Теория множеств фон Неймана–Бернейса–Гёделя

Система математической теории множеств

В основе математики теория множеств фон Неймана-Бернейса-Гёделя ( NBG ) представляет собой аксиоматическую теорию множеств , которая является консервативным расширением теории множеств Цермело-Френкеля-выбора (ZFC). NBG вводит понятие класса , который представляет собой набор множеств , определяемый формулой , кванторы которой варьируются только по наборам. NBG может определять классы, которые больше наборов, например класс всех множеств и класс всех порядковых номеров . Теория множеств Морса – Келли (МК) позволяет определять классы с помощью формул, кванторы которых варьируются по классам. NBG конечно аксиоматизируема, а ZFC и MK — нет.

Ключевой теоремой NBG является теорема существования классов, которая утверждает, что для каждой формулы, кванторы которой распространяются только на множества, существует класс, состоящий из множеств, удовлетворяющих этой формуле. Этот класс построен путем отражения пошагового построения формулы с помощью классов. Поскольку все теоретико-множественные формулы строятся из двух видов атомарных формул ( членства и равенства ) и конечного числа логических символов , для построения удовлетворяющих им классов требуется лишь конечное число аксиом . Вот почему NBG конечно аксиоматизируем. Классы также используются для других конструкций, для обработки теоретико-множественных парадоксов и для формулировки аксиомы глобального выбора , которая более сильная, чем аксиома выбора ZFC .

Джон фон Нейман ввел классы в теорию множеств в 1925 году. Примитивными понятиями его теории были функция и аргумент . Используя эти понятия, он определил класс и множество. ^[1] Пауль Бернейс переформулировал теорию фон Неймана, приняв класс и множество как примитивные понятия. ^[2] Курт Гёдель упростил теорию Бернейса для доказательства относительной непротиворечивости аксиомы выбора и гипотезы обобщенного континуума . ^[3]

Занятия по теории множеств

Использование классов

Классы имеют несколько применений в NBG:

• Они производят конечную аксиоматизацию теории множеств. ^[4]
• Они используются для формулировки «очень сильной формы аксиомы выбора » ^[5] , а именно аксиомы глобального выбора : существует глобальная функция выбора , определенная на классе всех непустых множеств, такая, что для каждого непустого множества это сильнее, чем аксиома выбора ZFC: для каждого набора непустых множеств существует функция выбора , определенная на такой, что для всех ^[a] ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G(x)\in x}$ ${\displaystyle x.}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle f(x)\in x}$ ${\displaystyle x\in s.}$
• Теоретико -множественные парадоксы решаются путем признания того, что некоторые классы не могут быть множествами. Например, предположим, что класс всех ординалов представляет собой множество. Тогда – транзитивное множество, вполне упорядоченное по . Итак, по определению, это ординал. Следовательно, , что противоречит хорошему упорядочению Следовательно, не является множеством. Класс, который не является множеством, называется собственным классом , он является собственным классом. ^[6] ${\displaystyle Ord}$ ${\displaystyle Ord}$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle Ord}$ ${\displaystyle Ord\in Ord}$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle Ord.}$ ${\displaystyle Ord}$ ${\displaystyle Ord}$
• Собственные классы полезны в конструкциях. В своем доказательстве относительной непротиворечивости аксиомы глобального выбора и гипотезы обобщенного континуума Гёдель использовал подходящие классы для построения конструктивной вселенной . Он построил функцию на классе всех ординалов, которая для каждого ординала строит конструктивное множество, применяя операцию построения множества к ранее построенным множествам. Конструируемая вселенная является образом этой функции. ^[7]

Схема аксиом против теоремы существования класса

Как только в язык ZFC добавлены классы, ZFC легко преобразовать в теорию множеств с классами. Во-первых, добавляется схема аксиом понимания классов. Эта схема аксиом гласит: для каждой формулы , которая дает количественную оценку только множествам, существует класс, состоящий из -кортежей , удовлетворяющих формуле, т. е. тогда схема аксиом замены заменяется одной аксиомой, которая использует класс. Наконец, аксиома экстенсиональности ZFC модифицирована для работы с классами: если два класса имеют одинаковые элементы, то они идентичны. Остальные аксиомы ZFC не изменяются. ^[8] ${\displaystyle \phi (x_{1},\ldots ,x_{n})}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \forall x_{1}\cdots \,\forall x_{n}[(x_{1},\ldots ,x_{n})\in A\iff \phi (x_{1},\ldots ,x_{n})].}$

Эта теория не является конечно аксиоматизированной. Схема замены ZFC была заменена одной аксиомой, но была введена схема аксиом понимания классов.

Чтобы создать теорию с конечным числом аксиом, схема аксиом понимания классов сначала заменяется конечным числом аксиом существования классов. Затем эти аксиомы используются для доказательства теоремы существования класса, которая подразумевает каждый экземпляр схемы аксиом. ^[8] Для доказательства этой теоремы требуется всего семь аксиом существования классов, которые используются для преобразования конструкции формулы в конструкцию класса, удовлетворяющего этой формуле.

Аксиоматизация НБГ

Классы и наборы

NBG имеет два типа объектов: классы и наборы. Интуитивно понятно, что каждое множество также является классом. Есть два способа аксиоматизировать это. Бернейс использовал многосортную логику двух видов: классы и множества. ^[2] Гёдель избегал сортировок, вводя примитивные предикаты: for « является классом» и for « является набором» (по-немецки «множество» — это Менге ). Он также ввел аксиомы, утверждающие, что каждое множество является классом и что если класс является членом класса, то это множество. ^[9] Использование предикатов — стандартный способ устранения сортировок. Эллиот Мендельсон модифицировал подход Гёделя, сделав все классом и определив предикат множества как ^[10]. Эта модификация исключает предикат класса Гёделя и его две аксиомы. ${\displaystyle {\mathfrak {Cls}}(A)}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle {\mathfrak {M}}(A)}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle M(A)}$ ${\displaystyle \exists C(A\in C).}$

Двойной подход Бернейса на первый взгляд может показаться более естественным, но он создает более сложную теорию. ^[б] В теории Бернейса каждое множество имеет два представления: одно как множество, а другое как класс. Кроме того, существует два отношения принадлежности : первое, обозначаемое «ε», находится между двумя множествами; второй, обозначаемый «η», находится между множеством и классом. ^[2] Эта избыточность необходима для многосортной логики, поскольку переменные разных типов располагаются в непересекающихся подобластях области дискурса .

Различия между этими двумя подходами не влияют на то, что можно доказать, но влияют на то, как пишутся утверждения. В подходе Гёделя допустимым утверждением является то , где и являются классами. В подходе Бернейса это утверждение не имеет смысла. Однако, если это множество, существует эквивалентное утверждение: Определите «множество представляет класс », если они имеют те же множества, что и члены, то есть утверждение , в котором множество представляет класс , эквивалентно утверждению Гёделя ^[2]. ${\displaystyle A\in C}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \forall x(x\in a\iff x\;\eta \;A).}$ ${\displaystyle a\;\eta \;C}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A\in C.}$

В этой статье принят подход Гёделя с модификацией Мендельсона. Это означает, что NBG является аксиоматической системой в логике предикатов первого порядка с равенством , и ее единственными примитивными понятиями являются класс и отношение принадлежности.

Определения и аксиомы экстенсиональности и спаривания

Множество — это класс, который принадлежит хотя бы одному классу: является множеством тогда и только тогда, когда . Класс, который не является множеством, называется собственным классом: является собственным классом тогда и только тогда, когда . ^[12] Следовательно, каждый класс является либо множеством, либо собственным классом, и ни один класс не является одновременно и множеством. ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \exists C(A\in C)}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \forall C(A\notin C)}$

Гёдель ввел соглашение, согласно которому переменные в верхнем регистре варьируются по классам, а переменные в нижнем регистре — по наборам. ^[9] Гёдель также использовал имена, начинающиеся с заглавной буквы, для обозначения определенных классов, включая функции и отношения, определенные в классе всех множеств. В этой статье используется соглашение Гёделя. Это позволяет нам писать:

• ${\displaystyle \exists x\,\phi (x)}$вместо ${\displaystyle \exists x{\bigl (}\exists C(x\in C)\land \phi (x){\bigr )}}$
• ${\displaystyle \forall x\,\phi (x)}$вместо ${\displaystyle \forall x{\bigl (}\exists C(x\in C)\implies \phi (x){\bigr )}}$

Следующие аксиомы и определения необходимы для доказательства теоремы существования класса.

Аксиома экстенсиональности.  Если два класса имеют одинаковые элементы, то они идентичны.

${\displaystyle \forall A\,\forall B\,[\forall x(x\in A\iff x\in B)\implies A=B]}$ ^[13]

Эта аксиома обобщает аксиому экстенсиональности ZFC на классы.

Аксиома пары .  Еслииявляются множествами, то существует множество,единственными членами которого являютсяи. ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$

${\displaystyle \forall x\,\forall y\,\exists p\,\forall z\,[z\in p\iff (z=x\,\lor \,z=y)]}$ ^[14]

Как и в ZFC, из аксиомы экстенсиональности следует единственность множества , что позволяет ввести обозначение ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle \{x,y\}.}$

Упорядоченные пары определяются:

${\displaystyle (x,y)=\{\{x\},\{x,y\}\}}$

Кортежи определяются индуктивно с использованием упорядоченных пар:

${\displaystyle (x_{1})=x_{1},}$

${\displaystyle {\text{For }}n>1\!:(x_{1},\ldots ,x_{n-1},x_{n})=((x_{1},\ldots ,x_{n-1}),x_{n}).}$^[с]

Аксиомы существования классов и аксиома регулярности

Аксиомы существования класса будут использоваться для доказательства теоремы существования класса: для каждой формулы со свободным набором переменных, которая дает количественную оценку только по множествам, существует класс -кортежей , которые ей удовлетворяют. Следующий пример начинается с двух классов, которые являются функциями , и создает составную функцию . Этот пример иллюстрирует методы, необходимые для доказательства теоремы существования класса, которые приводят к необходимым аксиомам существования класса. ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$

Аксиомы существования классов делятся на две группы: аксиомы, обрабатывающие примитивы языка, и аксиомы, обрабатывающие кортежи. В первой группе четыре аксиомы, во второй группе три аксиомы. ^[д]

Аксиомы обработки языковых примитивов:

Членство.  Существует класс , содержащий все упорядоченные пары, первый компонент которых является членом второго компонента. ${\displaystyle E}$

${\displaystyle \exists E\,\forall x\,\forall y\,[(x,y)\in E\iff x\in y]\!}$ ^[18]

Пересечение (соединение).  Для любых двух классов и существует класс, состоящий именно из множеств, принадлежащих обоим и . ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$

${\displaystyle \forall A\,\forall B\,\exists C\,\forall x\,[x\in C\iff (x\in A\,\land \,x\in B)]}$ ^[19]

Дополнение (отрицание).  Для любого классасуществует класс,состоящий именно из множеств, не принадлежащих. ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle A}$

${\displaystyle \forall A\,\exists B\,\forall x\,[x\in B\iff \neg (x\in A)]}$ ^[20]

Домен (квантор существования).  Для любого класса существует класс, состоящий именно из первых компонент упорядоченных пар . ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle A}$

${\displaystyle \forall A\,\exists B\,\forall x\,[x\in B\iff \exists y((x,y)\in A)]}$ ^[21]

По аксиоме экстенсиональности класс в аксиоме пересечения и класс в аксиомах дополнения и области уникальны. Они будут обозначаться: и соответственно. ^[e] С другой стороны, экстенсиональность неприменима к аксиоме принадлежности, поскольку она определяет только те множества, в которых являются упорядоченными парами. ^{[ нужны разъяснения ]} ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle A\cap B,}$ ${\displaystyle \complement A,}$ ${\displaystyle Dom(A),}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle E}$

