Фигура, образованная двумя лучами, встречающимися в общей точке.
В евклидовой геометрии угол — это фигура, образованная двумя лучами , называемыми сторонами угла, имеющими общую конечную точку, называемую вершиной угла. [1]
Углы, образованные двумя лучами, также называются плоскими , поскольку они лежат в плоскости , содержащей лучи. Углы также образуются при пересечении двух плоскостей; они называются двугранными углами . Две пересекающиеся кривые также могут определять угол, который представляет собой угол лучей, лежащих по касательной к соответствующим кривым в их точке пересечения.
Величина угла называется угловой мерой или просто «углом». Угол поворота — это мера , традиционно определяемая как отношение длины дуги окружности к ее радиусу , и может быть отрицательным числом . В случае геометрического угла дуга центрируется в вершине и ограничивается сторонами. В случае вращения дуга центрируется в центре вращения и ограничивается любой другой точкой и ее изображением при вращении.
История и этимология
Слово угол происходит от латинского слова angulus , что означает «угол». Родственные слова включают греческое ἀγκύλος ( ankylos ), означающее «кривой, изогнутый», и английское слово « лодыжка ». Оба связаны с протоиндоевропейским корнем *ank- , означающим «сгибаться» или «поклоняться». [2]
Евклид определяет плоский угол как наклон друг к другу в плоскости двух прямых, которые встречаются друг с другом и не лежат прямо по отношению друг к другу. По мнению метафизика-неоплатоника Прокла , угол должен быть либо качеством, либо количеством, либо отношением. Первое понятие, угол как качество, использовал Евдем Родосский , который рассматривал угол как отклонение от прямой линии ; второй, угол как качество, Карп Антиохийский , который рассматривал его как интервал или пространство между пересекающимися линиями; Евклид принял третье: угол как отношение. [3]
Определение углов
В математических выражениях принято использовать греческие буквы ( α , β , γ , θ , φ ,...) в качестве переменных , обозначающих величину некоторого угла [4] (символ π для этой цели обычно не используется во избежание путаница с константой, обозначенной этим символом ). Также используются строчные латинские буквы ( a , b , c ,...). В тех случаях, когда это не сбивает с толку, угол может обозначаться заглавной римской буквой, обозначающей его вершину. Примеры см. на рисунках в этой статье.
Три определяющие точки могут также определять углы в геометрических фигурах. Например, угол с вершиной А, образованный лучами AB и AC (то есть полупрямыми, проходящими от точки A через точки B и C), обозначается ∠BAC или . Если нет риска путаницы, угол иногда может обозначаться только одной вершиной (в данном случае «угол А»).
Потенциально угол, обозначаемый, скажем, как ∠BAC , может относиться к любому из четырех углов: угол по часовой стрелке от B до C вокруг A, угол против часовой стрелки от B до C вокруг A, угол по часовой стрелке от C до B вокруг A или угол против часовой стрелки от C до B вокруг A, где направление измерения угла определяет его знак (см. § Углы со знаком ). Однако во многих геометрических ситуациях из контекста очевидно, что имеется в виду положительный угол, меньший или равный 180 градусам, и в этих случаях не возникает никакой двусмысленности. В противном случае, чтобы избежать двусмысленности, могут быть приняты специальные соглашения, например, ∠BAC всегда относится к углу против часовой стрелки (положительный) от B к C вокруг A, а ∠CAB - к углу против часовой стрелки (положительный) от C к B вокруг A.
Виды углов
Индивидуальные углы
Существует некоторая общая терминология для углов, мера которых всегда неотрицательна (см. § Углы со знаком ):
Угол, равный 0° или не повернутый, называется нулевым углом. [5]
Угол, меньший прямого угла (менее 90°), называется острым углом [6] («острый» означает « острый »).
При пересечении двух прямых в одной точке образуются четыре угла. Попарно эти углы называются по их расположению относительно друг друга.
Пара противоположных друг другу углов, образованная двумя пересекающимися прямыми линиями, образующими Х-образную форму, называется вертикальными углами , или противоположными углами , или вертикально противоположными углами . Они сокращенно обозначаются как верт. опп. ∠с . [8]
Равенство вертикально противоположных углов называется теоремой о вертикальном угле . Евдем Родосский приписал доказательство Фалесу Милетскому . [9] [10] Предложение показало, что, поскольку оба вертикальных угла являются дополнительными к обоим соседним углам, вертикальные углы равны по мере. Согласно исторической заметке, [10] когда Фалес посетил Египет, он заметил, что всякий раз, когда египтяне рисовали две пересекающиеся линии, они измеряли вертикальные углы, чтобы убедиться, что они равны. Фалес пришел к выводу, что можно доказать, что все вертикальные углы равны, если принять некоторые общие понятия, такие как:
Все прямые углы равны.
