В алгебре кубическим уравнением с одной переменной называется уравнение вида
в котором а не равно нулю.
Решения этого уравнения называются корнями кубической функции , определяемой левой частью уравнения. Если все коэффициенты a , b , c и d кубического уравнения являются действительными числами , то оно имеет хотя бы один действительный корень (это верно для всех полиномиальных функций нечетной степени ). Все корни кубического уравнения можно найти следующими способами:
Коэффициенты не обязательно должны быть действительными числами. Многое из того, что описано ниже, справедливо для коэффициентов в любом поле с характеристикой, отличной от 2 и 3. Решения кубического уравнения не обязательно принадлежат тому же полю, что и коэффициенты. Например, некоторые кубические уравнения с рациональными коэффициентами имеют корни, которые представляют собой иррациональные (и даже недействительные) комплексные числа .
Кубические уравнения были известны древним вавилонянам, грекам, китайцам, индийцам и египтянам. [1] [2] [3] Найдены вавилонские (20-16 вв. до н. э.) клинописные таблички с таблицами для вычисления кубов и кубических корней. [4] [5] Вавилоняне могли использовать таблицы для решения кубических уравнений, но не существует никаких доказательств, подтверждающих это. [6] Проблема удвоения куба включает в себя простейшее и старейшее изученное кубическое уравнение, для которого древние египтяне не верили, что существует решение. [7] В V веке до нашей эры Гиппократ свел эту проблему к задаче нахождения двух средних пропорциональных между одной линией и другой, удвоенной ее длины, но не смог решить эту проблему с помощью циркуля и линейки , [8] задача, которая сейчас является задачей известно, что это невозможно. Методы решения кубических уравнений появляются в « Девяти главах математического искусства» , китайском математическом тексте, составленном примерно во 2 веке до нашей эры и прокомментированном Лю Хуэем в 3 веке. [2]
В III веке нашей эры греческий математик Диофант нашел целочисленные или рациональные решения для некоторых двумерных кубических уравнений ( диофантовых уравнений ). [3] [9] Гиппократ, Менехм и Архимед , как полагают, подошли близко к решению проблемы удвоения куба с помощью пересекающихся конических сечений , [8] хотя историки, такие как Ревьель Нетц, спорят о том, думали ли греки о кубических уравнениях или просто задачи, которые могут привести к кубическим уравнениям. Некоторые другие, такие как Т. Л. Хит , который перевел все работы Архимеда, не согласны с этим, приводя доказательства того, что Архимед действительно решал кубические уравнения, используя пересечения двух коник , но также обсуждал условия, когда корни равны 0, 1 или 2. [10]
В VII веке астроном-математик из династии Тан Ван Сяотун в своем математическом трактате под названием Цзигу Суаньцзин систематически установил и решил численно 25 кубических уравнений вида x 3 + px 2 + qx = N , 23 из них с p , q ≠ 0 , и два из них с q = 0 . [11]
В XI веке персидский поэт-математик Омар Хайям (1048–1131) добился значительных успехов в теории кубических уравнений. В одной из первых статей он обнаружил, что кубическое уравнение может иметь более одного решения, и заявил, что его нельзя решить с помощью циркуля и линейки. Он также нашел геометрическое решение. [12] [a] В своей более поздней работе «Трактат о демонстрации проблем алгебры» он написал полную классификацию кубических уравнений с общими геометрическими решениями, найденными с помощью пересекающихся конических сечений . [13] [14] Хайям предпринял попытку придумать алгебраическую формулу для извлечения кубических корней. Он написал:
«Мы пытались выразить эти корни с помощью алгебры, но потерпели неудачу. Однако, возможно, люди, которые придут после нас, добьются успеха». [15]
