Аналитическая геометрия

Изучение геометрии с использованием системы координат

В математике аналитическая геометрия , также известная как координатная геометрия или декартова геометрия , представляет собой изучение геометрии с использованием системы координат . Это контрастирует с синтетической геометрией .

Аналитическая геометрия применяется в физике и технике , а также в авиации , ракетостроении , космической науке и космических полётах . Это основа большинства современных областей геометрии, включая алгебраическую , дифференциальную , дискретную и вычислительную геометрию .

Обычно декартова система координат применяется для управления уравнениями плоскостей, прямых линий и окружностей, часто в двух, а иногда и в трех измерениях. Геометрически изучается евклидова плоскость (два измерения) и евклидово пространство. Как учат в школьных учебниках, аналитическую геометрию можно объяснить проще: она связана с определением и представлением геометрических фигур в числовом виде, а также с извлечением числовой информации из числовых определений и представлений фигур. То, что алгебру действительных чисел можно использовать для получения результатов о линейном континууме геометрии, зависит от аксиомы Кантора-Дедекинда .

История

Древняя Греция

Греческий математик Менехм решал задачи и доказывал теоремы , используя метод, очень похожий на использование координат, и иногда утверждалось, что он ввел аналитическую геометрию. ^[1]

Аполлоний Пергский в «Об определенном разделе» рассматривал проблемы способом, который можно назвать аналитической геометрией одного измерения; с вопросом о нахождении на прямой точек, находящихся в пропорции к остальным. ^[2] Аполлоний в « Кониках» развил метод, который настолько похож на аналитическую геометрию, что его работа, как иногда полагают, опередила работу Декарта примерно на 1800 лет. Его применение опорных линий, диаметра и касательной по существу ничем не отличается от нашего современного использования системы координат, где расстояния, измеренные по диаметру от точки касания, представляют собой абсциссы, а отрезки, параллельные касательной и пересекаемые между ними. ось и кривая являются ординатами. Далее он развил отношения между абсциссами и соответствующими ординатами, эквивалентные риторическим уравнениям (выраженным словами) кривых. Однако, хотя Аполлоний и близко подошел к разработке аналитической геометрии, сделать это ему не удалось, так как он не учитывал отрицательных величин и в каждом случае система координат накладывалась на данную кривую апостериорно , а не априорно . То есть уравнения определялись кривыми, а кривые не определялись уравнениями. Координаты, переменные и уравнения были вспомогательными понятиями, применяемыми к конкретной геометрической ситуации. ^[3]

Персия

Персидский математик 11-го века Омар Хайям видел тесную связь между геометрией и алгеброй и двигался в правильном направлении, когда помог сократить разрыв между числовой и геометрической алгеброй ^[4] своим геометрическим решением общих кубических уравнений , ^[5] но решающий шаг был сделан позже, благодаря Декарту. ^[4] Омару Хайяму приписывают определение основ алгебраической геометрии , а его книга «Трактат о демонстрациях проблем алгебры» (1070 г.), в которой изложены принципы аналитической геометрии, является частью корпуса персидской математики, который в конечном итоге был передан в Европу. ^[6] Благодаря своему основательному геометрическому подходу к алгебраическим уравнениям Хайяма можно считать предшественником Декарта в изобретении аналитической геометрии. ^{[7] : 248}

западная Европа

Аналитическая геометрия была независимо изобретена Рене Декартом и Пьером де Ферма , ^{[8] [9]} , хотя Декарту иногда отдают исключительную заслугу. ^{[10] [11]} Декартова геометрия , альтернативный термин, используемый для аналитической геометрии, назван в честь Декарта.

