Первая статья Кантора по теории множеств

Первая статья по теории трансфинитных множеств

Георг Кантор, ок. 1870 г.    

Первая статья Кантора по теории множеств содержит первые теоремы Георга Кантора трансфинитной теории множеств , изучающей бесконечные множества и их свойства. Одной из этих теорем является его «революционное открытие» о том, что множество всех действительных чисел не счетно , а не счетно бесконечно. ^[1] Эта теорема доказывается с использованием первого доказательства несчетности Кантора , которое отличается от более известного доказательства, использующего его диагональный аргумент . Название статьи « Об одном свойстве совокупности всех действительных алгебраических чисел » («Ueber eine Eigenschaft des Inbegriffes aller reellen алгебраишен Zahlen») отсылает к ее первой теореме: множество действительных алгебраических чисел счетно. Статья Кантора была опубликована в 1874 году. В 1879 году он модифицировал свое доказательство несчетности, используя топологическое понятие множества, плотного в интервале.

Статья Кантора также содержит доказательство существования трансцендентных чисел . Как конструктивные, так и неконструктивные доказательства были представлены как «доказательство Кантора». Популярность представления неконструктивных доказательств привела к неправильному представлению о том, что аргументы Кантора неконструктивны. Поскольку опубликованное Кантором доказательство либо строит трансцендентные числа, либо нет, анализ его статьи может определить, является ли это доказательство конструктивным. ^[2] Переписка Кантора с Ричардом Дедекиндом показывает развитие его идей и показывает, что у него был выбор между двумя доказательствами: неконструктивным доказательством, использующим несчетность действительных чисел, и конструктивным доказательством, не использующим несчетность.

Историки математики изучили статью Кантора и обстоятельства, при которых она была написана. Например, они обнаружили, что Кантору посоветовали исключить из представленной им статьи теорему о несчетности — он добавил ее во время корректуры . Они связали этот и другие факты, связанные с статьей, под влиянием Карла Вейерштрасса и Леопольда Кронекера . Историки также изучили вклад Дедекинда в эту статью, в том числе его вклад в теорему о счетности действительных алгебраических чисел. Кроме того, они признали роль, которую сыграли теорема о несчетности и концепция счетности в развитии теории множеств, теории меры и интеграла Лебега .

Статья

Статья Кантора короткая, менее четырех с половиной страниц. ^[A] Оно начинается с обсуждения действительных алгебраических чисел и формулировки его первой теоремы: Множество действительных алгебраических чисел можно привести во взаимно однозначное соответствие с множеством положительных целых чисел. ^[3] Кантор переформулирует эту теорему в терминах, более знакомых математикам его времени: Множество действительных алгебраических чисел можно записать как бесконечную последовательность , в которой каждое число встречается только один раз. ^[4]

Вторая теорема Кантора работает с замкнутым интервалом [ a ,  b ], который представляет собой набор действительных чисел ≥  a и ≤  b . Теорема гласит: для любой последовательности действительных чисел x ₁ , x ₂ , x ₃ , ... и любого интервала [ a ,  b ] существует число из [ a ,  b ], которое не содержится в данной последовательности. Следовательно, таких чисел бесконечно много. ^[5]

Кантор отмечает, что объединение двух его теорем дает новое доказательство теоремы Лиувилля о том, что каждый интервал [ a ,  b ] содержит бесконечное количество трансцендентных чисел . ^[5]

Затем Кантор отмечает, что его вторая теорема такова:

причина, по которой наборы действительных чисел, образующие так называемый континуум (например, все действительные числа ≥ 0 и ≤ 1), не могут взаимно однозначно соответствовать набору (ν) [набору всех положительных целых чисел]; таким образом, я обнаружил четкое различие между так называемым континуумом и набором, подобным совокупности действительных алгебраических чисел. ^[6]

Это замечание содержит теорему Кантора о несчетности, которая лишь утверждает, что интервал [ a ,  b ] не может быть приведен во взаимно однозначное соответствие с набором положительных целых чисел. В нем не утверждается, что этот интервал представляет собой бесконечное множество большей мощности , чем множество положительных целых чисел. Мощность определяется в следующей статье Кантора, опубликованной в 1878 году. ^[7]

Кантор лишь формулирует свою теорему о несчетности. Он не использует его ни в каких доказательствах. ^[3]

Доказательства

Первая теорема

Алгебраические числа на комплексной плоскости, раскрашенные полиномиальной степенью. (красный = 1, зеленый = 2, синий = 3, желтый = 4). Точки становятся меньше по мере увеличения коэффициентов целочисленного полинома.

Чтобы доказать, что множество действительных алгебраических чисел счетно, определим высоту многочлена степени n с целыми коэффициентами как : n − 1  + | а ₀ | + | 1 | _{_} + ... + | a _n |, где a ₀ , a ₁ , ..., an _— коэффициенты многочлена. Упорядочите многочлены по их высоте, а действительные корни многочленов одинаковой высоты — по числовому порядку. Поскольку существует только конечное число корней многочленов заданной высоты, эти упорядочения помещают действительные алгебраические числа в последовательность. Кантор пошел еще дальше и создал последовательность, в которой каждое действительное алгебраическое число встречается только один раз. Он сделал это, используя только полиномы, неприводимые к целым числам. Следующая таблица содержит начало перечисления Кантора. ^[9]

Вторая теорема

Остается доказать только первую часть второй теоремы Кантора. Он гласит: для любой последовательности действительных чисел x ₁ , x ₂ , x ₃ , ... и любого интервала [ a ,  b ] существует число в [ a ,  b ], которое не содержится в данной последовательности. ^[Б]

Чтобы найти число в [ a ,  b ], которое не содержится в данной последовательности, постройте две последовательности действительных чисел следующим образом: Найдите первые два числа данной последовательности, которые находятся в открытом интервале ( a ,  b ). Обозначим меньшее из этих двух чисел через a ₁ и большее через b ₁ . Аналогично найдите первые два числа заданной последовательности, входящие в ( a ₁ ,  b ₁ ). Обозначим меньшее через a ₂ и большее через b ₂ . Продолжение этой процедуры генерирует последовательность интервалов ( a ₁ ,  b ₁ ), ( a ₂ ,  b ₂ ), ( a ₃ ,  b ₃ ), ... такую, что каждый интервал в последовательности содержит все последующие интервалы  ,  то есть он генерирует последовательность вложенных интервалов . Это означает, что последовательность a ₁ , a ₂ , a ₃ , ... возрастает, а последовательность b ₁ , b ₂ , b ₃ , ... убывает. ^[10]

Либо количество генерируемых интервалов конечное или бесконечное. Если конечно, пусть ( a _L ,  b _L ) будет последним интервалом. _{Если бесконечно ,} возьмем пределы a _∞  = lim _{n  → ∞}  an и b _∞  = lim _{n  → ∞} b _n . Поскольку a _n  <  b _n для всех n , либо a _∞  =  b _∞ , либо a _∞  <  b _∞ . Таким образом, следует рассмотреть три случая: 

Случай 1: Последний интервал ( a _L , b _L )

Случай 1: существует последний интервал ( a _L ,  b _L ). Поскольку в этом интервале может находиться не более одного x _n , каждый y в этом интервале, кроме x _n (если он существует), не входит в данную последовательность.