Равные, добавленные к равным, равны.
Равные, вычтенные из равных, равны.
Когда два смежных угла образуют прямую, они являются дополнительными. Следовательно, если мы предположим, что величина угла A равна x , то величина угла C будет равна 180° − x . Точно так же величина угла D будет равна 180° − x . И угол C , и угол D имеют размеры, равные 180 ° - x , и равны. Поскольку угол B является дополнительным к обоим углам C и D , любая из этих угловых мер может использоваться для определения меры угла B. Используя меру угла C или угла D , мы находим, что мера угла B равна 180° - (180° - x ) = 180° - 180° + x = x . Следовательно, и угол А , и угол В имеют меры, равные х , и равны по мере.
Смежные углы , часто сокращаемые как прил. ∠s — это углы, имеющие общую вершину и ребро, но не имеющие общих внутренних точек. Другими словами, это углы, расположенные рядом или прилегающие друг к другу, имеющие общее «рукав». Смежные углы, которые в сумме образуют прямой угол, прямой угол или полный угол, являются особыми и называются соответственно дополнительными , дополнительными и дополнительными углами (см. § Объединение пар углов ниже).
Трансверсаль — это линия, которая пересекает пару (часто параллельных) линий и связана с альтернативными внутренними углами , соответствующими углами , внутренними углами и внешними углами . [11]
Объединение пар углов
Постулат сложения углов гласит, что если B находится внутри угла AOC, то
То есть мера угла АОС есть сумма меры угла АОВ и меры угла ВОС.
Три специальные пары углов включают суммирование углов:
Дополнительные углы — это пары углов, сумма мер которых равна одному прямому углу (1/4поворот, 90° илиπ/2радианы). [12] Если два дополнительных угла смежны, их необщие стороны образуют прямой угол. В евклидовой геометрии два острых угла прямоугольного треугольника дополняют друг друга, поскольку сумма внутренних углов треугольника равна 180 градусов, а прямой угол составляет 90 градусов.
Прилагательное комплементарное происходит от латинского комплементума , связанного с глаголом complere , «наполнять». Острый угол «заполняется» своим дополнением, образуя прямой угол.
Разность между углом и прямым углом называется дополнением угла . [13]
Если углы A и B дополнительны, выполняются следующие соотношения:
Приставка « со- » в названиях некоторых тригонометрических отношений относится к слову «дополнительные» .
Два угла, сумма которых образует прямой угол (1/2поворот, 180°, или π радиан) называются дополнительными углами . [14]
Если два дополнительных угла смежны (т. е. имеют общую вершину и имеют только одну сторону), их необщие стороны образуют прямую линию . Такие углы называются линейной парой углов . [15] Однако дополнительные углы не обязательно должны находиться на одной линии и могут быть разделены в пространстве. Например, смежные углы параллелограмма являются дополнительными, а противоположные углы вписанного четырехугольника (все вершины которого лежат на одной окружности) являются дополнительными.
Если точка P является внешней по отношению к окружности с центром O, и если касательные линии, проходящие из P, касаются окружности в точках T и Q, то ∠TPQ и ∠TOQ являются дополнительными.
Синусы дополнительных углов равны. Их косинусы и тангенсы (если они не определены) равны по величине, но имеют противоположные знаки.
В евклидовой геометрии любая сумма двух углов треугольника является дополнительной к третьему, поскольку сумма внутренних углов треугольника является прямым углом.
Два угла, сумма которых образует полный угол (1 оборот, 360° или 2 π радиан), называются дополнительными углами или сопряженными углами . [16]
Разность между углом и полным углом называется дополнением угла или сопряжением угла.
Углы, связанные с многоугольниками
Угол, являющийся частью простого многоугольника, называется внутренним, если он лежит внутри этого простого многоугольника. Простой вогнутый многоугольник имеет хотя бы один внутренний угол, то есть рефлекторный угол. В евклидовой геометрии сумма внутренних углов треугольника равна π радиан , 180° или1/2повернуть; меры внутренних углов простого выпуклого четырехугольника в сумме составляют 2 π радиан, 360° или 1 оборот. В общем, сумма внутренних углов простого выпуклого многоугольника с n сторонами составляет ( n - 2) π радиан, или ( n - 2)180 градусов, ( n - 2)2 прямых углов или ( n - 2)1/2 повернуть.