Декарт добился значительного прогресса в использовании этих методов в эссе под названием « Геометрия» (Геометрия) , одном из трех сопроводительных эссе (приложений), опубликованных в 1637 году вместе с его « Рассуждением о методе правильного направления разума и поиска истины в науках» , обычно называется «Рассуждение о методе» .«Геометрия» , написанная на его родном французском языке, и ее философские принципы послужили основой для исчисления в Европе. Первоначально работа не была принята хорошо, отчасти из-за множества пробелов в аргументах и ​​сложных уравнений. Только после перевода на латынь и добавления комментариев ван Скутена в 1649 году (и дальнейшей работы после этого) шедевр Декарта получил должное признание. ^[12]

Пьер де Ферма также был пионером в развитии аналитической геометрии. Рукописная форма « Ad locos planos et Solidos isagoge» («Введение в плоскость и твердые места»), хотя и не была опубликована при его жизни, циркулировала в Париже в 1637 году, незадолго до публикации « Рассуждений » Декарта . ^{[13] [14] [15]} Ясно написанное и хорошо принятое, « Введение» также заложило основу аналитической геометрии. Ключевое различие между подходами Ферма и Декарта заключается в точке зрения: Ферма всегда начинал с алгебраического уравнения, а затем описывал геометрическую кривую, которая ему удовлетворяла, тогда как Декарт начинал с геометрических кривых и выводил их уравнения как одно из нескольких свойств кривых. . ^[12] В результате такого подхода Декарту пришлось иметь дело с более сложными уравнениями, и ему пришлось разработать методы работы с полиномиальными уравнениями более высокой степени. Леонард Эйлер впервые применил метод координат для систематического изучения пространственных кривых и поверхностей.

Координаты

Иллюстрация декартовой координатной плоскости. Четыре точки отмечены и помечены их координатами: (2,3) зеленым, (-3,1) красным, (-1,5,-2,5) синим и начало координат (0,0) фиолетовым.

В аналитической геометрии плоскости задана система координат, в которой каждая точка имеет пару действительных координат. Точно так же евклидово пространство имеет координаты, где каждая точка имеет три координаты. Значение координат зависит от выбора начальной точки отсчета. Используются различные системы координат, но наиболее распространенными являются следующие: ^[16]

Декартовы координаты (на плоскости или в пространстве)

Наиболее распространенной системой координат является декартова система координат , где каждая точка имеет координату x , представляющую ее горизонтальное положение, и координату y , представляющую ее вертикальное положение. Обычно они записываются как упорядоченная пара ( x ,  y ). Эту систему также можно использовать для трехмерной геометрии, где каждая точка евклидова пространства представлена ​​упорядоченной тройкой координат ( x ,  y ,  z ).

Полярные координаты (в плоскости)

В полярных координатах каждая точка плоскости представлена ​​расстоянием r от начала координат и углом θ , причем θ обычно измеряется против часовой стрелки от положительной оси x . Используя это обозначение, точки обычно записываются как упорядоченная пара ( r , θ ). Можно осуществлять преобразование вперед и назад между двумерными декартовыми и полярными координатами, используя эти формулы:

$${\displaystyle x=r\,\cos \theta ,\,y=r\,\sin \theta ;\,r={\sqrt {x^{2}+y^{2}}},\,\theta =\arctan(y/x).}$$

цилиндрическихсферических

Цилиндрические координаты (в пространстве)

В цилиндрических координатах каждая точка пространства представлена ​​ее высотой z , радиусом r от оси z и углом θ , который составляет ее проекция на плоскость xy по отношению к горизонтальной оси.

Сферические координаты (в пространстве)

В сферических координатах каждая точка пространства представлена ​​ее расстоянием ρ от начала координат, углом θ , который ее проекция на плоскость xy составляет по отношению к горизонтальной оси, и углом φ , который она составляет по отношению к оси z . . В физике названия углов часто меняются местами. ^[16]

Уравнения и кривые

В аналитической геометрии любое уравнение , включающее координаты, задает подмножество плоскости, а именно набор решений для уравнения или локус . Например, уравнение y  =  x соответствует множеству всех точек плоскости, чьи координаты x и y равны. Эти точки образуют линию , и говорят, что y  =  x — уравнение этой линии. В общем, линейные уравнения, включающие x и y , определяют линии, квадратные уравнения определяют конические сечения , а более сложные уравнения описывают более сложные фигуры. ^[17]

Обычно одно уравнение соответствует кривой на плоскости. Это не всегда так: тривиальное уравнение x  =  x задает всю плоскость, а уравнение x ²  +  y ²  = 0 задает только одну точку (0, 0). В трех измерениях одно уравнение обычно дает поверхность , а кривую необходимо задать как пересечение двух поверхностей (см. ниже) или как систему параметрических уравнений . ^[18] Уравнение x ²  +  y ²  =  r ² представляет собой уравнение для любой окружности с центром в начале координат (0, 0) и радиусом r.

