Счетное множество

Математический набор, который можно перечислить

В математике множество считается счетным , если оно либо конечно , либо его можно привести во взаимно однозначное соответствие с множеством натуральных чисел . ^[a] Эквивалентно, множество является счетным, если существует функция, инъективная из него в натуральные числа; это означает, что каждый элемент набора может быть связан с уникальным натуральным числом или что элементы набора можно считать по одному, хотя подсчет может никогда не завершиться из-за бесконечного числа элементов.

Говоря более техническим языком, предполагая аксиому счетного выбора , набор является счетным , если его мощность (количество элементов набора) не больше, чем у натуральных чисел. Счетное множество, которое не является конечным, называется счетным .

Концепция приписывается Георгу Кантору , который доказал существование несчетных множеств , то есть множеств, которые не счетны; например набор действительных чисел .

Примечание о терминологии

Хотя термины «счетный» и «счетная бесконечность», определенные здесь, довольно распространены, эта терминология не является универсальной. ^[1] Альтернативный стиль использует слово «исчисляемое» для обозначения того, что здесь называется «счетно-бесконечным», и « самое большее» - «счетное» для обозначения того, что здесь называется «счетным». ^{[2] [3]} Чтобы избежать двусмысленности, можно ограничиться терминами «не более чем счетный» и «счетный бесконечный», хотя с точки зрения краткости это худшее из обоих миров. ^{[ нужна цитата ]} Читателю рекомендуется проверить используемое определение при встрече с термином «счетный» в литературе.

Термины перечислимый ^[4] и счетный ^{[5] [6]} также могут использоваться, например, для обозначения счетного и счетного бесконечного соответственно, ^[7] но, поскольку определения различаются, читателю еще раз рекомендуется проверить используемое определение, в частности осознавая разницу с рекурсивно перечислимыми . ^[8]

Определение

Множество является счетным , если: ${\displaystyle S}$

• Его мощность меньше или равна ( алеф-ноль ) мощности множества натуральных чисел . ^[9] ${\displaystyle |S|}$ ${\displaystyle \aleph _{0}}$ ${\displaystyle \mathbb {N} }$
• Существует инъективная функция от до . ^{[10] [11]} ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \mathbb {N} }$
• ${\displaystyle S}$пусто или существует сюръективная функция от до . ^[11] ${\displaystyle \mathbb {N} }$ ${\displaystyle S}$
• Существует биективное отображение между и подмножеством . ^[12] ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \mathbb {N} }$
• ${\displaystyle S}$либо конечно ( ), либо счетно бесконечно. ^[5] ${\displaystyle |S|<\aleph _{0}}$

Все эти определения эквивалентны.

Множество счетно бесконечно , если: ${\displaystyle S}$

• Его мощность равна точно . ^[9] ${\displaystyle |S|}$ ${\displaystyle \aleph _{0}}$
• Между и существует инъективное и сюръективное (и, следовательно, биективное ) отображение . ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \mathbb {N} }$
• ${\displaystyle S}$имеет взаимно однозначное соответствие с . ^[13] ${\displaystyle \mathbb {N} }$
• Элементы можно расположить в бесконечной последовательности , где они отличаются от for и перечислены все элементы . ^{[14] [15]} ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle a_{0},a_{1},a_{2},\ldots }$ ${\displaystyle a_{i}}$ ${\displaystyle a_{j}}$ ${\displaystyle i\neq j}$ ${\displaystyle S}$

Множество является несчетным , если оно несчетно, т. е. его мощность больше . ^[9] ${\displaystyle \aleph _{0}}$

История

В 1874 году в своей первой статье по теории множеств Кантор доказал, что множество действительных чисел неисчислимо, показав тем самым, что не все бесконечные множества счетны. ^[16] В 1878 году он использовал взаимно-однозначные соответствия для определения и сравнения мощностей. ^[17] В 1883 году он расширил натуральные числа своими бесконечными ординалами и использовал наборы ординалов для создания бесконечности множеств, имеющих разные бесконечные мощности. ^[18]

Введение

Множество — это совокупность элементов , которую можно описать разными способами. Один из способов — просто перечислить все его элементы; например, набор, состоящий из целых чисел 3, 4 и 5, может быть обозначен как форма реестра. ^[19] Однако это эффективно только для небольших наборов; для больших наборов это потребует много времени и чревато ошибками. Вместо перечисления каждого отдельного элемента иногда используется многоточие («...») для обозначения множества элементов между начальным и конечным элементом в наборе, если автор считает, что читатель может легко догадаться, что представляет собой .... ; например, предположительно обозначает набор целых чисел от 1 до 100. Однако даже в этом случае все равно можно перечислить все элементы, поскольку число элементов в наборе конечно. Если мы пронумеруем элементы множества 1, 2 и так далее до , это даст нам обычное определение «множеств размера ». ${\displaystyle \{3,4,5\}}$ ${\displaystyle \{1,2,3,\dots ,100\}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$

Биективное отображение целых чисел в четные.

