, и был убежден, что теория множеств может помочь исправить эту ошибку: [81] «... трансфинитные виды находятся в такой же степени в распоряжении намерений Создателя и Его абсолютной безграничной воли, как и конечные числа». [82] Известный немецкий философ-неосхоласт Константин Гутберлет выступал за такую ​​теорию, полагая, что она не противоречит природе Бога. [8]

Кантор также считал, что его теория трансфинитных чисел противоречит как материализму , так и детерминизму  , и был потрясен, когда понял, что он единственный преподаватель в Галле, который не придерживался детерминистских философских убеждений. [83]

Для Кантора было важно, чтобы его философия давала «органическое объяснение» природы, и в своих Grundlagen 1883 года он сказал, что такое объяснение может быть получено только с привлечением ресурсов философии Спинозы и Лейбница. [84] При этом Кантор, возможно, находился под влиянием Ф. А. Тренделенбурга , чьи лекции он посещал в Берлине, а Кантор, в свою очередь, написал латинский комментарий к первой книге «Этики » Спинозы . Тренделенбург также был экзаменатором Habilitationsschrift Кантора . [85] [86]

В 1888 году Кантор опубликовал свою переписку с несколькими философами о философских последствиях его теории множеств. В обширной попытке убедить других христианских мыслителей и авторитетов принять его взгляды, Кантор переписывался с христианскими философами, такими как Тильман Пеш и Йозеф Хонтхейм , [87], а также с теологами, такими как кардинал Иоганн Баптист Франзелин , который однажды ответил, приравняв теорию трансфинитных чисел к пантеизму . [7] Хотя позже этот кардинал признал теорию действительной из-за некоторых разъяснений Кантора. [8] Кантор даже отправил одно письмо непосредственно самому Папе Льву XIII и адресовал ему несколько памфлетов. [81]

Философия Кантора о природе чисел привела его к утверждению веры в свободу математики постулировать и доказывать концепции, отличные от сферы физических явлений, как выражения внутри внутренней реальности. Единственные ограничения этой метафизической системы состоят в том, что все математические концепции должны быть лишены внутреннего противоречия и что они следуют из существующих определений, аксиом и теорем. Эта вера суммирована в его утверждении, что «сущность математики — ее свобода». [88] Эти идеи параллельны идеям Эдмунда Гуссерля , с которым Кантор познакомился в Галле. [89]

Между тем, сам Кантор был яростным противником бесконечно малых величин , описывая их как «мерзость» и « холерную палочку математики». [41]

Статья Кантора 1883 года показывает, что он хорошо знал об оппозиции, с которой сталкивались его идеи: «... я понимаю, что в этом начинании я ставлю себя в определенную оппозицию широко распространенным взглядам на математическую бесконечность и мнениям, часто отстаиваемым относительно природы чисел» [90] .

Поэтому он уделяет много места обоснованию своей более ранней работы, утверждая, что математические концепции могут быть свободно введены, если они свободны от противоречий и определены в терминах ранее принятых концепций. Он также цитирует Аристотеля, Рене Декарта , Джорджа Беркли , Готфрида Лейбница и Бернарда Больцано о бесконечности. Вместо этого он всегда решительно отвергал философию Иммануила Канта , как в области философии математики, так и метафизики. Он разделял девиз Б. Рассела «Кант или Кантор» и определял Канта как «того софистического филистера , который так мало знал математику». [91]

Родословная Кантора

Надпись на мемориальной доске (на русском языке): «В этом здании родился и жил с 1845 по 1854 год великий математик, создатель теории множеств Георг Кантор», Васильевский остров , Санкт-Петербург.

Дедушка и бабушка Кантора по отцовской линии были из Копенгагена и бежали в Россию от разрухи Наполеоновских войн . Прямых сведений о них очень мало. [92] Отец Кантора, Георг Вальдемар Кантор, получил образование в лютеранской миссии в Санкт-Петербурге, и его переписка с сыном показывает, что они оба были набожными лютеранами. Очень мало известно наверняка о происхождении или образовании Георга Вальдемара. [93] Мать Кантора, Мария Анна Бём, была австро-венгеркой, родившейся в Санкт-Петербурге и крещеной римско-католической ; она перешла в протестантизм после замужества. Однако есть письмо от брата Кантора Луи к их матери, в котором говорится:

Mögen wir zehnmal von Juden abstammen und ich im Princip noch so sehr für Gleichberechtigung der Hebräer sein, im Socialen Leben Sind mir Christen Liber ... [93]