Случай 2: а _∞ = b _∞

Случай 2: а _∞  знак равно  б _∞ . Тогда a∞ не входит в  последовательность, поскольку для всех n : a∞ находится _в интервале ( an  , _bn ) _, но xn _не принадлежит ₍ an _, bn ₎ . В символах: a _∞ ∈  ( a _n ,  b _n ), но x _n ∉  ( a _n ,  b _n ).   

Случай 3: а _∞ < b _∞

Случай 3: а _∞  <  b _∞ . Тогда каждый y из [ a∞ ,  b∞ ] не содержится в данной последовательности, поскольку для всех n : y принадлежит ( an ,  bn _{) ,} а xn _{— нет .} ^[11] 

Доказательство завершено, поскольку во всех случаях найдено хотя бы одно действительное число из [ a ,  b ], не входящее в данную последовательность. ^[Д]

Доказательства Кантора конструктивны и были использованы для написания компьютерной программы , генерирующей цифры трансцендентного числа. Эта программа применяет конструкцию Кантора к последовательности, содержащей все действительные алгебраические числа от 0 до 1. В статье, в которой обсуждается эта программа, приводятся некоторые ее результаты, которые показывают, как конструкция генерирует трансцендентное число. ^[12]

Пример конструкции Кантора

Пример иллюстрирует, как работает конструкция Кантора. Рассмотрим последовательность:1/2,1/3,2/3,1/4,3/4,1/5,2/5,3/5,4/5, ... Эта последовательность получается путем упорядочивания рациональных чисел в (0, 1) по возрастанию знаменателей, упорядочивания чисел с одинаковым знаменателем по возрастанию числителей и исключения сокращаемых дробей . В таблице ниже показаны первые пять этапов строительства. _{Первый столбец} таблицы содержит интервалы ( an _, b n  ). _{Во втором столбце перечислены термины, посещенные} во время поиска первых двух терминов в ( an ,  bn ). Эти два термина выделены красным. ^[13]

Поскольку последовательность содержит все рациональные числа из (0, 1), конструкция порождает иррациональное число , которым оказывается √ 2  − 1. ^[14]

Доказательство несчетности Кантора 1879 года.

Везде густо

В 1879 году Кантор опубликовал новое доказательство несчетности, которое модифицировало его доказательство 1874 года. Сначала он определяет топологическое понятие точечного множества P , которое «всюду плотно в интервале»: ^[E]

Если P частично или полностью лежит в интервале [α, β], то может случиться замечательный случай, когда каждый интервал [γ, δ], содержащийся в [α, β], каким бы малым он ни был, содержит точки из P . В таком случае будем говорить, что P всюду плотно в интервале [α, β]. ^[Ф]

В этом обсуждении доказательства Кантора: a ,  b ,  c ,  d используются вместо α, β, γ, δ. Кроме того, Кантор использует свою интервальную запись только в том случае, если первая конечная точка меньше второй. В данном обсуждении это означает, что ( a ,  b ) подразумевает a  <  b .

Поскольку обсуждение доказательства Кантора 1874 года было упрощено за счет использования открытых интервалов, а не закрытых, здесь используется то же упрощение. Это требует эквивалентного определения всюду плотного: множество P всюду плотно в интервале [ a ,  b ] тогда и только тогда, когда каждый открытый подинтервал ( c ,  d ) из [ a ,  b ] содержит хотя бы одну точку P. ^[18]

Кантор не уточнил, сколько точек P должен содержать открытый подинтервал ( c ,  d ). Ему не нужно было это уточнять, поскольку из предположения, что каждый открытый подинтервал содержит хотя бы одну точку P , следует, что каждый открытый подинтервал содержит бесконечно много точек P . ^[Г]

Доказательство Кантора 1879 года

Кантор модифицировал свое доказательство 1874 года новым доказательством второй теоремы: для любой последовательности P действительных чисел x ₁ , x ₂ , x ₃ , ... и любого интервала [ a ,  b ] существует число из [ a ,  b ] , который не содержится в P. Новое доказательство Кантора имеет только два случая. Сначала он обрабатывает случай, когда P не является плотным в интервале, затем — более сложный случай, когда P плотен в интервале. Такое разделение на случаи не только указывает, с какими последовательностями труднее справиться, но также показывает, какую важную роль играет плотность в доказательстве. ^{[доказательство 1]}

В первом случае P не плотно в [ a ,  b ]. По определению, P плотно в [ a ,  b ] тогда и только тогда, когда для всех подинтервалов ( c ,  d ) из [ a ,  b ] существует x  ∈  P такой, что x ∈ ( c , d ) . Отрицание каждой стороны выражения «тогда и только если» дает: P не плотно в [ a ,  b ] тогда и только тогда, когда существует подинтервал ( c ,  d ) из [ a ,  b ] такой, что для всех x  ∈  п  : Икс ∉ ( c , d ) . Следовательно , каждое число в ( c ,  d ) не содержится в последовательности P. ^{[доказательство 1]} Этот случай обрабатывает случай 1 и случай 3 доказательства Кантора 1874 года.

Во втором случае, который обрабатывает случай 2 доказательства Кантора 1874 года, P плотно в [ a ,  b ]. Плотность последовательности P используется для рекурсивного определения последовательности вложенных интервалов, которая исключает все числа из P и чье пересечение содержит одно действительное число из [ a ,  b ]. Последовательность интервалов начинается с ( a ,  b ). Учитывая интервал в последовательности, следующий интервал получается путем нахождения двух чисел с наименьшими индексами, принадлежащими P и текущему интервалу. Эти два числа являются конечными точками следующего открытого интервала. Поскольку открытый интервал исключает свои конечные точки, каждый вложенный интервал исключает два числа из начала последовательности P , что означает, что пересечение вложенных интервалов исключает все числа в P. ^{[доказательство 1]} Подробности этого доказательства и доказательство того, что это пересечение содержит одно действительное число из [ a ,  b ], приведены ниже.