Линии и плоскости

Линии в декартовой плоскости или, в более общем смысле, в аффинных координатах , могут быть описаны алгебраически линейными уравнениями. В двух измерениях уравнение для невертикальных линий часто задается в форме наклона-пересечения :

$${\displaystyle y=mx+b}$$

• m — наклон или уклон линии.
• b — точка пересечения линии по оси Y.
• x — независимая переменная функции y = f ( x ).

Подобно тому, как линии в двумерном пространстве описываются с использованием формы точечного наклона для их уравнений, плоскости в трехмерном пространстве имеют естественное описание с использованием точки на плоскости и вектора, ортогонального ей ( нормальный вектор ) для обозначения его «наклона».

В частности, пусть будет вектором положения некоторой точки и пусть будет ненулевым вектором. Плоскость, определяемая этой точкой и вектором, состоит из тех точек с вектором положения , что вектор, проведенный из до , перпендикулярен к . Вспоминая, что два вектора перпендикулярны тогда и только тогда, когда их скалярное произведение равно нулю, отсюда следует, что искомую плоскость можно описать как набор всех точек таких, что ${\displaystyle \mathbf {r} _{0}}$ ${\displaystyle P_{0}=(x_{0},y_{0},z_{0})}$ ${\displaystyle \mathbf {n} =(a,b,c)}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle \mathbf {r} }$ ${\displaystyle P_{0}}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle \mathbf {n} }$ ${\displaystyle \mathbf {r} }$

$${\displaystyle \mathbf {n} \cdot (\mathbf {r} -\mathbf {r} _{0})=0.}$$

скалярное произведение

$${\displaystyle a(x-x_{0})+b(y-y_{0})+c(z-z_{0})=0,}$$

что является точечно-нормальной формой уравнения плоскости. ^{[ нужна цитация ]}линейное уравнение

$${\displaystyle ax+by+cz+d=0,{\text{ where }}d=-(ax_{0}+by_{0}+cz_{0}).}$$

abcdabc

$${\displaystyle ax+by+cz+d=0,}$$

— плоскость, вектор которой является нормалью. ${\displaystyle \mathbf {n} =(a,b,c)}$^{[ нужна цитата ]}общей формой^[19]

В трех измерениях линии не могут быть описаны одним линейным уравнением, поэтому их часто описывают параметрическими уравнениями :

$${\displaystyle x=x_{0}+at}$$

$${\displaystyle y=y_{0}+bt}$$

$${\displaystyle z=z_{0}+ct}$$

• x , y и z — все функции независимой переменной t , которая варьируется в пределах действительных чисел.
• ( x ₀ , y ₀ , z ₀ ) — любая точка на прямой.
• a , b и c связаны с наклоном линии, так что вектор ( a , b , c ) параллелен линии.

Конические сечения

В декартовой системе координат график квадратного уравнения с двумя переменными всегда представляет собой коническое сечение – хотя оно может быть вырожденным, и все конические сечения возникают таким образом. Уравнение будет иметь вид

$${\displaystyle Ax^{2}+Bxy+Cy^{2}+Dx+Ey+F=0{\text{ with }}A,B,C{\text{ not all zero.}}}$$

проективном пространстве. ${\displaystyle \mathbf {P} ^{5}.}$

Конические сечения, описываемые этим уравнением, можно классифицировать с помощью дискриминанта [ ^20]

$${\displaystyle B^{2}-4AC.}$$

• если уравнение представляет собой эллипс ; ${\displaystyle B^{2}-4AC<0}$
  • если и , уравнение представляет круг , который является частным случаем эллипса; ${\displaystyle A=C}$ ${\displaystyle B=0}$
• если уравнение представляет собой параболу ; ${\displaystyle B^{2}-4AC=0}$
• если уравнение представляет собой гиперболу ; ${\displaystyle B^{2}-4AC>0}$
  • если у нас также есть , уравнение представляет собой прямоугольную гиперболу . ${\displaystyle A+C=0}$

Квадрикические поверхности

Квадрика или квадрика поверхность — это 2 -мерная поверхность в 3- мерном пространстве, определяемая как место нулей квадратичного многочлена . В координатах x ₁ , x ₂ , x ₃ общая квадрика определяется алгебраическим уравнением ^[21]

$${\displaystyle \sum _{i,j=1}^{3}x_{i}Q_{ij}x_{j}+\sum _{i=1}^{3}P_{i}x_{i}+R=0.}$$

К квадратичным поверхностям относятся эллипсоиды (включая сферу ), параболоиды , гиперболоиды , цилиндры , конусы и плоскости .

