В геометрии точка — это абстрактная идеализация точного положения без размера в физическом пространстве [1] или ее обобщение на другие виды математических пространств . В качестве нульмерных объектов точки обычно рассматриваются как фундаментальные неделимые элементы, составляющие пространство, из которого состоят одномерные кривые , двумерные поверхности и многомерные объекты; и наоборот, точка может быть определена пересечением двух кривых или трех поверхностей, называемых вершиной или углом .
В классической евклидовой геометрии точка — это примитивное понятие , определяемое как «то, что не имеет частей». Точки и другие примитивные понятия не определяются в терминах других понятий, а лишь определенными формальными свойствами, называемыми аксиомами , которым они должны удовлетворять; например, «есть ровно одна прямая , проходящая через две различные точки» . Как физические диаграммы, геометрические фигуры создаются с помощью таких инструментов, как циркуль , чертилка или ручка, заостренный кончик которой может отметить небольшую точку или проколоть небольшое отверстие, обозначающее точку, или может быть проведен по поверхности, изображая кривую.
С появлением аналитической геометрии точки часто определяются или представляются в терминах числовых координат . В современной математике пространство точек обычно рассматривается как множество , множество точек .
Изолированная точка — это элемент некоторого подмножества точек, имеющий некоторую окрестность , не содержащую других точек этого подмножества.
Точки, рассматриваемые в рамках евклидовой геометрии , являются одними из наиболее фундаментальных объектов. Евклид первоначально определил точку как «то, что не имеет частей». [2] На двумерной евклидовой плоскости точка представлена упорядоченной парой чисел ( x , y ), где первое число условно представляет горизонталь и часто обозначается x , а второе число условно представляет собой вертикаль . и часто обозначается y . Эту идею легко обобщить на трехмерное евклидово пространство , где точка представлена упорядоченной тройкой ( x , y , z ) с дополнительным третьим числом, представляющим глубину и часто обозначаемым z . Дальнейшие обобщения представлены упорядоченным набором из n терминов ( a 1 , a 2 , … , an n ) , где n — размерность пространства, в котором находится точка. [3]
Многие конструкции евклидовой геометрии состоят из бесконечного набора точек, соответствующих определенным аксиомам. Обычно это обозначается набором точек ; Например, линия — это бесконечное множество точек вида
Помимо определения точек и конструкций, связанных с точками, Евклид также постулировал ключевую идею о точках: любые две точки можно соединить прямой линией. [5] Это легко подтверждается в современных расширениях евклидовой геометрии и имело долгосрочные последствия при ее введении, позволив построить почти все геометрические концепции, известные в то время. Однако постулирование Евклидом точек не было ни полным, ни окончательным, и иногда он предполагал факты о точках, которые не следовали непосредственно из его аксиом, такие как порядок точек на прямой или существование определенных точек. Несмотря на это, современные расширения системы позволяют устранить эти предположения. [ нужна цитата ]
В математике существует несколько неэквивалентных определений размерности . Во всех распространенных определениях точка является 0-мерной.
Размерность векторного пространства — это максимальный размер линейно независимого подмножества. В векторном пространстве, состоящем из одной точки (которая должна быть нулевым вектором 0 ), не существует линейно независимого подмножества. Нулевой вектор сам по себе не является линейно независимым, поскольку существует нетривиальная линейная комбинация, делающая его нулевым: .
Топологическая размерность топологического пространства определяется как минимальное значение n , такое, что каждое конечное открытое покрытие допускает конечное открытое покрытие , уточнение которого ни одна точка не включает более чем n +1 элементов. Если такого минимального n не существует, говорят, что пространство имеет бесконечную накрывающую размерность.
Точка нульмерна относительно размерности покрытия, поскольку каждое открытое покрытие пространства имеет уточнение, состоящее из одного открытого множества.
Пусть X — метрическое пространство . Если S ⊂ X и d ∈ [0, ∞), d -мерное хаусдорфово содержимое S — это нижняя нижняя грань множества чисел δ ≥ 0 такого, что существует некоторый (индексированный) набор шаров, покрывающих S с r i > 0. для каждого i ∈ I , удовлетворяющего условию
Хаусдорфова размерность X определяется формулой
Точка имеет размерность Хаусдорфа 0, поскольку ее можно покрыть одним шаром сколь угодно малого радиуса.
Хотя понятие точки обычно считается фундаментальным в основной геометрии и топологии, существуют некоторые системы, которые его игнорируют, например, некоммутативная геометрия и бессмысленная топология . «Бессмысленное» или «бесточечное» пространство определяется не как множество , а через некоторую структуру ( алгебраическую или логическую соответственно), которая выглядит как известное функциональное пространство на множестве: алгебра непрерывных функций или алгебра множеств соответственно. . Точнее, такие структуры обобщают известные пространства функций таким образом, что операцию «принять значение в этой точке» можно не определять. [6] Дальнейшая традиция берет свое начало в некоторых книгах А.Н. Уайтхеда , в которых понятие региона предполагается как примитивное вместе с понятием включения или связи . [7]
Часто в физике и математике полезно думать о точке как о точке, имеющей ненулевую массу или заряд (особенно это распространено в классическом электромагнетизме , где электроны идеализируются как точки с ненулевым зарядом). Дельта -функция Дирака , или δ -функция , является (неформально) обобщенной функцией на прямой вещественной линии, которая равна нулю везде, кроме нуля, с интегралом , равным единице по всей действительной прямой. [8] Дельта-функцию иногда считают бесконечно высоким и бесконечно тонким шипом в начале координат с общей площадью единица под шипом, и физически она представляет собой идеализированную точечную массу или точечный заряд . [9] Его ввел физик-теоретик Поль Дирак . В контексте обработки сигналов его часто называют символом (или функцией) единичного импульса . [10] Ее дискретным аналогом является дельта-функция Кронекера , которая обычно определяется в конечной области и принимает значения 0 и 1.
