Основы математики — это логико - математическая структура, которая позволяет развивать математику, не создавая противоречивых теорий , и, в частности, иметь надежные концепции теорем , доказательств , алгоритмов и т. д. Это может также включать философское исследование связи этой структуры с реальностью . [1]
Термин «основания математики» появился лишь в конце XIX века, хотя основы были впервые установлены древнегреческими философами под названием логики Аристотеля и систематически применялись в «Началах » Евклида . Математическое утверждение считается истинным только в том случае, если оно является теоремой , которая доказывается из истинных посылок с помощью последовательности силлогизмов ( правил вывода ), причем посылками являются либо уже доказанные теоремы, либо самоочевидные утверждения, называемые аксиомами или постулатами .
Эти основы тактично считались окончательными до введения в XVII веке исчисления бесконечно малых Исааком Ньютоном и Готфридом Вильгельмом Лейбницем . Эта новая область математики включала новые методы рассуждений и новые базовые концепции ( непрерывные функции , производные , пределы ), которые не были хорошо обоснованы, но имели поразительные последствия, такие как вывод из закона тяготения Ньютона о том , что орбиты планет являются эллипсами .
В течение 19-го века был достигнут прогресс в разработке точных определений основных понятий исчисления бесконечно малых, в частности натуральных и действительных чисел. Это привело к концу 19-го века к серии, казалось бы, парадоксальных математических результатов, которые бросили вызов общей уверенности в надежности и истинности математических результатов. Это было названо фундаментальным кризисом математики .
Разрешение этого кризиса повлекло за собой возникновение новой математической дисциплины, называемой математической логикой , которая включает в себя теорию множеств , теорию моделей , теорию доказательств , теорию вычислимости и вычислительной сложности , а в последнее время и части компьютерной науки . Последующие открытия в 20 веке стабилизировали основы математики в согласованную структуру, действительную для всей математики. Эта структура основана на систематическом использовании аксиоматического метода и теории множеств, в частности ZFC , теории множеств Цермело - Френкеля с аксиомой выбора .
Из этого следует, что основные математические понятия, такие как числа , точки , линии и геометрические пространства, определяются не как абстракции от реальности, а как абстракции от основных свойств ( аксиом ). Их соответствие их физическим истокам больше не принадлежит математике, хотя их связь с реальностью по-прежнему используется для руководства математической интуицией : физическая реальность по-прежнему используется математиками для выбора аксиом, нахождения теорем, которые интересно доказать, и получения указаний на возможные доказательства.
Большинство цивилизаций развивали некоторую математику, в основном для практических целей, таких как счет (торговцы), геодезия (разграничение полей), просодия , астрономия и астрология . Кажется, древнегреческие философы были первыми, кто изучал природу математики и ее связь с реальным миром.
Зенон Элейский (490 – ок. 430 до н. э.) создал несколько парадоксов, которые он использовал для обоснования своего тезиса о том, что движения не существует. Эти парадоксы включают математическую бесконечность , концепцию, которая находилась за пределами математических основ того времени и не была хорошо понята до конца 19-го века.
Пифагорейская школа математики изначально настаивала на том, что единственными числами являются натуральные числа и отношения натуральных чисел. Открытие (около V века до н. э.) того, что отношение диагонали квадрата к его стороне не является отношением двух натуральных чисел, было для них шоком, который они приняли с большой неохотой. Свидетельством этого является современная терминология иррационального числа для обозначения числа, которое не является частным двух целых чисел, поскольку «иррациональный» изначально означает «не разумный» или «недоступный разуму».
Тот факт, что отношения длин не представлены рациональными числами, был разрешен Евдоксом Книдским (408–355 до н. э.), учеником Платона , который свел сравнение двух иррациональных отношений к сравнению целых кратных величин, участвующих в этом. Его метод предвосхитил метод Дедекинда в современном определении действительных чисел Ричарда Дедекинда (1831–1916); [2] см. Евдокс Книдский § Пропорции Евдокса .