Первые три аксиомы подразумевают существование пустого класса и класса всех множеств: Аксиома принадлежности подразумевает существование класса. Аксиомы пересечения и дополнения подразумевают существование , который пуст. По аксиоме экстенсиональности этот класс уникален; оно обозначается как Дополнение — это класс всех множеств, который также уникален по своей экстенсиональности. Предикат set , который был определен как , теперь переопределен, чтобы избежать количественной оценки классов. ${\displaystyle E.}$ ${\displaystyle E\cap \complement E}$ ${\displaystyle \emptyset .}$ ${\displaystyle \emptyset }$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle M(A)}$ ${\displaystyle \exists C(A\in C)}$ ${\displaystyle A\in V}$

Аксиомы обработки кортежей:

Продукт по . ${\displaystyle V}$ Для любого классасуществует класс,состоящий из упорядоченных пар, первый компонент которых принадлежит. ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle A}$

${\displaystyle \forall A\,\exists B\,\forall u\,[u\in B\iff \exists x\,\exists y\,(u=(x,y)\land x\in A)]}$^[23]

Круговая перестановка .  Для любого классасуществует класс, тройки которого получены путем применения круговой перестановкик тройкам из. ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle (y,z,x)\mapsto (x,y,z)}$ ${\displaystyle A}$

${\displaystyle \forall A\,\exists B\,\forall x\,\forall y\,\forall z\,[(x,y,z)\in B\iff (y,z,x)\in A]}$^[24]

Транспозиция .  Для любого классасуществует класс,трехкортежи которого получены транспонированием двух последних компонентов трехкортежей из. ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle A}$

${\displaystyle \forall A\,\exists B\,\forall x\,\forall y\,\forall z\,[(x,y,z)\in B\iff (x,z,y)\in A]}$^[25]

Согласно экстенсиональности произведение по аксиоме подразумевает существование уникального класса, который обозначается Эта аксиома используется для определения класса всех -кортежей : и Если это класс, экстенсиональность подразумевает, что это уникальный класс, состоящий из -кортежей Например , аксиома принадлежности создает класс , который может содержать элементы, не являющиеся упорядоченными парами, в то время как пересечение содержит только упорядоченные пары . ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle A\times V.}$ ${\displaystyle V^{n}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle V^{1}=V}$ ${\displaystyle V^{n+1}=V^{n}\times V.\,}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A\cap V^{n}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle A.}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle E\cap V^{2}}$ ${\displaystyle E}$

Аксиомы циклической перестановки и транспозиции не предполагают существования уникальных классов, поскольку они определяют только кортежи из трех классов . Указывая кортежи из трех классов, эти аксиомы также определяют -кортежи для поскольку : ${\displaystyle B.}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n\geq 4}$

$${\displaystyle (x_{1},\ldots ,x_{n-2},x_{n-1},x_{n})=((x_{1},\ldots ,x_{n-2}),x_{n-1},x_{n}).}$$

Кортежная лемма  — 

1. $${\displaystyle \forall A\,\exists B_{1}\,\forall x\,\forall y\,\forall z\,[(z,x,y)\in B_{1}\iff (x,y)\in A]}$$
2. $${\displaystyle \forall A\,\exists B_{2}\,\forall x\,\forall y\,\forall z\,[(x,z,y)\in B_{2}\iff (x,y)\in A]}$$
3. $${\displaystyle \forall A\,\exists B_{3}\,\forall x\,\forall y\,\forall z\,[(x,y,z)\in B_{3}\iff (x,y)\in A]}$$
4. $${\displaystyle \forall A\,\exists B_{4}\,\forall x\,\forall y\,\forall z\,[(y,x)\in B_{4}\iff (x,y)\in A]}$$

Доказательство

• Класс : Примените продукт, чтобы произвести ${\displaystyle B_{3}}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B_{3}.}$
• Класс : Примените транспонирование для получения ${\displaystyle B_{2}}$ ${\displaystyle B_{3}}$ ${\displaystyle B_{2}.}$
• Класс : Примените круговую перестановку, чтобы получить ${\displaystyle B_{1}}$ ${\displaystyle B_{3}}$ ${\displaystyle B_{1}.}$
• Класс : Примените циклическую перестановку к , затем примените домен для создания ${\displaystyle B_{4}}$ ${\displaystyle B_{2}}$ ${\displaystyle B_{4}.}$

Для доказательства теоремы существования класса необходима еще одна аксиома: аксиома регулярности . Поскольку существование пустого класса доказано, дается обычная формулировка этой аксиомы. ^[ф]

Аксиома регулярности .  В каждом непустом множестве есть хотя бы один элемент, с которым оно не имеет общего.

$${\displaystyle \forall a\,[a\neq \emptyset \implies \exists u(u\in a\land u\cap a=\emptyset )].}$$

Эта аксиома подразумевает, что набор не может принадлежать самому себе: Предположим, что и пусть Тогда , поскольку это противоречит аксиоме регулярности, поскольку является единственным элементом в . Следовательно, аксиома регулярности также запрещает бесконечные нисходящие последовательности членства множеств: ${\displaystyle x\in x}$ ${\displaystyle a=\{x\}.}$ ${\displaystyle x\cap a\neq \emptyset }$ ${\displaystyle x\in x\cap a.}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle a.}$ ${\displaystyle x\notin x.}$

$${\displaystyle \cdots \in x_{n+1}\in x_{n}\in \cdots \in x_{1}\in x_{0}.}$$

Гёдель установил регулярность классов, а не множеств в своей монографии 1940 года, основанной на лекциях, прочитанных в 1938 году. ^[26] В 1939 году он доказал, что регулярность множеств подразумевает регулярность классов. ^[27]

Теорема существования класса

Теорема о существовании класса  .  Пусть это формула, которая дает количественную оценку только множествам и не содержит никаких свободных переменных, кроме (не обязательно всех из них). Тогда для всех существует уникальный класс кортежей такой, что : ${\displaystyle \phi (x_{1},\dots ,x_{n},Y_{1},\dots ,Y_{m})}$ ${\displaystyle x_{1},\dots ,x_{n},Y_{1},\dots ,Y_{m}}$ ${\displaystyle Y_{1},\dots ,Y_{m}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle n}$

$${\displaystyle \forall x_{1}\cdots \,\forall x_{n}[(x_{1},\dots ,x_{n})\in A\iff \phi (x_{1},\dots ,x_{n},Y_{1},\dots ,Y_{m})].}$$

Класс обозначается ^[g] ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \{(x_{1},\dots ,x_{n}):\phi (x_{1},\dots ,x_{n},Y_{1},\dots ,Y_{m})\}.}$

Доказательство теоремы будет проводиться в два этапа:

1. Правила преобразования используются для преобразования данной формулы в эквивалентную формулу, упрощающую индуктивную часть доказательства. Например, единственными логическими символами в преобразованной формуле являются , и , поэтому индукция обрабатывает логические символы только с тремя случаями. ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle \neg }$ ${\displaystyle \land }$ ${\displaystyle \exists }$
2. Теорема существования класса доказана индуктивно для преобразованных формул. Руководствуясь структурой преобразованной формулы, аксиомы существования класса используются для создания уникального класса кортежей , удовлетворяющих формуле. ${\displaystyle n}$

Правила трансформации.  В правилах 1 и 2 ниже и обозначают переменные множества или класса. Эти два правила исключают все вхождения переменных класса перед и все вхождения равенства. Каждый раз, когда к подформуле применяется правило 1 или 2, оно выбирается так, чтобы оно отличалось от других переменных в текущей формуле. Три правила повторяются до тех пор, пока не останется подформул, к которым их можно применить. В результате получается формула, построенная только с использованием , , , , заданных переменных и переменных класса , где не встречается перед . ${\displaystyle \Delta }$ ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle z_{i}}$ ${\displaystyle \neg }$ ${\displaystyle \land }$ ${\displaystyle \exists }$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle Y_{k}}$ ${\displaystyle Y_{k}}$ ${\displaystyle \in }$

1. ${\displaystyle \,Y_{k}\in \Gamma }$превращается в ${\displaystyle \exists z_{i}(z_{i}=Y_{k}\,\land \,z_{i}\in \Gamma ).}$
2. Экстенсиональность используется для преобразования в ${\displaystyle \Delta =\Gamma }$ ${\displaystyle \forall z_{i}(z_{i}\in \Delta \iff z_{i}\in \Gamma ).}$
3. Логические идентификаторы используются для преобразования подформул, содержащих и в подформулы, которые используют только и ${\displaystyle \lor ,\implies ,\iff ,}$ ${\displaystyle \forall }$ ${\displaystyle \neg ,\land ,}$ ${\displaystyle \exists .}$

Правила преобразования: связанные переменные .  Рассмотрим формулу составной функции из примера 1, в которой свободные переменные множества заменены на и : Индуктивное доказательство удалит , что приведет к формуле. Однако, поскольку теорема существования класса сформулирована для переменных с индексами, эта формула не имеет формы, ожидаемой формулой индукционная гипотеза . Эта проблема решается путем замены переменной на Связанные переменные внутри вложенных кванторов обрабатываются путем увеличения нижнего индекса на единицу для каждого последующего квантора. Это приводит к правилу 4, которое должно применяться после других правил, поскольку правила 1 и 2 создают количественные переменные. ${\displaystyle x_{1}}$ ${\displaystyle x_{2}}$ ${\displaystyle \exists t[(x_{1},t)\in F\,\land \,(t,x_{2})\in G].}$ ${\displaystyle \exists t}$ ${\displaystyle (x_{1},t)\in F\land (t,x_{2})\in G.}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle x_{3}.}$

4. Если формула не содержит свободных переменных, кроме связанных переменных, вложенных в кванторы, заменяются на . Эти переменные имеют (квантификатор) глубину вложенности . ${\displaystyle x_{1},\dots ,x_{n},}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle x_{n+q}}$ ${\displaystyle q}$

Доказательство теоремы существования класса.  Доказательство начинается с применения правил преобразования к заданной формуле для получения преобразованной формулы. Поскольку эта формула эквивалентна данной формуле, доказательство завершается доказательством теоремы существования классов преобразованных формул.

Доказательство теоремы существования класса преобразованных формул

В доказательстве используется следующая лемма.

Лемма о расширении  .  Пусть и пусть будет классом, содержащим все упорядоченные пары, удовлетворяющие То есть, Тогда можно расширить до уникального класса кортежей , удовлетворяющих . То есть, ${\displaystyle 1\leq i<j\leq n,}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle (x_{i},x_{j})}$ ${\displaystyle R(x_{i},x_{j}).}$ ${\displaystyle P\supseteq \{(x_{i},x_{j}):R(x_{i},x_{j})\}.}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle R(x_{i},x_{j})}$ ${\displaystyle Q=\{(x_{1},\ldots ,x_{n}):R(x_{i},x_{j})\}.}$

Доказательство:

1. Если позволить ${\displaystyle i=1,}$ ${\displaystyle P_{1}=P.}$
   В противном случае компоненты добавляются перед применением утверждения леммы о кортежах 1 к с. Это создает класс , содержащий все кортежи. ${\displaystyle i>1,}$ ${\displaystyle x_{i}{\text{:}}}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle z=(x_{1},\dots ,x_{i-1}).}$ ${\displaystyle P_{1}}$ ${\displaystyle (i+1)}$
   $${\displaystyle ((x_{1},\dots ,x_{i-1}),x_{i},x_{j})=(x_{1},\dots ,x_{i-1},x_{i},x_{j})}$$
   удовлетворяющий ${\displaystyle R(x_{i},x_{j}).}$
2. Если позволить ${\displaystyle j=i+1,}$ ${\displaystyle P_{2}=P_{1}.}$
   В противном случае компоненты добавляются между ними и добавляются компоненты один за другим, используя утверждение 2 леммы о кортежах. В результате создается класс, содержащий все кортежи. ${\displaystyle j>i+1,}$ ${\displaystyle x_{i}}$ ${\displaystyle x_{j}{\text{:}}}$ ${\displaystyle x_{i+1},\dots ,x_{j-1}}$ ${\displaystyle P_{2}}$ ${\displaystyle j}$
   $${\displaystyle (((\cdots ((x_{1},\dots ,x_{i}),x_{i+1}),\cdots ),x_{j-1}),x_{j})=(x_{1},\dots ,x_{j})}$$
   удовлетворяющий ${\displaystyle R(x_{i},x_{j}).}$
3. Если позволить ${\displaystyle j=n,}$ ${\displaystyle P_{3}=P_{2}.}$
   В противном случае компоненты добавляются после добавления компонентов один за другим с использованием утверждения 3 леммы о кортежах. В результате создается класс, содержащий все кортежи. ${\displaystyle j<n,}$ ${\displaystyle x_{j}{\text{:}}}$ ${\displaystyle x_{j+1},\dots ,x_{n}}$ ${\displaystyle P_{3}}$ ${\displaystyle n}$
   $${\displaystyle ((\cdots ((x_{1},\dots ,x_{j}),x_{j+1}),\cdots ),x_{n})=(x_{1},\dots ,x_{n})}$$
   удовлетворяющий ${\displaystyle R(x_{i},x_{j}).}$
4. Пусть экстенсиональность подразумевает, что это уникальный класс кортежей , удовлетворяющих ${\displaystyle Q=P_{3}\cap V^{n}.}$ ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle R(x_{i},x_{j}).}$