Дополнение внутреннего угла называется внешним углом ; то есть внутренний угол и внешний угол образуют линейную пару углов. В каждой вершине многоугольника есть два внешних угла, каждый из которых определяется продолжением одной из двух сторон многоугольника, которые встречаются в вершине; эти два угла вертикальны и, следовательно, равны. Внешний угол измеряет величину поворота, которую необходимо совершить в вершине, чтобы обвести многоугольник. [17] Если соответствующий внутренний угол является рефлекторным, внешний угол следует считать отрицательным . Даже в непростом многоугольнике можно определить внешний угол. Тем не менее, чтобы определить знак меры внешнего угла, придется выбрать ориентацию плоскости (или поверхности ). В евклидовой геометрии сумма внешних углов простого выпуклого многоугольника, если в каждой вершине предполагается только один из двух внешних углов, будет равна одному полному обороту (360 °). Внешний угол здесь можно назвать дополнительным внешним углом . Внешние углы обычно используются в программах Logo Turtle при рисовании правильных многоугольников.
В треугольнике биссектрисы двух внешних углов и биссектриса другого внутреннего угла совпадают ( встречаются в одной точке). [18] : 149
В треугольнике три точки пересечения, каждая из которых представляет собой биссектрису внешнего угла с противоположной расширенной стороной , лежат на одной прямой . [18] : с. 149
В треугольнике три точки пересечения: две между биссектрисой внутреннего угла и противоположной стороной и третья между биссектрисой другого внешнего угла и продолженной противоположной стороной являются коллинеарными. [18] : 149
Некоторые авторы используют название « внешний угол» простого многоугольника для обозначения дополнительного внешнего угла ( а не дополнения!) внутреннего угла. [19] Это противоречит приведенному выше использованию.
Углы, связанные с плоскостью
Угол между двумя плоскостями (например, двумя смежными гранями многогранника ) называется двугранным углом . [13] Его можно определить как острый угол между двумя линиями, нормальными к плоскостям.
Угол между плоскостью и пересекающей прямой равен девяносто градусов минус угол между пересекающей линией и линией, проходящей через точку пересечения и перпендикулярной плоскости.
Измерение углов
Размер геометрического угла обычно характеризуется величиной наименьшего поворота, преобразующего один из лучей в другой. Углы одинаковой величины называются равными или равными по мере .
В некоторых контекстах, таких как определение точки на круге или описание ориентации объекта в двух измерениях относительно базовой ориентации, углы, которые отличаются точно кратно полному повороту , фактически эквивалентны. В других контекстах, таких как определение точки на спиральной кривой или описание совокупного вращения объекта в двух измерениях относительно базовой ориентации, углы, которые отличаются ненулевым кратным полного оборота, не являются эквивалентными.
Чтобы измерить угол θ , рисуют дугу окружности с центром в вершине угла, например, с помощью циркуля . Отношение длины s дуги к радиусу r окружности есть число радиан в угле: [20]
Угол, выраженный в другой угловой единице, затем может быть получен путем умножения угла на подходящую константу преобразования видак/2 π, где k — мера полного поворота, выраженная в выбранных единицах измерения (например, k = 360° для градусов или 400 град для граданов ):
Определенное таким образом значение θ не зависит от размера круга: если изменить длину радиуса, то длина дуги изменится в той же пропорции, поэтому соотношение s / r не изменится. [номер 1]
Единицы
На протяжении всей истории углы измерялись в различных единицах . Они известны как угловые единицы , причем наиболее современными единицами являются градус (°), радиан (рад) и градиан (град), хотя на протяжении всей истории использовались и многие другие . [22] Большинство единиц углового измерения определены так, что один оборот (т.е. угол, образуемый окружностью круга в его центре) равен n единицам для некоторого целого числа n . Двумя исключениями являются радиан (и его десятичные дробные) и часть диаметра.
В Международной системе величин угол определяется как безразмерная величина, в частности, безразмерной является единица радиан. Это соглашение влияет на то, как углы обрабатываются при анализе размеров .
В следующей таблице перечислены некоторые единицы измерения углов.
