Пол Джозеф Коэн (2 апреля 1934 — 23 марта 2007) [1] — американский математик . Он наиболее известен своими доказательствами того, что гипотеза континуума и аксиома выбора независимы от теории множеств Цермело-Френкеля , за что он был награжден Медалью Филдса . [2]
Коэн родился в Лонг-Бранче, штат Нью-Джерси , в еврейской семье, иммигрировавшей в Соединенные Штаты из нынешней Польши ; он вырос в Бруклине . [3] [4] В 1950 году, в возрасте 16 лет, он окончил среднюю школу Стуйвесант в Нью-Йорке . [1] [4]
Затем Коэн учился в Бруклинском колледже с 1950 по 1953 год, но ушел, не получив степени бакалавра , когда узнал, что может начать учебу в аспирантуре Чикагского университета всего за два года обучения в колледже. В Чикаго Коэн получил степень магистра математики в 1954 году и степень доктора философии в 1958 году под руководством Антони Зигмунда . Название его докторской диссертации было « Темы теории единственности тригонометрических рядов ». [5]
В 1957 году, перед присуждением докторской степени, Коэн был назначен на год преподавателем математики в Рочестерском университете . Затем он провел 1958–59 учебный год в Массачусетском технологическом институте, а затем провел 1959–61 год в качестве научного сотрудника в Институте перспективных исследований в Принстоне. Это были годы, когда Коэн совершил ряд значительных математических прорывов. В работе «Факторизация в групповых алгебрах» (1959) он показал, что любая интегрируемая функция на локально компактной группе является сверткой двух таких функций, решая проблему, поставленную Вальтером Рудином . В работе Коэна (1960) он совершил значительный прорыв в решении гипотезы Литтлвуда. [6]
Коэн был членом Американской академии искусств и наук , [7] Национальной академии наук США , [8] и Американского философского общества . [9] 2 июня 1995 года Коэн получил степень почетного доктора факультета науки и технологий Уппсальского университета , Швеция . [10]
Коэн известен разработкой математического метода, называемого принуждением , который он использовал, чтобы доказать, что ни гипотеза континуума (CH), ни аксиома выбора не могут быть доказаны на основе стандартных аксиом Цермело-Френкеля (ZF) теории множеств . В сочетании с более ранней работой Гёделя это показало, что оба этих утверждения логически независимы от аксиом ZF: эти утверждения не могут быть ни доказаны, ни опровергнуты на основе этих аксиом. В этом смысле гипотеза континуума неразрешима и является наиболее широко известным примером естественного утверждения, независимого от стандартных аксиом ZF теории множеств.
За свой результат в области гипотезы континуума Коэн получил Филдсовскую медаль по математике в 1966 году, а также Национальную медаль науки в 1967 году . по математической логике, по состоянию на 2022 год.
Помимо своей работы в области теории множеств, Коэн также внес много ценных вкладов в анализ. Он был удостоен премии Мемориала Бошера в области математического анализа в 1964 году за свою статью «О гипотезе Литтлвуда и идемпотентных мерах » [12] и дал свое имя факторизационной теореме Коэна-Хьюитта .
Коэн был профессором математики в Стэнфордском университете . Он был приглашенным докладчиком на ICM в 1962 году в Стокгольме и в 1966 году в Москве.
Ангус Макинтайр из Лондонского университета Королевы Марии заявил о Коэне: «Он был пугающе умен, и нужно было быть наивным или исключительно альтруистичным, чтобы поставить свою «самую сложную проблему» Полу, которого я знал в 60-х». Далее он сравнил Коэна с Куртом Гёделем , сказав: «В истории этого предмета не произошло ничего более драматичного, чем их работа». [13] Сам Гёдель написал письмо Коэну в 1963 году, в черновике которого говорилось: «Позвольте мне повторить, что мне действительно приятно читать ваше доказательство независимости [зависимости] гипотезы con[inuum]». Я думаю, что во всех существенных отношениях вы дали наилучшее из возможных доказательств, а такое случается нечасто. Чтение вашего доказательства произвело на меня такое же приятное впечатление, как и просмотр действительно хорошей пьесы». [14]
Изучая гипотезу континуума, Коэн сказал в 1985 году, что у него «было ощущение, что люди считали проблему безнадежной, поскольку не было нового способа построения моделей теории множеств. безумие даже думать о проблеме». [15]
Точка зрения, которая, по мнению автора [Коэна], может в конечном итоге быть принята, заключается в том, что CH явно ложна. Основная причина принятия аксиомы бесконечности, вероятно, заключается в том, что мы считаем абсурдным думать, что процесс добавления только одного множества за раз может исчерпать всю Вселенную. Аналогично и с высшими аксиомами бесконечности. Теперь — мощность множества счетных ординалов, и это всего лишь специальный и простейший способ генерации более высокого кардинала. Множество [континуум], напротив, порождается совершенно новым и более мощным принципом, а именно аксиомой набора мощности . Неразумно ожидать, что любое описание большего кардинала, пытающееся построить его на основе идей, вытекающих из аксиомы замены, когда-либо достигнет .
Таким образом , больше , чем , где и т. д. Эта точка зрения рассматривает невероятно богатый набор, данный нам одной смелой новой аксиомой, к которой невозможно приблизиться каким-либо поэтапным процессом построения. Возможно, последующие поколения увидят проблему яснее и выскажутся более красноречиво.
- Коэн (2008)
«Непреходящий и мощный продукт» работы Коэна по гипотезе континуума, который использовался «бесчисленными математиками» [15] , известен как «принуждение» и используется для построения математических моделей для проверки данной гипотезы на предмет достоверности. правда или ложь.
Незадолго до смерти Коэн прочитал лекцию с описанием своего решения проблемы гипотезы континуума на конференции, посвященной столетнему юбилею Гёделя в 2006 году в Вене . [16]
У Коэна и его жены Кристины (урожденной Карлс) было трое сыновей. Коэн умер 23 марта 2007 года в Стэнфорде, штат Калифорния , после заболевания легких . [17]