Теорема существования класса для преобразованных формул  .  Пусть это формула, которая: ${\displaystyle \phi (x_{1},\ldots ,x_{n},Y_{1},\ldots ,Y_{m})}$

1. не содержит свободных переменных, кроме ; ${\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{n},Y_{1},\ldots ,Y_{m}}$
2. содержит только , , , , переменные набора и переменные класса, где не появляется перед ; ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle \neg }$ ${\displaystyle \land }$ ${\displaystyle \exists }$ ${\displaystyle Y_{k}}$ ${\displaystyle Y_{k}}$ ${\displaystyle \in }$ 
3. количественно определяет только заданные переменные, где – глубина вложенности квантора переменной. ${\displaystyle x_{n+q}}$ ${\displaystyle q}$

Тогда для всех существует уникальный класс кортежей такой, что : ${\displaystyle Y_{1},\dots ,Y_{m}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle n}$

$${\displaystyle \forall x_{1}\cdots \,\forall x_{n}[(x_{1},\ldots ,x_{n})\in A\iff \phi (x_{1},\ldots ,x_{n},Y_{1},\ldots ,Y_{m})].}$$

Доказательство: Базовый шаг: имеет 0 логических символов. Гипотеза теоремы подразумевает, что это атомарная формула вида или ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle x_{i}\in x_{j}}$ ${\displaystyle x_{i}\in Y_{k}.}$

Случай 1: Если есть , мы строим класс, уникальный класс -кортежей , удовлетворяющих ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle x_{i}\in x_{j}}$ ${\displaystyle E_{i,j,n}=\{(x_{1},\ldots ,x_{n}):x_{i}\in x_{j}\},}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle x_{i}\in x_{j}.}$

Случай a: где Аксиома членства создает класс , содержащий все упорядоченные пары, удовлетворяющие условиям. Примените лемму расширения к , чтобы получить ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle x_{i}\in x_{j}}$ ${\displaystyle i<j.}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle (x_{i},x_{j})}$ ${\displaystyle x_{i}\in x_{j}.}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle E_{i,j,n}=\{(x_{1},\ldots ,x_{n}):x_{i}\in x_{j}\}.}$

Случай b: это когда аксиома членства создает класс , содержащий все упорядоченные пары, удовлетворяющие Применить утверждение леммы о кортеже 4, чтобы получить содержащий все упорядоченные пары, удовлетворяющие Применить лемму расширения к, чтобы получить ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle x_{i}\in x_{j}}$ ${\displaystyle i>j.}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle (x_{i},x_{j})}$ ${\displaystyle x_{i}\in x_{j}.}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle P'}$ ${\displaystyle (x_{j},x_{i})}$ ${\displaystyle x_{i}\in x_{j}.}$ ${\displaystyle P'}$ ${\displaystyle E_{i,j,n}=\{(x_{1},\ldots ,x_{n}):x_{i}\in x_{j}\}.}$

Случай c: где. Поскольку эта формула неверна по аксиоме регулярности, никакие -кортежи ей не удовлетворяют, поэтому ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle x_{i}\in x_{j}}$ ${\displaystyle i=j.}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle E_{i,j,n}=\emptyset .}$

Случай 2: Если есть , мы создаем класс, уникальный класс -кортежей , удовлетворяющих ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle x_{i}\in Y_{k}}$ ${\displaystyle E_{i,Y_{k},n}=\{(x_{1},\ldots ,x_{n}):x_{i}\in Y_{k}\},}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle x_{i}\in Y_{k}.}$

Случай а: где Применить аксиому произведения к для получения класса Применить лемму расширения к, чтобы получить ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle x_{i}\in Y_{k}}$ ${\displaystyle i<n.}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle Y_{k}}$ ${\displaystyle P=Y_{k}\times V=\{(x_{i},x_{i+1}):x_{i}\in Y_{k}\}.}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle E_{i,Y_{k},n}=\{(x_{1},\ldots ,x_{n}):x_{i}\in Y_{k}\}.}$

Случай b: это когда Примените аксиому произведения на to, чтобы получить класс. Примените утверждение леммы о кортеже 4 к, чтобы получить. Примените лемму расширения к, чтобы получить ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle x_{i}\in Y_{k}}$ ${\displaystyle i=n>1.}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle Y_{k}}$ ${\displaystyle P=Y_{k}\times V=\{(x_{i},x_{i-1}):x_{i}\in Y_{k}\}.}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle P'=V\times Y_{k}=\{(x_{i-1},x_{i}):x_{i}\in Y_{k}\}.}$ ${\displaystyle P'}$ ${\displaystyle E_{i,Y_{k},n}=\{(x_{1},\ldots ,x_{n}):x_{i}\in Y_{k}\}.}$

Случай c : где Тогда ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle x_{i}\in Y_{k}}$ ${\displaystyle i=n=1.}$ ${\displaystyle E_{i,Y_{k},n}=Y_{k}.}$

Индуктивный шаг: имеет логические символы, где . Предположим по индукционному предположению, что теорема верна для всех , у которых меньше логических символов. Теперь докажем теорему для с логическими символами. В этом доказательстве список переменных класса сокращен до , поэтому формулу, например , можно записать как ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle k>0}$ ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle Y_{1},\dots ,Y_{m}}$ ${\displaystyle {\vec {Y}}}$ ${\displaystyle \phi (x_{1},\dots ,x_{n},Y_{1},\dots ,Y_{m})}$ ${\displaystyle \phi (x_{1},\dots ,x_{n},{\vec {Y}}).}$

Случай 1: Поскольку имеются логические символы, из гипотезы индукции следует, что существует уникальный класс -кортежей , такой что: ${\displaystyle \phi (x_{1},\ldots ,x_{n},{\vec {Y}})=\neg \psi (x_{1},\ldots ,x_{n},{\vec {Y}}).}$ ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle k-1}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle n}$

$${\displaystyle \quad (x_{1},\ldots ,x_{n})\in A\iff \psi (x_{1},\ldots ,x_{n},{\vec {Y}}).}$$

По аксиоме дополнения существует такой класс, который Однако содержит элементы, отличные от -кортежей , если Для исключения этих элементов используйте дополнение относительно класса всех -кортежей. ^[e] Тогда, в силу экстенсиональности, существует уникальный класс кортежей такой, что: ${\displaystyle \complement A}$ ${\displaystyle \forall u\,[u\in \complement A\iff \neg (u\in A)].}$ ${\displaystyle \complement A}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n>1.}$ ${\displaystyle \complement _{V^{n}}A=\,}$ ${\displaystyle \complement A\cap V^{n}=\,}$ ${\displaystyle V^{n}\setminus A,}$ ${\displaystyle V^{n}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \complement _{V^{n}}A}$ ${\displaystyle n}$

$${\displaystyle {\begin{alignedat}{2}\quad &(x_{1},\ldots ,x_{n})\in \complement _{V^{n}}A&&\iff \neg [(x_{1},\ldots ,x_{n})\in A]\\&&&\iff \neg \psi (x_{1},\ldots ,x_{n},{\vec {Y}})\\&&&\iff \phi (x_{1},\ldots ,x_{n},{\vec {Y}}).\end{alignedat}}}$$

Случай 2: Поскольку оба и имеют меньше логических символов, гипотеза индукции подразумевает, что существуют уникальные классы -кортежей и такие , что: ${\displaystyle \phi (x_{1},\ldots ,x_{n},{\vec {Y}})=\psi _{1}(x_{1},\ldots ,x_{n},{\vec {Y}})\land \psi _{2}(x_{1},\ldots ,x_{n},{\vec {Y}}).}$ ${\displaystyle \psi _{1}}$ ${\displaystyle \psi _{2}}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle A_{1}}$ ${\displaystyle A_{2}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\quad &(x_{1},\ldots ,x_{n})\in A_{1}\iff \psi _{1}(x_{1},\ldots ,x_{n},{\vec {Y}}).\\&(x_{1},\ldots ,x_{n})\in A_{2}\iff \psi _{2}(x_{1},\ldots ,x_{n},{\vec {Y}}).\end{aligned}}}$

Согласно аксиомам пересечения и экстенсиональности, это единственный класс кортежей таких, что: ${\displaystyle A_{1}\cap A_{2}}$ ${\displaystyle n}$

$${\displaystyle {\begin{alignedat}{2}\quad &(x_{1},\ldots ,x_{n})\in A_{1}\cap A_{2}&&\iff (x_{1},\ldots ,x_{n})\in A_{1}\land (x_{1},\ldots ,x_{n})\in A_{2}\\&&&\iff \psi _{1}(x_{1},\ldots ,x_{n},{\vec {Y}})\land \psi _{2}(x_{1},\ldots ,x_{n},{\vec {Y}})\\&&&\iff \phi (x_{1},\ldots ,x_{n},{\vec {Y}}).\end{alignedat}}}$$

Случай 3: Глубина вложенности кванторов на единицу больше, чем у, и дополнительная свободная переменная равна Поскольку имеет логические символы, гипотеза индукции подразумевает, что существует уникальный класс -кортежей, такой что: ${\displaystyle \phi (x_{1},\ldots ,x_{n},{\vec {Y}})=\exists x_{n+1}\psi (x_{1},\ldots ,x_{n},x_{n+1},{\vec {Y}}).}$ ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle x_{n+1}.}$ ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle k-1}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle (n+1)}$

$${\displaystyle \quad (x_{1},\ldots ,x_{n},x_{n+1})\in A\iff \psi (x_{1},\ldots ,x_{n},x_{n+1},{\vec {Y}}).}$$

Согласно аксиомам области и экстенсиональности, это единственный класс -кортежей таких, что: ^[h] ${\displaystyle Dom(A)}$ ${\displaystyle n}$

$${\displaystyle {\begin{alignedat}{2}\quad &(x_{1},\ldots ,x_{n})\in Dom(A)&&\iff \exists x_{n+1}[((x_{1},\ldots ,x_{n}),x_{n+1})\in A]\\&&&\iff \exists x_{n+1}[(x_{1},\ldots ,x_{n},x_{n+1})\in A]\\&&&\iff \exists x_{n+1}\,\psi (x_{1},\ldots ,x_{n},x_{n+1},{\vec {Y}})\\&&&\iff \phi (x_{1},\ldots ,x_{n},{\vec {Y}}).\end{alignedat}}}$$

Гёдель указывал, что теорема существования класса «является метатеоремой , то есть теоремой о системе [NBG], а не в системе…» ^[30] Это теорема о NBG, потому что она доказывается в метатеории индукцией по Формулы НБГ. Кроме того, его доказательство — вместо использования конечного числа аксиом NBG — индуктивно описывает, как использовать аксиомы NBG для построения класса, удовлетворяющего заданной формуле. Для каждой формулы это описание можно превратить в конструктивное доказательство существования, которое есть в NBG. Следовательно, эта метатеорема может генерировать доказательства NBG, которые заменяют использование теоремы существования класса NBG.