Развитие идей Кантора

Развитие событий, приведшее к написанию статьи Кантора 1874 года, появляется в переписке между Кантором и Ричардом Дедекиндом . 29 ноября 1873 года Кантор спросил Дедекинда, «можно ли соотнести набор положительных целых чисел и набор положительных действительных чисел так, чтобы каждый индивидуум одного набора соответствовал одному и только одному индивидууму из другого?» Кантор добавил, что наборы, имеющие такое соответствие, включают наборы положительных рациональных чисел и наборы вида ( an _{1 ,  n 2 , ...,  n ν} ), где n ₁ , n ₂ , . . . , n _ν и ν — положительные целые числа. ^[19]

Дедекинд ответил, что не может ответить на вопрос Кантора, и сказал, что он «не заслуживает слишком больших усилий, поскольку не имеет особого практического интереса». Дедекинд также послал Кантору доказательство того, что множество алгебраических чисел счетно. ^[20]

2 декабря Кантор ответил, что его вопрос действительно представляет интерес: «Было бы хорошо, если бы на него можно было ответить; например, при условии, что на него можно ответить « нет» , можно было бы получить новое доказательство теоремы Лиувилля о существовании трансцендентных чисел. " ^[21]

7 декабря Кантор отправил Дедекинду доказательство от противного , что множество действительных чисел неисчислимо. Кантор начинает с предположения, что действительные числа можно записать в виде последовательности. Затем он применяет к этой последовательности конструкцию, позволяющую получить число, которого нет в последовательности, что противоречит его предположению. ^[22] В совокупности письма от 2 и 7 декабря представляют собой неконструктивное доказательство существования трансцендентных чисел. ^[23] Кроме того, доказательство в письме Кантора от 7 декабря демонстрирует некоторые рассуждения, которые привели к его открытию того, что действительные числа образуют несчетное множество. ^[24] ${\displaystyle [0,1]}$ ${\displaystyle [0,1]}$

Дедекинд получил доказательство Кантора 8 декабря. В тот же день Дедекинд упростил доказательство и отправил его Кантору по почте. Кантор использовал в своей статье доказательство Дедекинда. ^[25] Письмо, содержащее доказательство Кантора от 7 декабря, не было опубликовано до 1937 года. ^[26]

9 декабря Кантор объявил теорему, которая позволила ему построить трансцендентные числа, а также доказать несчетность множества действительных чисел:

Я прямо показываю, что если я начну с последовательности

(1)     ω ₁ , ω ₂ , ... , ω _n , ...

Я могу определить в каждом заданном интервале [ α ,  β ] число η , не входящее в (1). ^[27]

Это вторая теорема статьи Кантора. Это связано с осознанием того, что его конструкцию можно применить к любой последовательности, а не только к последовательностям, которые предположительно перечисляют действительные числа. Итак, у Кантора был выбор между двумя доказательствами, демонстрирующими существование трансцендентных чисел: одно доказательство конструктивно, а другое — нет. Эти два доказательства можно сравнить, начав с последовательности, состоящей из всех действительных алгебраических чисел.

Конструктивное доказательство применяет конструкцию Кантора к этой последовательности и интервалу [ a ,  b ] для получения трансцендентного числа в этом интервале. ^[5]

Неконструктивное доказательство использует два доказательства от противного:

1. Доказательство от противного, используемое для доказательства теоремы о несчетности (см. Доказательство теоремы Кантора о несчетности).
2. Доказательство от противного используется для доказательства существования трансцендентных чисел на основе счетности действительных алгебраических чисел и несчетности действительных чисел. В письме Кантора от 2 декабря упоминается это доказательство существования, но не содержится его. Вот доказательство: предположим, что в [ a ,  b ] нет трансцендентных чисел . Тогда все числа из [ a ,  b ] алгебраические. Это означает, что они образуют подпоследовательность последовательности всех действительных алгебраических чисел, что противоречит теореме Кантора о несчетности. Таким образом, предположение об отсутствии трансцендентных чисел в [ a ,  b ] неверно. Следовательно, существует трансцендентное число в [ a ,  b ]. ^[ЧАС]

Кантор решил опубликовать конструктивное доказательство, которое не только дает трансцендентное число, но и короче и позволяет избежать двух доказательств от противного. Неконструктивное доказательство из переписки Кантора проще приведенного выше, поскольку оно работает со всеми действительными числами, а не с интервалом [ a ,  b ]. Это исключает шаг подпоследовательности и все вхождения [ a ,  b ] во втором доказательстве от противного. ^[5]

Заблуждение о творчестве Кантора

Акихиро Канамори , специализирующийся на теории множеств, заявил, что «Описания работ Кантора в основном меняют порядок вывода о существовании трансцендентных чисел, устанавливая сначала несчетность действительных чисел и только затем делая вывод о существовании из счетности алгебраических чисел. ... В учебниках инверсия может быть неизбежна, но это способствует ошибочному представлению о том, что аргументы Кантора неконструктивны». ^[29]

И в опубликованном доказательстве Кантора, и в доказательстве обратного порядка используется теорема: учитывая последовательность действительных чисел, можно найти вещественное число, которого нет в этой последовательности. Применив эту теорему к последовательности действительных алгебраических чисел, Кантор получил трансцендентное число. Затем он доказал, что действительные числа неисчислимы: предположим, что существует последовательность, содержащая все действительные числа. Применение теоремы к этой последовательности дает вещественное число, отсутствующее в последовательности, что противоречит предположению, что последовательность содержит все действительные числа. Следовательно, реалы неисчислимы. ^[5] Доказательство в обратном порядке начинается с доказательства несчетности вещественных чисел. Затем это доказывает, что трансцендентные числа существуют: если бы не было трансцендентных чисел, все действительные числа были бы алгебраическими и, следовательно, счетными, что противоречит только что доказанному. Это противоречие доказывает, что трансцендентные числа существуют, не создавая их. ^[29]

Оскар Перрон,     ок. 1948 год

Переписка, содержащая неконструктивные рассуждения Кантора, была опубликована в 1937 году. К тому времени другие математики заново открыли его неконструктивное доказательство обратного порядка. Еще в 1921 году это доказательство было названо «доказательством Кантора» и подвергнуто критике за отсутствие каких-либо трансцендентных чисел. ^[30] В том же году Оскар Перрон дал доказательство обратного порядка, а затем заявил: «... Доказательство Кантора существования трансцендентных чисел имеет, наряду с его простотой и элегантностью, большой недостаток, заключающийся в том, что это всего лишь доказательство существования ; это не позволяет нам фактически указать даже одно трансцендентное число». ^{[31] [Я]}

Авраам Френкель, между 1939 и 1949 годами.

