В теории множеств парадокс Кантора утверждает , что не существует множества всех мощностей . Это вытекает из теоремы о том, что не существует наибольшего кардинального числа . Говоря неформально, парадокс заключается в том, что совокупность всех возможных «бесконечных размеров» не только бесконечна, но и настолько бесконечно велика, что ее собственный бесконечный размер не может быть ни одним из бесконечных размеров в коллекции. Эта трудность решается в аксиоматической теории множеств , объявляя, что эта совокупность является не множеством, а собственным классом ; в теории множеств фон Неймана–Бернейса–Гёделя из этого и аксиомы ограничения размера следует , что этот собственный класс должен находиться в взаимно однозначном соответствии с классом всех множеств. Таким образом, не только существует бесконечно много бесконечностей, но эта бесконечность больше любой из бесконечностей, которые она перечисляет.
Этот парадокс назван в честь Георга Кантора , которому часто приписывают первое определение его в 1899 году (или между 1895 и 1897 годами). Как и ряд «парадоксов», он на самом деле не противоречив, а лишь указывает на ошибочную интуицию, в данном случае относительно природы бесконечности и понятия множества. Иными словами, это парадоксально в рамках наивной теории множеств и, следовательно, демонстрирует, что небрежная аксиоматизация этой теории непоследовательна.
Чтобы сформулировать парадокс, необходимо понимать, что кардинальные числа полностью упорядочены , так что можно говорить о том, что одно из них больше или меньше другого. Тогда парадокс Кантора таков:
Этот факт является прямым следствием теоремы Кантора о мощности степенного множества множества.
Другое следствие теоремы Кантора состоит в том, что кардинальные числа составляют собственный класс . То есть их нельзя собрать все вместе как элементы единого множества. Вот несколько более общий результат.
Поскольку кардинальные числа хорошо упорядочены путем индексации с порядковыми числами (см. Кардинальное число, формальное определение ), это также устанавливает, что не существует наибольшего порядкового числа; и наоборот, последнее утверждение подразумевает парадокс Кантора. Применяя эту индексацию к парадоксу Бурали-Форти, мы получаем еще одно доказательство того, что кардинальные числа представляют собой собственный класс , а не множество, и (по крайней мере, в ZFC или в теории множеств фон Неймана-Бернейса-Гёделя ) из этого следует, что существует является биекцией между классом кардиналов и классом всех множеств. Поскольку каждое множество является подмножеством этого последнего класса, а каждая мощность является мощностью множества (по определению!), это интуитивно означает, что «мощность» набора кардиналов больше, чем мощность любого множества: она больше бесконечен, чем любая истинная бесконечность. В этом парадоксальность «парадокса» Кантора.
Хотя Кантору обычно приписывают первое определение этого свойства кардинальных множеств, некоторые математики присуждают это отличие Бертрану Расселу , который сформулировал аналогичную теорему в 1899 или 1901 году.