Число Алеф

Бесконечное кардинальное число

Алеф-ноль, алеф-ноль или алеф-нуль, наименьшее бесконечное кардинальное число.

В математике , особенно в теории множеств , числа алефа представляют собой последовательность чисел, используемую для представления мощности (или размера) бесконечных множеств , которые могут быть хорошо упорядочены . Они были введены математиком Георгом Кантором ^[1] и названы в честь символа, который он использовал для их обозначения, — еврейской буквы алеф ( ). ^{[2] [а]} ${\displaystyle \,\aleph \,}$

Мощность натуральных чисел равна (читай алеф-ноль или алеф-ноль ; иногда также используется термин алеф-ноль ), следующая большая мощность хорошо упорядоченного набора — это алеф-один, затем и так далее. Продолжая таким же образом, можно определить кардинальное число для каждого порядкового числа , как описано ниже. ${\displaystyle \,\aleph _{0}\,}$ ${\displaystyle \,\aleph _{1}\;,}$ ${\displaystyle \,\aleph _{2}\,}$ ${\displaystyle \,\aleph _{\alpha }\,}$ ${\displaystyle \,\alpha \;,}$

Понятие и обозначения принадлежат Георгу Кантору ^[5] , который определил понятие мощности и понял, что бесконечные множества могут иметь различную мощность .

Числа алеф отличаются от бесконечности ( ), обычно встречающейся в алгебре и исчислении, тем, что алефы измеряют размеры множеств, тогда как бесконечность обычно определяется либо как крайний предел прямой числовой линии (применяется к функции или последовательности , которая « расходится до бесконечности» или «безгранично возрастает») или как крайняя точка расширенной прямой вещественных чисел . ${\displaystyle \,\infty \,}$

Алеф-ноль

${\displaystyle \,\aleph _{0}\,}$(алеф-ноль, также алеф-ноль или алеф-ноль) — это мощность множества всех натуральных чисел и является бесконечным кардиналом . Множество всех конечных ординалов , называемое или (где находится строчная греческая буква омега ), имеет мощность . Множество имеет мощность тогда и только тогда, когда оно счетно бесконечно , то есть между ним и натуральными числами существует биекция ( взаимно однозначное соответствие). Примерами таких наборов являются ${\displaystyle \,\omega \,}$ ${\displaystyle \,\omega _{0}\,}$ ${\displaystyle \,\omega \,}$ ${\displaystyle \,\aleph _{0}\,}$ ${\displaystyle \,\aleph _{0}\,}$

• множество всех целых чисел ,
• любое бесконечное подмножество целых чисел, например набор всех квадратных чисел или набор всех простых чисел ,
• совокупность всех рациональных чисел ,
• множество всех конструктивных чисел (в геометрическом смысле),
• совокупность всех алгебраических чисел ,
• совокупность всех вычислимых чисел ,
• совокупность всех вычислимых функций ,
• набор всех двоичных строк конечной длины и
• множество всех конечных подмножеств любого данного счетно-бесконечного множества.

Эти бесконечные ординалы: и входят в число счетных бесконечных множеств. ^[6] Например, последовательность (с порядковым номером ) всех положительных нечетных целых чисел, за которыми следуют все положительные четные целые числа. ${\displaystyle \,\omega \;,}$ ${\displaystyle \,\omega +1\;,}$ ${\displaystyle \,\omega \,\cdot 2\,,\,}$ ${\displaystyle \,\omega ^{2}\,,}$ ${\displaystyle \,\omega ^{\omega }\,}$ ${\displaystyle \,\varepsilon _{0}\,}$ ${\displaystyle \,\omega \,\cdot 2\,}$

${\displaystyle \,\{\,1,3,5,7,9,...,2,4,6,8,10,...\,\}\,}$

— это упорядочение множества (мощности ) натуральных чисел. ${\displaystyle \aleph _{0}}$

Если выполняется аксиома счетного выбора (более слабая версия аксиомы выбора ), то оно меньше любого другого бесконечного кардинала. ${\displaystyle \,\aleph _{0}\,}$