Рекурсивная компьютерная программа кратко описывает построение класса по заданной формуле. Определение этой программы не зависит от доказательства теоремы существования класса. Однако доказательство необходимо, чтобы доказать, что класс, построенный программой, удовлетворяет заданной формуле и построен с использованием аксиом. Эта программа написана на псевдокоде , использующем оператор Case в стиле Паскаля . ^[я]

$${\displaystyle {\begin{array}{l}\mathbf {function} \;{\text{Class}}(\phi ,\,n)\\\quad {\begin{array}{rl}\mathbf {input} \!:\;\,&\phi {\text{ is a transformed formula of the form }}\phi (x_{1},\ldots ,x_{n},Y_{1},\ldots ,Y_{m});\\&n{\text{ specifies that a class of }}n{\text{-tuples is returned.}}\\\;\;\;\;\mathbf {output} \!:\;\,&{\text{class }}A{\text{ of }}n{\text{-tuples satisfying }}\\&\,\forall x_{1}\cdots \,\forall x_{n}[(x_{1},\ldots ,x_{n})\in A\iff \phi (x_{1},\ldots ,x_{n},Y_{1},\ldots ,Y_{m})].\end{array}}\\\mathbf {begin} \\\quad \mathbf {case} \;\phi \;\mathbf {of} \\\qquad {\begin{alignedat}{2}x_{i}\in x_{j}:\;\;&\mathbf {return} \;\,E_{i,j,n};&&{\text{// }}E_{i,j,n}\;\,=\{(x_{1},\dots ,x_{n}):x_{i}\in x_{j}\}\\x_{i}\in Y_{k}:\;\;&\mathbf {return} \;\,E_{i,Y_{k},n};&&{\text{// }}E_{i,Y_{k},n}=\{(x_{1},\dots ,x_{n}):x_{i}\in Y_{k}\}\\\neg \psi :\;\;&\mathbf {return} \;\,\complement _{V^{n}}{\text{Class}}(\psi ,\,n);&&{\text{// }}\complement _{V^{n}}{\text{Class}}(\psi ,\,n)=V^{n}\setminus {\text{Class}}(\psi ,\,n)\\\psi _{1}\land \psi _{2}:\;\;&\mathbf {return} \;\,{\text{Class}}(\psi _{1},\,n)\cap {\text{Class}}(\psi _{2},\,n);&&\\\;\;\;\;\,\exists x_{n+1}(\psi ):\;\;&\mathbf {return} \;\,Dom({\text{Class}}(\psi ,\,n+1));&&{\text{// }}x_{n+1}{\text{ is free in }}\psi ;{\text{ Class}}(\psi ,\,n+1)\\&\ &&{\text{// returns a class of }}(n+1){\text{-tuples}}\end{alignedat}}\\\quad \mathbf {end} \\\mathbf {end} \end{array}}}$$

Пусть это формула примера 2. Вызов функции генерирует класс , который сравнивается ниже с. Это показывает, что построение класса отражает построение его определяющей формулы ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle A=Class(\phi ,1)}$ ${\displaystyle A,}$ ${\displaystyle \phi .}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \phi .}$

$${\displaystyle {\begin{alignedat}{2}&\phi \;&&=\;\;\exists x_{2}\,(x_{2}\!\in \!x_{1}\land \;\;\neg \;\;\;\;\exists x_{3}\;(x_{3}\!\in \!x_{2}))\,\land \;\;\,\exists x_{2}\,(x_{2}\!\in \!x_{1}\land \;\;\,\exists x_{3}\,(x_{3}\!\in \!x_{2}\,\land \;\;\neg \;\;\;\;\exists x_{4}\;(x_{4}\!\in \!x_{3})))\\&A\;&&=Dom\,(\;E_{2,1,2}\;\cap \;\complement _{V^{2}}\,Dom\,(\;E_{3,2,3}\;))\,\cap \,Dom\,(\;E_{2,1,2}\;\cap \,Dom\,(\;\,E_{3,2,3}\;\cap \;\complement _{V^{3}}\,Dom\,(\;E_{4,3,4}\;)))\end{alignedat}}}$$

Расширение теоремы существования класса

Гёдель распространил теорему о существовании классов на формулы , содержащие отношения над классами (такие как и унарное отношение ), специальные классы (такие как ) и операции (такие как и ). ^[32] Чтобы расширить теорему о существовании классов, формулы, определяющие отношения, специальные классы и операции, должны давать количественную оценку только над множествами. Тогда может быть преобразована в эквивалентную формулу, удовлетворяющую условию теоремы существования класса. ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle Y_{1}\subseteq Y_{2}}$ ${\displaystyle M(Y_{1})}$ ${\displaystyle Ord}$  ${\displaystyle (x_{1},x_{2})}$ ${\displaystyle x_{1}\cap Y_{1}}$ ${\displaystyle \phi }$

Следующие определения определяют, как формулы определяют отношения, специальные классы и операции:

1. Отношение определяется: ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle R(Z_{1},\dots ,Z_{k})\iff \psi _{R}(Z_{1},\dots ,Z_{k}).}$
2. Специальный класс определяется: ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle u\in C\iff \psi _{C}(u).}$
3. Операция определяется: ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle u\in P(Z_{1},\dots ,Z_{k})\iff \psi _{P}(u,Z_{1},\dots ,Z_{k}).}$

Термин определяется :

1. Переменные и специальные классы — это термины.
2. Если — операция с аргументами и являются термами, то — это терм. ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle \Gamma _{1},\dots ,\Gamma _{k}}$ ${\displaystyle P(\Gamma _{1},\dots ,\Gamma _{k})}$

Следующие правила преобразования исключают отношения, специальные классы и операции. Каждый раз, когда правило 2b, 3b или 4 применяется к подформуле, оно выбирается так, чтобы оно отличалось от других переменных в текущей формуле. Правила повторяются до тех пор, пока не останется подформул, к которым их можно применить. и обозначим термины. ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle z_{i}}$ ${\displaystyle \,\Gamma _{1},\dots ,\Gamma _{k},\Gamma ,}$ ${\displaystyle \Delta }$

1. Отношение заменяется его определяющей формулой ${\displaystyle R(Z_{1},\dots ,Z_{k})}$ ${\displaystyle \psi _{R}(Z_{1},\dots ,Z_{k}).}$
2. Пусть – определяющая формула для специального класса ${\displaystyle \psi _{C}(u)}$ ${\displaystyle C.}$
   1. ${\displaystyle \Delta \in C}$заменяется на ${\displaystyle \psi _{C}(\Delta ).}$
   2. ${\displaystyle C\in \Delta }$заменяется на ${\displaystyle \exists z_{i}[z_{i}=C\land z_{i}\in \Delta ].}$
3. Пусть – определяющая формула операции ${\displaystyle \psi _{P}(u,Z_{1},\dots ,Z_{k})}$ ${\displaystyle P(Z_{1},\dots ,Z_{k}).}$
   1. ${\displaystyle \Delta \in P(\Gamma _{1},\dots ,\Gamma _{k})}$заменяется на ${\displaystyle \psi _{P}(\Delta ,\Gamma _{1},\dots ,\Gamma _{k}).}$
   2. ${\displaystyle P(\Gamma _{1},\dots ,\Gamma _{k})\in \Delta }$заменяется на ${\displaystyle \exists z_{i}[z_{i}=P(\Gamma _{1},\dots ,\Gamma _{k})\land z_{i}\in \Delta ].}$
4. Экстенсиональность используется для преобразования в ${\displaystyle \Delta =\Gamma }$ ${\displaystyle \forall z_{i}(z_{i}\in \Delta \iff z_{i}\in \Gamma ).}$

Теорема о существовании класса (расширенная версия)  .  Пусть это формула, которая определяет количественно только над множествами, не содержит свободных переменных, кроме , и может содержать отношения, специальные классы и операции, определенные формулами, которые определяют количественно только над множествами. Тогда для всех существует единственный класс -кортежей такой, что ${\displaystyle \phi (x_{1},\dots ,x_{n},Y_{1},\dots ,Y_{m})}$ ${\displaystyle x_{1},\dots ,x_{n},Y_{1},\dots ,Y_{m}}$ ${\displaystyle Y_{1},\dots ,Y_{m},}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle n}$

$${\displaystyle \forall x_{1}\cdots \,\forall x_{n}[(x_{1},\dots ,x_{n})\in A\iff \phi (x_{1},\dots ,x_{n},Y_{1},\dots ,Y_{m})].}$$

^[Дж]

Доказательство

Примените правила преобразования для получения эквивалентной формулы, не содержащей отношений, специальных классов или операций. Эта формула удовлетворяет условию теоремы существования класса. Следовательно, для всех существует единственный класс кортежей , удовлетворяющих ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle Y_{1},\dots ,Y_{m},}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle n}$

$${\displaystyle \forall x_{1}\cdots \,\forall x_{n}[(x_{1},\dots ,x_{n})\in A\iff \phi (x_{1},\dots ,x_{n},Y_{1},\dots ,Y_{m})].}$$

Установите аксиомы

Аксиомы спаривания и регулярности, необходимые для доказательства теоремы существования классов, были приведены выше. NBG содержит еще четыре аксиомы набора. Три из этих аксиом относятся к операциям классов, применяемым к множествам.

Определение.   является функцией , если ${\displaystyle F}$

$${\displaystyle F\subseteq V^{2}\land \forall x\,\forall y\,\forall z\,[(x,y)\in F\,\land \,(x,z)\in F\implies y=z].}$$

В теории множеств определение функции не требует указания области определения или кодомена функции (см. Функция (теория множеств) ). Определение функции NBG обобщает определение ZFC с набора упорядоченных пар на класс упорядоченных пар.

Определения ZFC операций над множествами image , Union и Power Set также обобщаются на операции классов. Образ класса под функцией : Это определение не требует, чтобы объединение классов было степенным классом . Расширенная версия теоремы о существовании классов подразумевает существование этих классов. Аксиомы замены, объединения и степенного множества подразумевают, что когда эти операции применяются к множествам, они создают множества. ^[34] ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle F[A]=\{y:\exists x(x\in A\,\land \,(x,y)\in F)\}.}$ ${\displaystyle A\subseteq Dom(F).}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \cup A=\{x:\exists y(x\in y\,\,\land \,y\in A)\}.}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle {\mathcal {P}}(A)=\{x:x\subseteq A\}.}$

Аксиома замены.  Если функция и является набором, то , образ под , является набором. ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle F[a]}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle F}$

$${\displaystyle \forall F\,\forall a\,[F{\text{ is a function}}\implies \exists b\,\forall y\,(y\in b\iff \exists x(x\in a\,\land \,(x,y)\in F))].}$$

Отсутствие требования в определении приводит к более сильной аксиоме замены, которая используется в следующем доказательстве. ${\displaystyle A\subseteq Dom(F)}$ ${\displaystyle F[A]}$

Теорема ( аксиома разделения NBG )  —  Если это множество и является его подклассом, то это множество. ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle a,}$ ${\displaystyle B}$

Доказательство

Теорема существования класса строит ограничение тождественной функции на : Поскольку образ under равен , аксиома замены подразумевает, что это множество. Это доказательство зависит от определения образа, не имеющего требования, поскольку , а не ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle I{\upharpoonright _{B}}=\{(x_{1},x_{2}):x_{1}\in B\land x_{2}=x_{1}\}.}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle I{\upharpoonright _{B}}}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle a\subseteq Dom(F)}$ ${\displaystyle Dom(I{\upharpoonright _{B}})=B\subseteq a}$ ${\displaystyle a\subseteq Dom(I{\upharpoonright _{B}}).}$

Аксиома союза.  Если есть множество, то существует множество, содержащее ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle \cup a.}$

$${\displaystyle \forall a\,\exists b\,\forall x\,[\,\exists y(x\in y\,\,\land \,y\in a)\implies x\in b\,].}$$

Аксиома набора мощности.  Если есть множество, то существует множество, содержащее ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle {\mathcal {P}}(a).}$