Размерный анализ
Плоский угол можно определить как θ = s / r , где θ — стянутый угол в радианах, s — длина дуги, а r — радиус. Один радиан соответствует углу, для которого s = r , следовательно, 1 радиан = 1 м/м . [30] Однако рад следует использовать только для выражения углов, а не для выражения отношений длин в целом. [31] Аналогичный расчет с использованием площади кругового сектора θ = 2 A / r 2 дает 1 радиан как 1 м 2 /м 2 . [32] Ключевым фактом является то, что радиан является безразмерной единицей , равной 1 . В СИ 2019 года радиан определяется соответственно как 1 рад = 1 . [33] Использование рад = 1 является давней практикой в математике и во всех областях науки . [34] [35]
Джакомо Прандо пишет, что «текущее положение дел неизбежно приводит к призрачным появлениям и исчезновениям радиана в размерном анализе физических уравнений». [36] Например, объект, подвешенный на веревке на шкиве, поднимется или опустится на y = rθ сантиметров, где r — радиус шкива в сантиметрах, а θ — угол поворота шкива в радианах. При умножении r на θ из результата исчезает единица радиан. Аналогично в формуле для угловой скорости катящегося колеса ω = v / r радианы появляются в единицах ω , но не в правой части. [37] Энтони Френч называет это явление «вечной проблемой преподавания механики». [38] Оберхофер говорит, что типичный совет игнорировать радианы во время размерного анализа и добавлять или удалять радианы в единицах в соответствии с соглашением и контекстуальными знаниями «педагогически неудовлетворителен». [39]
По крайней мере дюжина ученых в период с 1936 по 2022 год внесли предложения рассматривать радиан как базовую единицу измерения базовой величины (и измерения) «плоского угла». [41] [42] [43] Обзор предложений Куинси выделяет два класса предложений. Первый вариант меняет единицу измерения радиуса на метры на радиан, но это несовместимо с анализом размеров площади круга π r 2 . Другой вариант — ввести размерную константу. По словам Куинси, этот подход «логически строг» по сравнению с SI, но требует «модификации многих знакомых математических и физических уравнений». [44] Размерная константа для угла является «довольно странной», и сложность изменения уравнений для добавления размерной константы, вероятно, помешает широкому использованию. [43]
В частности, Куинси идентифицирует предложение Торренса ввести константу η , равную 1 обратному радиану (1 рад -1 ), аналогично введению константы ε 0 . [44] [a] С этим изменением формула для угла, образуемого в центре круга, s = rθ , изменяется и становится s = ηrθ , а ряд Тейлора для синуса угла θ становится: [43] [45]
где . Функция Sin, написанная с заглавной буквы , является «полной» функцией, которая принимает аргумент размером в угол и не зависит от выраженных единиц измерения, [45], в то время как sin rad — это традиционная функция для чистых чисел , которая предполагает, что ее аргумент выражен в радианах. [46] можно обозначить, если ясно, что имеется в виду полная форма. [43] [47]
Текущую систему SI можно рассматривать относительно этой системы как естественную систему единиц , в которой предполагается, что выполняется уравнение η = 1 , или, аналогично, 1 рад = 1 . Это соглашение о радианах позволяет опускать η в математических формулах. [48]
Определение радиана как базовой единицы может быть полезно для программного обеспечения, где недостаток более длинных уравнений минимален. [49] Например, библиотека единиц Boost определяет угловые единицы с plane_angleразмером, [50] и система единиц Mathematica аналогичным образом считает, что углы имеют угловое измерение. [51] [52]
Знаковые углы
Часто бывает полезно ввести соглашение, которое позволяет положительным и отрицательным угловым значениям представлять ориентацию и/или вращение в противоположных направлениях или «направление» относительно некоторой ссылки.
В двумерной декартовой системе координат угол обычно определяется двумя сторонами с вершиной в начале координат. Начальная сторона находится на положительной оси X , тогда как другая сторона или конечная сторона определяется размером от начальной стороны в радианах, градусах или оборотах, при этом положительные углы представляют собой повороты в сторону положительной оси Y , а отрицательные углы представляют собой вращения в сторону отрицательной оси Y. Когда декартовы координаты представлены стандартной позицией , определяемой осью X вправо и осью Y вверх, положительные вращения выполняются против часовой стрелки , а отрицательные циклы — по часовой стрелке .
Во многих контекстах угол − θ фактически эквивалентен углу «один полный оборот минус θ ». Например, ориентация, представленная как -45°, фактически равна ориентации, определенной как 360° - 45° или 315°. Хотя конечное положение одинаковое, физическое вращение (движение) на −45° — это не то же самое, что вращение на 315° (например, вращение человека, держащего метлу, лежащего на пыльном полу, оставило бы визуально разные следы). заметенных участков на полу).
