Мощность континуума

Мощность множества действительных чисел

В теории множеств мощность континуума — это мощность или «размер» множества действительных чисел , иногда называемого континуумом . Это бесконечное кардинальное число , обозначаемое (строчная Fraktur « c ») или ^[1] ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle {\mathbf {\mathfrak {c}}}}$ ${\displaystyle {\mathbf {|}}{\mathbf {\mathbb {R} }}{\mathbf {|}}}$

Действительных чисел больше, чем натуральных чисел . Более того, имеет то же количество элементов, что и множество степеней . Символически, если мощность обозначить как , мощность континуума равна ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {N} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {N} }$ ${\displaystyle \mathbb {N} }$ ${\displaystyle \aleph _{0}}$

${\displaystyle {\mathfrak {c}}=2^{\aleph _{0}}>\aleph _{0}.}$

Это было доказано Георгом Кантором в его доказательстве несчетности 1874 года, части его новаторского исследования различных бесконечностей. Неравенство было позже сформулировано более просто в его диагональном аргументе в 1891 году. Кантор определил мощность в терминах биективных функций : два множества имеют одинаковую мощность тогда и только тогда, когда между ними существует биективная функция.

Между любыми двумя действительными числами a  <  b , как бы близки они друг к другу ни были, всегда находится бесконечно много других действительных чисел, и Кантор показал, что их столько же, сколько содержится во всем множестве действительных чисел. Другими словами, открытый интервал ( a , b ) равновелик с , а также с несколькими другими бесконечными множествами, такими как любое n -мерное евклидово пространство (см. кривую заполнения пространства ). То есть, ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

${\displaystyle |(a,b)|=|\mathbb {R} |=|\mathbb {R} ^{n}|.}$

Наименьшее бесконечное кардинальное число — ( алеф-ноль ). Второе наименьшее — ( алеф-один ). Континуум-гипотеза , утверждающая, что не существует множеств, мощность которых строго находится между и , означает, что . ^[2] Истинность или ложность этой гипотезы неразрешима и не может быть доказана в рамках широко используемой теории множеств Цермело–Френкеля с аксиомой выбора (ZFC). ${\displaystyle \aleph _{0}}$ ${\displaystyle \aleph _{1}}$ ${\displaystyle \aleph _{0}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {c}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {c}}=\aleph _{1}}$

Характеристики

Неисчислимость

Георг Кантор ввел понятие мощности для сравнения размеров бесконечных множеств. Он прославился тем, что показал, что множество действительных чисел несчетно бесконечно . То есть, строго больше мощности натуральных чисел , : ${\displaystyle {\mathfrak {c}}}$ ${\displaystyle \aleph _{0}}$

${\displaystyle \aleph _{0}<{\mathfrak {c}}.}$

На практике это означает, что действительных чисел строго больше, чем целых. Кантор доказал это утверждение несколькими способами. Для получения дополнительной информации по этой теме см. Первое доказательство несчетности Кантора и Диагональный аргумент Кантора .

Кардинальные равенства

Разновидность диагонального аргумента Кантора может быть использована для доказательства теоремы Кантора , которая утверждает, что мощность любого множества строго меньше мощности его множества . То есть (и так, что множество натуральных чисел несчетно). ^[3] Фактически, мощность , по определению , равна . Это можно показать, предоставив взаимно-однозначные отображения в обоих направлениях между подмножествами счетно бесконечного множества и действительными числами и применив теорему Кантора–Бернштейна–Шредера, согласно которой два множества с взаимно-однозначными отображениями в обоих направлениях имеют одинаковую мощность. ^{[4] [5]} В одном направлении действительные числа можно приравнять к сечениям Дедекинда , множествам рациональных чисел ^[4] или к их двоичным разложениям . ^[5] В другом направлении, двоичные разложения чисел в полуоткрытом интервале , рассматриваемые как наборы позиций, где разложение равно единице, почти дают взаимно-однозначное отображение из подмножеств счетного множества (набора позиций в разложениях) в действительные числа, но оно не может быть одно-однозначным для чисел с завершающимися двоичными разложениями, которые также могут быть представлены не завершающимся разложением, которое заканчивается повторяющейся последовательностью единиц. Это можно сделать одно-однозначным отображением, добавляя единицу к не завершающимся повторяющимся разложениям 1, отображая их в . ^[5] Таким образом, мы приходим к выводу, что ^{[4] [5]} ${\displaystyle |A|<2^{|A|}}$ ${\displaystyle \wp (\mathbb {N} )}$ ${\displaystyle \mathbb {N} }$ ${\displaystyle \wp (\mathbb {N} )}$ ${\displaystyle 2^{\aleph _{0}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {c}}}$ ${\displaystyle [0,1)}$ ${\displaystyle [1,2)}$