Еще в 1930 году некоторые математики попытались исправить это неправильное представление о работе Кантора. В том же году теоретик множеств Абрахам Френкель заявил, что метод Кантора - это «... метод, который, кстати, вопреки широко распространенной интерпретации, является фундаментально конструктивным, а не просто экзистенциальным». ^[32] В 1972 году Ирвинг Каплански писал: «Часто говорят, что доказательство Кантора не является «конструктивным» и поэтому не дает осязаемого трансцендентного числа. Это замечание неоправданно. Если мы создадим определенный список всех алгебраических числа... а затем применив диагональную процедуру ..., мы получим совершенно определенное трансцендентное число (его можно вычислить с любым количеством десятичных знаков)». ^{[33] [J]} Доказательство Кантора не только конструктивно, но и проще, чем доказательство Перрона, которое требует обходного пути и сначала доказывает, что множество всех действительных чисел несчетно. ^[34]

Диагональный аргумент Кантора часто заменял его конструкцию 1874 года в изложении его доказательства. Диагональный аргумент конструктивен и создает более эффективную компьютерную программу, чем его конструкция 1874 года. С его помощью была написана компьютерная программа, вычисляющая цифры трансцендентного числа за полиномиальное время . Программа, использующая конструкцию Кантора 1874 года, требует как минимум субэкспоненциального времени . ^{[35] [К]}

Представление неконструктивного доказательства без упоминания конструктивного доказательства Кантора появляется в некоторых книгах, которые были весьма успешными, если судить по продолжительности появления новых изданий или переизданий, например: «Иррациональный зален» Оскара Перрона (1921; 1960, 4-е издание), Эрик «Люди математики» Темпла Белла (1937; до сих пор переиздается), Годфри Харди и Э.М. Райта «Введение в теорию чисел» (1938; 6-е издание 2008 г.), « Обзор современной алгебры» Гаррета Биркгоффа и Сондерса Маклейна (1941; 5-е издание 1997 г.). ) и « Исчисление» Майкла Спивака (1967; 4-е издание 2008 г.). ^{[36] [L]} С 2014 года появилось как минимум две книги, в которых утверждалось, что доказательство Кантора конструктивно, ^[37] и как минимум четыре книги, в которых утверждалось, что его доказательство не строит ни одного (или единственного) трансцендентного. ^[38]

Утверждение, что Кантор привел неконструктивный аргумент, не упомянув опубликованное им конструктивное доказательство, может привести к ошибочным утверждениям об истории математики . В «Обзоре современной алгебры» Биркгоф и Мак Лейн заявляют: «Аргумент Кантора в пользу этого результата [не каждое действительное число является алгебраическим] был сначала отвергнут многими математиками, поскольку он не содержал какого-либо конкретного трансцендентного числа». ^[39] Доказательство, опубликованное Кантором, дает трансцендентные числа, и, похоже, нет никаких доказательств того, что его аргумент был отклонен. Даже Леопольд Кронекер , имевший строгие взгляды на то, что допустимо в математике и который мог отложить публикацию статьи Кантора, не стал медлить с ней. ^[4] Фактически, применение конструкции Кантора к последовательности действительных алгебраических чисел приводит к предельному процессу, который принял Кронекер, а именно, он определяет число с любой необходимой степенью точности. ^[М]

Влияние Вейерштрасса и Кронекера на статью Кантора

Карл Вейерштрасс

Леопольд Кронекер, 1865 г.

Историки математики обнаружили следующие факты о статье Кантора «О свойстве совокупности всех действительных алгебраических чисел»:

• Теорема Кантора о несчетности была исключена из представленной им статьи. Он добавил это во время корректуры . ^[43]
• В названии статьи говорится о множестве действительных алгебраических чисел. Основной темой переписки Кантора было множество действительных чисел. ^[44]
• Доказательство второй теоремы Кантора пришло от Дедекинда. Однако в нем отсутствует объяснение Дедекинда, почему существуют пределы a _∞ и b _∞ . ^[45]
• Кантор ограничил свою первую теорему набором действительных алгебраических чисел. Доказательство, которое он использовал, демонстрирует счетность множества всех алгебраических чисел. ^[20]

Чтобы объяснить эти факты, историки указали на влияние бывших профессоров Кантора, Карла Вейерштрасса и Леопольда Кронекера. Кантор обсуждал свои результаты с Вейерштрассом 23 декабря 1873 года. ^[46] Вейерштрасс сначала был поражен концепцией счетности, но затем нашел полезной счетность множества действительных алгебраических чисел. ^[47] Кантор пока не хотел публиковаться, но Вейерштрасс чувствовал, что он должен опубликовать, по крайней мере, свои результаты, касающиеся алгебраических чисел. ^[46]

Из его переписки следует, что Кантор обсуждал свою статью только с Вейерштрассом. Однако Кантор сказал Дедекинду: «Ограничение, которое я наложил на опубликованную версию моих исследований, вызвано отчасти местными обстоятельствами...» ^[46] Биограф Кантора Йозеф Добен считает, что «местные обстоятельства» относятся к Кронекеру, который, как член редакционной коллегии « Журнала Крелля» , задержал публикацию статьи 1870 года Эдуарда Гейне , одного из коллег Кантора. Кантор отправит свою статью в журнал Crelle's Journal . ^[48]

Вейерштрасс посоветовал Кантору исключить свою теорему о несчетности из представленной им статьи, но Вейерштрасс также сказал Кантору, что он может добавить ее в качестве примечания на полях во время корректуры, что он и сделал. ^[43] Об этом говорится в примечании в конце введения к статье. Здесь сыграли роль мнения Кронекера и Вейерштрасса. Кронекер не признавал бесконечных множеств, и, похоже, Вейерштрасс не признавал, что два бесконечных множества могут быть такими разными, причем одно из них счетно, а другое — нет. ^[49] Позже Вейерштрасс изменил свое мнение. ^[50] Без теоремы о несчетности статье требовалось название, не относящееся к этой теореме. Кантор выбрал «Ueber eine Eigenschaft des Inbegriffes aller reellen алгебраишен Zahlen» («О свойстве совокупности всех действительных алгебраических чисел»), которая относится к счетности множества действительных алгебраических чисел, результат, который Вейерштрасс нашел полезным. ^[51]

Влияние Кронекера проявляется в доказательстве второй теоремы Кантора. Кантор использовал версию доказательства Дедекинда, за исключением того, что он не учел, почему существуют пределы a _∞  = lim _{n  → ∞}  a _n и b _∞  = lim _{n  → ∞}  b _n . Дедекинд использовал свой «принцип непрерывности», чтобы доказать их существование. Этот принцип (который эквивалентен свойству наименьшей верхней границы действительных чисел) исходит из конструкции Дедекинда действительных чисел, конструкции, которую Кронекер не принял. ^[52]

Кантор ограничил свою первую теорему набором действительных алгебраических чисел, хотя Дедекинд прислал ему доказательство, охватывающее все алгебраические числа. ^[20] Кантор сделал это по пояснительным причинам и из-за «местных обстоятельств». ^[53] Это ограничение упрощает статью, поскольку вторая теорема работает с вещественными последовательностями. Следовательно, конструкция второй теоремы может быть применена непосредственно к перебору действительных алгебраических чисел, чтобы создать «эффективную процедуру вычисления трансцендентных чисел». Эта процедура была бы приемлема для Вейерштрасса. ^[54]

Вклад Дедекинда в статью Кантора

Ричард Дедекинд,     ок. 1870 г.

