Трансфинитное число

Число, большее всех конечных чисел

В математике трансфинитные числа или бесконечные числа — это числа, которые являются « бесконечными » в том смысле, что они больше, чем все конечные числа. К ним относятся трансфинитные кардиналы , которые представляют собой кардинальные числа, используемые для количественной оценки размера бесконечных множеств, и трансфинитные ординалы , которые представляют собой порядковые числа, используемые для упорядочивания бесконечных множеств. ^{[1] [2]} Термин «трансфинитный» был придуман в 1895 году Георгом Кантором , ^{[3] [4] [5] [6]} который хотел избежать некоторых последствий слова « бесконечный» в связи с этими объектами, а именно: тем не менее, не конечный . ^{[ нужна цитата ]} Лишь немногие современные писатели разделяют эти сомнения; В настоящее время принято называть трансфинитные кардиналы и порядковые числа бесконечными числами . Тем не менее, термин трансфинитный также продолжает использоваться.

Заметная работа по трансфинитным числам была проделана Вацлавом Серпинским : Leçons sur les nombres transfinis (книга 1928 года), значительно расширенная до кардинальных и порядковых чисел (1958, ^[7] 2-е изд. 1965 ^[8] ).

Определение

Любое конечное натуральное число можно использовать как минимум двумя способами: как порядковое и как кардинальное. Кардинальные числительные определяют размер наборов (например, мешок с пятью шариками), тогда как порядковые числительные определяют порядок членов в упорядоченном наборе ^[9] (например, « третий слева» или « двадцать седьмой»). Январский день»). При распространении на трансфинитные числа эти два понятия больше не находятся во взаимно однозначном соответствии . Трансфинитное кардинальное число используется для описания размера бесконечно большого множества, ^[2] тогда как трансфинитное порядковое число используется для описания местоположения внутри бесконечно большого упорядоченного множества. ^{[9] [ не удалось проверить ]} Наиболее заметными порядковыми и кардинальными числительными являются соответственно:

• ${\displaystyle \omega }$( Омега ): наименьшее трансфинитное порядковое число. Это также тип порядка натуральных чисел при их обычном линейном порядке.
• ${\displaystyle \aleph _{0}}$( Алеф-нуль ): первое трансфинитное кардинальное число. Это также мощность натуральных чисел. Если выбранная аксиома верна, следующим более высоким кардинальным числом является алеф-один . Если нет, то могут существовать другие кардиналы, несравнимые с алеф-один и превышающие алеф-нуль. В любом случае между алеф-нуль и алеф-один нет кардиналов. ${\displaystyle \aleph _{1}.}$

Гипотеза континуума — это утверждение о том, что нет промежуточных кардинальных чисел между и мощностью континуума (мощностью набора действительных чисел ): ^[2] или, что эквивалентно, это мощность набора действительных чисел. В теории множеств Цермело–Френкеля невозможно доказать ни гипотезу континуума, ни ее отрицание. ${\displaystyle \aleph _{0}}$ ${\displaystyle \aleph _{1}}$

Некоторые авторы, в том числе П. Суппес и Дж. Рубин, используют термин « трансфинитный кардинал» для обозначения мощности дедекиндово-бесконечного множества в контекстах, где это может не быть эквивалентно «бесконечному кардиналу»; то есть в контекстах, где аксиома счетного выбора не предполагается или не известно, что она выполняется. Учитывая это определение, все следующие выражения эквивалентны:

• ${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$является трансфинитным кардиналом. То есть существует бесконечное дедекиндово множество такое, что мощность равна ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle {\mathfrak {m}}.}$
• ${\displaystyle {\mathfrak {m}}+1={\mathfrak {m}}.}$
• ${\displaystyle \aleph _{0}\leq {\mathfrak {m}}.}$
• Существует такой кардинал, что ${\displaystyle {\mathfrak {n}}}$ ${\displaystyle \aleph _{0}+{\mathfrak {n}}={\mathfrak {m}}.}$

Хотя трансфинитные ординалы и кардиналы обобщают только натуральные числа, другие системы чисел, включая гипердействительные числа и сюрреалистические числа , обеспечивают обобщения действительных чисел . ^[10]

Примеры

В теории порядковых чисел Кантора каждое целое число должно иметь преемника. ^[11] Следующее целое число после всех обычных, то есть первое бесконечное целое, называется . В этом контексте больше, чем , и , и еще больше. Арифметические выражения, содержащие порядковый номер, могут рассматриваться как набор всех целых чисел до этого числа. Данное число обычно имеет несколько выражений, которые его представляют, однако существует уникальная нормальная форма Кантора , которая представляет его, ^[11] по существу конечная последовательность цифр, которые дают коэффициенты убывающих степеней . ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle \omega +1}$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle \omega \cdot 2}$ ${\displaystyle \omega ^{2}}$ ${\displaystyle \omega ^{\omega }}$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle \omega }$