Алеф-один

${\displaystyle \,\aleph _{1}\,}$— мощность множества всех счетных порядковых чисел , называемых или иногда . Это само порядковое число, большее, чем все счетные, поэтому это несчетное множество . Следовательно, отличается от . Определение подразумевает (в ZF, теории множеств Цермело – Френкеля без аксиомы выбора), что между и нет кардинального числа . Если использовать аксиому выбора , можно дополнительно доказать, что класс кардинальных чисел полностью упорядочен и, следовательно, является вторым по величине бесконечным кардинальным числом. Можно показать одно из наиболее полезных свойств множества : любое счетное подмножество имеет верхнюю границу (это следует из того, что объединение счетного числа счетных множеств само счетно). Этот факт аналогичен ситуации в  : каждое конечное множество натуральных чисел имеет максимум, который также является натуральным числом, и конечные объединения конечных множеств конечны. ${\displaystyle \,\omega _{1}\,}$ ${\displaystyle \,\Omega \,}$ ${\displaystyle \,\omega _{1}\,}$ ${\displaystyle \,\aleph _{1}\,}$ ${\displaystyle \,\aleph _{0}\,}$ ${\displaystyle \,\aleph _{1}\,}$ ${\displaystyle \,\aleph _{0}\,}$ ${\displaystyle \,\aleph _{1}\,}$ ${\displaystyle \,\aleph _{1}\,}$ ${\displaystyle \,\omega _{1}\,}$ ${\displaystyle \,\omega _{1}\,}$ ${\displaystyle \,\omega _{1}\,}$ ${\displaystyle \,\aleph _{0}\;}$

${\displaystyle \,\omega _{1}~}$на самом деле это полезная концепция, хотя и звучит несколько экзотично. Пример приложения является «замыкающим» по отношению к счетным операциям; например, пытаясь явно описать σ-алгебру , порожденную произвольным набором подмножеств (см., например, иерархию Бореля ). Это сложнее, чем большинство явных описаний «поколения» в алгебре ( векторных пространствах , группах и т. д.), потому что в этих случаях нам нужно замыкать только относительно конечных операций — сумм, произведений и тому подобного. Этот процесс включает в себя определение для каждого счетного ординала посредством трансфинитной индукции множества путем «добавления» всех возможных счетных объединений и дополнений и объединения всего этого по всему . ${\displaystyle \,\omega _{1}}$

Гипотеза континуума

Мощность множества действительных чисел ( мощность континуума ) равна. Она не может быть определена из ZFC ( теория множеств Цермело – Френкеля, дополненная аксиомой выбора ), где это число точно вписывается в иерархию чисел алефа, но следует из ZFC. что гипотеза континуума CH эквивалентна тождеству ${\displaystyle \,2^{\aleph _{0}}~.}$

${\displaystyle 2^{\aleph _{0}}=\aleph _{1}.}$^[7]

CH утверждает, что не существует множества, мощность которого находилась бы строго между мощностью целых и действительных чисел. ^[8] CH не зависит от ZFC : его нельзя ни доказать, ни опровергнуть в контексте этой системы аксиом (при условии, что ZFC непротиворечив ). То, что CH совместимо с ZFC, было продемонстрировано Куртом Гёделем в 1940 году, когда он показал, что его отрицание не является теоремой ZFC . То, что он не зависит от ZFC, было продемонстрировано Полом Коэном в 1963 году, когда он показал обратное, что CH сам по себе не является теоремой ZFC – с помощью (тогда нового) метода принуждения . ^{[7] [9]}

Алеф-омега

Алеф-омега – это

${\displaystyle \aleph _{\omega }=\sup \,\{\,\aleph _{n}:n\in \omega \}=\sup \,\{\,\aleph _{n}:n\in \left\{\,0,1,2,\dots \,\right\}\,\}~}$

где наименьший бесконечный ординал обозначается ω . То есть кардинальное число является наименьшей верхней границей ${\displaystyle \,\aleph _{\omega }\,}$

${\displaystyle \left\{\,\aleph _{n}:n\in \left\{\,0,1,2,\dots \,\right\}\,\right\}~.}$

