Набор решений

Набор значений, удовлетворяющих заданному набору уравнений

В математике набор решений — это набор значений, которые удовлетворяют заданному набору уравнений или неравенств .

Например, для набора полиномов над кольцом набор решений — это подмножество, на котором все полиномы обращаются в нуль (оцениваются до 0), формально ${\displaystyle \{f_{i}\}}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle R}$

${\displaystyle \{x\in R:\forall i\in I,f_{i}(x)=0\}}$

Допустимой областью задачи оптимизации с ограничениями является множество решений ограничений .

Примеры

1. Набор решений одного уравнения — это набор {0}. ${\displaystyle x=0}$
2. Для любого ненулевого многочлена от комплексных чисел от одной переменной множество решений состоит из конечного числа точек. ${\displaystyle f}$
3. Однако для комплексного многочлена от более чем одной переменной множество решений не имеет изолированных точек.

Примечания

В алгебраической геометрии множества решений называются алгебраическими множествами, если в них нет неравенств. Над вещественными числами и с неравенствами существуют так называемые полуалгебраические множества .

Другие значения

В более общем смысле, решение, установленное для произвольного набора E отношений ( E i ) ₍ i варьируется в некотором наборе индексов I ) для набора неизвестных , предположительно принимающих значения в соответствующих пространствах , представляет собой набор S всех решений отношений E , где решение представляет собой семейство значений , такое что замена на в наборе E делает все отношения «истинными». ${\displaystyle {(x_{j})}_{j\in J}}$ ${\displaystyle {(X_{j})}_{j\in J}}$ ${\displaystyle x^{(k)}}$ ${\textstyle {\left(x_{j}^{(k)}\right)}_{j\in J}\in \prod _{j\in J}X_{j}}$ ${\displaystyle {\left(x_{j}\right)}_{j\in J}}$ ${\displaystyle x^{(k)}}$

(Вместо отношений, зависящих от неизвестных, правильнее говорить о предикатах , совокупность E — их логическая конъюнкция , а множество решений — прообраз булевого значения true ассоциированной булевозначной функцией .)

Приведенное выше значение является частным случаем этого значения, если набор многочленов fi _{интерпретируется} как набор уравнений f _i ( x )=0.

Примеры

• Набор решений для E = { x + y = 0 } относительно равен S = { ( a ,− a ) : a ∈ R }. ${\displaystyle (x,y)\in \mathbb {R} ^{2}}$
• Множество решений для E = { x + y = 0 } относительно равно S = { − y }. (Здесь y не «объявлен» как неизвестный и, следовательно, не рассматривается как параметр , от которого зависит уравнение и, следовательно, набор решений.) ${\displaystyle x\in \mathbb {R} }$
• Набор решений для по отношению к - это интервал S = [0,2] (поскольку он не определен для отрицательных значений x ). ${\displaystyle E=\{{\sqrt {x}}\leq 4\}}$ ${\displaystyle x\in \mathbb {R} }$ ${\displaystyle {\sqrt {x}}}$
• Множество решений для относительно есть S = 2π Z (см. тождество Эйлера ). ${\displaystyle E=\{e^{ix}=1\}}$ ${\displaystyle x\in \mathbb {C} }$

Смотрите также

• Решение уравнений
• Посторонние и недостающие решения