В «Второй аналитике » Аристотель (384–322 гг. до н. э.) изложил логику организации области знаний с помощью примитивных понятий, аксиом, постулатов, определений и теорем. Аристотель брал большинство своих примеров для этого из арифметики и геометрии, и его логика служила основой математики на протяжении столетий. Этот метод напоминает современный аксиоматический метод , но с большим философским отличием: аксиомы и постулаты должны были быть истинными, будучи либо самоочевидными, либо вытекающими из экспериментов , в то время как никакая другая истина, кроме правильности доказательства, не участвует в аксиоматическом методе. Таким образом, для Аристотеля доказанная теорема является истинной, в то время как в аксиоматических методах доказательство говорит только о том, что аксиомы подразумевают утверждение теоремы.
Логика Аристотеля достигла своего пика в « Началах » Евклида (300 г. до н. э.), трактате по математике, структурированном с очень высокими стандартами строгости: Евклид обосновывает каждое предложение демонстрацией в форме цепочек силлогизмов ( хотя они не всегда строго соответствуют аристотелевским шаблонам). Силлогистическая логика Аристотеля , вместе с ее иллюстрацией в «Началах » Евклида , признаны венцом научных достижений Древней Греции и оставались основой математики на протяжении столетий.
В Средние века « Начала » Евклида служили прочной основой для математики, а философия математики сосредоточилась на онтологическом статусе математических понятий; вопрос заключался в том, существуют ли они независимо от восприятия ( реализм ) или только в сознании ( концептуализм ); или даже являются ли они просто названиями совокупностей отдельных объектов ( номинализм ).
В «Началах» рассматриваются только натуральные числа и отношения длин. Этот геометрический взгляд на нецелые числа оставался доминирующим до конца Средних веков, хотя развитие алгебры привело к их независимому рассмотрению от геометрии, что подразумевает наличие фундаментальных примитивов математики. Например, преобразования уравнений, введенные Аль-Хорезми , и кубические и квартические формулы, открытые в XVI веке, являются результатом алгебраических манипуляций, не имеющих геометрического аналога.
Тем не менее, это не бросало вызов классическим основам математики, поскольку все используемые свойства чисел можно вывести из их геометрического определения.
В 1637 году Рене Декарт опубликовал «La Géométrie» , в котором показал, что геометрию можно свести к алгебре с помощью координат , которые являются числами, определяющими положение точки. Это придает числам, которые он называл действительными числами, более фундаментальную роль (до него числа определялись как отношение двух длин). Книга Декарта стала знаменитой после 1649 года и проложила путь к исчислению бесконечно малых .
Исаак Ньютон (1642–1727) в Англии и Лейбниц (1646–1716) в Германии независимо друг от друга разработали исчисление бесконечно малых для работы с подвижными точками (например, планетами на небе) и переменными величинами.
Это потребовало введения новых понятий, таких как непрерывные функции , производные и пределы . Для того, чтобы иметь дело с этими понятиями логическим образом, они были определены в терминах бесконечно малых , которые являются гипотетическими числами, бесконечно близкими к нулю. Сильное влияние исчисления бесконечно малых на основы математики проиллюстрировано в памфлете протестантского философа Джорджа Беркли (1685–1753), который писал: «[Бесконечно малые] не являются ни конечными величинами, ни величинами бесконечно малыми, ни даже ничем. Не можем ли мы назвать их призраками ушедших величин?». [3]
Также часто ссылались на отсутствие строгости, поскольку бесконечно малые величины и связанные с ними понятия не были формально определены ( прямые и плоскости также не были формально определены, но люди были более привычны к ним). Действительные числа, непрерывные функции, производные не были формально определены до 19 века, как и евклидова геометрия . Только в 20 веке было дано формальное определение бесконечно малых величин с доказательством того, что из них можно вывести всю бесконечно малую величину.
Несмотря на отсутствие прочных логических основ, исчисление бесконечно малых величин было быстро принято математиками и подтверждено многочисленными приложениями; в частности, тем фактом, что траектории планет можно вывести из закона тяготения Ньютона .