Расстояние и угол

Формула расстояния на плоскости следует из теоремы Пифагора.

В аналитической геометрии такие геометрические понятия, как расстояние и угол , определяются с помощью формул . Эти определения разработаны так, чтобы соответствовать базовой евклидовой геометрии . Например, используя декартовы координаты на плоскости, расстояние между двумя точками ( x ₁ ,  y ₁ ) и ( x ₂ ,  y ₂ ) определяется по формуле

$${\displaystyle d={\sqrt {(x_{2}-x_{1})^{2}+(y_{2}-y_{1})^{2}}},}$$

Пифагора

$${\displaystyle \theta =\arctan(m),}$$

mнаклон

В трех измерениях расстояние определяется обобщением теоремы Пифагора:

$${\displaystyle d={\sqrt {(x_{2}-x_{1})^{2}+(y_{2}-y_{1})^{2}+(z_{2}-z_{1})^{2}}},}$$

произведениемAB^[22]

$${\displaystyle \mathbf {A} \cdot \mathbf {B} {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\left\|\mathbf {A} \right\|\left\|\mathbf {B} \right\|\cos \theta ,}$$

θуголAB.

Преобразования

а) y = f(x) = |x|       б) y = f(x+3)      c) y = f(x)-3      d) y = 1/2 f(x)

К родительской функции применяются преобразования, чтобы превратить ее в новую функцию со схожими характеристиками.

График изменяется стандартными преобразованиями следующим образом: ${\displaystyle R(x,y)}$

• Изменение на перемещает график в нужные единицы. ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x-h}$ ${\displaystyle h}$
• Изменение на перемещает график вверх на единицы. ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle y-k}$ ${\displaystyle k}$
• Изменение на растягивает график по горизонтали в . (думайте о расширении) ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x/b}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle x}$
• Изменение на растягивает график по вертикали. ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle y/a}$
• Изменение и изменение на поворачивает график на угол . ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x\cos A+y\sin A}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle -x\sin A+y\cos A}$ ${\displaystyle A}$

Существуют и другие стандартные преобразования, которые обычно не изучаются в элементарной аналитической геометрии, поскольку преобразования изменяют форму объектов способами, которые обычно не рассматриваются. Перекос — это пример преобразования, которое обычно не учитывается. Для получения дополнительной информации обратитесь к статье Википедии об аффинных преобразованиях .

Например, родительская функция имеет горизонтальную и вертикальную асимптоту и занимает первый и третий квадрант, а все ее преобразованные формы имеют одну горизонтальную и вертикальную асимптоту и занимают либо 1-й и 3-й, либо 2-й и 4-й квадранты. В общем, если , то его можно преобразовать в . В новой преобразованной функции — это коэффициент, который растягивает функцию по вертикали, если она больше 1, или сжимает функцию по вертикали, если она меньше 1, а для отрицательных значений функция отражается на оси -. Значение сжимает график функции по горизонтали, если оно больше 1, и растягивает функцию по горизонтали, если оно меньше 1, и, как и , отражает функцию по оси -, когда оно отрицательное. Значения и представляют собой сдвиги, , вертикальные и горизонтальные. Положительные значения и означают, что функция переводится к положительному концу своей оси, а отрицательные значения означают перемещение к отрицательному концу. ${\displaystyle y=1/x}$ ${\displaystyle y=f(x)}$ ${\displaystyle y=af(b(x-k))+h}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle k}$

Преобразования можно применять к любому геометрическому уравнению независимо от того, представляет ли оно функцию или нет. Преобразования можно рассматривать как отдельные транзакции или в комбинациях.