${\displaystyle \,\aleph _{\omega }}$- первое несчетное кардинальное число, которое, как можно продемонстрировать в рамках теории множеств Цермело – Френкеля, не равно мощности множества всех действительных чисел ; для любого положительного целого числа n мы можем последовательно предположить, что и, более того, можно предположить, что оно настолько велико, насколько нам хочется. Мы только вынуждены избегать присвоения ему некоторых специальных кардиналов с конфинальностью , означающей, что от него существует неограниченная функция (см. теорему Истона ). ${\displaystyle \,2^{\aleph _{0}}=\aleph _{n}~,}$ ${\displaystyle \,2^{\aleph _{0}}\,}$ ${\displaystyle \,\aleph _{0}~,}$ ${\displaystyle \,\aleph _{0}\,}$

Алеф-α для общего α

Чтобы определить произвольное порядковое число, мы должны определить последующую кардинальную операцию , которая присваивает любому кардинальному числу следующий больший, хорошо упорядоченный кардинал (если аксиома выбора верна, это следующий больший кардинал). ${\displaystyle \,\aleph _{\alpha }\,}$ ${\displaystyle \,\alpha ~,}$ ${\displaystyle \,\rho \,}$ ${\displaystyle \,\rho ^{+}\,}$

Затем мы можем определить числа алефов следующим образом:

${\displaystyle \aleph _{0}=\omega }$

${\displaystyle \aleph _{\alpha +1}=\aleph _{\alpha }^{+}~}$

а для λ — бесконечный предельный ординал ,

${\displaystyle \aleph _{\lambda }=\bigcup _{\beta <\lambda }\aleph _{\beta }~.}$

Записывается α-й бесконечный начальный ординал . Его мощность записана ${\displaystyle \omega _{\alpha }}$ ${\displaystyle \,\aleph _{\alpha }~.}$

Неформально функция алеф представляет собой биекцию ординалов в бесконечные кардиналы. Формально в ZFC не является функцией , так как не является множеством (в силу парадокса Бурали-Форти ). ${\displaystyle \,\aleph \,}$ ${\displaystyle \,\aleph \,}$

Фиксированные точки омеги

Для любого порядкового номера α имеем

${\displaystyle \alpha \leq \omega _{\alpha }~.}$

Во многих случаях строго больше, чем α . Например, это справедливо для любого последующего порядкового номера α. Однако существуют некоторые предельные ординалы, которые являются фиксированными точками омега-функции из-за леммы о фиксированной точке для нормальных функций . Первым из них является предел последовательности ${\displaystyle \omega _{\alpha }}$

${\displaystyle \omega ,\,\omega _{\omega },\,\omega _{\omega _{\omega }},\,\ldots ~.}$

Любой слабо недостижимый кардинал также является неподвижной точкой функции алеф. ^[10] Это можно отобразить в ZFC следующим образом. Пусть — слабо недостижимый кардинал. Если бы мы были ординалом-преемником , то он был бы кардиналом-преемником и, следовательно, не был бы слабо недоступным. Если бы предельный ординал был меньше, то его конфинальность (и, следовательно, конфинальность ) была бы меньше и, следовательно, не была бы регулярной и, следовательно, не была бы слабо недостижимой. Таким образом и, следовательно, это делает его фиксированной точкой. ${\displaystyle \,\kappa =\aleph _{\lambda }\,}$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle \,\aleph _{\lambda }\,}$ ${\displaystyle \,\lambda \,}$ ${\displaystyle \,\kappa ~,}$ ${\displaystyle \aleph _{\lambda }}$ ${\displaystyle \,\kappa \,}$ ${\displaystyle \,\kappa \,}$ ${\displaystyle \,\lambda \geq \kappa \,}$ ${\displaystyle \,\lambda =\kappa \,}$

Роль аксиомы выбора

Мощность любого бесконечного порядкового числа является числом алефа. Каждый алеф представляет собой мощность некоторого порядкового номера. Наименьшим из них является его начальный порядковый номер . Любое множество, мощность которого равна алефу, равнозначно порядковому номеру и, следовательно, является хорошо упорядочиваемым .