${\displaystyle {\mathfrak {c}}=|\wp (\mathbb {N} )|=2^{\aleph _{0}}.}$

Кардинальное равенство можно продемонстрировать с помощью кардинальной арифметики : ${\displaystyle {\mathfrak {c}}^{2}={\mathfrak {c}}}$

${\displaystyle {\mathfrak {c}}^{2}=(2^{\aleph _{0}})^{2}=2^{2\times {\aleph _{0}}}=2^{\aleph _{0}}={\mathfrak {c}}.}$

Используя правила кардинальной арифметики, можно также показать, что

${\displaystyle {\mathfrak {c}}^{\aleph _{0}}={\aleph _{0}}^{\aleph _{0}}=n^{\aleph _{0}}={\mathfrak {c}}^{n}=\aleph _{0}{\mathfrak {c}}=n{\mathfrak {c}}={\mathfrak {c}}}$

где n — любой конечный кардинал ≥ 2 и

${\displaystyle {\mathfrak {c}}^{\mathfrak {c}}=(2^{\aleph _{0}})^{\mathfrak {c}}=2^{{\mathfrak {c}}\times \aleph _{0}}=2^{\mathfrak {c}}}$

где — мощность множества R , а . ${\displaystyle 2^{\mathfrak {c}}}$ ${\displaystyle 2^{\mathfrak {c}}>{\mathfrak {c}}}$

Альтернативное объяснение для 𝔠 = 2א ‎0

Каждое действительное число имеет по крайней мере одну бесконечную десятичную дробь . Например,

1/2 = 0,50000...

1/3 = 0,33333...

π = 3,14159....

(Это справедливо даже в случае повторения расширения, как в первых двух примерах.)

В любом данном случае число десятичных знаков счетно , поскольку их можно поставить в однозначное соответствие с множеством натуральных чисел . Это делает разумным говорить, скажем, о первом, сотом или миллионном знаке после запятой числа π. Поскольку натуральные числа имеют мощность, каждое действительное число имеет цифры в своем разложении. ${\displaystyle \mathbb {N} }$ ${\displaystyle \aleph _{0},}$ ${\displaystyle \aleph _{0}}$

Поскольку каждое действительное число можно разбить на целую часть и десятичную дробь, получаем:

${\displaystyle {\mathfrak {c}}\leq \aleph _{0}\cdot 10^{\aleph _{0}}\leq 2^{\aleph _{0}}\cdot {(2^{4})}^{\aleph _{0}}=2^{\aleph _{0}+4\cdot \aleph _{0}}=2^{\aleph _{0}}}$

где мы использовали тот факт, что

${\displaystyle \aleph _{0}+4\cdot \aleph _{0}=\aleph _{0}\,}$

С другой стороны, если мы сопоставим и учтем, что десятичные дроби, содержащие только 3 или 7, являются лишь частью действительных чисел, то мы получим ${\displaystyle 2=\{0,1\}}$ ${\displaystyle \{3,7\}}$

${\displaystyle 2^{\aleph _{0}}\leq {\mathfrak {c}}\,}$

и таким образом

${\displaystyle {\mathfrak {c}}=2^{\aleph _{0}}\,.}$

Числа Бет

Последовательность чисел beth определяется установкой и . То же самое относится и ко второму числу beth, beth-one : ${\displaystyle \beth _{0}=\aleph _{0}}$ ${\displaystyle \beth _{k+1}=2^{\beth _{k}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {c}}}$

