Карл Георг Кристиан фон Штаудт (24 января 1798 — 1 июня 1867) был немецким математиком , который использовал синтетическую геометрию как основу для арифметики.
Профессиональная карьера Штаудта началась в качестве преподавателя средней школы в Вюрцбурге до 1827 года, а затем в Нюрнберге до 1835 года. В 1832 году он женился на Жанетт Дрешлер. У них родились сын Эдуард и дочь Матильда, но Жанетт умерла в 1848 году.
Книга Geometrie der Lage (1847) стала важной вехой в проективной геометрии . Как писал Бурау (1976):
Штаудт был первым, кто применил полностью строгий подход. Все без исключения его предшественники все еще говорили о расстояниях, перпендикулярах, углах и других объектах, которые не играют никакой роли в проективной геометрии. [1]
Действительно, в 1889 году Марио Пьери перевел фон Штаудта, прежде чем написать свою книгу «Принципы делла геометрии ди Posizione Composti» в un Systema Logico-Deuttivo (1898). В 1900 году Шарлотта Скотт из колледжа Брин-Мор перефразировала большую часть работ фон Штаудта на английском языке для The Mathematical Gazette . [2] Когда Вильгельм Бляшке опубликовал в 1948 году свой учебник «Проективная геометрия» , напротив «Форворта» был помещен портрет юного Карла .
Штаудт вышел за рамки реальной проективной геометрии и обратился к сложному проективному пространству в своих трех томах « Beiträge zur Geometrie der Lage», опубликованных с 1856 по 1860 год.
В 1922 году Х. Ф. Бейкер писал о работе фон Штаудта:
Именно для фон Штаудта устранение идей расстояния и конгруэнтности было сознательной целью, хотя признание важности этого могло бы быть значительно отложено, если бы не работа Кэли и Кляйна над проективной теорией расстояния. . Обобщенные и объединенные с последующей диссертацией Римана, тома фон Штаудта следует считать основой того, чем, с геометрической стороны, теория относительности в физике еще может стать. [3]
Фон Штаудт сделал важное открытие: отношение, которое коника устанавливает между полюсами и полярами, на самом деле более фундаментально, чем сама коника, и может быть установлено независимо. Эту «полярность» затем можно использовать для определения коники совершенно симметричным и непосредственно самодвойственным образом: коника — это просто место расположения точек, лежащих на их полярах, или оболочка линий, проходящих через их полюса. . Трактовка квадрик фон Штаудтом аналогична, но в трех измерениях. [4]
Алгебра бросков
В 1857 году во втором «Beiträge» фон Штаудт предложил путь к числу через геометрию, названный алгеброй бросков ( нем . Wurftheorie ). Он основан на проективном ряде и отношении проективных гармонических сопряжений . Посредством операций сложения и умножения точек получается «алгебра точек», как в главе 6 учебника Веблена и Янга по проективной геометрии. Обычное представление основано на перекрестном соотношении ( CA,BD ) четырех коллинеарных точек. Например, Кулидж писал: [5]
Как сложить два расстояния? Мы даем им одну и ту же начальную точку, находим точку на полпути между их конечными точками, то есть гармонически сопряженную бесконечность относительно их конечных точек, а затем находим гармонически сопряженную начальную точку относительно этой середины. точка и бесконечность. Обобщая это, если мы хотим добавить броски ( CA,BD ) и ( CA,BD' ), мы находим M - гармоническое сопряжение C относительно D и D' , а затем S - гармоническое сопряжение A относительно C. И м :
Таким же образом мы можем найти определение произведения двух бросков. Поскольку произведение двух чисел имеет такое же отношение к одному из них, как другое имеет отношение к единице, отношение двух чисел - это перекрестное отношение, которое они как пара имеют к бесконечности и нулю, поэтому Фон Штаудт в предыдущих обозначениях: определяет произведение двух бросков на
Эти определения включают в себя длинный ряд шагов, чтобы показать, что определенная таким образом алгебра подчиняется обычным коммутативным, ассоциативным и дистрибутивным законам и что не существует делителей нуля.
Итоговое утверждение дано Вебленом и Янгом [6] в виде теоремы 10: «Множество точек на прямой, если их удалить, образует поле относительно ранее определенных операций». Как отмечает Фрейденталь [7] : 199
... вплоть до Гильберта не существует другого примера такого прямого вывода алгебраических законов из геометрических аксиом, как это найдено в Beiträge фон Штаудта .
Другое подтверждение работы фон Штаудта с гармоническими сопряженными выражено в форме теоремы:
Единственное взаимно однозначное соответствие между вещественными точками на прямой, которое сохраняет гармонические отношения между четырьмя точками, — это неособая проективность. [8]
Алгебра бросков была описана Джоном Стиллвеллом (2005) как «проективная арифметика». [9]
В разделе «Проективная арифметика» он говорит:
Настоящая трудность заключается в том, что конструкция a + b , например, отличается от конструкции b + a , поэтому это «совпадение», если a + b = b + a . Точно так же это «совпадение», если ab = ba выполняется любой другой закон алгебры. К счастью, мы можем показать, что требуемые совпадения действительно имеют место, поскольку они вытекают из некоторых геометрических совпадений, а именно из теорем Паппюса и Дезарга.
Чтобы иметь возможность рассматривать подход фон Штаудта как строгую основу проективной геометрии, достаточно явно добавить топологические аксиомы, которые молчаливо использует фон Штаудт. ... как можно сформулировать топологию проективного пространства без поддержки метрики? Фон Штаудт был еще далек от постановки этого вопроса, который четверть века спустя станет актуальным. ... Феликс Кляйн заметил пробел в подходе фон Штаудта; он осознавал необходимость сформулировать топологию проективного пространства независимо от евклидова пространства... итальянцы были первыми, кто нашел действительно удовлетворительные решения проблемы чисто проективного основания проективной геометрии, которую фон Штаудт пытался решить . [7]
Одним из итальянских математиков был Джованни Вайлати , который изучал свойство кругового порядка реальной проективной прямой. Наука этого порядка требует четверичного отношения , называемого отношением разделения . Используя это соотношение, можно рассматривать понятия монотонной последовательности и предела в циклической «линии». Если предположить, что каждая монотонная последовательность имеет предел, [10] линия становится полным пространством . Эти разработки были вдохновлены выводами фон Штаудта об аксиомах поля как инициативой в выводе свойств из аксиом в проективной геометрии.
Работает
Геометрия дер Лаге , 1847 г.
1831: Über die Kurven, 2. Ordnung . Нюрнберг
1845: De numeris Bernoullianis: commentationem alteram pro loco in facultate philosophica rite obtinendo , Кэрол. Г. Хр. де Штаудт. Эрланге: Юнге.
1845: De numeris Bernoullianis: loci in senatu Academic rite obtinendi causa commentatus est, Кэрол. Г. Хр. де Штаудт. Эрланге: Юнге.
^ ab Ганс Фрейденталь (1974) «Влияние основ геометрии фон Штаудта», в книге «Дирку Струику» , редактору RS Cohen, Д. Рейделу . Также можно найти в « Геометрии» - «Точка зрения фон Штаудта» , редакторы Питера Плауманна и Карла Страмбаха, Труды Института перспективных исследований НАТО, Бад-Виндсхайм, июль / август 1980 г., Д. Райдель, ISBN 90-277-1283-2 .
^ Дирк Струик (1953) Лекции по аналитической и проективной геометрии , стр. 22, «Теорема фон Штаудта»
^ Стиллвелл, Джон (2005). Четыре столпа геометрии . Спрингер. п. 128. дои : 10.1007/0-387-29052-4_6.