Предположим, что это отношение на плоскости. Например, ${\displaystyle R(x,y)}$ ${\displaystyle xy}$

$${\displaystyle x^{2}+y^{2}-1=0}$$

Нахождение пересечений геометрических объектов

Для двух геометрических объектов P и Q, представленных отношениями , пересечение представляет собой совокупность всех точек , находящихся в обоих отношениях. ^[23] ${\displaystyle P(x,y)}$ ${\displaystyle Q(x,y)}$ ${\displaystyle (x,y)}$

Например, это может быть круг с радиусом 1 и центром : и может быть круг с радиусом 1 и центром . Пересечение этих двух кругов представляет собой совокупность точек, которые делают оба уравнения верными. Делает ли эта точка оба уравнения верными? Используя for , уравнение для становится или что верно, то и в отношении . С другой стороны, по-прежнему используется уравнение для становится или ложно. не находится, значит, он не находится на пересечении. ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle (0,0)}$ ${\displaystyle P=\{(x,y)|x^{2}+y^{2}=1\}}$ ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle (1,0):Q=\{(x,y)|(x-1)^{2}+y^{2}=1\}}$ ${\displaystyle (0,0)}$ ${\displaystyle (0,0)}$ ${\displaystyle (x,y)}$ ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle (0-1)^{2}+0^{2}=1}$ ${\displaystyle (-1)^{2}=1}$ ${\displaystyle (0,0)}$ ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle (0,0)}$ ${\displaystyle (x,y)}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle 0^{2}+0^{2}=1}$ ${\displaystyle 0=1}$ ${\displaystyle (0,0)}$ ${\displaystyle P}$

Пересечение и можно найти, решив одновременные уравнения: ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle Q}$

$${\displaystyle x^{2}+y^{2}=1}$$

$${\displaystyle (x-1)^{2}+y^{2}=1.}$$

Традиционные методы поиска пересечений включают замену и исключение.

Замена: Решите первое уравнение для и затем подставьте выражение во второе уравнение: ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$

$${\displaystyle x^{2}+y^{2}=1}$$

$${\displaystyle y^{2}=1-x^{2}.}$$

Затем мы подставляем это значение в другое уравнение и приступаем к решению : ${\displaystyle y^{2}}$ ${\displaystyle x}$

$${\displaystyle (x-1)^{2}+(1-x^{2})=1}$$

$${\displaystyle x^{2}-2x+1+1-x^{2}=1}$$

$${\displaystyle -2x=-1}$$

$${\displaystyle x=1/2.}$$

Затем мы помещаем это значение в любое из исходных уравнений и решаем : ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$

$${\displaystyle (1/2)^{2}+y^{2}=1}$$

$${\displaystyle y^{2}=3/4}$$

$${\displaystyle y={\frac {\pm {\sqrt {3}}}{2}}.}$$

Итак, наше пересечение имеет две точки:

$${\displaystyle \left(1/2,{\frac {+{\sqrt {3}}}{2}}\right)\;\;{\text{and}}\;\;\left(1/2,{\frac {-{\sqrt {3}}}{2}}\right).}$$

Устранение : добавьте (или вычтите) кратное одно уравнение к другому уравнению, чтобы исключить одну из переменных. В нашем текущем примере, если мы вычтем первое уравнение из второго, мы получим . В первом уравнении вычитается из второго уравнения, не оставляя члена. Переменная удалена. Затем решаем оставшееся уравнение относительно , ​​так же, как и в методе подстановки: ${\displaystyle (x-1)^{2}-x^{2}=0}$ ${\displaystyle y^{2}}$ ${\displaystyle y^{2}}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle x}$

$${\displaystyle x^{2}-2x+1+1-x^{2}=1}$$

$${\displaystyle -2x=-1}$$

$${\displaystyle x=1/2.}$$

Затем мы помещаем это значение в любое из исходных уравнений и решаем : ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$

$${\displaystyle (1/2)^{2}+y^{2}=1}$$

$${\displaystyle y^{2}=3/4}$$

$${\displaystyle y={\frac {\pm {\sqrt {3}}}{2}}.}$$

Итак, наше пересечение имеет две точки:

$${\displaystyle \left(1/2,{\frac {+{\sqrt {3}}}{2}}\right)\;\;{\text{and}}\;\;\left(1/2,{\frac {-{\sqrt {3}}}{2}}\right).}$$

Для конических сечений на пересечении может находиться до 4 точек.

