Предельный порядковый номер

Класс бесконечных порядковых чисел

Представление порядковых чисел до ω ^ω . Каждый виток спирали представляет собой одну степень ω. Предельные ординалы — это те, которые не равны нулю и не имеют предшественников, например ω или ω ^2.

В теории множеств предельным порядковым номером называется порядковый номер , который не является ни нулем, ни порядковым номером-преемником . В качестве альтернативы, порядковый номер λ является предельным ординалом, если существует порядковый номер меньше λ, и всякий раз, когда β является порядковым номером меньше λ, тогда существует порядковый номер γ такой, что β < γ < λ. Каждое порядковое число является либо нулем, либо порядковым номером-преемником, либо предельным порядковым номером.

Например, наименьший предельный порядковый номер — это ω , наименьший порядковый номер, больший любого натурального числа . Это предельный ординал, потому что для любого меньшего порядкового номера (т. е. для любого натурального числа) n мы можем найти другое натуральное число, большее его (например, n +1), но все же меньшее, чем ω. Следующий наименьший предельный ординал — это ω+ω. Об этом пойдет речь далее в статье.

Используя определение ординалов фон Неймана , каждый ординал представляет собой хорошо упорядоченный набор всех меньших ординалов. Объединение непустого набора ординалов, не имеющего наибольшего элемента, всегда является предельным ординалом. Используя кардинальное присвоение фон Неймана , каждое бесконечное кардинальное число также является предельным порядковым номером.

Альтернативные определения

Другие способы определения предельных ординалов:

• Он равен верхней границе всех ординалов ниже него, но не равен нулю. (Сравните с порядковым номером-преемником: набор порядковых номеров ниже него имеет максимум, поэтому верхняя граница - это этот максимум, предыдущий порядковый номер.)
• Оно не равно нулю и не имеет максимального элемента.
• Его можно записать в виде ωα для α > 0. То есть в нормальной форме Кантора нет конечного числа в качестве последнего члена, а порядковый номер отличен от нуля.
• Это предельная точка класса порядковых чисел относительно топологии порядка . (Остальные ординалы представляют собой изолированные точки .)

Существуют некоторые разногласия по поводу того, следует ли классифицировать 0 как предельный порядковый номер, поскольку у него нет непосредственного предшественника; некоторые учебники включают 0 в класс предельных ординалов ^[1], а другие его исключают. ^[2]

Примеры

Поскольку класс порядковых чисел хорошо упорядочен , существует наименьший бесконечный предел порядкового номера; обозначается ω (омега). Порядковый номер ω также является наименьшим бесконечным ординалом (без учета предела ), поскольку это наименьшая верхняя граница натуральных чисел . Следовательно, ω представляет тип порядка натуральных чисел. Следующий предельный ординал выше первого — это ω + ω = ω·2, который обобщается на ω· n для любого натурального числа n . Объединив ( операцию супремума на любом наборе ординалов) всех ω·n, мы получаем ω·ω = ω 2 ^, что обобщается на ω ⁿ для любого натурального числа n . Этот процесс можно повторить следующим образом, чтобы получить:

${\displaystyle \omega ^{3},\omega ^{4},\ldots ,\omega ^{\omega },\omega ^{\omega ^{\omega }},\ldots ,\varepsilon _{0}=\omega ^{\omega ^{\omega ^{~\cdot ^{~\cdot ^{~\cdot }}}}},\ldots }$

В общем, все эти рекурсивные определения посредством умножения, возведения в степень, повторного возведения в степень и т. д. дают предельные порядковые номера. Все ординалы, обсуждавшиеся до сих пор, по-прежнему являются счетными ординалами. Однако не существует рекурсивно перечислимой схемы для систематического именования всех порядковых номеров, меньших, чем порядковый номер Чёрча-Клин , который является счетным порядковым номером.

Помимо счетного, первый несчетный ординал обычно обозначается ω ₁ . Это также предельный ординал.