Некоторые множества бесконечны ; эти наборы содержат больше элементов, где — любое целое число, которое можно указать. (Независимо от того, насколько велико указанное целое число , например , бесконечные множества содержат больше элементов.) Например, набор натуральных чисел, обозначаемый , ^[a], имеет бесконечно много элементов, и мы не можем использовать никакое натуральное число, чтобы получить его размер. Может показаться естественным разделить множества на разные классы: объединить все множества, содержащие один элемент; все множества, содержащие два элемента вместе; ...; наконец, соберите все бесконечные множества и считайте, что они имеют одинаковый размер. Эта точка зрения хорошо работает для счетных бесконечных множеств и была преобладающим предположением до работы Георга Кантора. Например, существует бесконечно много нечетных целых чисел, бесконечно много четных целых чисел, а также бесконечно много целых чисел в целом. Мы можем считать, что все эти наборы имеют одинаковый «размер», потому что мы можем расположить вещи так, что для каждого целого числа существует отдельное четное целое число: ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n=10^{1000}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \{0,1,2,3,4,5,\dots \}}$

$${\displaystyle \ldots \,-\!2\!\rightarrow \!-\!4,\,-\!1\!\rightarrow \!-\!2,\,0\!\rightarrow \!0,\,1\!\rightarrow \!2,\,2\!\rightarrow \!4\,\cdots }$$

взаимно однозначное соответствиебиекциюфункциюоднозначном ${\displaystyle n\rightarrow 2n}$ ${\displaystyle \aleph _{0}}$

Георг Кантор показал, что не все бесконечные множества счетно бесконечны. Например, действительные числа не могут быть приведены во взаимно однозначное соответствие натуральным числам (неотрицательным целым числам). Множество действительных чисел имеет большую мощность, чем множество натуральных чисел, и называется несчетным.

Формальный обзор

По определению, множество является счетным , если существует взаимно однозначное соответствие между и подмножеством натуральных чисел . Например, определите соответствие ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \mathbb {N} =\{0,1,2,\dots \}}$

$${\displaystyle a\leftrightarrow 1,\ b\leftrightarrow 2,\ c\leftrightarrow 3}$$

ровно с одними ${\displaystyle S=\{a,b,c\}}$ ${\displaystyle \{1,2,3\}}$ ${\displaystyle S}$

Что касается случая бесконечных множеств, набор счетно бесконечен , если между и всеми из . В качестве примеров рассмотрим наборы , набор положительных целых чисел и , набор четных целых чисел. Мы можем показать, что эти множества счетно бесконечны, продемонстрировав биекцию натуральных чисел. Этого можно добиться с помощью присваиваний и , так что ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \mathbb {N} }$ ${\displaystyle A=\{1,2,3,\dots \}}$ ${\displaystyle B=\{0,2,4,6,\dots \}}$ ${\displaystyle n\leftrightarrow n+1}$ ${\displaystyle n\leftrightarrow 2n}$

$${\displaystyle {\begin{matrix}0\leftrightarrow 1,&1\leftrightarrow 2,&2\leftrightarrow 3,&3\leftrightarrow 4,&4\leftrightarrow 5,&\ldots \\[6pt]0\leftrightarrow 0,&1\leftrightarrow 2,&2\leftrightarrow 4,&3\leftrightarrow 6,&4\leftrightarrow 8,&\ldots \end{matrix}}}$$

Теорема  .  Подмножество счетного множества счетно. ^[20]

Набор всех упорядоченных пар натуральных чисел ( декартово произведение двух наборов натуральных чисел) счетно бесконечен, в чем можно убедиться, следуя по пути, подобному показанному на рисунке: ${\displaystyle \mathbb {N} \times \mathbb {N} }$

Функция спаривания Кантора присваивает одно натуральное число каждой паре натуральных чисел.