${\displaystyle {\mathfrak {c}}=\beth _{1}.}$

Третье число beth, beth-two , представляет собой мощность множества мощности (т.е. множества всех подмножеств действительной прямой ): ${\displaystyle \mathbb {R} }$

${\displaystyle 2^{\mathfrak {c}}=\beth _{2}.}$

Гипотеза континуума

Континуум-гипотеза утверждает, что также является вторым алеф-числом , . ^[2] Другими словами, континуум-гипотеза утверждает, что не существует множества , мощность которого лежит строго между и ${\displaystyle {\mathfrak {c}}}$ ${\displaystyle \aleph _{1}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \aleph _{0}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {c}}}$

${\displaystyle \nexists A\quad :\quad \aleph _{0}<|A|<{\mathfrak {c}}.}$

Теперь известно, что это утверждение не зависит от аксиом теории множеств Цермело–Френкеля с аксиомой выбора (ZFC), как показали Курт Гёдель и Пол Коэн . ^{[6] [7] [8]} То есть, как гипотеза, так и ее отрицание согласуются с этими аксиомами. Фактически, для любого ненулевого натурального числа n равенство = не зависит от ZFC (случай является гипотезой континуума). То же самое верно для большинства других алефов, хотя в некоторых случаях равенство может быть исключено теоремой Кёнига на основании конфинальности (например, ). В частности, может быть либо , либо , где — первый несчетный ординал , поэтому он может быть либо кардиналом-последователем , либо кардиналом предела , и либо обычным кардиналом , либо сингулярным кардиналом . ${\displaystyle {\mathfrak {c}}}$ ${\displaystyle \aleph _{n}}$ ${\displaystyle n=1}$ ${\displaystyle {\mathfrak {c}}\neq \aleph _{\omega }}$ ${\displaystyle {\mathfrak {c}}}$ ${\displaystyle \aleph _{1}}$ ${\displaystyle \aleph _{\omega _{1}}}$ ${\displaystyle \omega _{1}}$

Множества с мощностью континуума

Очень многие множества, изучаемые в математике, имеют мощность, равную . Вот некоторые общие примеры: ${\displaystyle {\mathfrak {c}}}$

• реальные цифры ${\displaystyle \mathbb {R} }$
• любой ( невырожденный ) замкнутый или открытый интервал в (например, единичный интервал ) ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle [0,1]}$
• иррациональные числа
• трансцендентные числа
  Множество действительных алгебраических чисел счетно бесконечно (присвоим каждой формуле ее гёделевское число .) Таким образом, мощность действительных алгебраических чисел равна . Более того, действительные алгебраические числа и действительные трансцендентные числа являются непересекающимися множествами, объединение которых равно . Таким образом, поскольку мощность равна , мощность действительных трансцендентных чисел равна . Аналогичный результат следует для комплексных трансцендентных чисел, как только мы доказали, что . ${\displaystyle \aleph _{0}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle {\mathfrak {c}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {c}}-\aleph _{0}={\mathfrak {c}}}$ ${\displaystyle \left\vert \mathbb {C} \right\vert ={\mathfrak {c}}}$
• множество Кантора
• Евклидово пространство ^[9] ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$
• комплексные числа ${\displaystyle \mathbb {C} }$

  Согласно доказательству Кантора мощности евклидова пространства, ^[9] . По определению, любой может быть однозначно выражен как для некоторого . Поэтому мы определяем биекцию ${\displaystyle \left\vert \mathbb {R} ^{2}\right\vert ={\mathfrak {c}}}$ ${\displaystyle c\in \mathbb {C} }$ ${\displaystyle a+bi}$ ${\displaystyle a,b\in \mathbb {R} }$

  ${\displaystyle {\begin{aligned}f\colon \mathbb {R} ^{2}&\to \mathbb {C} \\(a,b)&\mapsto a+bi\end{aligned}}}$
• множество натуральных чисел ( множество всех подмножеств натуральных чисел) ${\displaystyle {\mathcal {P}}(\mathbb {N} )}$
• множество последовательностей целых чисел (т.е. все функции , часто обозначаемые ) ${\displaystyle \mathbb {N} \rightarrow \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \mathbb {Z} ^{\mathbb {N} }}$
• множество последовательностей действительных чисел, ${\displaystyle \mathbb {R} ^{\mathbb {N} }}$
• множество всех непрерывных функций от до ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$
• евклидова топология на (т.е. множество всех открытых множеств в ) ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$
• борелевская σ-алгебра на (т.е. множество всех борелевских множеств в ). ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$