С 1856 года Дедекинд разработал теории, включающие бесконечное множество бесконечных множеств, например: идеалы , которые он использовал в теории алгебраических чисел , и дедекиндовы разрезы , которые он использовал для построения действительных чисел. Эта работа позволила ему понять и внести свой вклад в работу Кантора. ^[55]

Первый вклад Дедекинда касается теоремы о счетности множества действительных алгебраических чисел. Эту теорему обычно приписывают Кантору, но историк математики Хосе Феррейрос называет ее «теоремой Дедекинда». Их переписка показывает, какой вклад каждый математик внес в теорему. ^[56]

В своем письме, вводящем понятие счетности, Кантор без доказательства заявил, что множество положительных рациональных чисел счетно, как и множества вида ( a _{n 1 ,  n 2 , ...,  n ν} ), где n ₁ ,  n ₂ , ...,  n _ν и ν — положительные целые числа. ^[57] Второй результат Кантора использует индексированное семейство чисел: набор формы ( n _{1 ,  n 2 , ... ,  n ν} ) представляет собой диапазон функции от индексов ν до набора действительных чисел. Из его второго результата следует первый: пусть ν  = 2 и a _{n 1 ,  n 2}  = № ₁/№ ₂. Функция может быть весьма общей — например, a _{n 1 ,  n 2 ,  n 3 ,  n 4 ,  n 5}  = (№ ₁/№ ₂)^{1/№ ₃} +  загар (№ ₄/№ ₅).

Дедекинд ответил доказательством теоремы о счетности множества всех алгебраических чисел. ^[20] В своем ответе Дедекинду Кантор не утверждал, что доказал результат Дедекинда. Он указал, как он доказал свою теорему об индексированных семействах чисел: «Ваше доказательство того, что ( n ) [набор натуральных чисел] может быть взаимно однозначно соотнесено с полем всех алгебраических чисел, примерно такое же, как и способ Я доказываю свое утверждение в последней букве: беру n ₁ ²  +  n ₂ ²  + ··· +  n _ν ²  =  и соответствующим образом упорядочиваю элементы». ^[58] Однако порядок Кантора слабее, чем порядок Дедекинда, и его нельзя расширить до кортежей целых чисел, включающих нули. ^[59] ${\displaystyle {\mathfrak {N}}}$ ${\displaystyle n}$

Второй вклад Дедекинда — доказательство второй теоремы Кантора. Дедекинд отправил это доказательство в ответ на письмо Кантора, содержащее теорему о несчетности, которую Кантор доказал, используя бесконечное число последовательностей. Затем Кантор написал, что нашел более простое доказательство, не использующее бесконечное количество последовательностей. ^[60] Итак, у Кантора был выбор доказательств, и он решил опубликовать доказательства Дедекинда. ^[61]

Кантор в частном порядке поблагодарил Дедекинда за помощь: «... ваши комментарии (которые я высоко ценю) и ваша манера излагать некоторые моменты оказали мне большую помощь». ^[46] Однако в своей статье он не упомянул о помощи Дедекинда. В предыдущих статьях он выразил признательность за помощь, полученную от Кронекера, Вейерштрасса, Гейне и Германа Шварца . Неупоминание Кантора о вкладе Дедекинда повредило его отношениям с Дедекиндом. Дедекинд перестал отвечать на его письма и возобновил переписку только в октябре 1876 года. ^{[62] [N]}

Наследие статьи Кантора

В статье Кантора были представлены теорема о несчетности и понятие счетности. Оба привели к значительному развитию математики. Теорема о несчетности продемонстрировала, что однозначные соответствия можно использовать для анализа бесконечных множеств. В 1878 году Кантор использовал их для определения и сравнения мощностей. Он также построил взаимно-однозначные соответствия, чтобы доказать, что n -мерные пространства Rn (где R ^— множество действительных чисел) и множество иррациональных чисел имеют ту же мощность, что и R. ^{[63] [О]}

В 1883 году Кантор расширил положительные целые числа своими бесконечными порядковыми числами . Это расширение было необходимо для его работы над теоремой Кантора-Бендиксона . Кантор открыл и другие способы применения ординалов — например, он использовал наборы ординалов для создания бесконечного множества множеств, имеющих разную бесконечную мощность. ^[65] Его работа о бесконечных множествах вместе с теоретико-множественными работами Дедекинда создала теорию множеств. ^[66]

Концепция счетности привела к появлению счетных операций и объектов, которые используются в различных областях математики. Например, в 1878 году Кантор ввёл счётные объединения множеств. ^[67] В 1890-х годах Эмиль Борель использовал счетные объединения в своей теории меры , а Рене Бэр использовал счетные ординалы для определения своих классов функций . ^[68] Опираясь на работы Бореля и Бэра, Анри Лебег создал свои теории меры и интегрирования , которые публиковались с 1899 по 1901 год. ^[69]

Счётные модели используются в теории множеств. В 1922 году Торальф Скулем доказал, что если обычные аксиомы теории множеств непротиворечивы , то у них есть счетная модель. Поскольку эта модель счетна, ее множество действительных чисел счетно. Это следствие называется парадоксом Скулема , и Скулем объяснил, почему оно не противоречит теореме Кантора о несчетности: хотя между этим множеством и множеством положительных целых чисел существует взаимно однозначное соответствие, ни одно такое взаимно однозначное соответствие не является членом модели. Таким образом, модель считает свой набор действительных чисел неисчислимым, или, точнее, предложение первого порядка , в котором говорится, что набор действительных чисел неисчислим, является истинным в рамках модели. ^[70] В 1963 году Пол Коэн использовал счетные модели для доказательства своих теорем независимости . ^[71]