Однако не все бесконечные целые числа могут быть представлены нормальной формой Кантора, и первая форма, которая не может быть представлена ​​пределом, называется . ^[11] является наименьшим решением для , а следующие решения дают еще большие порядковые номера, и за ними можно следовать до тех пор, пока не будет достигнут предел , который является первым решением для . Это означает, что для того, чтобы иметь возможность указывать все трансфинитные целые числа, нужно придумать бесконечную последовательность имен: потому что, если бы нужно было указать одно наибольшее целое число, тогда всегда можно было бы упомянуть его больший преемник. Но, как заметил Кантор, ^{[ нужна цитация ]} даже это позволяет достичь только низшего класса трансфинитных чисел: тех, размер множеств которых соответствует кардинальному числу . ${\displaystyle \omega ^{\omega ^{\omega ^{...}}}}$ ${\displaystyle \varepsilon _{0}}$ ${\displaystyle \varepsilon _{0}}$ ${\displaystyle \omega ^{\varepsilon }=\varepsilon }$ ${\displaystyle \varepsilon _{1},...,\varepsilon _{\omega },...,\varepsilon _{\varepsilon _{0}},...}$ ${\displaystyle \varepsilon _{\varepsilon _{\varepsilon _{...}}}}$ ${\displaystyle \varepsilon _{\alpha }=\alpha }$ ${\displaystyle \aleph _{0}}$

Смотрите также

• Фактическая бесконечность
• Число Алеф
• Число Бет
• Число Эпсилон
• бесконечно малый

Рекомендации

1. «Определение трансфинитного числа | Dictionary.com» . www.dictionary.com . Проверено 4 декабря 2019 г.
2. «Трансфинитные числа и теория множеств». www.math.utah.edu . Проверено 4 декабря 2019 г.
3. «Георг Кантор | Биография, вклады, книги и факты» . Британская энциклопедия . Проверено 4 декабря 2019 г.
4. Георг Кантор (ноябрь 1895 г.). «Beiträge zur Begründung der transfiniten Mengenlehre (1)». Математические Аннален . 46 (4): 481–512.
5. Георг Кантор (июль 1897 г.). «Beiträge zur Begründung der transfiniten Mengenlehre (2)». Математические Аннален . 49 (2): 207–246.
6. Георг Кантор (1915). Филип Э.Б. Журден (ред.). Вклад в создание теории трансфинитных чисел (PDF) . Нью-Йорк: Dover Publications, Inc.Английский перевод Кантора (1895, 1897).
7. Окстоби, Дж. К. (1959), «Обзор кардинальных и порядковых чисел (1-е изд.)», Бюллетень Американского математического общества , 65 (1): 21–23, doi : 10.1090/S0002-9904-1959-10264- 0 , МР  1565962
8. Гудштейн, Р.Л. (декабрь 1966 г.), «Обзор кардинальных и порядковых чисел (2-е изд.)», The Mathematical Gazette , 50 (374): 437, doi : 10.2307/3613997, JSTOR  3613997
9. Вайсштейн, Эрик В. (3 мая 2023 г.). "Порядковый номер". mathworld.wolfram.com .
10. Бейер, Вашингтон; Лук, JD (1997), «Итерация трансфинитной функции и сюрреалистические числа», Advance in Applied Mathematics , 18 (3): 333–350, doi : 10.1006/aama.1996.0513 , MR  1436485
11. Джон Хортон Конвей , (1976) О числах и играх . Академическое издательство, ISBN 0-12-186350-6. (См. главу 3.)

Библиография

• Леви, Азриэль, 2002 (1978) Теория базовых множеств . Дуврские публикации. ISBN 0-486-42079-5 
• О'Коннор, Дж. Дж. и Э. Ф. Робертсон (1998) «Георг Фердинанд Людвиг Филипп Кантор», Архив истории математики MacTutor .
• Рубин, Жан Э. , 1967. «Теория множеств для математика». Сан-Франциско: Холден-Дэй. Основан на теории множеств Морса-Келли .
• Руди Ракер , 2005 (1982) Бесконечность и разум . Принстонский университет. Нажимать. В первую очередь исследование философского значения канторовского рая. ISBN 978-0-691-00172-2 . 
• Патрик Суппес , 1972 (1960) «Аксиоматическая теория множеств». Дувр. ISBN 0-486-61630-4 . Основан на ZFC .