(«Даже если бы мы произошли от евреев десять раз, и хотя я, в принципе, полностью поддерживаю равноправие евреев, в общественной жизни я предпочитаю христиан...»), что можно было бы истолковать как указание на ее еврейское происхождение. [94]

По словам биографа Эрика Темпла Белла , Кантор имел еврейское происхождение, хотя оба родителя были крещены. [95] В статье 1971 года под названием «К биографии Георга Кантора» британский историк математики Айвор Граттан-Гиннесс упоминает ( Annals of Science 27, стр. 345–391, 1971), что ему не удалось найти доказательств еврейского происхождения. (Он также утверждает, что жена Кантора, Валли Гуттман, была еврейкой).

В письме, написанном Полу Таннери в 1896 году (Paul Tannery, Memoires Scientifique 13 Correspondence, Gauthier-Villars, Paris, 1934, стр. 306), Кантор утверждает, что его бабушка и дедушка по отцовской линии были членами сефардской еврейской общины Копенгагена. В частности, Кантор, описывая своего отца, утверждает: «Er ist aber in Kopenhagen geboren, von israelitischen Eltern, die der dortigen portugisischen Judengemeinde...» («Он родился в Копенгагене от еврейских (дословно: «израильтян») родителей из местной португальско-еврейской общины».) [96] Кроме того, двоюродный дедушка Кантора по материнской линии, [97] Йозеф Бём , венгерский скрипач, был описан как еврей, [98] что может подразумевать, что мать Кантора была по крайней мере частично потомком венгерской еврейской общины. [99]

В письме Бертрану Расселу Кантор описал свое происхождение и самовосприятие следующим образом:

Ни мой отец, ни моя мать не были немецкой крови, первый был датчанином, рожденным в Копенгагене, моя мать была австрийско-венгерского происхождения. Вы должны знать, сэр, что я не обычный просто Жермен , поскольку я родился 3 марта 1845 года в Сент-Питерборо, столице России, но я отправился с моим отцом, матерью, братьями и сестрой, одиннадцати лет в 1856 году, в Германию. [100]

В 1930-х годах появились задокументированные заявления, ставившие под сомнение это еврейское происхождение:

Чаще [т. е. чем происхождение матери] обсуждался вопрос о том, был ли Георг Кантор еврейского происхождения. Об этом сообщается в уведомлении Датского генеалогического института в Копенгагене от 1937 года относительно его отца: «Настоящим подтверждается, что Георг Вольдемар Кантор, родившийся в 1809 или 1814 году, не присутствует в регистрах еврейской общины, и что он совершенно без сомнения не был евреем...» [93]

Биографии

До 1970-х годов главными академическими публикациями о Канторе были две короткие монографии Артура Морица Шёнфлиса (1927) — в основном переписка с Миттаг-Леффлером — и Френкеля (1930). Обе были из вторых и третьих рук; ни у одной не было много информации о его личной жизни. Пробел был в значительной степени заполнен « Men of Mathematics» Эрика Темпла Белла ( 1937), которую один из современных биографов Кантора описывает как «возможно, самую читаемую современную книгу по истории математики »; и как «одну из худших». [101] Белл представляет отношения Кантора с отцом как Эдиповы , разногласия Кантора с Кронекером как ссору между двумя евреями, а безумие Кантора как романтическое отчаяние из-за его неспособности добиться признания его математики. Грэттан-Гиннесс (1971) обнаружил, что ни одно из этих утверждений не было правдой, но их можно найти во многих книгах промежуточного периода из-за отсутствия какого-либо другого повествования. Существуют и другие легенды, независимые от Белла, включая ту, которая называет отца Кантора подкидышем, отправленным в Санкт-Петербург неизвестными родителями. [102] Критика книги Белла содержится в биографии Джозефа Добена . [103] Добен пишет:

Кантор посвятил часть своей наиболее оскорбительной корреспонденции, а также часть Beiträge , нападкам на то, что он в какой-то момент назвал « бесконечно малой холерной палочкой математики», которая распространилась из Германии через работы Томаэ , дю Буа-Реймона и Штольца , чтобы заразить итальянскую математику... Любое принятие бесконечно малых величин обязательно означало, что его собственная теория чисел была неполной. Таким образом, принять работу Томаэ, дю Буа-Реймона, Штольца и Веронезе означало отрицать совершенство собственного творения Кантора. Понятно, что Кантор начал тщательную кампанию по дискредитации работы Веронезе всеми возможными способами. [104]