Смотрите также

• Теорема Кантора

Примечания

1. В письме Дедекинду от 25 декабря 1873 года Кантор заявляет, что он написал и представил «короткую статью» под названием « О свойстве множества всех действительных алгебраических чисел» . (Нётер и Кавайлес, 1937, стр. 17; английский перевод: Эвальд, 1996, стр. 847.)
2. Отсюда следует остальная часть теоремы  , а именно: в [ a ,  b  ] существует бесконечно много чисел , не содержащихся в данной последовательности. Например, пусть это интервал и рассмотрим его подинтервалы . Поскольку эти подинтервалы попарно не пересекаются , применение первой части теоремы к каждому подинтервалу дает бесконечное количество чисел, не содержащихся в данной последовательности. В общем случае для интервала применим первую часть теоремы к подинтервалам ${\displaystyle [0,1]}$ ${\displaystyle [0,{\tfrac {1}{2}}],}$ ${\displaystyle [{\tfrac {3}{4}},{\tfrac {7}{8}}],}$ ${\displaystyle [{\tfrac {15}{16}},{\tfrac {31}{32}}],}$ ${\displaystyle \ldots .}$ ${\displaystyle [0,1]}$ ${\displaystyle [a,b],}$ ${\displaystyle [a,a+{\tfrac {1}{2}}(b-a)],}$ ${\displaystyle [a+{\tfrac {3}{4}}(b-a),a+{\tfrac {7}{8}}(b-a)],}$ ${\displaystyle [a+{\tfrac {15}{16}}(b-a),a+{\tfrac {31}{32}}(b-a)],}$ ${\displaystyle \ldots .}$
3. Кантор не доказывает эту лемму. В сноске к случаю 2 он утверждает, что _x n _не лежит внутри интервала [ an ,  bn _] . ^[11] Это доказательство основано на его доказательстве 1879 года, которое содержит более сложное индуктивное доказательство, которое демонстрирует несколько свойств генерируемых интервалов, включая свойство, доказанное здесь.
4. _{различие} между доказательством Кантора и приведенным выше доказательством состоит в том, что он генерирует последовательность замкнутых интервалов [ _an , bn  ] . Чтобы найти a _n +  ₁ и bn  _{+ 1} , он использует внутреннюю часть интервала [ an ,  bn _] , который является открытым интервалом (  an _{, bn ) .} Генерация открытых интервалов сочетает в себе использование Кантором закрытых интервалов и их внутренностей, что позволяет диаграммам случаев отображать все детали доказательства.
5. Кантор не был первым, кто дал определение «везде плотный», но его терминология была принята с «везде плотным» или без него (везде плотный: Архангельский и Федорчук 1990, стр. 15; плотный: Келли 1991, стр. 49). В 1870 году Герман Ханкель определил это понятие, используя другую терминологию: «множество точек... заполняет отрезок , если внутри отрезка не может быть задан интервал, каким бы малым он ни был, в котором нельзя найти хотя бы одну точку из этого множества». (Феррейрос 2007, стр. 155). Ханкель опирался на статью Питера Густава Лежена Дирихле 1829 года, в которой содержится функция Дирихле , неинтегрируемая по Риману функция , значение которой равно 0 для рациональных чисел и 1 для иррациональных чисел . (Феррейрос 2007, стр. 149.)
6. Перевод Кантора 1879, с. 2: Liegt P theilweise oder ganz im Intervalle (α... β), поэтому kann der bemerkenswerthe Fall eintreten, dass jedes noch so kleine в (α... β) энтальтеновом интервале (γ... δ) Punkte von P enthält . В einem solchen Falle wollen wir sagen, dass P im Intervalle (α...β) überall-dicht sei.
7. Это доказывается путем создания последовательности точек, принадлежащих как P, так и ( c ,  d ). Поскольку P плотно в [ a ,  b ] , подинтервал ( c ,  d ) содержит хотя бы одну точку x ₁ из P. По предположению, подинтервал ( x ₁ ,  d ) содержит хотя бы одну точку x ₂ из P и x ₂  >  x ₁ , поскольку x ₂ принадлежит этому подинтервалу. В общем, после генерации x _n подинтервал (x _n ,  d ) используется для создания точки x _{n  + 1} , удовлетворяющей x _{n  + 1}  >  x _n . Бесконечно множество точек xn принадлежат как P, _так и ( c ,  d ).
8. Начало этого доказательства получено из приведенного ниже доказательства путем ограничения его чисел интервалом [ a ,  b ] и использования подпоследовательности, поскольку Кантор использовал последовательности в своей работе 1873 года по счетности.
   Текст на немецком языке: Satz 68. Es gibt transzendente Zahlen.
   Gäbe es nämlich keine transzendenten Zahlen, поэтому он известен всем алгебраическим Zahlen, das Continuum также тождественен с любыми алгебраическими Zahlen. Это не так уж и важно, если все алгебраические задачи не исчезнут, дас Континуум не будет лишним. ^[28]
   Перевод: Теорема 68. Существуют трансцендентные числа.
   Если бы не было трансцендентных чисел, то все числа были бы алгебраическими. Следовательно, континуум был бы идентичен множеству всех алгебраических чисел. Однако это невозможно, поскольку множество всех алгебраических чисел счетно, а континуум — нет.
9. Под «доказательством Кантора» Перрон не подразумевает, что это доказательство, опубликованное Кантором. Скорее, он имеет в виду, что в доказательстве используются только аргументы, опубликованные Кантором. Например, чтобы получить вещественное число, не входящее в заданную последовательность, Перрон следует доказательству Кантора 1874 года, за исключением одной модификации: он использует диагональный аргумент Кантора 1891 года вместо аргумента вложенных интервалов 1874 года для получения вещественного числа. Кантор никогда не использовал диагональный аргумент для опровержения своей теоремы. В этом случае и доказательство Кантора, и доказательство Перрона конструктивны, поэтому никаких заблуждений здесь возникнуть не может. Затем Перрон модифицирует доказательство Кантора существования трансцендентного, давая доказательство обратного порядка. Это превращает конструктивное доказательство Кантора 1874 года в неконструктивное доказательство, что приводит к неправильному представлению о работе Кантора.
10. Это доказательство такое же, как доказательство Кантора 1874 года, за исключением одной модификации: оно использует его диагональный аргумент 1891 года вместо аргумента вложенных интервалов 1874 года для получения вещественного числа.
11. Программа, использующая диагональный метод, выводит цифры поэтапно, а программа, использующая метод 1874 года, требует как минимум шагов для получения цифр. (Грей, 1994, стр. 822–823.) ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle {\color {Blue}O}(n^{2}\log ^{2}n\log \log n)}$ ${\displaystyle O(2^{\sqrt[{3}]{n}})}$ ${\displaystyle n}$
12. Начиная с книги Харди и Райта, эти книги связаны с книгой Перрона через свои библиографии: книга Перрона упоминается в библиографии книги Харди и Райта, которая, в свою очередь, упоминается в библиографии книги Биркгофа и Мак Лейна, а также в библиографии. книги Спивака. (Харди и Райт, 1938, стр. 400; Биркгоф и Мак Лейн, 1941, стр. 441; Спивак, 1967, стр. 515.)
13. Мнение Кронекера заключалось в следующем: «Определения должны содержать средства достижения решения за конечное число шагов, а доказательства существования должны проводиться так, чтобы рассматриваемую величину можно было вычислить с любой необходимой степенью точности». ^[40] Таким образом, Кронекер принял бы аргумент Кантора как действительное доказательство существования, но он не принял бы его вывод о существовании трансцендентных чисел. По Кронекеру, они не существуют, потому что их определение не содержит средств для решения за конечное число шагов, является ли данное число трансцендентным. ^[41] Конструкция Кантора 1874 года вычисляет числа с любой необходимой степенью точности, потому что: Учитывая a k , можно вычислить n так, что b _n – a _n ≤1/кгде ( an _, bn ₎ — n -й интервал канторовой конструкции . Пример того, как это доказать, дан у Gray 1994, с. 822. Диагональный аргумент Кантора обеспечивает точность 10 ^{- n} после вычисления n действительных алгебраических чисел, поскольку каждое из этих чисел порождает одну цифру трансцендентного числа. ^[42]
14. Феррейрос проанализировал отношения между Кантором и Дедекиндом. Он объясняет, почему «отношения между обоими математиками были трудными после 1874 года, когда в них произошел перерыв…» (Феррейрос 1993, стр. 344, 348–352).
15. Метод Кантора построения взаимно однозначного соответствия между набором иррациональных чисел и R может быть использован для построения соответствия между набором трансцендентных чисел и R. ^[64] Конструкция начинается с множества трансцендентных чисел T и удаляет счетное подмножество { t _n } (например, t _n =е/н). Пусть это множество будет T ₀ . Тогда T  =   T ₀  ∪ { t _n } = T ₀  ∪ { t _{2 n – 1} } ∪ { t _{2 n} }, и R  =  T  ∪ { a _n } = T ₀  ∪ { t _n } ∪ { a _n } где n _— последовательность действительных алгебраических чисел. Таким образом, и T , и R представляют собой объединение трех попарно непересекающихся множеств: T ₀ и двух счетных множеств. Однозначное соответствие между T и R задается функцией: g ( t ) = t , если t  ∈  T ₀ , g ( t _{2 n – 1} ) = t _n и g ( t _{2 n} ) = a _н .