В трехмерной геометрии «по часовой стрелке» и «против часовой стрелки» не имеют абсолютного значения, поэтому направление положительных и отрицательных углов должно определяться с точки зрения ориентации , которая обычно определяется вектором нормали , проходящим через вершину угла и перпендикуляром. к плоскости, в которой лежат лучи угла.
В навигации пеленги или азимут измеряются относительно севера . По соглашению, если смотреть сверху, углы азимута положительны по часовой стрелке, поэтому азимут 45 ° соответствует ориентации на северо-восток. Отрицательные пеленги в навигации не используются, поэтому ориентация на северо-запад соответствует пеленгу 315°.
Эквивалентные углы
Углы, имеющие одинаковую меру (т.е. одинаковую величину), называются равными или конгруэнтными . Угол определяется своей мерой и не зависит от длин сторон угла (например, все прямые углы равны по мере).
Два угла, имеющие общие конечные стороны, но различающиеся по размеру на целое кратное поворота, называются коконцевыми углами .
Базовый угол (иногда называемый смежным углом ) для любого угла θ в стандартном положении — это положительный острый угол между конечной стороной θ и осью X (положительный или отрицательный). [53] [54] Процедурно величина опорного угла для данного угла может быть определена путем взятия величины угла по модулю.1/2поворот на 180 ° или π радиан, затем остановка, если угол острый, в противном случае принимается дополнительный угол, 180 ° минус уменьшенная величина. Например, угол в 30 градусов уже является опорным углом, а угол в 150 градусов также имеет опорный угол 30 градусов (180° − 150°). Углы 210° и 510° также соответствуют исходному углу 30 градусов (210° по модулю 180° = 30°, 510° по модулю 180° = 150°, дополнительный угол которого равен 30°).
Сопутствующие количества
Для угловой единицы определяющим является постулат сложения углов . Некоторые величины, связанные с углами, для которых постулат сложения углов не выполняется, включают:
Наклон или градиент равен тангенсу угла ; градиент часто выражается в процентах. Для очень малых значений (менее 5%) наклон линии примерно равен ее углу в радианах с горизонтальным направлением.
Разброс между двумя линиями определяется в рациональной геометрии как квадрат синуса угла между линиями. Поскольку синус угла и синус дополнительного угла одинаковы, любой угол поворота, который отображает одну из линий в другую, приводит к одному и тому же значению разброса между линиями.
Угол между линией и кривой (смешанный угол) или между двумя пересекающимися кривыми (криволинейный угол) определяется как угол между касательными в точке пересечения. Частным случаям давались различные названия (сейчас редко, если вообще употребляются): — амфициртический (греч. ἀμφί , с обеих сторон, κυρτός, выпуклый) или циссоидальный (греч. κισσός, плющ), двояковыпуклый; ксистроидный или систроидный (греч. ξυστρίς, инструмент для соскабливания), вокаво-выпуклый; амфикоэлический (греч. κοίλη, впадина) или angulus lunularis , двояковогнутый. [55]
Биссектрисы и трисекции углов.
Древнегреческие математики знали, как разделить угол пополам (разделить его на два равных угла), используя только циркуль и линейку, но могли разделить только три угла. В 1837 году Пьер Ванцель показал, что эту конструкцию невозможно выполнить для большинства углов.
Эта формула предоставляет простой метод определения угла между двумя плоскостями (или изогнутыми поверхностями) по их нормальным векторам и между наклонными линиями по их векторным уравнениям.
Внутренний продукт
Чтобы определить углы в абстрактном реальном пространстве внутреннего продукта , мы заменяем евклидово скалярное произведение ( · ) внутренним произведением , т.е.
В сложном пространстве внутреннего произведения выражение для косинуса, приведенное выше, может давать недействительные значения, поэтому оно заменяется на
или, чаще, используя абсолютное значение, с
Последнее определение игнорирует направление векторов. Таким образом, он описывает угол между одномерными подпространствами и натянутыми векторами и соответственно.
Углы между подпространствами
Определение угла между одномерными подпространствами , данное формулой
в гильбертовом пространстве можно расширить до подпространств конечной размерности. Учитывая два подпространства с , это приводит к определению углов, называемых каноническими или главными углами между подпространствами.