${\displaystyle \forall a\,\exists b\,\forall x\,(x\subseteq a\implies x\in b).}$^[к]

Теорема . Если  —  множество, то и — множества. ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle \cup a}$ ${\displaystyle {\mathcal {P}}(a)}$

Доказательство

Аксиома объединения утверждает, что это подкласс множества , поэтому аксиома разделения подразумевает, что это множество. Аналогично, аксиома набора мощности утверждает, что это подкласс множества , поэтому аксиома разделения подразумевает, что это набор. ${\displaystyle \cup a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle \cup a}$ ${\displaystyle {\mathcal {P}}(a)}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle {\mathcal {P}}(a)}$

Аксиома бесконечности.  Существует непустое множество такое, что для всех в существует такое, что является собственным подмножеством . ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$

$${\displaystyle \exists a\,[\exists u(u\in a)\,\land \,\forall x(x\in a\implies \exists y(y\in a\,\land \,x\subset y))].}$$

Аксиомы бесконечности и замены доказывают существование пустого множества . При обсуждении аксиом существования классов было доказано существование пустого класса. Теперь мы докажем, что это множество. Пусть функция и пусть — множество, заданное аксиомой бесконечности. При замене образ under , равный , является набором. ${\displaystyle \emptyset }$ ${\displaystyle \emptyset }$ ${\displaystyle F=\emptyset }$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle \emptyset }$

Аксиома бесконечности NBG подразумевается аксиомой бесконечности ZFC : Первое соединение аксиомы ZFC, , подразумевает первое соединение аксиомы NBG. Второе соединение аксиомы ZFC, , подразумевает второе соединение аксиомы NBG, поскольку для доказательства аксиомы бесконечности ZFC на основе аксиомы бесконечности NBG требуются некоторые другие аксиомы NBG (см. Слабая аксиома бесконечности ). ^[л] ${\displaystyle \,\exists a\,[\emptyset \in a\,\land \,\forall x(x\in a\implies x\cup \{x\}\in a)].\,}$ ${\displaystyle \emptyset \in a}$ ${\displaystyle \forall x(x\in a\implies x\cup \{x\}\in a)}$ ${\displaystyle x\subset x\cup \{x\}.}$

Аксиома глобального выбора

Концепция класса позволяет NBG иметь более сильную аксиому выбора, чем ZFC. Функция выбора — это функция , определенная на множестве непустых множеств такая, что для всех аксиом выбора ZFC утверждается, что существует функция выбора для каждого набора непустых множеств. Функция глобального выбора — это функция , определенная в классе всех непустых множеств такая, что для каждого непустого множества аксиома глобального выбора утверждает, что существует глобальная функция выбора. Из этой аксиомы следует аксиома выбора ZFC , поскольку для каждого набора непустых множеств ( ограничение на ) является функцией выбора для. В 1964 году Уильям Б. Истон доказал, что глобальный выбор сильнее аксиомы выбора, используя принуждение для построения модель , удовлетворяющая аксиоме выбора и всем аксиомам NBG, кроме аксиомы глобального выбора. ^[38] Аксиома глобального выбора эквивалентна тому, что каждый класс имеет хороший порядок, а аксиома выбора ZFC эквивалентна каждому множеству, имеющему хороший порядок. ^[м] ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle f(x)\in x}$ ${\displaystyle x\in s.}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G(x)\in x}$ ${\displaystyle x.}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle G\vert _{s}}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle s.}$

Аксиома глобального выбора.  Существует функция, которая выбирает элемент из каждого непустого множества.

${\displaystyle \exists G\,[G{\text{ is a function}}\,\land \forall x(x\neq \emptyset \implies \exists y(y\in x\land (x,y)\in G))].}$

История

История подходов, которые привели к теории множеств NBG

Система аксиом фон Неймана 1925 года

Фон Нейман опубликовал вступительную статью о своей системе аксиом в 1925 году. В 1928 году он представил подробное описание своей системы. ^[39] Фон Нейман основал свою систему аксиом на двух областях примитивных объектов: функциях и аргументах. Эти домены перекрываются — объекты, находящиеся в обоих доменах, называются функциями-аргументами. Функции соответствуют классам в NBG, а функции-аргументы соответствуют наборам. Примитивная операция фон Неймана — это применение функции , обозначаемое [ a ,  x ], а не a ( x ), где a — функция, а x — аргумент. Эта операция создает аргумент. Фон Нейман определил классы и множества, используя функции и функции-аргументы, которые принимают только два значения : A и B. Он определил x  ∈  a , если [ a ,  x ] ≠  A. ^[1]

На работу фон Неймана по теории множеств повлияли статьи Георга Кантора , аксиомы теории множеств Эрнста Цермело 1908 года и критика теории множеств Цермело 1922 года, которые были даны независимо Абрахамом Френкелем и Торальфом Сколемом . И Френкель ,  и Сколем указывали, что аксиомы Цермело не могут доказать существование множества {Z0,  _Z1 , Z2 _, ... _} , _где Z0 — _{множество} натуральных чисел , а Zn ₊₁ — степенное множество Z _н . Затем они ввели аксиому замены, которая гарантировала бы существование таких множеств. ^{[40] [n]} Однако они неохотно принимали эту аксиому: Френкель заявил, что «Замена была слишком сильной аксиомой для« общей теории множеств »», в то время как «Скулем только писал, что« мы могли бы ввести« Замену ». ^[42]

Фон Нейман работал над проблемами теории множеств Цермело и предложил решения некоторых из них:

• Теория ординалов
  • Проблема: теория порядковых чисел Кантора не может быть развита в теории множеств Цермело, поскольку в ней отсутствует аксиома замены. ^[о]
  • Решение: Фон Нейман восстановил теорию Кантора, определив ординалы с использованием множеств, которые хорошо упорядочены с помощью отношения £, ^[p] и используя аксиому замены для доказательства ключевых теорем об ординалах, например, что каждое хорошо упорядоченное множество является порядково-изоморфен ординалу. ^[o] В отличие от Френкеля и Сколема, фон Нейман подчеркивал, насколько важна аксиома замены для теории множеств: «На самом деле, я считаю, что никакая теория ординалов вообще невозможна без этой аксиомы». ^[45]
• Критерий, определяющий классы, которые слишком велики для создания наборов.
  • Проблема: Цермело не предоставил такого критерия. Его теория множеств избегает больших классов, которые приводят к парадоксам , но она не учитывает многие множества, такие как упомянутое Френкелем и Сколемом. ^[д]
  • Решение: Фон Нейман ввел критерий: класс слишком велик, чтобы быть множеством тогда и только тогда, когда его можно отобразить в класс V всех множеств. Фон Нейман понял, что теоретико-множественных парадоксов можно избежать, не позволяя таким большим классам быть членами какого-либо класса. Объединив это ограничение со своим критерием, он получил свою аксиому ограничения размера : класс C не является членом какого-либо класса тогда и только тогда, когда C может быть отображен на V. ^{[48] ​​[р]}
• Конечная аксиоматизация
  • Проблема: Цермело использовал неточное понятие «определенной пропозициональной функции » в своей аксиоме разделения .
  • Решения: Скулем представил схему аксиом разделения , которая позже была использована в ZFC, а Френкель предложил эквивалентное решение. ^[50] Однако Цермело отверг оба подхода, «особенно потому, что они неявно включают концепцию натурального числа, которая, по мнению Цермело, должна быть основана на теории множеств». ^[s] Фон Нейман избегал схем аксиом , формализуя понятие «определенной пропозициональной функции» с помощью своих функций, для построения которых требуется только конечное число аксиом. Это привело к тому, что его теория множеств имела конечное число аксиом. ^[51] В 1961 году Ричард Монтегю доказал, что ZFC не может быть конечно аксиоматизирован. ^[52]
• Аксиома регулярности
  • Проблема: теория множеств Цермело начинается с пустого множества и бесконечного множества и повторяет аксиомы спаривания, объединения, степенного множества, разделения и выбора для создания новых множеств. Однако это не ограничивает наборы только ими. Например, он допускает наборы, которые не являются обоснованными , например набор x , удовлетворяющий x  ∈  x . ^[т]
  • Решения: Френкель ввел аксиому, исключающую эти множества. Фон Нейман проанализировал аксиому Френкеля и заявил, что она не была «точно сформулирована», но приблизительно говорила бы: «Помимо множеств... существование которых абсолютно требуется аксиомами, других множеств не существует». ^[54] Фон Нейман предложил аксиому регулярности как способ исключения необоснованных множеств, но не включил ее в свою систему аксиом. В 1930 году Цермело первым опубликовал систему аксиом, включающую регулярность. ^[ты]

Система аксиом фон Неймана 1929 года

Джон фон Нейман

В 1929 году фон Нейман опубликовал статью, содержащую аксиомы, которые привели бы к NBG.Эта статья была мотивирована его беспокойством по поводу непротиворечивости аксиомы ограничения размера. Он заявил, что эта аксиома «делает очень многое, даже слишком многое». Помимо применения аксиом разделения и замены и теоремы о хорошем порядке , из этого также следует, что любой класс, мощность которого меньше мощности V , является множеством. Фон Нейман подумал, что этот последний вывод выходит за рамки канторианской теории множеств, и пришел к выводу: «Поэтому мы должны обсудить, не является ли ее [аксиома] последовательность даже более проблематичной, чем аксиоматизация теории множеств, которая не выходит за рамки необходимой канторианской структуры». ^[57]

Фон Нейман начал свое исследование непротиворечивости с введения своей системы аксиом 1929 года, которая содержит все аксиомы его системы аксиом 1925 года, за исключением аксиомы ограничения размера. Он заменил эту аксиому двумя ее следствиями: аксиомой замены и аксиомой выбора. Аксиома выбора фон Неймана гласит: «Каждое отношение R имеет подкласс, который является функцией с той же областью определения, что и R ». ^[58]

Пусть S — система аксиом фон Неймана 1929 года. Фон Нейман ввел систему аксиом S + Регулярность (которая состоит из S и аксиомы регулярности), чтобы продемонстрировать, что его система 1925 года непротиворечива относительно S . Он доказал:

1. Если S непротиворечиво, то S + Регулярность непротиворечиво.
2. S +Регулярность подразумевает аксиому ограничения размера. Поскольку это единственная аксиома его системы аксиом 1925 года, которой нет в S + Регулярность, S + Регулярность подразумевает все аксиомы его системы 1925 года.

Эти результаты подразумевают: если S непротиворечиво, то система аксиом фон Неймана 1925 года непротиворечива. Доказательство: если S непротиворечиво, то S + Regularity непротиворечиво (результат 1). Используя доказательство от противного , предположим, что система аксиом 1925 года противоречива, или, что то же самое: система аксиом 1925 года подразумевает противоречие. Поскольку из S + Регулярность следует аксиома системы 1925 года (результат 2), из S + Регулярность также следует противоречие. Однако это противоречит непротиворечивости S + Регулярности. Следовательно, если S непротиворечиво, то система аксиом фон Неймана 1925 года непротиворечива.

Поскольку S — это его система аксиом 1929 года, система аксиом фон Неймана 1925 года непротиворечива по отношению к его системе аксиом 1929 года, которая ближе к канторианской теории множеств. Основными различиями между канторианской теорией множеств и системой аксиом 1929 года являются классы и аксиома выбора фон Неймана. Система аксиом S + Regularity была модифицирована Бернейсом и Гёделем для создания эквивалентной системы аксиом NBG.