В 19 веке математика быстро развивалась во многих направлениях. Некоторые из рассмотренных проблем привели к вопросам об основаниях математики. Часто предлагаемые решения вели к дальнейшим вопросам, которые часто имели одновременно философскую и математическую природу. Все эти вопросы привели в конце 19 века и начале 20 века к дебатам, которые были названы фундаментальным кризисом математики. В следующих подразделах описываются основные такие фундаментальные проблемы, выявленные в 19 веке.
Коши (1789–1857) начал проект по приданию строгих основ исчислению бесконечно малых . В частности, он отверг эвристический принцип, который он назвал общностью алгебры , который состоял в применении свойств алгебраических операций к бесконечным последовательностям без надлежащих доказательств. В своем Cours d'Analyse (1821) он рассматривает очень малые величины , которые в настоящее время можно было бы назвать «достаточно малыми величинами»; то есть предложение, такое что «если x очень мало, то ...» следует понимать как «существует (достаточно большое) натуральное число n такое, что | x | < 1/ n ». В доказательствах он использует это таким образом, который предшествует современному (ε, δ)-определению предела . [4]
Современное (ε, δ)-определение пределов и непрерывных функций было впервые разработано Больцано в 1817 году, но оставалось относительно неизвестным, и Коши, вероятно, был знаком с работой Больцано.
Карл Вейерштрасс (1815–1897) формализовал и популяризировал (ε, δ)-определение пределов и открыл некоторые патологические функции, которые в то время казались парадоксальными, такие как непрерывные, нигде не дифференцируемые функции . Действительно, такие функции противоречат предыдущим концепциям функции как правила для вычисления или гладкого графика.
На этом программа арифметизации анализа (сведения математического анализа к арифметическим и алгебраическим операциям), предложенная Вейерштрассом, была в основном завершена, за исключением двух пунктов.
Во-первых, формальное определение действительных чисел все еще отсутствовало. Действительно, начиная с Рихарда Дедекинда в 1858 году, несколько математиков работали над определением действительных чисел, включая Германа Ганкеля , Шарля Мере и Эдуарда Гейне , но только в 1872 году были опубликованы два независимых полных определения действительных чисел: одно Дедекинда, с помощью сечений Дедекинда ; другое Георга Кантора как классов эквивалентности последовательностей Коши . [5]
Несколько проблем остались открытыми из-за этих определений, что способствовало основополагающему кризису математики . Во-первых, оба определения предполагают, что рациональные числа и, следовательно, натуральные числа строго определены; это было сделано несколько лет спустя с помощью аксиом Пеано . Во-вторых, оба определения включают бесконечные множества (сечения Дедекинда и множества элементов последовательности Коши), а теория множеств Кантора была опубликована несколько лет спустя.
Третья проблема более тонкая: и связана с основами логики: классическая логика является логикой первого порядка ; то есть квантификаторы применяются к переменным, представляющим отдельные элементы, а не к переменным, представляющим (бесконечные) множества элементов. Основное свойство полноты действительных чисел , которое требуется для определения и использования действительных чисел, включает квантификацию на бесконечных множествах. Действительно, это свойство может быть выражено либо как для каждой бесконечной последовательности действительных чисел, если это последовательность Коши , она имеет предел, который является действительным числом , либо как каждое подмножество действительных чисел, которое ограничено, имеет наименьшую верхнюю границу , которая является действительным числом . Эта потребность в квантификации на бесконечных множествах является одной из мотиваций развития логик высшего порядка в первой половине 20-го века.
До 19 века было много неудачных попыток вывести постулат о параллельных прямых из других аксиом геометрии. В попытке доказать, что его отрицание приводит к противоречию, Иоганн Генрих Ламберт (1728–1777) начал строить гиперболическую геометрию , ввел гиперболические функции и вычислил площадь гиперболического треугольника (где сумма углов меньше 180°).
Продолжая построение этой новой геометрии, несколько математиков независимо друг от друга доказали, что если она несовместна , то и евклидова геометрия несовместна, и, таким образом, постулат о параллельных прямых не может быть доказан. Это доказали Николай Лобачевский в 1826 году, Янош Больяи (1802–1860) в 1832 году и Карл Фридрих Гаусс (неопубликовано).