Полученное отображение происходит следующим образом:

$${\displaystyle 0\leftrightarrow (0,0),1\leftrightarrow (1,0),2\leftrightarrow (0,1),3\leftrightarrow (2,0),4\leftrightarrow (1,1),5\leftrightarrow (0,2),6\leftrightarrow (3,0),\ldots }$$

Эта форма треугольного отображения рекурсивно обобщается на кортежи натуральных чисел, т. е. где и являются натуральными числами, путем многократного отображения первых двух элементов кортежа на натуральное число. Например, можно записать как . Затем отображается в 5, поэтому отображается в , затем отображается в 39. Поскольку другой кортеж из двух чисел, то есть пара, такая как , отображается в другое натуральное число, разницы между двумя n-кортежами на один элемент достаточно, чтобы гарантировать n-кортежи сопоставляются с разными натуральными числами. Итак, инъекция множества -кортежей в множество натуральных чисел доказана. Для множества кортежей, состоящих из декартова произведения конечного числа различных наборов, каждый элемент в каждом кортеже соответствует натуральному числу, поэтому каждый кортеж можно записать натуральными числами, тогда для доказательства теоремы применяется та же логика. ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle (a_{1},a_{2},a_{3},\dots ,a_{n})}$ ${\displaystyle a_{i}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle (0,2,3)}$ ${\displaystyle ((0,2),3)}$ ${\displaystyle (0,2)}$ ${\displaystyle ((0,2),3)}$ ${\displaystyle (5,3)}$ ${\displaystyle (5,3)}$ ${\displaystyle (a,b)}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \mathbb {N} }$ ${\displaystyle n}$

Теорема  .  Декартово произведение конечного числа счетных множеств счетно. ^{[21] [б]}

Набор всех целых чисел и набор всех рациональных чисел может интуитивно показаться намного большим, чем . Но внешность может быть обманчивой. Если пару рассматривать как числитель и знаменатель обычной дроби ( дроби в форме где и являются целыми числами), то для каждой положительной дроби мы можем найти соответствующее ей отдельное натуральное число. Это представление также включает натуральные числа, поскольку каждое натуральное число также является дробью . Таким образом, мы можем заключить, что положительных рациональных чисел ровно столько, сколько положительных целых чисел. Это также верно для всех рациональных чисел, как можно увидеть ниже. ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle \mathbb {N} }$ ${\displaystyle a/b}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b\neq 0}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n/1}$

Теорема  —  (множество всех целых чисел) и (множество всех рациональных чисел) счетны. ^[с] ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$

Аналогичным образом счетно множество алгебраических чисел . ^{[23] [д]}

Иногда полезно более одного отображения: набор, который должен быть показан как счетный, взаимно однозначно отображается (инъекция) в другой набор , затем доказывается, что он счетный, если он взаимно однозначно отображается в набор натуральных чисел. Например, набор положительных рациональных чисел можно легко взаимно однозначно отобразить в набор пар натуральных чисел (двойки), поскольку он отображается в . Поскольку набор пар натуральных чисел взаимно однозначно отображается (фактически взаимно однозначное соответствие или биекция) в набор натуральных чисел, как показано выше, набор положительных рациональных чисел доказывается как счетный. ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle p/q}$ ${\displaystyle (p,q)}$

Теорема  .  Любое конечное объединение счетных множеств счетно. ^{[24] [25] [д]}

Зная, что существуют несчетные множества, мы можем задаться вопросом, можно ли продвинуть этот последний результат дальше. Ответ — «да» и «нет», мы можем расширить его, но для этого нам нужно принять новую аксиому.

Теорема  —  (предполагая аксиому счетного выбора ) Объединение счетного числа счетных множеств счетно. ^[ф]

Перечисление счетного числа счетных множеств

Например, для заданных счетных наборов мы сначала присваиваем каждому элементу каждого набора кортеж, затем присваиваем каждому кортежу индекс, используя вариант треугольного перечисления, которое мы видели выше: ${\displaystyle {\textbf {a}},{\textbf {b}},{\textbf {c}},\dots }$

$${\displaystyle {\begin{array}{c|c|c }{\text{Index}}&{\text{Tuple}}&{\text{Element}}\\\hline 0&(0,0)&{\textbf {a}}_{0}\\1&(0,1)&{\textbf {a}}_{1}\\2&(1,0)&{\textbf {b}}_{0}\\3&(0,2)&{\textbf {a}}_{2}\\4&(1,1)&{\textbf {b}}_{1}\\5&(2,0)&{\textbf {c}}_{0}\\6&(0,3)&{\textbf {a}}_{3}\\7&(1,2)&{\textbf {b}}_{2}\\8&(2,1)&{\textbf {c}}_{1}\\9&(3,0)&{\textbf {d}}_{0}\\10&(0,4)&{\textbf {a}}_{4}\\\vdots &&\end{array}}}$$

Нам нужна аксиома счетного выбора , чтобы индексировать все множества одновременно. ${\displaystyle {\textbf {a}},{\textbf {b}},{\textbf {c}},\dots }$

Теорема  .  Множество всех последовательностей натуральных чисел конечной длины счетно.