Поиск перехватов

Одним из широко изучаемых типов пересечений является пересечение геометрического объекта с осями координат и . ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$

Пересечение геометрического объекта и оси называется пересечением объекта. Пересечение геометрического объекта и оси называется пересечением объекта. ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x}$

Для линии параметр указывает точку, в которой линия пересекает ось. В зависимости от контекста либо точка, либо точка называется -перехватом. ${\displaystyle y=mx+b}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle (0,b)}$ ${\displaystyle y}$

Геометрическая ось

Ось в геометрии — это линия, перпендикулярная любой линии, объекту или поверхности.

Также для этого может использоваться общеупотребительное употребление в качестве: нормальной (препендикулярной) линии, иначе в технике - осевой линии .

В геометрии нормаль — это объект, например линия или вектор, перпендикулярный данному объекту. Например, в двумерном случае нормальной линией к кривой в данной точке является линия, перпендикулярная касательной к кривой в данной точке.

В трехмерном случае нормаль к поверхности или просто нормаль к поверхности в точке P — это вектор , перпендикулярный касательной плоскости к этой поверхности в точке P. Слово «нормальный» также используется как прилагательное: линия , нормальная к плоскости , нормальная составляющая силы , вектор нормали и т. д. Понятие нормальности обобщается до ортогональности .

Сферические и нелинейные плоскости и их касательные.

Касательная — это линейная аппроксимация сферической или другой изогнутой или скрученной линии функции.

Касательные линии и плоскости

В геометрии касательная линия (или просто касательная ) к плоской кривой в данной точке — это прямая линия , которая «просто касается» кривой в этой точке. Неформально это линия, проходящая через пару бесконечно близких точек кривой. Точнее, прямая линия называется касательной к кривой y = f ( x ) в точке x = c на кривой, если линия проходит через точку ( c , f ( c )) на кривой и имеет наклон f ' ( c ) где f ' — производная f . _ Аналогичное определение применимо к пространственным кривым и кривым в n -мерном евклидовом пространстве .

Когда она проходит через точку, где касательная линия и кривая встречаются, называемую точкой касания , касательная линия «идет в том же направлении», что и кривая, и, таким образом, является лучшим приближением прямой линии к кривой в этой точке. точка.

Аналогично, касательная плоскость к поверхности в данной точке — это плоскость , которая «только касается» поверхности в этой точке. Понятие касательной — одно из наиболее фундаментальных понятий дифференциальной геометрии , получившее широкое обобщение; см. Касательное пространство .

Смотрите также

• Прикладная геометрия
• Перекрестное произведение
• Вращение осей
• Перевод осей
• Векторное пространство