Позже, в 19 веке, немецкий математик Бернхард Риман разработал эллиптическую геометрию , еще одну неевклидову геометрию , в которой невозможно найти параллель, а сумма углов в треугольнике больше 180°. Она была доказана непротиворечивой путем определения точек как пар антиподальных точек на сфере (или гиперсфере ), а линий как больших окружностей на сфере.
Эти доказательства недоказуемости постулата о параллельных прямых приводят к нескольким философским проблемам, главная из которых заключается в том, что до этого открытия постулат о параллельных прямых и все его следствия считались истинными . Таким образом, неевклидовы геометрии бросили вызов концепции математической истины .
С момента введения аналитической геометрии Рене Декартом в 17 веке существовало два подхода к геометрии: старый, называемый синтетической геометрией , и новый, где все определяется в терминах действительных чисел, называемых координатами . С другой стороны, в классической синтетической геометрии числа определяются как отношения расстояний или, что эквивалентно, как расстояния, измеренные в терминах фиксированной единицы длины.
Математики не особенно беспокоились об этом круговом определении до середины девятнадцатого века, когда произошел «яростный спор между сторонниками синтетических и аналитических методов в проективной геометрии , причем обе стороны обвиняли друг друга в смешивании проективных и метрических понятий». [6] Действительно, в проективном пространстве нет понятия расстояния , а перекрестное отношение , которое является числом, является основным понятием синтетической проективной геометрии.
Карл фон Штаудт разработал чисто геометрический подход к этой проблеме, введя «броски», которые образуют то, что в настоящее время называется полем , в котором может быть выражено перекрестное отношение.
По-видимому, проблема эквивалентности аналитического и синтетического подходов была полностью решена только с выходом в 1957 году книги Эмиля Артина «Геометрическая алгебра». Было хорошо известно, что, имея поле k , можно определить аффинные и проективные пространства над k в терминах k - векторных пространств . В этих пространствах справедлива теорема Паппуса о шестиугольнике . Наоборот, если теорема Паппуса о шестиугольнике включена в аксиомы плоской геометрии, то можно определить поле k таким образом, что геометрия будет такой же, как аффинная или проективная геометрия над k .
Работа по проведению строгого вещественного анализа и определению вещественных чисел состояла в сведении всего к рациональным числам и, таким образом, к натуральным числам , поскольку положительные рациональные числа являются дробями натуральных чисел. Поэтому возникла необходимость в формальном определении натуральных чисел, которое подразумевает аксиоматическую теорию арифметики . Это было начато Чарльзом Сандерсом Пирсом в 1881 году и Ричардом Дедекиндом в 1888 году , которые определили натуральное число как мощность конечного множества . [ требуется ссылка ] . Однако это включает в себя теорию множеств , которая в то время не была формализована.
Джузеппе Пеано в 1888 году предоставил полную аксиоматизацию, основанную на порядковом свойстве натуральных чисел. Последняя аксиома Пеано — единственная, которая вызывает логические трудности, поскольку она начинается либо с «если S — множество, то», либо с «если S — предикат , то». Таким образом, аксиомы Пеано индуцируют квантификацию на бесконечных множествах, и это означает, что арифметика Пеано — это то, что в настоящее время называется логикой второго порядка .
В то время это не было хорошо понято, но тот факт, что бесконечность встречалась в определении натуральных чисел, был проблемой для многих математиков того времени. Например, Анри Пуанкаре утверждал, что аксиомы могут быть продемонстрированы только в их конечном применении, и пришел к выводу, что именно «сила разума» позволяет представить себе бесконечное повторение одного и того же действия. [7] Это относится, в частности, к использованию последней аксиомы Пеано для демонстрации того, что функция-последователь порождает все натуральные числа. Также Леопольд Кронекер сказал: «Бог создал целые числа, все остальное — дело рук человека». [a] Это можно интерпретировать как «целые числа не могут быть определены математически».
