Отношение разделения

В математике отношение разделения — это формальный способ расположить набор объектов в неориентированном круге. Оно определяется как четвертичное отношение S(a, b, c, d), удовлетворяющее определенным аксиомам, которое интерпретируется как утверждение, что a и c отделяют b от d . ^[1]

В то время как линейный порядок наделяет множество положительным и отрицательным концом, отношение разделения забывает не только, какой конец какой, но и где эти концы расположены. Таким образом, это окончательное, дальнейшее ослабление концепций отношения посредничества и циклического порядка . Больше ничего нельзя забыть: с учетом соответствующего смысла взаимоопределяемости эти три отношения являются единственными нетривиальными редуктами упорядоченного набора рациональных чисел . ^[2]

Приложение

Разделение можно использовать, чтобы показать, что реальная проективная плоскость представляет собой полное пространство . Отношение разделения было описано с помощью аксиом в 1898 году Джованни Вайлати . ^[3]

• abcd = badc
• abcd = adcb
• abcd ⇒ ¬ acbd
• abcd ∨ acdb ∨ adbc
• abcd ∧ acde ⇒ abde .

Отношение разделения точек было написано AC//BD Х.С.М. Коксетером в его учебнике «Действительная проективная плоскость» . ^[4] Используемая аксиома непрерывности гласит: «Каждая монотонная последовательность точек имеет предел». Отношение разделения используется для определения:

• { A _n } монотонно ≡ ∀ n > 1 ${\displaystyle A_{0}A_{n}//A_{1}A_{n+1}.}$
• M — предел ≡ (∀ n > 2 ) ∧ (∀ P ⇒ ∃ n ). ${\displaystyle A_{1}A_{n}//A_{2}M}$ ${\displaystyle A_{1}P//A_{2}M}$ ${\displaystyle A_{1}A_{n}//PM}$

Рекомендации

1. Хантингтон, Эдвард В. (июль 1935 г.), «Взаимосвязь между четырьмя основными типами порядка» (PDF) , Труды Американского математического общества , 38 (1): 1–9, doi : 10.1090/S0002-9947 -1935-1501800-1 , получено 8 мая 2011 г.
2. Макферсон, Х. Дугалд (2011), «Обзор однородных структур» (PDF) , Discrete Mathematics , 311 (15): 1599–1634, doi : 10.1016/j.disc.2011.01.024 , получено 28 апреля 2011 г.
3. Бертран Рассел (1903) Принципы математики , стр. 214
4. HSM Coxeter (1949) Настоящая проективная плоскость , Глава 10: Непрерывность, МакГроу Хилл