Продолжая, можно получить следующее (все они теперь увеличиваются по мощности):

${\displaystyle \omega _{2},\omega _{3},\ldots ,\omega _{\omega },\omega _{\omega +1},\ldots ,\omega _{\omega _{\omega }},\ldots }$

В общем, мы всегда получаем предельный ординал, объединяя непустое множество ординалов, не имеющее максимального элемента.

Порядковые номера вида ω²α при α > 0 являются пределами пределов и т. д.

Характеристики

Классы ординалов-преемников и предельных ординалов (различной конфинальности ), а также нуля исчерпывают весь класс ординалов, поэтому эти случаи часто используются в доказательствах методом трансфинитной индукции или определениях с помощью трансфинитной рекурсии . Предельные ординалы представляют собой своего рода «поворотный момент» в таких процедурах, в которых необходимо использовать ограничивающие операции, такие как объединение всех предыдущих ординалов. В принципе, с предельными ординалами можно делать что угодно, но взятие объединения является непрерывным в топологии порядка, и это обычно желательно.

Если мы используем кардинальное присвоение фон Неймана , каждое бесконечное кардинальное число также является предельным ординалом (и это подходящее наблюдение, поскольку кардинал происходит от латинского cardo , означающего шарнир или поворотную точку ): доказательство этого факта можно сделать, просто показав что каждый бесконечный порядковый номер-преемник эквивалентен предельному порядковому номеру согласно аргументу Hotel Infinity .

Кардинальные числа имеют свое собственное понятие преемственности и предела (все повышается на более высокий уровень).

Неразложимые ординалы

Аддитивно неразложимый

Предельный ординал α называется аддитивно неразложимым, если он не может быть выражен в виде суммы β < α ординалов, меньших α. Эти числа представляют собой любой порядковый номер вида β — порядковый номер. Пишется самый маленький , пишется второй и т. д. ^[3] ${\displaystyle \omega ^{\beta }}$ ${\displaystyle \gamma _{0}}$ ${\displaystyle \gamma _{1}}$

Мультипликативно неразложимый

Предельный ординал α называется мультипликативно неразложимым, если он не может быть выражен в виде произведения β < α ординалов, меньших α. Эти числа представляют собой любой порядковый номер вида β — порядковый номер. Пишется самый маленький , пишется второй и т. д. ^[3] ${\displaystyle \omega ^{\omega ^{\beta }}}$ ${\displaystyle \delta _{0}}$ ${\displaystyle \delta _{1}}$

Экспоненциально неразложимая и не только

Термин «экспоненциально неразложимый» относится не к порядковым числам, которые невозможно выразить как экспоненциальное произведение (?) β < α порядковых номеров меньше α, а скорее к числам эпсилон , «тетрационно неразложимые» относятся к дзета-числам, «пентационно неразложимые» относятся к числам дзета. к эта-числам и т. д. ^[3]

Смотрите также

• Порядковая арифметика
• Предел кардинальный
• Фундаментальная последовательность (порядковые номера)

Рекомендации

1. например, Томас Джех, Теория множеств . Издание третьего тысячелетия. Спрингер.
2. например, Кеннет Кунен, Теория множеств. Введение в доказательства независимости . Северная Голландия.
3. "Предельный порядковый номер - Чердак Кантора". cantorsattic.info . Проверено 10 августа 2021 г.

дальнейшее чтение

• Кантор, Г. (1897), Beitrage zur Begrundung der transfiniten Mengenlehre. II (тр.: Вклад в создание теории трансфинитных чисел II), Mathematische Annalen 49, 207–246, английский перевод.
• Конвей, Дж. Х. и Гай, Р. К. «Порядковые числительные Кантора». В «Книге чисел» . Нью-Йорк: Springer-Verlag, стр. 266–267 и 274, 1996.
• Серпинский, В. (1965). Кардинальные и порядковые числительные (2-е изд.). Варшава: Państwowe Wydawnictwo Naukowe. Также определяет порядковые операции в терминах нормальной формы Кантора.