До второй половины XIX века бесконечность была философским понятием, не принадлежащим математике. Однако с возникновением исчисления бесконечно малых математики стали привыкать к бесконечности, в основном через потенциальную бесконечность , то есть как результат бесконечного процесса, такого как определение бесконечной последовательности , бесконечного ряда или предела . Возможность актуальной бесконечности была предметом многих философских споров.
Множества , и в особенности бесконечные множества , не рассматривались как математическое понятие; в частности, для них не было фиксированного термина. Резкое изменение произошло с работой Георга Кантора , который был первым математиком, систематически изучавшим бесконечные множества. В частности, он ввел кардинальные числа , которые измеряют размер бесконечных множеств, и порядковые числа , которые, грубо говоря, позволяют продолжать счет после достижения бесконечности. Одним из его главных результатов является открытие того, что существует строго больше действительных чисел, чем натуральных (кардинал континуума действительных чисел больше, чем у натуральных чисел).
Эти результаты были отвергнуты многими математиками и философами и привели к дебатам, которые являются частью фундаментального кризиса математики.
Кризис был усилен парадоксом Рассела , который утверждает, что фраза «множество всех множеств» внутренне противоречива. Это противоречие внесло сомнение в непротиворечивость всей математики.
С введением теории множеств Цермело–Френкеля ( около 1925 г. ) и ее принятием математическим сообществом сомнения относительно непротиворечивости были по существу устранены, хотя непротиворечивость теории множеств не может быть доказана из-за теоремы Гёделя о неполноте .
В 1847 году Де Морган опубликовал свои законы , а Джордж Буль разработал алгебру, которая теперь называется Булевой алгеброй , которая позволяет выразить логику Аристотеля в терминах формул и алгебраических операций . Булева алгебра является отправной точкой логики математизации и основой исчисления высказываний.
Независимо друг от друга в 1870-х годах Чарльз Сандерс Пирс и Готтлоб Фреге расширили исчисление высказываний, введя квантификаторы для построения логики предикатов .
Фреге указал на три желаемых свойства логической теории: [ требуется ссылка ] непротиворечивость (невозможность доказать противоречивые утверждения), полнота (любое утверждение либо доказуемо, либо опровержимо, то есть его отрицание доказуемо) и разрешимость (существует процедура принятия решения для проверки каждого утверждения).
На рубеже веков Бертран Рассел популяризировал работу Фреге и открыл парадокс Рассела , который подразумевает, что фраза «множество всех множеств» внутренне противоречива. Этот парадокс, казалось, делал всю математику непоследовательной и является одной из главных причин фундаментального кризиса математики.
Фундаментальный кризис математики возник в конце XIX — начале XX века в связи с открытием ряда парадоксов и контринтуитивных результатов.
Первая из них — доказательство того, что постулат о параллельности не может быть доказан. Это является результатом построения неевклидовой геометрии внутри евклидовой геометрии , противоречивость которой подразумевала бы противоречивость евклидовой геометрии. Хорошо известным парадоксом является парадокс Рассела , который показывает, что фраза «множество всех множеств, которые не содержат себя» является внутренне противоречивой. Другими философскими проблемами были доказательство существования математических объектов , которые не могут быть вычислены или явно описаны, и доказательство существования теорем арифметики , которые не могут быть доказаны с помощью арифметики Пеано .
Несколько школ философии математики столкнулись с этими проблемами в XX веке и описаны ниже.
Эти проблемы также изучались математиками, что привело к созданию математической логики как новой области математики, занимающейся разработкой математических определений логики (наборов правил вывода ), математических и логических теорий, теорем и доказательств, а также использованием математических методов для доказательства теорем об этих концепциях.
Это привело к неожиданным результатам, таким как теоремы Гёделя о неполноте , которые, грубо говоря, утверждают, что если теория содержит стандартную арифметику, то ее нельзя использовать для доказательства того, что она сама по себе не противоречива ; а если она не противоречива, то существуют теоремы, которые не могут быть доказаны внутри теории, но тем не менее являются верными в некотором техническом смысле.
Теория множеств Цермело–Френкеля с аксиомой выбора (ZFC) — логическая теория, созданная Эрнстом Цермело и Авраамом Френкелем . Она стала стандартной основой современной математики и, если явно не указано иное, используется во всех современных математических текстах, как правило, неявно.