Этот набор представляет собой объединение последовательностей длины 1, последовательностей длины 2 и последовательностей длины 3, каждая из которых представляет собой счетное множество (конечное декартово произведение). Итак, речь идет о счетном объединении счетных множеств, которое счетно по предыдущей теореме.

Теорема  .  Множество всех конечных подмножеств натуральных чисел счетно.

Элементы любого конечного подмножества можно упорядочить в конечную последовательность. Существует только счетное число конечных последовательностей, поэтому существует только счетное число конечных подмножеств.

Теорема  .  Пусть и будут множествами. ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle T}$

1. Если функция инъективна и счетна, то она счетна. ${\displaystyle f:S\to T}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle S}$
2. Если функция сюръективна и счетна, то она счетна. ${\displaystyle g:S\to T}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle T}$

Они следуют из определений счетного множества как инъективных/сюръективных функций. ^[г]

Теорема Кантора утверждает, что если- множество иего степенное множество , т.е. множество всех подмножеств, то не существует сюръективной функции отдо. Доказательство приведено в статье Теорема Кантора . Как непосредственное следствие этого и приведенной выше основной теоремы мы имеем: ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle {\mathcal {P}}(A)}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle {\mathcal {P}}(A)}$

Предложение  .  Множество не счетно; т.е. оно неисчислимо . ${\displaystyle {\mathcal {P}}(\mathbb {N} )}$

Более подробно этот результат см. в диагональном аргументе Кантора .

Множество действительных чисел несчетно, ^[h] , как и множество всех бесконечных последовательностей натуральных чисел.

Минимальная модель теории множеств счетна.

Если существует набор, который является стандартной моделью (см. внутреннюю модель ) теории множеств ZFC, то существует минимальная стандартная модель (см. Конструируемая вселенная ). Теорему Левенхайма – Скулема можно использовать, чтобы показать, что эта минимальная модель счетна. Тот факт, что понятие «несчетность» имеет смысл даже в этой модели, и в частности, что эта модель M содержит элементы, которые:

• подмножества M , следовательно, счетные,
• но несчетно с точки зрения М ,

на заре теории множеств считалось парадоксальным, подробнее см. Парадокс Скулема .

Минимальная стандартная модель включает все алгебраические числа и все эффективно вычислимые трансцендентные числа , а также многие другие виды чисел.

Всего заказов

Счетные множества можно полностью упорядочить различными способами, например:

• Колодцы-заказы (см. также порядковый номер ):
  • Обычный порядок натуральных чисел (0, 1, 2, 3, 4, 5,...)
  • Целые числа в порядке (0, 1, 2, 3, ...; −1, −2, −3, ...)
• Другое ( не очень заказы):
  • Обычный порядок целых чисел (..., −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, ...)
  • Обычный порядок рациональных чисел (Невозможно явно записать в виде упорядоченного списка!)

В обоих примерах порядка скважин здесь любое подмножество имеет наименьший элемент ; и в обоих примерах заказов, отличных от скважин, некоторые подмножества не имеют наименьшего элемента . Это ключевое определение, которое определяет, является ли общий заказ также порядком скважины.

Смотрите также

• Число Алеф
• Подсчет
• Парадокс Гильберта о Гранд-отеле
• Бесчисленное множество