Система аксиом Бернейса

Пол Бернейс

В 1929 году Пауль Бернейс начал модифицировать новую систему аксиом фон Неймана, взяв классы и множества в качестве примитивов. Он опубликовал свою работу в серии статей, вышедших с 1937 по 1954 год. ^[59] Бернейс заявил, что:

Цель модификации системы фон Неймана — оставаться ближе к структуре исходной системы Цермело и в то же время использовать некоторые теоретико-множественные концепции логики Шредера и Principia Mathematica , которые стали знакомы логикам. Как будет видно, такое расположение приводит к значительному упрощению. ^[60]

Бернейс обрабатывал множества и классы с помощью двухсортовой логики и ввел два примитива членства: один для членства в множествах, а другой для членства в классах. С помощью этих примитивов он переписал и упростил аксиомы фон Неймана 1929 года. Бернейс также включил аксиому регулярности в свою систему аксиом. ^[61]

Система аксиом Гёделя (NBG)

Курт Гёдель, ок. 1926 год    

В 1931 году Бернейс отправил письмо, содержащее свою теорию множеств, Курту Гёделю . ^[36] Гёдель упростил теорию Бернейса, сделав каждое множество классом, что позволило ему использовать только один вид и один примитив членства. Он также ослабил некоторые аксиомы Бернейса и заменил аксиому выбора фон Неймана эквивалентной аксиомой глобального выбора. ^{[62] [v]} Гёдель использовал свои аксиомы в своей монографии 1940 года об относительной непротиворечивости глобального выбора и гипотезе обобщенного континуума. ^[63]

Было указано несколько причин, по которым Гёдель выбрал NBG для своей монографии: ^[w]

• Гёдель привел математическое обоснование: глобальный выбор NBG дает более сильную теорему о непротиворечивости: «Эта более сильная форма аксиомы [выбора], если она согласуется с другими аксиомами, подразумевает, конечно, что более слабая форма также непротиворечива». ^[5]
• Роберт Соловей предположил: «Я предполагаю, что он [Гёдель] хотел избежать обсуждения технических деталей, связанных с разработкой зачатков теории моделей в рамках аксиоматической теории множеств». ^{[67] [х]}
• Кеннет Кунен объяснил, почему Гёдель избегает этой дискуссии: «Существует также гораздо более комбинаторный подход к L [ конструируемой вселенной ], разработанный… [Гёделем в его монографии 1940 года] в попытке объяснить свою работу не- логики... Достоинством этого подхода является удаление всех остатков логики из трактовки L ». ^[68]
• Чарльз Парсонс обосновал философское обоснование выбора Гёделя: «Эта точка зрения [что «свойство множества» является примитивом теории множеств] может быть отражено в выборе Гёделем теории с переменными класса в качестве основы для… [его монографии] ." ^[69]

Достижения Гёделя вместе с деталями его презентации привели к известности, которой NBG будет пользоваться в течение следующих двух десятилетий. ^[70] В 1963 году Пол Коэн доказал свои доказательства независимости для ZF с помощью некоторых инструментов, которые Гёдель разработал для своих доказательств относительной непротиворечивости для NBG. ^[71] Позже ZFC стал популярнее NBG. Это было вызвано несколькими факторами, включая дополнительную работу, необходимую для обработки форсирования в NBG, ^[72] представление Коэна о форсировании в 1966 году, в котором использовался ZF, ^{[73] [y]} и доказательство того, что NBG является консервативным расширением ZFC. ^[з]

НБГ, ZFC и МК

NBG логически не эквивалентен ZFC, поскольку его язык более выразителен: он может делать утверждения о классах, которые невозможно сделать в ZFC. Однако NBG и ZFC подразумевают одни и те же утверждения о множествах. Таким образом, NBG является консервативным расширением ZFC. NBG подразумевает теоремы, которые не подразумевает ZFC, но поскольку NBG является консервативным расширением, эти теоремы должны включать соответствующие классы. Например, теорема NBG гласит, что глобальная аксиома выбора подразумевает, что собственный класс V может быть хорошо упорядочен и что каждый правильный класс может быть поставлен во взаимно однозначное соответствие с V . ^[аа]

Одним из последствий консервативного расширения является то, что ZFC и NBG эквисогласованы . Для доказательства этого используется принцип взрыва : из противоречия все доказуемо. Предположим, что ZFC или NBG несовместимы. Тогда из противоречивой теории вытекают противоречивые утверждения ∅ = ∅ и ∅ ≠ ∅, которые являются утверждениями о множествах. В силу свойства консервативного расширения другая теория также подразумевает эти утверждения. Следовательно, это также противоречиво. Таким образом, хотя NBG более выразителен, он в равной степени соответствует ZFC. Этот результат вместе с доказательством относительной непротиворечивости фон Неймана 1929 года подразумевает, что его система аксиом 1925 года с аксиомой ограничения размера эквисовместима с ZFC. Это полностью снимает беспокойство фон Неймана по поводу относительной непротиворечивости этой мощной аксиомы, поскольку ZFC находится в рамках канторианской структуры.

Несмотря на то, что NBG является консервативным расширением ZFC, теорема может иметь более короткое и элегантное доказательство в NBG, чем в ZFC (или наоборот). Обзор известных результатов такого рода см. в Pudlák 1998.

Теория множеств Морса – Келли имеет схему аксиом понимания классов, которая включает формулы, кванторы которых варьируются по классам. МК является более сильной теорией, чем НБГ, поскольку МК доказывает непротиворечивость НБГ, ^[76], в то время как вторая теорема Гёделя о неполноте подразумевает, что НБГ не может доказать непротиворечивость НБГ.

Обсуждение некоторых онтологических и других философских проблем, поставленных NBG, особенно в сравнении с ZFC и MK, см. в Приложении C к Potter 2004.

Модели

ZFC, NBG и MK имеют модели , описываемые в терминах кумулятивной иерархии V _α  и конструктивной иерархии L _α  . Пусть V включает недоступный кардинал κ, пусть X ⊆ V _κ и пусть Def( X ) обозначает класс определимых подмножеств X первого порядка с параметрами. В символах, где " " обозначает модель с областью применения и отношением , а " " обозначает отношение удовлетворения : ${\displaystyle (X,\in )}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle \models }$

$${\displaystyle \operatorname {Def} (X):={\Bigl \{}\{x\mid x\in X{\text{ and }}(X,\in )\models \phi (x,y_{1},\ldots ,y_{n})\}:\phi {\text{ is a first-order formula and }}y_{1},\ldots ,y_{n}\in X{\Bigr \}}.}$$

Затем:

• ( V _κ , ∈) и ( L _κ , ∈) являются моделями ZFC . ^[77]
• ( V _κ ,  V _κ+1 , ∈) — модель МК, где V _κ состоит из множеств модели, а V _κ+1 состоит из классов модели. ^[78] Поскольку модель МК является моделью НБГ, эта модель также является моделью НБГ.
• ( V _κ , Def( V _κ ), ∈) — это модель версии NBG Мендельсона, которая заменяет аксиому глобального выбора NBG аксиомой выбора ZFC. ^[79] Аксиомы ZFC верны в этой модели, потому что ( V _κ , ∈) является моделью ZFC. В частности, аксиома выбора ZFC верна, но глобальный выбор NBG может потерпеть неудачу. ^[ab] Аксиомы существования классов NBG верны в этой модели, поскольку классы, существование которых они утверждают, могут быть определены определениями первого порядка. Например, аксиома членства справедлива, поскольку класс определяется следующим образом: ${\displaystyle E}$
  $${\displaystyle E=\{x\in V_{\kappa }:(V_{\kappa },\in )\models \exists u\ \exists v[x=(u,v)\land u\in v]\}.}$$
• ( L _κ , L _{κ ⁺} , ∈), где κ ⁺ — кардинал-преемник κ, является моделью NBG. ^[ac] Аксиомы существования класса NBG верны в ( L _κ ,  L _{κ ⁺} , ∈). Например, аксиома членства справедлива, поскольку класс определяется следующим образом: ${\displaystyle E}$
  $${\displaystyle E=\{x\in L_{\kappa }:(L_{\kappa },\in )\models \exists u\ \exists v[x=(u,v)\land u\in v]\}.}$$
  Итак, E  ∈ 𝒫( L _κ ). В своем доказательстве истинности GCH в L Гёдель доказал, что 𝒫( L _κ ) ⊆  L _{κ ⁺} . ^[81] Следовательно, E  ∈  L _{κ ⁺} , поэтому аксиома принадлежности верна в ( L _κ ,  L _{κ ⁺} , ∈). Точно так же верны и другие аксиомы существования классов. Аксиома глобального выбора верна, потому что L _κ хорошо упорядочена за счет ограничения функции Гёделя (которая отображает класс ординалов в конструктивные множества) на ординалы, меньшие κ. Следовательно, ( L _κ ,  L _{κ ⁺} , ∈) является моделью НБГ.

Теория категорий

Онтология NBG обеспечивает основу для разговора о «больших объектах», не рискуя парадоксом. Например, в некоторых разработках теории категорий « большая категория » определяется как категория, объекты и морфизмы которой составляют собственный класс. С другой стороны, «малая категория» — это категория, объекты и морфизмы которой являются членами множества. Таким образом, мы можем говорить о « категории всех множеств » или « категории всех малых категорий », не рискуя парадоксом, поскольку NBG поддерживает большие категории.

Однако NBG не поддерживает «категорию всех категорий», поскольку ее членами будут большие категории, а NBG не позволяет соответствующим классам быть членами чего-либо. Онтологическим расширением, позволяющим формально говорить о такой «категории», является конгломерат , представляющий собой совокупность классов. Тогда «категория всех категорий» определяется ее объектами: конгломератом всех категорий; и его морфизмы: конгломерат всех морфизмов от A до B , где A и B — объекты. ^[82] О том, адекватна ли онтология, включающая как классы, так и множества, для теории категорий, см. Muller 2001.