Одновременно аксиоматический метод стал фактическим стандартом: доказательство теоремы должно вытекать из явных аксиом и ранее доказанных теорем путем применения четко определенных правил вывода. Аксиомы не обязательно должны соответствовать какой-то реальности. Тем не менее, это открытая философская проблема — объяснить, почему системы аксиом, которые приводят к богатым и полезным теориям, являются теми, которые вытекают из абстракции от физической реальности или другой математической теории.
Вкратце, фундаментальный кризис по сути решен, и это открывает новые философские проблемы. В частности, нельзя доказать, что новый фундамент (ZFC) не является внутренне противоречивым. Существует общее мнение, что если бы это произошло, то проблема могла бы быть решена путем умеренной модификации ZFC.
Когда возник фундаментальный кризис, среди математиков и логиков было много споров о том, что следует сделать для восстановления доверия к математике. Это включало философские вопросы о математической истине , связи математики с реальностью , реальности математических объектов и природе математики.
Для проблемы оснований существовало два основных варианта попыток избежать парадоксов. Первый привел к интуиционизму и конструктивизму и заключался в ограничении логических правил, чтобы оставаться ближе к интуиции, в то время как второй, который был назван формализмом , считает, что теорема истинна, если ее можно вывести из аксиом, применяя правила вывода ( формальное доказательство ), и что для действительности теоремы не требуется «истинности» аксиом.
Было заявлено [ кем? ] , что формалисты, такие как Дэвид Гильберт (1862–1943), считают, что математика — это всего лишь язык и ряд игр. Гильберт настаивал на том, что формализм, названный им «формульной игрой», является фундаментальной частью математики, но что математику нельзя сводить к формализму. Действительно, он использовал слова «формульная игра» в своем ответе 1927 года на критику Л. Э. Брауэра :
И в какой степени игра в формулы, которая таким образом стала возможной, оказалась успешной? Эта игра в формулы позволяет нам выражать все мыслительное содержание науки математики единообразным образом и развивать его таким образом, что в то же время взаимосвязи между отдельными предложениями и фактами становятся ясными... Игра в формулы, которую так осуждает Брауэр, имеет, помимо своей математической ценности, важное общефилософское значение. Ибо эта игра в формулы осуществляется по определенным определенным правилам, в которых выражается техника нашего мышления . Эти правила образуют замкнутую систему, которая может быть обнаружена и окончательно сформулирована. [10]
Таким образом, Гильберт настаивает на том, что математика — это не произвольная игра с произвольными правилами; скорее, она должна согласовываться с тем, как протекает наше мышление, а затем наша речь и письмо. [10]
Мы не говорим здесь о произвольности в каком-либо смысле. Математика не похожа на игру, задачи которой определяются произвольно установленными правилами. Скорее, это концептуальная система, обладающая внутренней необходимостью, которая может быть только так и никак иначе. [11]
Основополагающая философия формализма, представленная Дэвидом Гильбертом , является ответом на парадоксы теории множеств и основана на формальной логике . Фактически все математические теоремы сегодня можно сформулировать как теоремы теории множеств. Истинность математического утверждения, с этой точки зрения, представлена тем фактом, что утверждение может быть выведено из аксиом теории множеств с использованием правил формальной логики.