Примечание к доказательству Кантора 1879 года.

1. Поскольку доказательство Кантора не было опубликовано на английском языке, английский перевод дается вместе с оригинальным немецким текстом, взятым из Cantor 1879, стр. 5–7. Перевод начинается на одно предложение перед доказательством, поскольку в этом предложении упоминается доказательство Кантора 1874 года. Кантор утверждает, что оно было напечатано в журнале Борхардта. Журнал Крелля также назывался «Журналом Борхардта» с 1856 по 1880 год, когда журнал редактировал Карл Вильгельм Борхардт (Audin 2011, стр. 80). Квадратные скобки используются для обозначения упоминания о более раннем доказательстве Кантора, для пояснения перевода и для указания номеров страниц. Кроме того, « Mannichfaltigkeit » (многообразие) было переведено как «множество», а обозначение Кантора для замкнутых множеств (α...β) переведено в [α, β]. Кантор изменил свою терминологию с Mannichfaltigkeit на Menge (множество) в своей статье 1883 года, в которой были представлены наборы порядковых чисел (Kanamori 2012, стр. 5). В настоящее время в математике многообразие является разновидностью топологического пространства .

Рекомендации

1. Даубен 1993, с. 4.
2. Грей 1994, стр. 819–821.
3. Cantor 1874. Английский перевод: Эвальд 1996, стр. 840–843.
4. Grey 1994, с. 828.
5. Кантор 1874, с. 259. Английский перевод: Эвальд 1996, стр. 840–841.
6. Кантор 1874, с. 259. Английский перевод: Грей 1994, с. 820.
7. Кантор 1878, с. 242.
8. Грей 1994, с. 820.
9. Кантор 1874, стр. 259–260. Английский перевод: Эвальд 1996, с. 841.
10. Кантор 1874, стр. 260–261. Английский перевод: Эвальд 1996, стр. 841–842.
11. Кантор 1874, с. 261. Английский перевод: Эвальд 1996, с. 842.
12. Грей 1994, с. 822.
13. Хэвил 2012, стр. 208–209.
14. Хэвил 2012, с. 209.
15. Левек 1956, стр. 154–155.
16. Левек 1956, с. 174.
17. Вайсштейн 2003, с. 541.
18. Архангельский и Федорчук 1990, с. 16.
19. Нётер и Кавай, 1937, стр. 12–13. Английский перевод: Грей 1994, с. 827; Эвальд 1996, с. 844.
20. Noether & Cavailles 1937, с. 18. Английский перевод: Эвальд 1996, с. 848.
21. Нётер и Кавай 1937, с. 13. Английский перевод: Грей 1994, с. 827.
22. Noether & Cavailles 1937, стр. 14–15. Английский перевод: Эвальд 1996, стр. 845–846.
23. Грей 1994, с. 827
24. Даубен 1979, с. 51.
25. Нётер и Кавай 1937, с. 19. Английский перевод: Эвальд 1996, с. 849.
26. Эвальд 1996, с. 843.
27. Нётер и Кавай 1937, с. 16. Английский перевод: Грей 1994, с. 827.
28. Перрон 1921, с. 162.
29. Канамори 2012, с. 4.
30. Грей 1994, стр. 827–828.
31. Перрон 1921, с. 162
32. Френкель 1930, с. 237. Английский перевод: Грей 1994, с. 823.
33. Капланский 1972, с. 25.
34. Грей 1994, стр. 829–830.
35. Грей 1994, стр. 821–824.
36. Белл 1937, стр. 568–569; Харди и Райт 1938, с. 159 (6-е изд., стр. 205–206); Биркгоф и Мак Лейн 1941, с. 392, (5-е изд., стр. 436–437); Спивак 1967, стр. 369–370 (4-е изд., стр. 448–449).
37. Дасгупта 2014, с. 107; Шеппард 2014, стр. 131–132.
38. Джарвис 2014, с. 18; Чоудхари 2015, с. 19; Стюарт 2015, с. 285; Стюарт и Талл 2015, с. 333.
39. Биркгоф и Мак Лейн 1941, с. 392, (5-е изд., стр. 436–437).
40. Бертон 1995, с. 595.
41. Даубен 1979, с. 69.
42. Грей 1994, с. 824.
43. Феррейрос 2007, с. 184.
44. Нётер и Кавай, 1937, стр. 12–16. Английский перевод: Эвальд 1996, стр. 843–846.
45. Даубен 1979, с. 67.
46. Noether & Cavailles 1937, стр. 16–17. Английский перевод: Эвальд 1996, с. 847.
47. Граттан-Гиннесс 1971, с. 124.
48. Даубен 1979, стр. 67, 308–309.
49. Феррейрос 2007, стр. 184–185, 245.
50. Феррейрос 2007, с. 185: Неясно, когда изменилось его отношение, но есть свидетельства того, что к середине 1880-х годов он принял вывод о том, что бесконечные множества имеют разную мощность [мощность].
51. Феррейрос 2007, с. 177.
52. Даубен 1979, стр. 67–68.
53. Феррейрос 2007, с. 183.
54. Феррейрос 2007, с. 185.
55. Феррейрос 2007, стр. 109–111, 172–174.
56. Феррейрос 1993, стр. 349–350.
57. Нётер и Кавай, 1937, стр. 12–13. Английский перевод: Эвальд 1996, стр. 844–845.
58. Нётер и Кавай 1937, с. 13. Английский перевод: Эвальд 1996, с. 845.
59. Феррейрос 2007, с. 179.
60. Noether & Cavailles 1937, стр. 14–16, 19. Английский перевод: Эвальд 1996, стр. 845–847, 849.
61. Феррейрос 1993, стр. 358–359.
62. Феррейрос 1993, с. 350.
63. Кантор 1878, стр. 245–254.
64. Кантор 1879, с. 4.
65. Феррейрос 2007, стр. 267–273.
66. Феррейрос 2007, стр. xvi, 320–321, 324.
67. Кантор 1878, с. 243.
68. Хокинс 1970, стр. 103–106, 127.
69. Хокинс 1970, стр. 118, 120–124, 127.
70. Феррейрос 2007, стр. 362–363.
71. Коэн 1963, стр. 1143–1144.