Смотрите также

Примечания

  1. ^ Граттан-Гиннесс 2000, стр. 351.
  2. ^ Биографический материал в этой статье в основном взят из Dauben 1979. Grattan-Guinness 1971 и Purkert and Ilgauds 1985 являются полезными дополнительными источниками.
  3. ^ Даубен 2004, стр. 1.
  4. ^ Добен, Джозеф Уоррен (1979). Георг Кантор, его математика и философия бесконечности . Princeton University Press. стр. введение. ISBN 9780691024479.
  5. ^ аб Даубен 2004, стр. 8, 11, 12–13.
  6. ^ аб Даубен 1977, с. 86; Даубен 1979, стр. 120, 143.
  7. ^ ab Dauben 1977, стр. 102.
  8. ^ abc Dauben 1979, гл. 6.
  9. ^ Даубен 2004, с. 1; Даубен 1977, с. 89 15н .
  10. ^ ab Родич 2007.
  11. ^ ab Dauben 1979, стр. 280: «... традиция, популяризированная Артуром Морицем Шёнфлисом, возлагала вину за повторяющиеся приступы депрессии у Кантора на постоянную критику Кронекера и неспособность Кантора подтвердить свою гипотезу континуума».
  12. ↑ Dauben 2004, стр. 1. Текст включает цитату 1964 года психиатра Карла Поллитта, одного из врачей, обследовавших Кантора в Галле Нервклиник, который называет психическое заболевание Кантора «циклической маниакальной депрессией».
  13. ^ ab Dauben 1979, стр. 248.
  14. ^ Гильберт (1926, стр. 170): «Aus dem Paradies, das Cantor uns geschaffen, soll uns niemand vertreiben können». (Буквально: «Из рая, который создал для нас Кантор, никто не должен иметь возможности нас изгнать».)
  15. ^ ab Reid, Constance (1996). Гильберт. Нью-Йорк: Springer-Verlag. стр. 177. ISBN 978-0-387-04999-1.
  16. ^ ru: Музыкальная энциклопедия (Музыкальная энциклопедия).
  17. ^ "Георг Кантор (1845-1918)". www-groups.dcs.st-and.ac.uk . Получено 14 сентября 2019 г. .
  18. ^ Георг Кантор 1845-1918 . Биркхаузер. 1985. ISBN 978-3764317706.
  19. ^ abcde "Биография Кантора". www-history.mcs.st-andrews.ac.uk . Получено 6 октября 2017 г. .
  20. ^ abcdefgh Бруно, Леонард К.; Бейкер, Лоуренс В. (1999). Математика и математики: история математических открытий по всему миру. Детройт, Мичиган: UX L. стр. 54. ISBN 978-0787638139. OCLC  41497065.
  21. ^ О'Коннор, Джон Дж.; Робертсон, Эдмунд Ф. (1998). «Георг Фердинанд Людвиг Филипп Кантор». История математики MacTutor.
  22. ^ Даубен 1979, стр. 163.
  23. ^ Даубен 1979, стр. 34.
  24. ^ Даубен 1977, стр. 89 15n.
  25. ^ Даубен 1979, стр. 2–3; Граттан-Гиннесс 1971, стр. 354–355.
  26. ^ Даубен 1979, стр. 138.
  27. ^ Даубен 1979, стр. 139.
  28. ^ ab Dauben 1979, стр. 282.
  29. ^ Даубен 1979, с. 136; Граттан-Гиннесс 1971, стр. 376–377. Письмо от 21 июня 1884 г.
  30. ^ Даубен 1979, стр. 281–283.
  31. ^ Даубен 1979, стр. 283.
  32. ^ Обсуждение статьи Кенига см. Dauben 1979, стр. 248–250. Реакцию Кантора см. Dauben 1979, стр. 248, 283.
  33. ^ Даубен 1979, стр. 283–284.
  34. ^ Даубен 1979, стр. 284.
  35. ^ ab Джонсон, Филлип Э. (1972). «Происхождение и развитие теории множеств». Двухгодичный математический журнал колледжа . 3 (1): 55–62. doi :10.2307/3026799. JSTOR  3026799.
  36. ^ Suppes, Patrick (1972). Аксиоматическая теория множеств. Dover. стр. 1. ISBN 9780486616308. За редкими исключениями сущности, которые изучаются и анализируются в математике, могут рассматриваться как определенные конкретные множества или классы объектов.... Как следствие, многие фундаментальные вопросы о природе математики могут быть сведены к вопросам теории множеств.
  37. ^ Кантор 1874
  38. ^ Счетное множество — это множество, которое либо конечно, либо счетно; счетные множества, следовательно, являются бесконечными счетными множествами. Однако эта терминология не является общепринятой, и иногда «счетное» используется как синоним «счетного».