Углы в римановой геометрии
В римановой геометрии метрический тензор используется для определения угла между двумя касательными . Где U и V — касательные векторы, а g ij — компоненты метрического тензора G ,
Гиперболический угол
Гиперболический угол является аргументом гиперболической функции точно так же, как круговой угол является аргументом круговой функции . Сравнение можно представить как размер отверстий гиперболического сектора и кругового сектора , поскольку площади этих секторов в каждом случае соответствуют величинам углов. В отличие от кругового угла, гиперболический угол не ограничен. Когда круговые и гиперболические функции рассматриваются как бесконечные ряды по их угловому аргументу, круговые функции представляют собой просто чередующиеся формы серий гиперболических функций. Это переплетение двух типов угла и функции было объяснено Леонардом Эйлером во «Введении в анализ бесконечного» .
В астрономии данная точка на небесной сфере (то есть видимое положение астрономического объекта) может быть идентифицирована с использованием любой из нескольких астрономических систем координат , где ссылки различаются в зависимости от конкретной системы. Астрономы измеряют угловое расстояние между двумя звездами , представляя две линии, проходящие через центр Земли , каждая из которых пересекает одну из звезд. Угол между этими линиями и угловое расстояние между двумя звездами можно измерить.
Астрономы также измеряют видимый размер объектов как угловой диаметр . Например, полная Луна имеет угловой диаметр примерно 0,5°, если смотреть с Земли. Можно было бы сказать: «Диаметр Луны составляет угол в полградуса». Формула малого угла может преобразовать такое угловое измерение в отношение расстояния к размеру.
Другие астрономические приближения включают:
0,5° — приблизительный диаметр Солнца и Луны , если смотреть с Земли.
1° — это примерная ширина мизинца на расстоянии вытянутой руки.
10° — это примерная ширина сжатого кулака на расстоянии вытянутой руки.
20° — это приблизительная ширина размаха рук на расстоянии вытянутой руки.
Эти измерения зависят от конкретного субъекта, и приведенное выше следует рассматривать только как грубые приближения .
В астрономии прямое восхождение и склонение обычно измеряются в угловых единицах, выраженных во времени, исходя из 24-часовых суток.
^ Однако этот подход требует дополнительного доказательства того, что мера угла не меняется с изменением радиуса r , в дополнение к вопросу «выбранных единиц измерения». Более плавный подход — измерить угол по длине соответствующей единичной дуги окружности. Здесь «единицу» можно выбрать безразмерной в том смысле, что это действительное число 1, связанное с единичным сегментом на действительной линии. См., например, Радослава М. Димитрича. [21]
^ Другие предложения включают аббревиатуру «рад» (Бринсмейд, 1936), обозначения (Ромен, 1962) и константы ם (Браунштейн, 1997), ◁ (Леви-Леблон, 1998), k (Фостер, 2010), θ C (Квинси, 2021). и (Мор и др., 2022).
^ Д. Цвиллингер, изд. (1995), Стандартные математические таблицы и формулы CRC , Бока-Ратон, Флорида: CRC Press, стр. 270как цитируется в книге Вайсштейна Эрика В. «Внешний угол». Математический мир .
^ Димитрич, Радослав М. (2012). «Об углах и угловых измерениях» (PDF) . Преподавание математики . XV (2): 133–140. Архивировано (PDF) из оригинала 17 января 2019 г. Проверено 6 августа 2019 г.
^ «Угловая единица». TheFreeDictionary.com . Проверено 31 августа 2020 г.
^ ab «Руководство программиста ooPIC — Глава 15: URCP» . Руководство и технические характеристики ooPIC — Компилятор ooPIC, версия 6.0 . Саваж Инновации, ООО. 2007 [1997]. Архивировано из оригинала 28 июня 2008 г. Проверено 5 августа 2019 г.
^ Харгривз, Шон [на польском языке] . «Углы, целые числа и арифметика по модулю». blogs.msdn.com. Архивировано из оригинала 30 июня 2019 г. Проверено 5 августа 2019 г.
^ Бонин, Уолтер (11 января 2016 г.). «RE: WP-32S в 2016 году?». Музей HP . Архивировано из оригинала 6 августа 2019 г. Проверено 5 августа 2019 г.
^ Международное бюро мер и весов 2019, стр. 151: «Один радиан соответствует углу, для которого s = r »
^ Международное бюро мер и весов 2019, стр. 151.
^ Куинси 2016, с. 844: «Кроме того, как упоминалось в Mohr & Phillips 2015, радиан можно определить через площадь A сектора ( A =1/2θ r 2 ), и в этом случае он имеет единицы m 2 ⋅m −2 ».