Библиография

• Архангельский А.В.; Федорчук В.В. (1990), "Основные понятия и конструкции общей топологии", в сб. Архангельский А.В.; Понтрягин Л.С. (ред.), Общая топология I , Нью-Йорк, Берлин: Springer-Verlag, стр. 1–90, ISBN. 978-0-387-18178-3.
• Оден, Мишель (2011), Вспоминая Софью Ковалевскую , Лондон: Springer, ISBN 978-0-85729-928-4.
• Белл, Эрик Темпл (1937), Люди математики , Нью-Йорк: Саймон и Шустер, ISBN 978-0-671-62818-5.
• Биркгоф, Гарретт; Мак Лейн, Сондерс (1941), Обзор современной алгебры , Нью-Йорк: Macmillan, ISBN 978-1-56881-068-3.
• Бертон, Дэвид М. (1995), История математики Бертона (3-е изд.), Дубьюк, Айова: Уильям К. Браун, ISBN 978-0-697-16089-8.
• Кантор, Георг (1874), «Ueber eine Eigenschaft des Inbegriffes aller reellen алгебраишен Zahlen», Journal für die Reine und Angewandte Mathematik (на немецком языке), 1874 (77): 258–262, doi : 10.1515/crll.1874.77.258, S2CID  199545885.
• Кантор, Георг (1878), «Ein Beitrag zur Mannigfaltigkeitslehre», Journal für die Reine und Angewandte Mathematik (на немецком языке), 1878 (84): 242–258, doi : 10.1515/crll.1878.84.242.
• Кантор, Георг (1879), «Ueber unendliche, Lineare Punktmannichfaltigkeiten. 1.», Mathematische Annalen (на немецком языке), 15 : 1–7, doi : 10.1007/bf01444101, S2CID  179177510.
• Чоудхари, КР (2015), Основы дискретных математических структур (3-е изд.), Дели, Индия: PHI Learning, ISBN 978-81-203-5074-8.
• Коэн, Пол Дж. (1963), «Независимость гипотезы континуума», Труды Национальной академии наук Соединенных Штатов Америки , 50 (6): 1143–1148, Бибкод : 1963PNAS...50.1143C, doi : 10.1073/pnas.50.6.1143 , PMC  221287 , PMID  16578557.
• Дасгупта, Абхиджит (2014), Теория множеств: введение в наборы реальных точек , Нью-Йорк: Springer, ISBN 978-1-4614-8853-8.
• Даубен, Джозеф (1979), Георг Кантор: его математика и философия бесконечного , Кембридж, Массачусетс: издательство Гарвардского университета, ISBN 978-0-674-34871-4.
• Даубен, Джозеф (1993), «Георг Кантор и битва за теорию трансфинитных множеств» (PDF) , Материалы 9-й конференции ACMS.
• Эдвардс, Гарольд М. (1989), «Взгляды Кронекера на основы математики», в Роу, Дэвид Э.; Макклири, Джон (ред.), История современной математики, том 1 , Нью-Йорк: Academic Press, стр. 67–77, ISBN 978-0-12-599662-4.
• Эвальд, Уильям Б., изд. (1996), От Иммануила Канта до Дэвида Гильберта: Справочник по основам математики, Том 2 , Нью-Йорк: Oxford University Press, ISBN 978-0-19-850536-5.
• Феррейрос, Хосе (1993), «Об отношениях между Георгом Кантором и Ричардом Дедекиндом», Historia Mathematica , 20 (4): 343–363, doi : 10.1006/hmat.1993.1030.
• Феррейрос, Хосе (2007), Лабиринт мысли: история теории множеств и ее роль в математической мысли (2-е исправленное издание), Базель: Birkhäuser, ISBN 978-3-7643-8349-7.
• Френкель, Абрахам (1930), «Георг Кантор», Jahresbericht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung (на немецком языке), 39 : 189–266.
• Граттан-Гиннесс, Айвор (1971), «Переписка между Георгом Кантором и Филипом Журденом», Jahresbericht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung , 73 : 111–130.
• Грей, Роберт (1994), «Георг Кантор и трансцендентные числа» (PDF) , American Mathematical Monthly , 101 (9): 819–832, doi : 10.2307/2975129, JSTOR  2975129, MR  1300488, Zbl  0827.01004.
• Харди, Годфри; Райт, Э.М. (1938), Введение в теорию чисел , Оксфорд: Clarendon Press, ISBN 978-0-19-921985-8.
• Хэвил, Джулиан (2012), Иррациональность , Принстон, Оксфорд: Princeton University Press, ISBN 978-0-691-16353-6.
• Хокинс, Томас (1970), Теория интеграции Лебега , Мэдисон, Висконсин: University of Wisconsin Press, ISBN 978-0-299-05550-9.
• Джарвис, Фрейзер (2014), Алгебраическая теория чисел , Нью-Йорк: Springer, ISBN 978-3-319-07544-0.
• Канамори, Акихиро (2012), «Теория множеств от Кантора до Коэна» (PDF) , в Габбае, Дов М.; Канамори, Акихиро; Вудс, Джон Х. (ред.), Множества и расширения в двадцатом веке , Амстердам, Бостон: Издательство Кембриджского университета, стр. 1–71, ISBN. 978-0-444-51621-3.
• Каплански, Ирвинг (1972), Теория множеств и метрические пространства , Бостон: Аллин и Бэкон, ISBN 978-0-8284-0298-9.
• Келли, Джон Л. (1991), Общая топология , Нью-Йорк: Springer, ISBN. 978-3-540-90125-9.
• Левек, Уильям Дж. (1956), Темы теории чисел , том. Я, Ридинг, Массачусетс: Аддисон-Уэсли, ISBN 978-0-486-42539-9. (Перепечатано Dover Publications, 2002 г.)
• Нётер, Эмми ; Кавайес, Жан , ред. (1937), Briefwechsel Cantor-Dedekind (на немецком языке), Париж: Герман.
• Перрон, Оскар (1921), Irrationalzahlen (на немецком языке), Лейпциг, Берлин: В. де Грюйтер, OCLC  4636376.
• Шеппард, Барнаби (2014), Логика бесконечности , Кембридж: Издательство Кембриджского университета, ISBN 978-1-107-67866-8.
• Спивак, Майкл (1967), Исчисление, Лондон: WA Бенджамин, ISBN 978-0914098911.
• Стюарт, Ян (2015), Теория Галуа (4-е изд.), Бока-Ратон, Флорида: CRC Press, ISBN 978-1-4822-4582-0.
• Стюарт, Ян; Талл, Дэвид (2015), Основы математики (2-е изд.), Нью-Йорк: Oxford University Press, ISBN 978-0-19-870644-1.
• Вайсштейн, Эрик В. , изд. (2003), «Продолжительная дробь», Краткая математическая энциклопедия CRC , Бока-Ратон, Флорида: Chapman & Hall/CRC, ISBN 978-1-58488-347-0.