  39. ^ Кантор, установленный до Кантора. Архивировано 29 августа 2022 г. в Wayback Machine Mathematical Association of America.
  40. ^ Кук, Роджер (1993). «Уникальность тригонометрических рядов и описательная теория множеств, 1870–1985». Архив для History of Exact Sciences . 45 (4): 281. doi :10.1007/BF01886630. S2CID  122744778.
  41. ^ Аб Кац, Карин Усади; Кац, Михаил Георгиевич (2012). «Бюрджессианская критика номиналистических тенденций в современной математике и ее историографии». Основы науки . 17 (1): 51–89. arXiv : 1104.0375 . doi : 10.1007/s10699-011-9223-1. S2CID  119250310.
  42. ^ Эрлих, П. (2006). «Возникновение неархимедовой математики и корни заблуждения. I. Возникновение неархимедовых систем величин» (PDF) . Arch. Hist. Exact Sci . 60 (1): 1–121. doi :10.1007/s00407-005-0102-4. S2CID  123157068. Архивировано из оригинала (PDF) 15 февраля 2013 г.
  43. ^ Это близко к первой части статьи Кантора 1891 года.
  44. ↑ Кантор 1874. Английский перевод: Эвальд 1996, стр. 840–843.
  45. ^ Например, геометрические проблемы, поставленные Галилеем и Джоном Дунсом Скотом, предполагали, что все бесконечные множества равночисленны – см. Moore, AW (апрель 1995 г.). "Краткая история бесконечности". Scientific American . 272 ​​(4): 112–116 (114). Bibcode : 1995SciAm.272d.112M. doi : 10.1038/scientificamerican0495-112.
  46. ^ Об этом и более подробной информации о математической важности работы Кантора по теории множеств см., например, в Suppes 1972.
  47. ↑ Лиувилл, Джозеф (13 мая 1844 г.). A propos de l'existence des nombres transtransants.
  48. ^ Действительные алгебраические числа — это действительные корни полиномиальных уравнений с целыми коэффициентами .
  49. ↑ Более подробную информацию о статье Кантора см. в первой статье Георга Кантора по теории множеств и в Gray, Robert (1994). "Georg Cantor and Transcendental Numbers" (PDF) . American Mathematical Monthly . 101 (9): 819–832. doi :10.2307/2975129. JSTOR  2975129. Архивировано из оригинала (PDF) 21 января 2022 года . Получено 6 декабря 2013 года .. Грей (стр. 821–822) описывает компьютерную программу, которая использует конструкции Кантора для генерации трансцендентного числа.
  50. ^ Конструкция Кантора начинается с множества трансцендентов T и удаляет счетное подмножество { t n } (например, t n  =  e  / n ). Назовем это множество T 0 . Тогда T  = T 0  ∪ { t n } = T 0  ∪ { t 2 n -1 } ∪ { t 2 n }. Множество действительных чисел R  = T  ∪ { a n } = T 0  ∪ { t n } ∪ { a n }, где a n — последовательность действительных алгебраических чисел. Таким образом, и T, и R являются объединением трех попарно непересекающихся множеств: T 0 и двух счетных множеств. Взаимно-однозначное соответствие между T и R задается функцией: f ( t ) =  t , если t  ∈  T 0 , f ( t 2 n -1 ) =  t n , и f ( t 2 n ) =  a n . Кантор на самом деле применяет свою конструкцию к иррациональным числам, а не к трансцендентным, но он знал, что она применима к любому множеству, образованному путем удаления счетного числа чисел из множества действительных чисел (Кантор 1879, стр. 4).
  51. ^ Даубен 1977, стр. 89.
  52. ↑ Кантор 1883.
  53. ^ Кантор (1895), Кантор (1897). Английский перевод — Кантор 1955.
  54. ^ Уоллес, Дэвид Фостер (2003). Everything and More: A Compact History of Infinity. Нью-Йорк: W. W. Norton and Company. стр. 259. ISBN 978-0-393-00338-3.
  55. ^ Dauben 1979, стр. 69, 324 63n . Статья была представлена ​​в июле 1877 года. Дедекинд поддержал ее, но отложил публикацию из-за сопротивления Кронекера. Вейерштрасс активно ее поддерживал.