Использование только формализма не объясняет несколько вопросов: почему мы должны использовать те аксиомы, которые мы используем, а не другие, почему мы должны использовать те логические правила, которые мы используем, а не другие, почему «истинные» математические утверждения (например, законы арифметики ) кажутся истинными и т. д. Герман Вейль задал эти самые вопросы Гильберту:
Какую «истину» или объективность можно приписать этой теоретической конструкции мира, которая выходит далеко за пределы данного, является глубокой философской проблемой. Она тесно связана с дальнейшим вопросом: что побуждает нас брать за основу именно частную систему аксиом, разработанную Гильбертом? Согласованность действительно является необходимым, но не достаточным условием. Пока мы, вероятно, не можем ответить на этот вопрос... [12]
В некоторых случаях на эти вопросы можно получить достаточный ответ посредством изучения формальных теорий в таких дисциплинах, как обратная математика и теория вычислительной сложности . Как отметил Вейль, формальные логические системы также подвержены риску несогласованности ; в арифметике Пеано это, возможно, уже было урегулировано несколькими доказательствами непротиворечивости , но ведутся споры о том, являются ли они достаточно конечными , чтобы иметь смысл. Вторая теорема Гёделя о неполноте устанавливает, что логические системы арифметики никогда не могут содержать действительного доказательства своей собственной непротиворечивости . То, что хотел сделать Гильберт, — это доказать, что логическая система S непротиворечива, основываясь на принципах P , которые составляли лишь малую часть S. Но Гёдель доказал, что принципы P не могли даже доказать непротиворечивость P , не говоря уже о S.
Интуиционисты, такие как Л. Э. Дж. Брауэр (1882–1966), считают, что математика — это творение человеческого разума. Числа, как и персонажи сказок, — это просто ментальные сущности, которые не существовали бы, если бы не было человеческих умов, которые бы о них думали.
Основополагающая философия интуиционизма или конструктивизма , как это продемонстрировано в крайних проявлениях Брауэра и Стивена Клини , требует, чтобы доказательства были «конструктивными» по своей природе — существование объекта должно быть продемонстрировано, а не выведено из демонстрации невозможности его несуществования. Например, вследствие этого форма доказательства, известная как reductio ad absurdum, является подозрительной.
Некоторые современные теории в философии математики отрицают существование оснований в изначальном смысле. Некоторые теории, как правило, фокусируются на математической практике и стремятся описать и проанализировать фактическую работу математиков как социальной группы . Другие пытаются создать когнитивную науку математики , фокусируясь на человеческом познании как источнике надежности математики при применении к реальному миру. Эти теории предлагают находить основания только в человеческой мысли, а не в какой-либо объективной внешней конструкции. Вопрос остается спорным.
Логицизм — это школа мысли и исследовательская программа в философии математики, основанная на тезисе о том, что математика является расширением логики или что некоторая или вся математика может быть выведена в подходящей формальной системе, аксиомы и правила вывода которой являются «логическими» по своей природе. Бертран Рассел и Альфред Норт Уайтхед отстаивали эту теорию, инициированную Готтлобом Фреге и находившуюся под влиянием Ричарда Дедекинда .
Многие исследователи аксиоматической теории множеств придерживаются так называемого теоретико-множественного платонизма , примером которого является Курт Гёдель .
Несколько теоретиков множеств следовали этому подходу и активно искали аксиомы, которые можно было бы считать истинными по эвристическим причинам и которые бы решали гипотезу континуума . Было изучено много больших кардинальных аксиом, но гипотеза всегда оставалась независимой от них, и теперь считается маловероятным, что CH может быть разрешена новой большой кардинальной аксиомой. Рассматривались и другие типы аксиом, но ни одна из них пока не достигла консенсуса по гипотезе континуума. Недавняя работа Хэмкинса предлагает более гибкую альтернативу: теоретико-множественную мультивселенную, допускающую свободный проход между теоретико-множественными вселенными, которые удовлетворяют гипотезе континуума, и другими вселенными, которые ей не удовлетворяют.
Этот аргумент Уилларда Куайна и Хилари Патнэма гласит (кратко изложив это словами Патнэма):
... квантификация математических сущностей необходима для науки... поэтому мы должны принять такую квантификацию; но это обязывает нас принять существование рассматриваемых математических сущностей.
Однако Патнэм не был платоником.
Мало кто из математиков обычно озабочен в повседневной работе логицизмом, формализмом или любой другой философской позицией. Вместо этого их главная забота заключается в том, чтобы математическое предприятие в целом всегда оставалось продуктивным. Обычно они считают, что это обеспечивается сохранением открытости, практичности и занятости; что потенциально угрожает стать чрезмерно идеологичным, фанатично редукционистским или ленивым.
Подобную точку зрения высказывали и некоторые известные физики.