Множества с большей мощностью

Множества с мощностью больше включают: ${\displaystyle {\mathfrak {c}}}$

• множество всех подмножеств (т.е. множество мощности ) ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle {\mathcal {P}}(\mathbb {R} )}$
• множество 2 R индикаторных функций, определенных на подмножествах действительных чисел (множество изоморфно –  индикаторная функция выбирает элементы каждого подмножества для включения) ${\displaystyle 2^{\mathbb {R} }}$ ${\displaystyle {\mathcal {P}}(\mathbb {R} )}$
• набор всех функций от до ${\displaystyle \mathbb {R} ^{\mathbb {R} }}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$
• σ-алгебра Лебега , т.е. множество всех измеримых по Лебегу множеств в . ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$
• множество всех интегрируемых по Лебегу функций от до ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$
• множество всех измеримых по Лебегу функций от до ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$
• компактификации Стоуна –Чеха , , и ${\displaystyle \mathbb {N} }$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$
• множество всех автоморфизмов (дискретного) поля комплексных чисел.

Все они имеют мощность ( бет два ) ${\displaystyle 2^{\mathfrak {c}}=\beth _{2}}$

Смотрите также

• Основная характеристика континуума

Ссылки

1. "Трансфинитное число | математика". Encyclopedia Britannica . Получено 2020-08-12 .
2. Weisstein, Eric W. "Continuum". mathworld.wolfram.com . Получено 12 августа 2020 г.
3. "Теорема Кантора". Энциклопедия математики . EMS Press . 2001 [1994].
4. Стиллвелл, Джон (2002). «Проблема континуума». American Mathematical Monthly . 109 (3): 286–297. doi :10.1080/00029890.2002.11919865. JSTOR  2695360. MR  1903582.
5. Джонсон, DL (1998). "Кардинальные числа". Глава 6: Кардинальные числа . Элементы логики через числа и множества. Springer Undergraduate Mathematics Series. Springer London. стр. 113–130. doi :10.1007/978-1-4471-0603-6_6. ISBN 9781447106036.
6. Гёдель, Курт (1940-12-31). Согласованность гипотезы континуума. (AM-3). doi :10.1515/9781400881635. ISBN 9781400881635.
7. Коэн, Пол Дж. (декабрь 1963 г.). «Независимость гипотезы континуума». Труды Национальной академии наук . 50 (6): 1143–1148. Bibcode : 1963PNAS...50.1143C. doi : 10.1073/pnas.50.6.1143 . ISSN  0027-8424. PMC 221287. PMID 16578557  . 
8. Коэн, Пол Дж. (январь 1964 г.). «Независимость гипотезы континуума, II». Труды Национальной академии наук . 51 (1): 105–110. Bibcode : 1964PNAS...51..105C. doi : 10.1073/pnas.51.1.105 . ISSN  0027-8424. PMC 300611. PMID 16591132  . 
9. Был ли Кантор удивлен?, Фернандо К. Гувеа , American Mathematical Monthly , март 2011 г.

Библиография

• Пол Халмос , Наивная теория множеств . Принстон, Нью-Джерси: D. Van Nostrand Company, 1960. Переиздано Springer-Verlag, Нью-Йорк, 1974. ISBN 0-387-90092-6 (издание Springer-Verlag). 
• Jech, Thomas , 2003. Теория множеств: издание третьего тысячелетия, исправленное и расширенное . Springer. ISBN 3-540-44085-2 . 
• Кунен, Кеннет , 1980. Теория множеств: Введение в доказательства независимости . Elsevier. ISBN 0-444-86839-9 . 

В данной статье использованы материалы из книги «Мощность континуума» на сайте PlanetMath , лицензированные по лицензии Creative Commons Attribution/Share-Alike License .