^ Международное бюро мер и весов 2019, стр. 151: «Один радиан соответствует углу, для которого s = r , таким образом, 1 рад = 1 ».
^ Международное бюро мер и весов 2019, стр. 137.
^ Бриджмен, Перси Уильямс (1922). Размерный анализ. Нью-Хейвен: Издательство Йельского университета. Угловая амплитуда качания [...] Размеры отсутствуют.
^ Прандо, Джакомо (август 2020 г.). «Спектральная единица». Физика природы . 16 (8): 888. Бибкод : 2020NatPh..16..888P. дои : 10.1038/s41567-020-0997-3 . S2CID 225445454.
^ Леонард, Уильям Дж. (1999). Minds-on Physics: Продвинутые темы в механике. Кендалл Хант. п. 262. ИСБН978-0-7872-5412-4.
^ Френч, Энтони П. (май 1992 г.). «Что происходит с радианами? (комментарий)». Учитель физики . 30 (5): 260–261. дои : 10.1119/1.2343535.
^ Оберхофер, ES (март 1992 г.). «Что происходит с радианами?». Учитель физики . 30 (3): 170–171. Бибкод : 1992PhTea..30..170O. дои : 10.1119/1.2343500.
^ Обрехт, Гордон Дж.; Френч, Энтони П.; Иона, Марио; Уэлч, Дэниел В. (февраль 1993 г.). «Радиан — эта неприятная единица». Учитель физики . 31 (2): 84–87. Бибкод : 1993PhTea..31...84A. дои : 10.1119/1.2343667.
^ Бринсмэйд, 1936 г.; Ромен 1962; Эдер 1982 г.; Торренс 1986; Браунштейн 1997; Леви-Леблон, 1998 г.; Фостер 2010; Миллс 2016; Квинси 2021; Леонард 2021; Мор и др. 2022 год
^ Мор и Филлипс 2015.
^ abcd Куинси, Пол; Браун, Ричард Дж. К. (1 июня 2016 г.). «Последствия принятия плоского угла в качестве базовой величины в системе СИ». Метрология . 53 (3): 998–1002. arXiv : 1604.02373 . Бибкод : 2016Метро..53..998Q. дои : 10.1088/0026-1394/53/3/998. S2CID 119294905.
^ Аб Куинси, 2016.
^ Аб Торренс 1986.
^ Мор и др. 2022, с. 6.
^ Мор и др. 2022, стр. 8–9.
^ Куинси 2021.
^ Куинси, Пол; Браун, Ричард Дж.К. (1 августа 2017 г.). «Более четкий подход к определению систем единиц». Метрология . 54 (4): 454–460. arXiv : 1705.03765 . Бибкод : 2017Метро..54..454Q. дои : 10.1088/1681-7575/aa7160. S2CID 119418270.
^ Шабель, Матиас К.; Ватанабэ, Стивен. «Часто задаваемые вопросы по Boost.Units – 1.79.0». www.boost.org . Проверено 5 мая 2022 г. Углы рассматриваются как единицы
^ Мор и др. 2022, с. 3.
^ «UnityDimensions — Документация по языку Wolfram». ссылка.wolfram.com . Проверено 1 июля 2022 г.
^ «Математические слова: опорный угол» . www.mathwords.com . Архивировано из оригинала 23 октября 2017 года . Проверено 26 апреля 2018 г.
^ МакКег, Чарльз П. (2008). Тригонометрия (6-е изд.). Бельмонт, Калифорния: Томсон Брукс/Коул. п. 110. ИСБН978-0495382607.
^ Чисхолм 1911; Хейберг 1908, с. 178
Библиография
Абугантус, Чарльз Х. (2010), Первый курс евклидовой плоской геометрии в средней школе, Universal Publishers, ISBN 978-1-59942-822-2
Бринсмэйд, Дж. Б. (декабрь 1936 г.). «Плоские и телесные углы. Их педагогическое значение при явном представлении». Американский журнал физики . 4 (4): 175–179. Бибкод : 1936AmJPh...4..175B. дои : 10.1119/1.1999110.
Браунштейн, КР (июль 1997 г.). «Углы — давайте относиться к ним честно». Американский журнал физики . 65 (7): 605–614. Бибкод : 1997AmJPh..65..605B. дои : 10.1119/1.18616 .
Эдер, МЫ (январь 1982 г.). «Точка зрения на величину «плоского угла»". Metrologia . 18 (1): 1–12. Бибкод : 1982Metro..18....1E. doi : 10.1088/0026-1394/18/1/002. S2CID 250750831.