Каждое конечное множество вполне упорядочиваемо, но не имеет алефа в качестве мощности.

Предположение о том, что мощность каждого бесконечного множества является числом алефа, эквивалентно над ZF существованию хорошего порядка каждого множества, что, в свою очередь, эквивалентно аксиоме выбора . Теория множеств ZFC, которая включает в себя аксиому выбора, подразумевает, что каждое бесконечное множество имеет число алефа в качестве своей мощности (т.е. равнозначно своему начальному порядковому номеру), и, таким образом, начальные порядковые номера чисел алефа служат классом представителей для всех возможные бесконечные кардинальные числа.

Когда мощность изучается в ZF без аксиомы выбора, уже невозможно доказать, что каждое бесконечное множество имеет какое-то число алефа в качестве своей мощности; множества, мощность которых равна числу алефа, представляют собой в точности бесконечные множества, которые можно хорошо упорядочить. Метод трюка Скотта иногда используется как альтернативный способ построения представителей кардинальных чисел в условиях ZF. Например, можно определить card( S ) как набор множеств с той же мощностью, что и S , минимально возможного ранга. Это свойство card( S ) = card( T ) тогда и только тогда, когда S и T имеют одинаковую мощность. (Набор card( S ) не имеет такой же мощности, как S в целом, но все его элементы имеют.)

Смотрите также

• Число Бет
• Функция Гимеля
• Обычный кардинал
• Трансфинитное число
• Порядковый номер

Примечания

1. В старых книгах по математике буква алеф часто случайно печатается перевернутой - например, у Серпинского (1958) ^{[3] : 402} буква алеф появляется как в правильном направлении, так и в перевернутом виде - отчасти потому, что матрица монотипии для алефа был ошибочно построен неправильно. ^[4]

Цитаты

1. "Алеф". Энциклопедия математики .
2. Вайсштейн, Эрик В. «Алеф». mathworld.wolfram.com . Проверено 12 августа 2020 г.
3. Серпинский, Вацлав (1958). Кардинальные и порядковые числительные . Польская академия наук Монография по математике. Том. 34. Варшава, PL: Państwowe Wydawnictwo Naukowe. МР  0095787.
4. Суонсон, Эллен; О'Шон, Арлин Энн; Шлейер, Антуанетта Тингли (1999) [1979]. Математика в шрифт: Редактирование и корректура математики для помощников редакции и авторов (обновленная ред.). Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество . п. 16. ISBN 0-8218-0053-1. МР  0553111.
5. Миллер, Джефф. «Самое раннее использование символов теории множеств и логики». jeff560.tripod.com . Проверено 5 мая 2016 г .;который цитирует Добена, Джозефа Уоррена (1990). Георг Кантор: Его математика и философия бесконечного . Издательство Принстонского университета. ISBN 9780691024479. Его новые номера заслуживали чего-то уникального. ... Не желая самому изобретать новый символ, он выбрал алеф, первую букву еврейского алфавита... алеф можно было считать символом новых начинаний...
6. Джех, Томас (2003). Теория множеств . Монографии Спрингера по математике. Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag .
7. Судзик, Мэттью (31 июля 2018 г.). «Гипотеза континуума». Вольфрам Математический мир . Веб-ресурсы Wolfram . Проверено 15 августа 2018 г.
8. Вайсштейн, Эрик В. «Гипотеза континуума». mathworld.wolfram.com . Проверено 12 августа 2020 г.
9. Чоу, Тимоти Ю. (2007). «Руководство по форсированию для начинающих». arXiv : 0712.1320 [math.LO].
10. Харрис, Кеннет А. (6 апреля 2009 г.). «Лекция 31» (PDF) . Кафедра математики. kaharris.org . Введение в теорию множеств. Университет Мичигана . Math 582. Архивировано из оригинала (PDF) 4 марта 2016 года . Проверено 1 сентября 2012 г.

Внешние ссылки

• «Алеф-ноль», Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]
• Вайсштейн, Эрик В. «Алеф-0». Математический мир .