Примечания

1. Бойер, Карл Б. (1991). «Эпоха Платона и Аристотеля». История математики (второе изд.). John Wiley & Sons, Inc., стр. 94–95. ISBN 0-471-54397-7. Менехм, по-видимому, заимствовал эти свойства и у конических сечений, и у других. Поскольку этот материал очень похож на использование координат, как показано выше, иногда утверждалось, что Менехм обладал аналитической геометрией. Такое суждение оправдано лишь частично, поскольку Менехм, конечно, не знал, что любое уравнение с двумя неизвестными величинами определяет кривую. Фактически, общая концепция уравнения в неизвестных величинах была чужда греческой мысли. Именно недостатки алгебраических обозначений больше всего мешали греческим достижениям полноценной координатной геометрии.
2. Бойер, Карл Б. (1991). «Аполлоний Пергский». История математики (второе изд.). John Wiley & Sons, Inc., стр. 142. ISBN 0-471-54397-7. Аполлонический трактат «О определенном сечении» посвящен тому, что можно было бы назвать аналитической геометрией одного измерения. Он рассматривал следующую общую задачу, используя типичный греческий алгебраический анализ в геометрической форме: даны четыре точки A, B, C, D на прямой, определить на ней пятую точку P так, чтобы прямоугольник на AP и CP находился в задано соотношение к прямоугольнику на БП и ДП. И здесь задача легко сводится к решению квадратичного уравнения; и, как и в других случаях, Аполлоний трактовал вопрос исчерпывающе, включая пределы возможности и количество решений.
3. Бойер, Карл Б. (1991). «Аполлоний Пергский». История математики (второе изд.). John Wiley & Sons, Inc., стр. 156. ISBN 0-471-54397-7. Метод Аполлония в « Кониках» во многих отношениях настолько похож на современный подход, что его работу иногда оценивают как аналитическую геометрию, предвосхитившую геометрию Декарта на 1800 лет. Применение линий отсчета вообще, диаметра и касательной на его конце в частности, конечно, существенно не отличается от использования системы координат, будь то прямоугольной или, в более общем случае, наклонной. Расстояния, измеренные по диаметру от точки касания, представляют собой абсциссы, а отрезки, параллельные касательной и пересекаемые между осью и кривой, — ординатами. Аполлоновы отношения между этими абсциссами и соответствующими ординатами представляют собой не что иное, как риторические формы уравнений кривых. Однако греческая геометрическая алгебра не предусматривала отрицательных величин; более того, система координат в каждом случае апостериорно накладывалась на данную кривую с целью изучения ее свойств. Кажется, в древней геометрии не было случаев, когда система координат была заложена априори для целей графического представления уравнения или отношения, выраженного символически или риторически. О греческой геометрии мы можем сказать, что уравнения определяются кривыми, но не кривые определяются уравнениями. Координаты, переменные и уравнения были вспомогательными понятиями, полученными из конкретной геометрической ситуации; [...] То, что Аполлоний, величайший геометр древности, не смог разработать аналитическую геометрию, вероятно, было результатом скудности кривых, а не мысли. Общие методы не нужны, когда проблемы всегда касаются одного из ограниченного числа частных случаев.
4. Бойер (1991). «Арабская гегемония» . История математики . стр. 241–242. ISBN 9780471543978. Омар Хайям (ок. 1050–1123), «изготовитель палаток», написал алгебру , которая вышла за рамки алгебры аль-Хорезми и включила уравнения третьей степени. Как и его арабские предшественники, Омар Хайям предлагал квадратным уравнениям как арифметические, так и геометрические решения; для общих кубических уравнений, полагал он (ошибочно, как показал позднее шестнадцатый век), арифметические решения невозможны; следовательно, он дал только геометрические решения. Схема использования пересекающихся коник для решения кубических задач ранее использовалась Менехмом, Архимедом и Альхазаном, но Омар Хайям предпринял похвальный шаг, обобщив метод на все уравнения третьей степени (имеющие положительные корни). Для уравнений более высокой степени, чем три, Омар Хайям, очевидно, не предусматривал подобных геометрических методов, поскольку пространство содержит не более трех измерений... Одним из наиболее плодотворных вкладов арабского эклектизма была тенденция сократить разрыв между числовыми и геометрическая алгебра. Решающий шаг в этом направлении был сделан гораздо позже Декарта, но Омар Хайям двигался в этом направлении, когда писал: «Кто думает, что алгебра — это уловка для получения неизвестных, тот думал это напрасно. Не следует обращать внимания на тот факт, что алгебра и геометрия внешне различны. Алгебры — это доказанные геометрические факты».
5. Купер, Глен М. (2003). «Рецензия: Омар Хайям, математик Р. Рашида, Б. Вахабзаде». Журнал Американского восточного общества . 123 (1): 248–249. дои : 10.2307/3217882. JSTOR  3217882.
6. Математические шедевры: Дальнейшие хроники исследователей, с. 92
7. Купер, Г. (2003). Журнал Американского восточного общества, 123 (1), 248–249.
8. Стиллвелл, Джон (2004). «Аналитическая геометрия». Математика и ее история (Второе изд.). Springer Science + Business Media Inc. с. 105. ИСБН 0-387-95336-1. два основателя аналитической геометрии, Ферма и Декарт, находились под сильным влиянием этих разработок.
9. Бойер 2004, с. 74
10. Кук, Роджер (1997). «Исчисление». История математики: Краткий курс . Уайли-Интерсайенс. стр. 326. ISBN 0-471-18082-3. Человеком, которому широко приписывают открытие аналитической геометрии, был философ Рене Декарт (1596–1650), один из самых влиятельных мыслителей современной эпохи.
11. Бойер 2004, с. 82
12. Katz 1998, стр. 442
13. Кац 1998, стр. 436
14. Пьер де Ферма, Varia Opera Mathematica d. Петри де Ферма, сенатор Толосани (Тулуза, Франция: Жан Печ, 1679), «Ad locos planos et Solidos isagoge», стр. 91–103.
15. «Eloge de Monsieur de Fermat» (Похвальная речь г-на де Ферма), Le Journal des Scavans , 9 февраля 1665 г., стр. 69–72. Из стр. 70: «Введение в места, планы и твердые элементы; то, что является аналитической чертой, касающейся решения проблем планов и твердых тел, должно избегать того, что M. des Cartes eut rien publié sur ce sujet». (Введение в локусы, плоскости и твердое тело; это аналитический трактат, посвященный решению проблем плоскости и твердого тела, который был просмотрен до того, как г-н де Карт опубликовал что-либо по этому предмету.)
16. Стюарт, Джеймс (2008). Исчисление: ранние трансцендентальные теории , 6-е изд., Brooks Cole Cengage Learning. ISBN 978-0-495-01166-8 
17. Перси Франклин Смит, Артур Салливан Гейл (1905) Введение в аналитическую геометрию , Athaeneum Press
18. Уильям Х. МакКри, Аналитическая геометрия трёх измерений Courier Dover Publications, 27 января 2012 г.
19. Вуйчич, Милан; Сандерсон, Джеффри (2008), Вуйчич, Милан; Сандерсон, Джеффри (ред.), « Тщательно объясненная линейная алгебра» , Springer, стр. 27, номер домена : 10.1007/978-3-540-74639-3, ISBN 978-3-540-74637-9
20. Фанчи, Джон Р. (2006), Курс повышения квалификации по математике для ученых и инженеров, John Wiley and Sons, стр. 44–45, ISBN 0-471-75715-2, раздел 3.2, стр. 45
21. Квадрики Сильвио Леви в «Геометрических формулах и фактах», выдержки из 30-го издания стандартных математических таблиц и формул CRC , CRC Press , из Центра геометрии Университета Миннесоты.
22. Г-н Шпигель; С. Липшуц; Д. Спеллман (2009). Векторный анализ (Очерки Шаума) (2-е изд.). МакГроу Хилл. ISBN 978-0-07-161545-7.
23. Хотя это обсуждение ограничено плоскостью xy, его можно легко распространить на более высокие измерения.