Например, лауреат Нобелевской премии по физике Ричард Фейнман сказал:
Люди говорят мне: «Вы ищете высшие законы физики?» Нет, я не... Если окажется, что есть простой высший закон, который все объясняет, пусть так и будет – было бы очень приятно это обнаружить. Если окажется, что это как луковица с миллионами слоев... тогда так оно и есть. Но в любом случае есть Природа, и она выйдет такой, какая она есть. Поэтому, когда мы отправляемся на исследование, мы не должны заранее решать, что именно мы ищем, только чтобы узнать об этом больше. [13]
И Стивен Вайнберг : [14]
Прозрения философов иногда приносили пользу физикам, но в основном в негативном ключе – защищая их от предубеждений других философов. ... без некоторого руководства со стороны наших предубеждений мы вообще ничего не могли бы сделать. Просто философские принципы обычно не давали нам правильных предубеждений.
Вайнберг считал, что любая неразрешимость в математике, такая как гипотеза континуума, может быть потенциально разрешена, несмотря на теорему о неполноте, путем нахождения подходящих дополнительных аксиом для добавления в теорию множеств.
Теорема Гёделя о полноте устанавливает эквивалентность в логике первого порядка между формальной доказуемостью формулы и ее истинностью во всех возможных моделях. А именно, для любой непротиворечивой теории первого порядка она дает «явную конструкцию» модели, описываемой теорией; эта модель будет счетной, если язык теории счетный. Однако эта «явная конструкция» не является алгоритмической. Она основана на итеративном процессе завершения теории, где каждый шаг итерации состоит в добавлении формулы к аксиомам, если это сохраняет теорию непротиворечивой; но этот вопрос о непротиворечивости разрешим лишь наполовину (алгоритм доступен для нахождения любого противоречия, но если его нет, этот факт непротиворечивости может остаться недоказуемым).
Ниже перечислены некоторые примечательные результаты в метаматематике. Теория множеств Цермело–Френкеля является наиболее широко изученной аксиоматизацией теории множеств. Она сокращается как ZFC , когда включает аксиому выбора , и как ZF, когда аксиома выбора исключена.
Начиная с 1935 года группа французских математиков Бурбаки начала публиковать серию книг с целью формализовать многие разделы математики на новой основе теории множеств.
Интуиционистская школа не привлекла большого числа приверженцев, и только после работы Бишопа в 1967 году конструктивная математика получила более прочную основу. [16]
Можно считать, что программа Гильберта частично завершена , так что кризис по сути разрешен, удовлетворяя себя более низкими требованиями, чем первоначальные амбиции Гильберта. Его амбиции были выражены в то время, когда ничего не было ясно: было неясно, может ли математика вообще иметь строгую основу.
Существует множество возможных вариантов теории множеств, которые различаются по силе согласованности, где более сильные версии (постулирующие более высокие типы бесконечностей) содержат формальные доказательства согласованности более слабых версий, но ни одна не содержит формального доказательства своей собственной согласованности. Таким образом, единственное, чего у нас нет, — это формального доказательства согласованности любой версии теории множеств, которую мы можем предпочесть, например, ZF.
На практике большинство математиков либо не работают с аксиоматическими системами, либо, если они это делают, не сомневаются в согласованности ZFC , как правило, их предпочитаемой аксиоматической системы. В большинстве математических практик, неполнота и парадоксы базовых формальных теорий никогда не играли никакой роли, и в тех разделах, в которых они играют роль или попытки формализации которых сопряжены с риском формирования противоречивых теорий (таких как логика и теория категорий), к ним можно относиться осторожно.
Развитие теории категорий в середине XX века показало полезность теорий множеств, гарантирующих существование более крупных классов, чем это делает ZFC, таких как теория множеств фон Неймана–Бернейса–Гёделя или теория множеств Тарского–Гротендика , хотя во многих случаях использование больших кардинальных аксиом или вселенных Гротендика формально исключено.
Одной из целей программы обратной математики является выявление областей «базовой математики», в которых фундаментальные проблемы могут снова спровоцировать кризис.
Медиа, связанные с Основы математики на Wikimedia Commons