  56. ^ Некоторые математики считают, что эти результаты решили проблему, и, самое большее, допускают, что возможно исследовать формальные следствия CH или его отрицания, или аксиом, которые подразумевают одно из них. Другие продолжают искать «естественные» или «правдоподобные» аксиомы, которые при добавлении к ZFC позволят либо доказать, либо опровергнуть CH, или даже получить прямое свидетельство за или против самого CH; среди наиболее выдающихся из них — В. Хью Вудин . В одной из последних статей Гёделя утверждается, что CH ложно, а континуум имеет мощность Алеф-2.
  57. ↑ Кантор 1883, стр. 587–588; английский перевод: Эвальд 1996, стр. 916–917.
  58. ^ Халлетт 1986, стр. 41–42.
  59. ^ Мур 1982, стр. 42.
  60. ^ Мур 1982, стр. 51. Доказательство эквивалентности: Если множество вполне упорядочено, то его мощность — алеф, поскольку алефы являются кардиналами вполне упорядоченных множеств. Если мощность множества — алеф, то оно может быть вполне упорядоченным, поскольку между ним и вполне упорядоченным множеством, определяющим алеф, существует однозначное соответствие.
  61. ^ Халлетт 1986, стр. 166–169.
  62. ^ Доказательство Кантора, которое является доказательством от противного , начинается с предположения, что существует множество S , мощность которого не является алефом. Функция от ординалов к S строится путем последовательного выбора различных элементов S для каждого ординала. Если эта конструкция исчерпывает элементы, то функция хорошо упорядочивает множество S . Это подразумевает, что мощность S является алефом, что противоречит предположению о S . Следовательно, функция отображает все ординалы один к одному в S . Образ функции — это противоречивая подмножественность, содержащаяся в S , поэтому множество S является противоречивой множественностью, что является противоречием. Цермело критиковал конструкцию Кантора: «интуиция времени применяется здесь к процессу, который выходит за рамки всякой интуиции, и постулируется фиктивная сущность, относительно которой предполагается, что она может делать последовательные произвольные выборы». (Халлетт 1986, стр. 169–170.)
  63. ↑ Мур 1988, стр. 52–53; Мур и Гарсиадиего 1981, стр. 330–331.
  64. ↑ Мур и Гарсиадиего 1981, стр. 331, 343; Пуркерт 1989, стр. 56.
  65. ↑ Мур 1982, стр. 158–160. Мур утверждает, что последнее было его основной мотивацией.
  66. ↑ Мур посвящает этой критике главу: «Цермело и его критики (1904–1908)», Мур 1982, стр. 85–141.
  67. ^ Мур 1982, стр. 158–160. Цермело 1908, стр. 263–264; Английский перевод: ван Хейеноорт, 1967, с. 202.
  68. ^ Hallett 1986, стр. 288, 290–291. Кантор указал, что несовместимые множественности сталкиваются с тем же ограничением: они не могут быть членами какой-либо множественности. (Hallett 1986, стр. 286.)
  69. ^ Халлетт 1986, стр. 291–292.
  70. ↑ Zermelo 1930; английский перевод: Ewald 1996, стр. 1208–1233.
  71. ^ Даубен 1979, стр. 295.
  72. ^ Даубен 1979, стр. 120.
  73. ^ Халлетт 1986, стр. 13. Сравните с трудами Фомы Аквинского .
  74. ^ Хедман, Брюс (1993). «Концепция бесконечности Кантора: последствия бесконечности для контингентности». Перспективы науки и христианской веры . 45 (1): 8–16 . Получено 5 марта 2020 г.
  75. ^ Добен, Джозеф Уоррен (1979). Георг Кантор: его математика и философия бесконечности. Princeton University Press. doi :10.2307/j.ctv10crfh1. ISBN 9780691024479. JSTOR  j.ctv10crfh1. S2CID  241372960.
  76. ^ Dauben, Joseph Warren (1978). "Georg Cantor: The Personal Matrix of His Mathematics". Isis . 69 (4): 548. doi :10.1086/352113. JSTOR  231091. PMID  387662. S2CID  26155985 . Получено 5 марта 2020 г. Религиозное измерение, которое Кантор приписывал своим трансфинитным числам, не следует сбрасывать со счетов как аберрацию. Его также не следует забывать или отделять от его существования как математика. Теологическая сторона теории множеств Кантора, хотя, возможно, и не имеет значения для понимания ее математического содержания, тем не менее необходима для полного понимания его теории и того, почему она развивалась на ранних стадиях именно так.