Примечания

1. Поскольку существует очевидная биекция между и , не имеет значения, считать ли 0 натуральным числом или нет. В любом случае, эта статья соответствует ISO 31-11 и стандартному соглашению в математической логике , которое принимает 0 как натуральное число. ${\displaystyle \mathbb {N} }$ ${\displaystyle \mathbb {N} ^{*}=\{1,2,3,\dots \}}$
2. Доказательство: обратите внимание, что оно счетно как следствие определения, поскольку функция, заданная как, является инъективной. ^[22] Отсюда следует, что декартово произведение любых двух счетных множеств является счетным, потому что если и являются двумя счетными множествами, то существуют сюръекции и . То же самое относится и к сюръекции из счетного множества в множество, и из следствия следует, что оно счетно. Этот результат обобщается на декартово произведение любого конечного набора счетных множеств, и доказательство следует индукцией по количеству множеств в наборе. ${\displaystyle \mathbb {N} \times \mathbb {N} }$ ${\displaystyle f:\mathbb {N} \times \mathbb {N} \to \mathbb {N} }$ ${\displaystyle f(m,n)=2^{m}\cdot 3^{n}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle f:\mathbb {N} \to A}$ ${\displaystyle g:\mathbb {N} \to B}$ ${\displaystyle f\times g:\mathbb {N} \times \mathbb {N} \to A\times B}$ ${\displaystyle \mathbb {N} \times \mathbb {N} }$ ${\displaystyle A\times B}$ ${\displaystyle A\times B}$
3. Доказательство: целые числа счетны, поскольку функция, заданная if , неотрицательна, а если отрицательна, является инъективной функцией. Рациональные числа счетны, поскольку функция, заданная выражением, является сюръекцией счетного множества к рациональным числам . ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle f:\mathbb {Z} \to \mathbb {N} }$ ${\displaystyle f(n)=2^{n}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle f(n)=3^{-n}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle g:\mathbb {Z} \times \mathbb {N} \to \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle g(m,n)=m/(n+1)}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} \times \mathbb {N} }$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$
4. Доказательство: по определению, каждое алгебраическое число (включая комплексные числа) является корнем многочлена с целыми коэффициентами. Учитывая алгебраическое число , пусть будет полиномом с целыми коэффициентами, таким, что он является корнем многочлена -й степени, где корни сортируются по абсолютному значению от меньшего к большему, а затем сортируются по аргументу от меньшего к большему. Мы можем определить функцию инъекции (т.е. взаимно-однозначную), заданную выражением , где – -е простое число . ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle a_{0}x^{0}+a_{1}x^{1}+a_{2}x^{2}+\cdots +a_{n}x^{n}}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle f:\mathbb {A} \to \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle f(\alpha )=2^{k-1}\cdot 3^{a_{0}}\cdot 5^{a_{1}}\cdot 7^{a_{2}}\cdots {p_{n+2}}^{a_{n}}}$ ${\displaystyle p_{n}}$ ${\displaystyle n}$
5. Доказательство: если это счетное множество для каждого из , то для каждого существует сюръективная функция и, следовательно, функция ${\displaystyle A_{i}}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle I=\{1,\dots ,n\}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle g_{i}:\mathbb {N} \to A_{i}}$
   $${\displaystyle G:I\times \mathbf {N} \to \bigcup _{i\in I}A_{i},}$$
   заданное является сюръективным. Поскольку счетно, то объединение счетно. ${\displaystyle G(i,m)=g_{i}(m)}$ ${\displaystyle I\times \mathbb {N} }$ ${\textstyle \bigcup _{i\in I}A_{i}}$
6. Доказательство : Как и в конечном случае, но мы используем аксиому счетного выбора , чтобы выбрать для каждого сюръекцию из непустой коллекции сюръекций от до . ^[26] Обратите внимание: поскольку мы рассматриваем сюръекцию , а не инъекцию, нет требования, чтобы множества не пересекались. ${\displaystyle I=\mathbb {N} }$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle \mathbb {N} }$ ${\displaystyle g_{i}}$ ${\displaystyle \mathbb {N} }$ ${\displaystyle A_{i}}$ ${\displaystyle G:\mathbf {N} \times \mathbf {N} \to \bigcup _{i\in I}A_{i}}$
7. Доказательство : Для (1) заметим, что если счетно, то существует инъективная функция . Тогда если инъективно, то композиция инъективна, а значит, счетна. Для (2) заметим, что если счетно, то либо пусто, либо существует сюръективная функция . Тогда, если сюръективно, либо и оба пусты, либо композиция сюръективна. В любом случае счетно. ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle h:T\to \mathbb {N} }$ ${\displaystyle f:S\to T}$ ${\displaystyle h\circ f:S\to \mathbb {N} }$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle h:\mathbb {N} \to S}$ ${\displaystyle g:S\to T}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle g\circ h:\mathbb {N} \to T}$ ${\displaystyle T}$
8. См. первое доказательство несчетности Кантора , а также свойство конечного пересечения # Приложения для топологического доказательства.