Рекомендации

Книги

• Бойер, Карл Б. (2004) [1956], История аналитической геометрии , Dover Publications, ISBN 978-0486438320
• Каджори, Флориан (1999), История математики , AMS, ISBN 978-0821821022
• Джон Кейси (1885) Аналитическая геометрия точечных, прямых, круговых и конических сечений, ссылка из Интернет-архива .
• Кац, Виктор Дж. (1998), История математики: введение (2-е изд.), Чтение: Аддисон Уэсли Лонгман, ISBN 0-321-01618-1
• Михаил Постников (1982) Лекции по геометрии, семестр I Аналитическая геометрия, через Интернет-архив.
• Струик, ди-джей (1969), Справочник по математике, 1200–1800 , издательство Гарвардского университета, ISBN 978-0674823556

Статьи

• Бисселл, Кристофер К. (1987), «Декартова геометрия: вклад Голландии», The Mathematical Intelligencer , 9 (4): 38–44, doi : 10.1007/BF03023730
• Бойер, Карл Б. (1944), «Аналитическая геометрия: открытие Ферма и Декарта», учитель математики , 37 (3): 99–105, doi : 10.5951/MT.37.3.0099
• Бойер, Карл Б. (1965), «Иоганн Худде и пространственные координаты», Учитель математики , 58 (1): 33–36, doi : 10.5951/MT.58.1.0033
• Кулидж, Дж. Л. (1948), «Начало аналитической геометрии в трех измерениях», American Mathematical Monthly , 55 (2): 76–86, doi : 10.2307/2305740, JSTOR  2305740
• Пекл Дж. Ньютон и аналитическая геометрия

Внешние ссылки

• Координируйте темы геометрии с помощью интерактивной анимации.