  77. ^ Даубен 1979, стр. 225
  78. ^ Даубен 1979, стр. 266.
  79. ^ Snapper, Ernst (1979). «Три кризиса в математике: логицизм, интуиционизм и формализм» (PDF) . Mathematics Magazine . 524 (4): 207–216. doi :10.1080/0025570X.1979.11976784. Архивировано из оригинала (PDF) 15 августа 2012 г. . Получено 2 апреля 2013 г. .
  80. ^ Дэвенпорт, Энн А. (1997). «Католики, катары и концепция бесконечности в тринадцатом веке». Isis . 88 (2): 263–295. doi :10.1086/383692. JSTOR  236574. S2CID  154486558.
  81. ^ ab Dauben 1977, стр. 85.
  82. ^ Кантор 1932, с. 404. Перевод в Добене 1977, с. 95.
  83. ^ Даубен 1979, стр. 296.
  84. ^ Ньюстед, Энн (2009). «Кантор о бесконечности в природе, числе и божественном разуме». American Catholic Philosophical Quarterly . 83 (4): 533–553. doi :10.5840/acpq200983444.
  85. ^ Ньюстед, Энн (2009). «Кантор о бесконечности в природе, числе и божественном разуме». American Catholic Philosophical Quarterly . 84 (3): 535.
  86. ^ Феррейрос, Хосе (2004). «Мотивы теории множеств Кантора — физические, биологические и философские вопросы» (PDF) . Наука в контексте . 17 (1–2): 49–83. doi :10.1017/S0269889704000055. PMID  15359485. S2CID  19040786. Архивировано (PDF) из оригинала 21 сентября 2020 г.
  87. ^ Даубен 1979, стр. 144.
  88. ^ Даубен 1977, стр. 91–93.
  89. ↑ О Канторе, Гуссерле и Готлобе Фреге см. Hill и Rosado Haddock (2000).
  90. ^ "Даубен 1979, стр. 96.
  91. ↑ Рассел, Бертран. Автобиография Бертрана Рассела , Джордж Аллен и Анвин Лтд., 1971 (Лондон), т. 1, стр. 217.
  92. ^ Например , единственным доказательством Граттана-Гиннесса о дате смерти деда является то, что он подписал документы о помолвке своего сына.
  93. ^ abc Purkert и Ilgauds 1985, стр. 15.
  94. ↑ Для получения дополнительной информации см.: Dauben 1979, стр. 1 и примечания; Grattan-Guinness 1971, стр. 350–352 и примечания; Purkert и Ilgauds 1985; письмо взято из Aczel 2000, стр. 93–94, из поездки Луи в Чикаго в 1863 году. В немецком языке, как и в английском, неоднозначно, указан ли получатель.
  95. ↑ Люди математики: жизни и достижения великих математиков от Зенона до Пуанкаре , 1937, ET Bell
  96. ^ Таннери, Поль (1934) Memoires Scientifique 13 Переписка , Готье-Виллар, Париж, стр. 1934. 306.
  97. ^ Даубен 1979, стр. 274.
  98. ^ Мендельсон, Эзра (ред.) (1993) Современные евреи и их музыкальные устремления, Oxford University Press, стр. 9.
  99. ^ Ismerjük oket?: zsidó származású nevezetes magyarok arcképcarnoka , Иштван Ремени Гинес Ex Libris, (Будапешт, 1997), страницы 132–133
  100. ↑ Рассел, Бертран. Автобиография , т. I, стр. 229. На английском языке в оригинале; курсив также как в оригинале.
  101. ↑ Граттан-Гиннесс 1971, стр. 350.
  102. ↑ Grattan-Guinness 1971 (цитата из стр. 350, примечание), Dauben 1979, стр. 1 и примечания. (Еврейские стереотипы Белла, по-видимому, были удалены из некоторых послевоенных изданий.)
  103. ^ Добен 1979
  104. ^ Dauben, J.: Развитие теории множеств Кантора, стр.~181–219. См. стр.216–217. В Bos, H.; Bunn, R.; Dauben, J.; Grattan-Guinness , I.; Hawkins, T.; Pedersen, K. От исчисления к теории множеств, 1630–1910. Вводная история. Под редакцией I. Grattan-Guinness. Gerald Duckworth & Co. Ltd., Лондон, 1980.

Ссылки

Библиография

К более старым источникам о жизни Кантора следует относиться с осторожностью. См. раздел § Биографии выше.

Основная литература на английском языке

Основная литература на немецком языке

Вторичная литература

Внешние ссылки