Примечания

1. Аксиома глобального выбора объясняет, почему он доказуемо сильнее.
2. Историческое развитие показывает, что двойной подход на первый взгляд действительно кажется более естественным. Представляя свою теорию, Бернейс заявил: «Согласно ведущей идее теории множеств фон Неймана, нам приходится иметь дело с двумя типами индивидов, которые мы можем различать как множества и классы ». ^[11]
3. Определение Гёделя . ^[15] Это влияет на формулировки некоторых его определений, аксиом и теорем. В этой статье используется определение Мендельсона. ^[16] ${\displaystyle (x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})=(x_{1},(x_{2},\ldots ,x_{n}))}$ 
4. Аксиомы существования классов Бернейса определяют уникальные классы. Гёдель ослабил все аксиомы Бернейса, кроме трех (пересечение, дополнение, область определения), заменив биусловия импликациями , что означает, что они определяют только упорядоченные пары или тройки класса. Аксиомы в этом разделе принадлежат Гёделю, за исключением более сильного произведения Бернейса на аксиому V, которая определяет уникальный класс упорядоченных пар. Аксиома Бернейса упрощает доказательство теоремы существования класса. Аксиома Гёделя B6 появляется как четвертое утверждение леммы о кортеже. Позже Бернейс понял, что одна из его аксиом избыточна, а это означает, что одна из аксиом Гёделя избыточна. Используя другие аксиомы, аксиому B6 можно доказать на основе аксиомы B8, а B8 можно доказать на основе B6, поэтому любую аксиому можно считать избыточной аксиомой. ^[17] Названия аксиом обработки кортежей взяты из статьи во французской Википедии: Теория ансамблей фон Неймана.
5. Эта статья использует обозначение дополнения Бурбаки и обозначение относительного дополнения . ^[22] Это префиксное обозначение относительного дополнения используется в теореме существования класса для отражения префикса логическое не ( ). ${\displaystyle \complement A}$ ${\displaystyle \complement _{X}A=\complement A\cap X}$ ${\displaystyle \neg }$
6. Поскольку Гёдель формулирует эту аксиому до того, как докажет существование пустого класса, он формулирует ее без использования пустого класса. ^[5]
7. Доказательства в этом и следующем разделах основаны на доказательствах Гёделя, которые он дал в Институте перспективных исследований, где он «мог рассчитывать на аудиторию, хорошо разбирающуюся в математической логике ». ^[28] Чтобы сделать доказательства Гёделя более доступными для читателей Википедии, в них было внесено несколько изменений. Цель этого и следующего разделов — доказать М4 Гёделя, его теорему существования четвертого класса. Доказательство в этом разделе в основном следует доказательству M1, ^[29] , но оно также использует методы доказательств M3 и M4. Теорема формулируется с использованием переменных класса, а не символов M1 для специальных классов (универсальная квантификация переменных класса эквивалентна истинности для любого экземпляра переменных класса). Основные отличия от доказательства M1 заключаются в том, что уникальные классы кортежей генерируются в конце базисных и индуктивных шагов (которые требуют более сильного произведения Бернейса по аксиоме), а связанные переменные заменяются переменными с индексами, которые продолжают нумерацию свободные заданные переменные. Поскольку связанные переменные для части индукции свободны, это гарантирует, что, когда они свободны, с ними обращаются так же, как с исходными свободными переменными. Одним из преимуществ этого доказательства является пример вывода функции Class, который показывает, что конструкция класса отражает конструкцию его определяющей формулы. ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle V}$
8. В этом доказательстве не учтена одна деталь. Используется соглашение Гёделя, поэтому оно определяется как Поскольку эта формула дает количественную оценку классов, ее необходимо заменить эквивалентом. Тогда три формулы в доказательстве, имеющие форму, становятся , которые дают действительное доказательство. ${\displaystyle \exists x\,\phi (x)}$ ${\displaystyle \exists x[\exists C(x\in C)\land \phi (x)].}$ ${\displaystyle \exists x[x\in V\land \phi (x)].}$ ${\displaystyle \exists x_{n+1}[x_{n+1}\land \dots ]}$ ${\displaystyle \exists x_{n+1}[x_{n+1}\in V\land \dots ],}$
9. Рекурсивные компьютерные программы, написанные на псевдокоде, использовались и в других областях чистой математики . Например, они использовались для доказательства теоремы Гейне-Бореля и других теорем анализа . ^[31]
10. Эта теорема представляет собой теорему Гёделя M4. Он доказал это, сначала доказав M1, теорему о существовании классов, в которой используются символы специальных классов, а не переменных свободных классов. M1 создает класс, содержащий все кортежи, удовлетворяющие , но который может содержать элементы, не являющиеся кортежами . Теорема M2 распространяет эту теорему на формулы, содержащие отношения, специальные классы и операции. Теорема М3 получается из М2 заменой символов специальных классов свободными переменными. Гёдель использовал M3 для определения ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle n}$
    $${\displaystyle A\times B=\{x:\exists y\exists z[x=(y,z)\land y\in A\land z\in B]\},}$$
    который уникален по своей экстенсиональности. Он использовал для определения теоремы M4, полученной из M3 путем пересечения класса, созданного M3, с получением уникального класса -кортежей , удовлетворяющих данной формуле. Подход Гёделя, особенно использование им M3 для определения , устраняет необходимость в более сильной форме произведения по аксиоме, предложенной Бернейсом. ^[33] ${\displaystyle A\times B}$ ${\displaystyle V^{n}.}$ ${\displaystyle V^{n}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle A\times B}$ ${\displaystyle V}$
11. Гёдель ослабил аксиомы Бернейса об объединении и наборе степеней, которые утверждают существование этих множеств, до вышеупомянутых аксиом, которые утверждают, что существует набор, содержащий объединение, и набор, содержащий набор степеней. ^[35] Бернейс опубликовал свои аксиомы после Гёделя, но отправил их Гёделю в 1931 году. ^[36]
12. Поскольку аксиома ZFC требует существования пустого множества, преимущество аксиомы NBG заключается в том, что аксиома пустого множества не требуется. Система аксиом Мендельсона использует аксиому бесконечности ZFC, а также имеет аксиому пустого множества. ^[37]
13. Чтобы узнать о наличии хорошего порядка, подразумевающего глобальный выбор, см. Следствия аксиомы ограничения размера . О глобальном выборе, подразумевающем упорядоченность любого класса, см. Kanamori 2009, p. 53. ${\displaystyle V}$
14. В 1917 году Дмитрий Мириманов опубликовал форму замены, основанную на кардинальной эквивалентности. ^[41]
15. В 1928 году фон Нейман заявил: «Трактура порядкового числа, тесно связанная с моей, была известна Цермело в 1916 году, как я узнал впоследствии из личного общения. Тем не менее, фундаментальная теорема, согласно которой каждому хорошо упорядоченному множеству существует аналогичный порядковый номер, который не мог быть строго доказан, поскольку аксиома замены была неизвестна». ^[43]
16. фон Нейман 1923. В определении фон Неймана также использовалась теория вполне упорядоченных множеств. Позже его определение было упрощено до нынешнего: Порядковый номер — это транзитивное множество , которое хорошо упорядочено по элементу ∈. ^[44]
17. После введения кумулятивной иерархии фон Нейман смог показать, что аксиомы Цермело не доказывают существование ординалов α ≥ ω + ω, которые включают в себя несчетное множество наследственно счетных множеств . Это следует из результата Скулема о том, что V _ω+ω удовлетворяет аксиомам Цермело ^[46] , и из α ∈ V _β , откуда следует α < β. ^[47]
18. Фон Нейман сформулировал свою аксиому в эквивалентной функциональной форме. ^[49]
19. Подход Скулема неявно включает натуральные числа, поскольку формулы схемы аксиом строятся с использованием структурной рекурсии , которая является обобщением математической рекурсии на натуральные числа.
20. Мириманов определил обоснованные множества в 1917 году. ^[53]
21. Акихиро Канамори отмечает, что Бернейс читал лекции по своей системе аксиом в 1929-1930 годах, и заявляет, что «… он и Цермело, должно быть, пришли к идее включения Основания [регулярности] почти одновременно». ^[55] Однако Бернейс не публиковал часть своей системы аксиом, содержащую регулярность, до 1941 года. ^[56]
22. Доказательство того, что аксиома фон Неймана подразумевает глобальный выбор: пусть из аксиомы фон Неймана следует, что существует такая функция, что Функция является функцией глобального выбора, поскольку для всех непустых множеств Доказательство того, что глобальный выбор подразумевает аксиому фон Неймана: Пусть - глобальная функция выбора, и пусть это будет отношение. Ибо пусть где - множество всех множеств, имеющих ранг меньше, чем Пусть Тогда - функция, удовлетворяющая аксиоме фон Неймана, поскольку и ${\displaystyle R=\{(x,y):x\neq \emptyset \land y\in x\}.}$ ${\displaystyle G\subseteq R}$ ${\displaystyle Dom(G)=Dom(R).}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle x,}$ ${\displaystyle G(x)\in x.}$
    ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle x\in Dom(R),}$ ${\displaystyle \alpha (x)={\text{least}}\,\{\alpha :\exists y[(x,y)\in R\cap V_{\alpha }]\}}$ ${\displaystyle V_{\alpha }}$ ${\displaystyle \alpha .}$ ${\displaystyle z_{x}=\{y:(x,y)\in R\cap V_{\alpha (x)}\}.}$ ${\displaystyle F=\{(x,G(z_{x})):x\in Dom(R)\}}$ ${\displaystyle F\subseteq R}$ ${\displaystyle Dom(F)=Dom(R).}$
23. Гёдель использовал аксиомы фон Неймана 1929 года в своем объявлении в 1938 году о своей теореме относительной непротиворечивости и заявил: «Соответствующая теорема справедлива, если T обозначает систему Principia mathematica ». ^[64] Его набросок доказательства, сделанный в 1939 году, относится к теории множеств Цермело и ZF. ^[65] Доказательство теоремы в множественных формальных системах не было чем-то необычным для Гёделя. Например, он доказал свою теорему о неполноте для системы Principia mathematica , но указал, что она «справедлива для широкого класса формальных систем…». ^[66]
24. Доказательство непротиворечивости Гёделя строит конструктивную вселенную . Чтобы построить это в ZF, требуется некоторая теория моделей. Гёдель построил его в NBG без теории моделей. О конструкции Гёделя см. Gödel 1940, стр. 35–46 или Cohen 1966, стр. 99–103.
25. Коэн также дал подробное доказательство теорем относительной непротиворечивости Гёделя с использованием ZF. ^[74]
26. В 1960-х годах эта консервативная теорема о продолжении была независимо доказана Полом Коэном, Солом Крипке и Робертом Соловеем. В своей книге 1966 года Коэн упомянул эту теорему и заявил, что ее доказательство требует принуждения. Это также было независимо доказано Рональдом Йенсеном и Ульрихом Фельгнером, опубликовавшими свое доказательство в 1971 году. ^[75]
27. Оба вывода следуют из заключения о том, что каждый собственный класс можно привести во взаимно однозначное соответствие с классом всех ординалов. Доказательство этого изложено в Kanamori 2009, с. 53.
28. Истон построил модель версии NBG Мендельсона, в которой аксиома выбора ZFC справедлива, но глобальный выбор терпит неудачу.
29. В кумулятивной иерархии V _κ подмножества V _κ находятся в V _κ+1 . Конструируемая иерархия L _κ создает подмножества медленнее, поэтому подмножества L _κ находятся в L _{κ ⁺} , а не в L _κ+1 . ^[80]

Рекомендации

1. фон Нейман 1925, стр. 221–224, 226, 229; Английский перевод: ван Хейеноорт 2002b, стр. 396–398, 400, 403.
2. Bernays 1937, стр. 66–67.
3. Гёдель 1940, с. ^{[ нужна страница ]} .
4. Гёдель 1940, стр. 3–7.
5. Gödel 1940, с. 6.
6. Гёдель 1940, с. 25.
7. Гёдель 1940, стр. 35–38.
8. «Аксиомы Неймана-Бернейса-Гёделя». Британская энциклопедия . Проверено 17 января 2019 г.
9. Гёдель 1940, с. 3.
10. Мендельсон 1997, стр. 225–226.
11. Бернейс 1937, с. 66.
12. Мендельсон 1997, с. 226.
13. Аксиома Гёделя A3 (Гёдель 1940, стр. 3).
14. Аксиома Гёделя A4 (Гёдель 1940, стр. 3).
15. Гёдель 1940, с. 4).
16. Мендельсон 1997, с. 230.
17. Канамори 2009, с. 56; Бернейс 1937, с. 69; Гёдель 1940, стр. 5, 9; Мендельсон 1997, с. 231.
18. Аксиома Гёделя B1 (Гёдель 1940, стр. 5).
19. Аксиома Гёделя B2 (Гёдель 1940, стр. 5).
20. Аксиома Гёделя B3 (Гёдель 1940, стр. 5).
21. Аксиома Гёделя B4 (Гёдель 1940, стр. 5).
22. Бурбаки 2004, с. 71.
23. Аксиома Бернейса b (3) (Бернейс 1937, стр. 5).
24. Аксиома Гёделя B7 (Гёдель 1940, стр. 5).
25. Аксиома Гёделя B8 (Гёдель 1940, стр. 5).
26. Гёдель 1940, с. 6; Канамори 2012, с. 70.
27. Канамори 2009, с. 57; Гёдель 2003, с. 121. Обе ссылки содержат доказательство Гёделя, но доказательство Канамори легче понять, поскольку он использует современную терминологию.
28. Доусон 1997, с. 134.
29. Гёдель 1940, стр. 8–11.
30. Гёдель 1940, с. 11.
31. Грей 1991.
32. Гёдель 1940, стр. 11–13.
33. Гёдель 1940, стр. 8–15.
34. Гёдель 1940, стр. 16–18.
35. Бернейс 1941, с. 2; Гёдель 1940, с. 5).
36. Канамори 2009, с. 48; Гёдель 2003, стр. 104–115.
37. Мендельсон 1997, стр. 228, 239.
38. Истон 1964, стр. 56a–64.
39. фон Нейман 1925, фон Нейман 1928.
40. Феррейрос 2007, с. 369.
41. Мириманов 1917, с. 49.
42. Канамори 2012, с. 62.
43. Халлетт 1984, с. 280.
44. Кунен 1980, с. 16.
45. фон Нейман 1925, с. 223 (сноска); Английский перевод: ван Хейеноорт 2002b, с. 398 (сноска).
46. Канамори 2012, с. 61
47. Кунен 1980, стр. 95–96. Использует обозначение R(β) вместо V _β .
48. Халлетт 1984, стр. 288–290.
49. фон Нейман 1925, с. 225; Английский перевод: ван Хейеноорт 2002b, с. 400.
50. Френкель, Историческое введение в Бернейсе, 1991, стр. 13.
51. фон Нейман 1925, стр. 224–226; Английский перевод: ван Хейеноорт 2002b, стр. 399–401.
52. Монтегю 1961.
53. Мириманов 1917, с. 41.
54. фон Нейман 1925, стр. 230–232; Английский перевод: ван Хейеноорт 2002b, стр. 404–405.
55. Канамори 2009, стр. 53–54.
56. Бернейс 1941, с. 6.
57. фон Нейман 1929, с. 229; Феррейрос 2007, стр. 379–380.
58. Канамори 2009, стр. 49, 53.
59. Канамори 2009, стр. 48, 58. Статьи Бернейса перепечатаны в Müller 1976, стр. 1–117.
60. Бернейс 1937, с. 65.
61. Канамори 2009, стр. 48–54.
62. Канамори 2009, с. 56.
63. Канамори 2009, стр. 56–58; Гёдель 1940, с. ^{[ нужна страница ]} .
64. Гёдель 1990, с. 26.
65. Гёдель 1990, стр. 28–32.
66. Гёдель 1986, с. 145.
67. Соловей 1990, с. 13.
68. Кунен 1980, с. 176.
69. Гёдель 1990, с. 108, сноска i. В абзаце, содержащем эту сноску, обсуждается, почему Гёдель считал «свойство множества» примитивом теории множеств и как оно вписывается в его онтологию . «Свойство набора» соответствует примитиву «класс» в NBG.
70. Канамори 2009, с. 57.
71. Коэн 1963.
72. Канамори 2009, с. 65: «Форсирование само по себе значительно понизило статус любой формальной теории классов из-за дополнительных препятствий, связанных с необходимостью специфицировать классы родовых расширений».
73. Коэн 1966, стр. 107–147.
74. Коэн 1966, стр. 85–99.
75. Феррейрос 2007, стр. 381–382; Коэн 1966, с. 77; Фельгнер 1971.
76. Мостовский 1950, с. 113, сноска 11. В сноске упоминается теория множеств NQ Ванга , которая позже превратилась в МК.
77. Канамори 2009b, стр. 18, 29.
78. Чуаки 1981, с. 313 доказывает, что ( V _κ ,  V _κ+1 , ∈) является моделью MKTR + AxC. МКТ — это аксиомы Тарского для МК без выбора и замены. MKTR + AxC — это MKT с заменой и выбором (Chuaqui 1981, стр. 4, 125), что эквивалентно MK.
79. Мендельсон 1997, с. 275.
80. Гёдель 1940, с. 54; Соловей 1990, стр. 9–11.
81. Гёдель 1940, с. 54.
82. Адамек, Херрлих и Стрекер 2004, стр. 15–16, 40.