Фостер, Маркус П. (1 декабря 2010 г.). «Следующие 50 лет SI: обзор возможностей эпохи электронной науки». Метрология . 47 (6): Р41–Р51. дои : 10.1088/0026-1394/47/6/R01. S2CID 117711734.
Годфри, Чарльз; Сиддонс, AW (1919), Элементарная геометрия: практическая и теоретическая (3-е изд.), Cambridge University Press
Хендерсон, Дэвид В.; Таймина, Дайна (2005), Опыт геометрии / евклидово и неевклидово с историей (3-е изд.), Пирсон Прентис Холл, стр. 104, ISBN 978-0-13-143748-7
Хейберг, Йохан Людвиг (1908), Хит, TL (ред.), Евклид, Тринадцать книг элементов Евклида, том. 1, Кембридж : Издательство Кембриджского университета.
Джейкобс, Гарольд Р. (1974), Геометрия , WH Freeman, стр. 97, 255, ISBN 978-0-7167-0456-0
Леонард, BP (1 октября 2021 г.). «Предложение по размерной согласованности угла и телесного угла в Международной системе единиц (СИ)». Метрология . 58 (5): 052001. Бибкод : 2021Metro..58e2001L. дои : 10.1088/1681-7575/abe0fc. S2CID 234036217.
Леви-Леблон, Жан-Марк (сентябрь 1998 г.). «Размерные углы и универсальные константы». Американский журнал физики . 66 (9): 814–815. Бибкод : 1998AmJPh..66..814L. дои : 10.1119/1.18964.
Миллс, Ян (1 июня 2016 г.). «О единицах радиан и цикл для величины плоского угла». Метрология . 53 (3): 991–997. Бибкод : 2016Метро..53..991М. дои : 10.1088/0026-1394/53/3/991. S2CID 126032642.
Мор, Питер Дж; Филлипс, Уильям Д. (1 февраля 2015 г.). «Безразмерные единицы в системе СИ». Метрология . 52 (1): 40–47. arXiv : 1409.2794 . Бибкод : 2015Метро..52...40М. дои : 10.1088/0026-1394/52/1/40 .
Мор, Питер Дж; Ширли, Эрик Л; Филлипс, Уильям Д; Тротт, Майкл (23 июня 2022 г.). «О размерности углов и их единиц». Метрология . 59 (5): 053001. arXiv : 2203.12392 . Бибкод : 2022Метро..59e3001M. дои : 10.1088/1681-7575/ac7bc2 .
Мозер, Джеймс М. (1971), Современная элементарная геометрия, Прентис-Холл
Куинси, Пол (1 апреля 2016 г.). «Диапазон возможностей обработки плоского угла и телесного угла в системе единиц». Метрология . 53 (2): 840–845. Бибкод : 2016Metro..53..840Q. дои : 10.1088/0026-1394/53/2/840. S2CID 125438811.
Куинси, Пол (1 октября 2021 г.). «Углы в СИ: подробное предложение решения проблемы». Метрология . 58 (5): 053002. arXiv : 2108.05704 . Бибкод : 2021Metro..58e3002Q. дои : 10.1088/1681-7575/ac023f. S2CID 236547235.
Ромен, Жак Э. (июль 1962 г.). «Угол как четвертая фундаментальная величина». Журнал исследований Национального бюро стандартов. Раздел B. 66B (3): 97. doi : 10.6028/jres.066B.012 .
Шут, Уильям Г.; Ширк, Уильям В.; Портер, Джордж Ф. (1960), Плоская и объемная геометрия , Американская книжная компания, стр. 25–27.
Торренс, AB (1 января 1986 г.). «Об углах и угловых величинах». Метрология . 22 (1): 1–7. Бибкод : 1986Метро..22....1Т. дои : 10.1088/0026-1394/22/1/002. S2CID 250801509.
Вонг, Так-ва; Вонг, Минг-сим (2009), «Углы в пересекающихся и параллельных линиях», New Century Mathematics , vol. 1B (1-е изд.), Гонконг: Oxford University Press, стр. 161–163, ISBN.978-0-19-800177-5
В эту статью включен текст из публикации, которая сейчас находится в свободном доступе : Чисхолм, Хью , изд. (1911), «Угол», Британская энциклопедия , том. 2 (11-е изд.), Издательство Кембриджского университета, стр. 2. 14
Внешние ссылки
Викискладе есть медиафайлы, связанные с углами (геометрией) .
В Wikibook Geometry есть страница на тему: Единые углы.