Цитаты

1. Манетти, Марко (19 июня 2015 г.). Топология. Спрингер. п. 26. ISBN 978-3-319-16958-3.
2. Рудин 1976, Глава 2.
3. Тао 2016, с. 181
4. Камке 1950, с. 2
5. Lang 1993, §2 главы I.
6. Апостол 1969, с. 23, глава 1.14
7. Тьерри, Виалар (4 апреля 2017 г.). Справочник по математике. Совет директоров - Книги по запросу. п. 24. ISBN 978-2-9551990-1-5.
8. Мукерджи, Субир Кумар (2009). Первый курс реального анализа. Академические издательства. п. 22. ISBN 978-81-89781-90-3.
9. Якуб, Аладдин М. (24 октября 2014 г.). Введение в металогику. Бродвью Пресс. ISBN 978-1-4604-0244-3.
10. Сингх, Тедж Бахадур (17 мая 2019 г.). Введение в топологию. Спрингер. п. 422. ИСБН 978-981-13-6954-4.
11. Кацуракис, Николаос; Варварука, Евгений (2 января 2018 г.). Иллюстративное введение в современный анализ. ЦРК Пресс. ISBN 978-1-351-76532-9.
12. Халмош 1960, с. 91
13. Камке 1950, с. 2
14. Длаб, Властимил; Уильямс, Кеннет С. (9 июня 2020 г.). Приглашение к алгебре: сборник ресурсов для учителей, студентов старших курсов и аспирантов по математике. Всемирная научная. п. 8. ISBN 978-981-12-1999-3.
15. Тао 2016, с. 182
16. Стиллвелл, Джон К. (2010), Дороги к бесконечности: математика истины и доказательства, CRC Press, стр. 10, ISBN 9781439865507Открытие Кантором бесчисленных множеств в 1874 году было одним из самых неожиданных событий в истории математики . До 1874 года большинство людей даже не считали бесконечность законным математическим предметом, поэтому необходимость различать счетную и несчетную бесконечность не могла быть и вообразима.
17. Кантор 1878, с. 242.
18. Феррейрос 2007, стр. 268, 272–273.
19. «Что такое наборы и форма состава?». экспии . 09.05.2021. Архивировано из оригинала 18 сентября 2020 г.
20. Халмос 1960, с. 91
21. Халмош 1960, с. 92
22. Авельсгаард 1990, с. 182
23. Камке 1950, стр. 3–4.
24. Авельсгаард 1990, с. 180
25. Флетчер и Пэтти 1988, с. 187
26. Хрбачек, Карел; Джех, Томас (22 июня 1999 г.). Введение в теорию множеств, третье издание, переработанное и расширенное. ЦРК Пресс. п. 141. ИСБН 978-0-8247-7915-3.

Рекомендации

• Апостол, Том М. (июнь 1969 г.), Исчисление с несколькими переменными и линейная алгебра с приложениями , Исчисление, том. 2 (2-е изд.), Нью-Йорк: John Wiley + Sons, ISBN 978-0-471-00007-5
• Авелсгаард, Кэрол (1990), Основы высшей математики , Скотт, Форесман и компания, ISBN 0-673-38152-8
• Кантор, Георг (1878), «Ein Beitrag zur Mannigfaltigkeitslehre», Journal für die Reine und Angewandte Mathematik , 1878 (84): 242–248, doi : 10.1515/crelle-1878-18788413, S2CID  123695365
• Феррейрос, Хосе (2007), Лабиринт мысли: история теории множеств и ее роль в математической мысли (2-е исправленное издание), Birkhäuser, ISBN 978-3-7643-8349-7
• Флетчер, Питер; Пэтти, К. Уэйн (1988), Основы высшей математики , Бостон: Издательская компания PWS-KENT, ISBN 0-87150-164-3
• Халмос, Пол Р. (1960), Наивная теория множеств , D. Van Nostand Company, Inc.Перепечатано Springer-Verlag, Нью-Йорк, 1974 г. ISBN 0-387-90092-6 (издание Springer-Verlag). Перепечатано Martino Fine Books, 2011. ISBN 978-1-61427-131-4 (издание в мягкой обложке).  
• Камке, Эрих (1950), Теория множеств , Дуврская серия по математике и физике, Нью-Йорк: Дувр, ISBN 978-0486601410
• Ланг, Серж (1993), Реальный и функциональный анализ , Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag, ISBN 0-387-94001-4
• Рудин, Уолтер (1976), Принципы математического анализа , Нью-Йорк: McGraw-Hill, ISBN 0-07-054235-Х
• Тао, Теренс (2016). «Бесконечные множества». Анализ И. Тексты и чтения по математике. Том. 37 (Третье изд.). Сингапур: Спрингер. стр. 181–210. дои : 10.1007/978-981-10-1789-6_8. ISBN 978-981-10-1789-6.