Библиография

• Адамек, Иржи; Херрлих, Хорст; Стрекер, Джордж Э. (1990), Абстрактные и конкретные категории (Радость кошек) (1-е изд.), Нью-Йорк: Wiley & Sons, ISBN 978-0-471-60922-3.
  • Адамек, Иржи; Херрлих, Хорст; Стрекер, Джордж Э. (2004) [1990], Абстрактные и конкретные категории (Радость кошек) (изд. Дувра), Нью-Йорк: Dover Publications, ISBN 978-0-486-46934-8.
• Бернейс, Пол (1937), «Система аксиоматической теории множеств — Часть I», Журнал символической логики , 2 (1): 65–77, doi : 10.2307/2268862, JSTOR  2268862.
• Бернейс, Пол (1941), «Система аксиоматической теории множеств — Часть II», Журнал символической логики , 6 (1): 1–17, doi : 10.2307/2267281, JSTOR  2267281, S2CID  250344277.
• Бернейс, Пол (1991), Аксиоматическая теория множеств (2-е исправленное издание), Dover Publications, ISBN 978-0-486-66637-2.
• Бурбаки, Николя (2004), Элементы математики: теория множеств, Springer, ISBN 978-3-540-22525-6.
• Чуаки, Роландо (1981), Аксиоматическая теория множеств: импредикативные теории классов , Северная Голландия, ISBN 0-444-86178-5.
• Коэн, Пол (1963), «Независимость гипотезы континуума», Труды Национальной академии наук Соединенных Штатов Америки , 50 (6): 1143–1148, Бибкод : 1963PNAS...50.1143C, doi : 10.1073/pnas.50.6.1143 , PMC  221287 , PMID  16578557.
• Коэн, Пол (1966), Теория множеств и гипотеза континуума , В. А. Бенджамин.
  • Коэн, Пол (2008), Теория множеств и гипотеза континуума, Dover Publications, ISBN 978-0-486-46921-8.
• Доусон, Джон В. (1997), Логические дилеммы: жизнь и творчество Курта Гёделя , Уэлсли, Массачусетс: AK Peters.
• Истон, Уильям Б. (1964), Полномочия обычных кардиналов (докторская диссертация), Принстонский университет.
• Фельгнер, Ульрих (1971), «Сравнение аксиом локального и универсального выбора» (PDF) , Fundamenta Mathematicae , 71 : 43–62, doi : 10.4064/fm-71-1-43-62.
• Феррейрос, Хосе (2007), Лабиринт мысли: история теории множеств и ее роль в математической мысли (2-е исправленное издание), Базель, Швейцария: Birkhäuser, ISBN 978-3-7643-8349-7.
• Гёдель, Курт (1940), Согласованность аксиомы выбора и обобщенной гипотезы континуума с аксиомами теории множеств (пересмотренная редакция), Princeton University Press, ISBN 978-0-691-07927-1.
  • Гёдель, Курт (2008), Согласованность аксиомы выбора и обобщенной гипотезы континуума с аксиомами теории множеств , с предисловием Лейвера, Ричарда (изд. в мягкой обложке), Ishi Press, ISBN 978-0-923891-53-4.
• Гёдель, Курт (1986), Собрание сочинений, Том 1: Публикации 1929–1936 , Oxford University Press, ISBN 978-0-19-514720-9.
• Гёдель, Курт (1990), Собрание сочинений, Том 2: Публикации 1938–1974 , Oxford University Press, ISBN 978-0-19-514721-6.
• Гёдель, Курт (2003), Собрание сочинений, Том 4: Переписка A – G , Oxford University Press, ISBN 978-0-19-850073-5.
• Грей, Роберт (1991), «Компьютерные программы и математические доказательства», The Mathematical Intelligencer , 13 (4): 45–48, doi : 10.1007/BF03028342, S2CID  121229549.
• Халлетт, Майкл (1984), Канторианская теория множеств и ограничение размера (изд. в твердом переплете), Оксфорд: Clarendon Press, ISBN 978-0-19-853179-1.
  • Халлетт, Майкл (1986), Канторианская теория множеств и ограничение размера (изд. в мягкой обложке), Оксфорд: Clarendon Press, ISBN 978-0-19-853283-5.
• Канамори, Акихиро (2009b), Высшая бесконечность: большие кардиналы в теории множеств с самого начала , Springer, ISBN 978-3-540-88867-3.
• Канамори, Акихиро (2009), «Бернейс и теория множеств» (PDF) , Бюллетень символической логики , 15 (1): 43–69, doi : 10.2178/bsl/1231081769, JSTOR  25470304, S2CID  15567244.
• Канамори, Акихиро (2012), «Похвала замене» (PDF) , Бюллетень символической логики , 18 (1): 46–90, doi : 10.2178/bsl/1327328439, JSTOR  41472440, S2CID  18951854.
• Кунен, Кеннет (1980), Теория множеств: введение в доказательства независимости (изд. в твердом переплете), Северная Голландия, ISBN 978-0-444-86839-8.
  • Кунен, Кеннет (2012), Теория множеств: введение в доказательства независимости (изд. в мягкой обложке), Северная Голландия, ISBN 978-0-444-56402-3.
• Мендельсон, Эллиотт (1997), Введение в математическую логику (4-е изд.), Лондон: Чепмен и Холл / CRC, ISBN 978-0-412-80830-2. - Пп. 225–86 содержат классическую хрестоматийную трактовку NBG, показывающую, как она делает то, что мы ожидаем от теории множеств, путем обоснования отношений , теории порядка , порядковых чисел , трансфинитных чисел и т. д.
• Мириманов, Дмитрий (1917), «Антиномии Рассела и Бурали-Форти и фундаментальная проблема теории ансамблей», L'Enseignement Mathématique , 19 : 37–52.
• Монтегю, Ричард (1961), «Семантическое замыкание и неконечная аксиоматизируемость I», в Бассе, Сэмюэле Р. (редактор), Инфинитистские методы: материалы симпозиума по основам математики , Pergamon Press, стр. 45–69.
• Мостовский, Анджей (1950), «Некоторые непредикативные определения в аксиоматической теории множеств» (PDF) , Fundamenta Mathematicae , 37 : 111–124, doi : 10.4064/fm-37-1-111-124.
• Мюллер, Ф.А. (1 сентября 2001 г.), «Наборы, классы и категории» (PDF) , Британский журнал философии науки , 52 (3): 539–73, doi : 10.1093/bjps/52.3.539.
• Мюллер, Гурт, изд. (1976), Множества и классы: о работах Пола Бернейса , Исследования по логике и основам математики, том 84, Амстердам: Северная Голландия, ISBN 978-0-7204-2284-9.
• Поттер, Майкл (2004), Теория множеств и ее философия: критическое введение (изд. в твердом переплете), Oxford University Press, ISBN 978-0-19-926973-0.
  • Поттер, Майкл (2004p), Теория множеств и ее философия: критическое введение (изд. в мягкой обложке), Oxford University Press, ISBN 978-0-19-927041-5.
• Пудлак, Павел (1998), «Длина доказательств» (PDF) , в Буссе, Сэмюэл Р. (редактор), Справочник по теории доказательств , Elsevier, стр. 547–637, ISBN 978-0-444-89840-1.
• Смалльян, Раймонд М .; Фиттинг, Мелвин (2010) [Исправленное и исправленное издание: впервые опубликовано в 1996 году издательством Oxford University Press], Теория множеств и проблема континуума , Дувр, ISBN 978-0-486-47484-7.
• Соловей, Роберт М. (1990), «Вступительная записка к 1938 , 1939 , 1939a и 1940 годам », Собрание сочинений Курта Гёделя, том 2: публикации 1938–1974 годов , Oxford University Press, стр. 1–25, ISBN 978-0-19-514721-6.
• фон Нейман, Джон (1923), «Zur Einführung der transfiniten Zahlen», Acta Litt. акад. наук. Сегед X. , 1 : 199–208..
  • Английский перевод: ван Хейеноорт, Жан (2002a) [1967], «О введении трансфинитных чисел», От Фреге до Гёделя: Справочник по математической логике, 1879–1931 (четвертое издание), Harvard University Press, стр. 346–354, ISBN 978-0-674-32449-7.
  • Английский перевод: ван Хейеноорт, Жан (2002b) [1967], «Аксиоматизация теории множеств», От Фреге до Гёделя: Справочник по математической логике, 1879–1931 (четвертое издание), Harvard University Press, стр. 393–413, ISBN 978-0-674-32449-7.
• фон Нейман, Джон (1925), «Eine Axiomatisierung der Mengenlehre», Journal für die Reine und Angewandte Mathematik , 154 : 219–240.
• фон Нейман, Джон (1928), «Die Axiomatisierung der Mengenlehre», Mathematische Zeitschrift , 27 : 669–752, doi : 10.1007/bf01171122, S2CID  123492324.
• фон Нейман, Джон (1929), «Über eine Widerspruchsfreiheitsfrage in der axiomatischen Mengenlehre», Journal für die Reine und Angewandte Mathematik , 160 : 227–241.

Внешние ссылки

• «Теория множеств фон Неймана-Бернейса-Гёделя». ПланетаМатематика .
• Судзик, Мэтью. «Теория множеств фон Неймана-Бернейса-Гёделя». Математический мир .