В XII веке индийский математик Бхаскара II безуспешно пытался решить кубические уравнения. Однако он привел один пример кубического уравнения: x 3 + 12 x = 6 x 2 + 35 . [16] В XII веке другой персидский математик, Шараф ад-Дин ат-Туси (1135–1213), написал « Аль-Муадалат» ( «Трактат об уравнениях »), в котором рассматривались восемь типов кубических уравнений с положительными решениями и пять типов кубических уравнений, которые могут не иметь положительных решений. Он использовал то, что позже будет известно как « метод Руффини - Хорнера », для численной аппроксимации корня кубического уравнения. Он также использовал концепции максимумов и минимумов кривых для решения кубических уравнений, которые могут не иметь положительных решений. [17] Он понимал важность дискриминанта кубического уравнения для поиска алгебраических решений определенных типов кубических уравнений. [18]
В своей книге «Флос» Леонардо де Пиза, также известный как Фибоначчи (1170–1250), смог точно аппроксимировать положительное решение кубического уравнения x 3 + 2 x 2 + 10 x = 20 . Записав вавилонскими цифрами , он дал результат: 1,22,7,42,33,4,40 (что эквивалентно 1 + 22/60 + 7/60 2 + 42/60 3 + 33/60 4 + 4/60 5). + 40/60 6 ), что имеет относительную погрешность около 10 −9 . [19]
В начале 16 века итальянский математик Сципионе дель Ферро (1465–1526) нашел метод решения класса кубических уравнений, а именно уравнений вида x 3 + mx = n . Фактически, все кубические уравнения можно привести к этому виду, если допустить, чтобы m и n были отрицательными, но отрицательные числа ему в то время не были известны. Дель Ферро держал свое достижение в секрете до тех пор, пока незадолго до своей смерти не рассказал о нем своему ученику Антонио Фиору.
В 1535 году Никколо Тарталья (1500–1557) получил от Зуанне да Кой две задачи на кубические уравнения и объявил, что может их решить. Вскоре ему бросил вызов Фиор, что привело к знаменитому состязанию между ними. Каждый участник должен был внести определенную сумму денег и предложить сопернику ряд задач. Тот, кто решит больше задач в течение 30 дней, получит все деньги. Тарталья получил вопросы в форме x 3 + mx = n , для чего он разработал общий метод. Фиор получил вопросы в форме x 3 + mx 2 = n , решить которые оказалось для него слишком сложно, и Тарталья выиграл конкурс.
Позже Джероламо Кардано (1501–1576) уговорил Тарталью раскрыть свой секрет решения кубических уравнений. В 1539 году Тарталья сделал это только при условии, что Кардано никогда не раскроет это и что, если он действительно напишет книгу о кубиках, он даст Тарталье время для публикации. Несколько лет спустя Кардано узнал о предыдущей работе дель Ферро и опубликовал метод дель Ферро в своей книге Ars Magna в 1545 году, то есть Кардано дал Тарталье шесть лет на публикацию своих результатов (с благодарностью Тарталье за независимое решение).
В обещании Кардано Тарталье говорилось, что он не будет публиковать работы Тартальи, и Кардано чувствовал, что публикует работы дель Ферро, чтобы обойти обещание. Тем не менее, это привело к вызову Кардано со стороны Тартальи, который Кардано отрицал. В конце концов вызов принял ученик Кардано Лодовико Феррари (1522–1565). Феррари выступил лучше, чем Тарталья в соревновании, и Тарталья потерял и свой престиж, и свой доход. [20]
Кардано заметил, что метод Тартальи иногда требовал от него извлечения квадратного корня из отрицательного числа. Он даже включил расчет с этими комплексными числами в Ars Magna , но толком в нем не разобрался. Рафаэль Бомбелли подробно изучал этот вопрос [21] и поэтому часто считается первооткрывателем комплексных чисел.
Франсуа Вьет (1540–1603) независимо получил тригонометрическое решение кубической задачи с тремя действительными корнями, а Рене Декарт (1596–1650) расширил работу Виета. [22]
Если коэффициенты кубического уравнения являются рациональными числами , можно получить эквивалентное уравнение с целыми коэффициентами, умножив все коэффициенты на общее кратное их знаменателей. Такое уравнение
с целыми коэффициентами называется приводимым, если многочлен в левой части является произведением многочленов более низких степеней. По лемме Гаусса , если уравнение приводимо, можно предположить, что коэффициенты имеют целые коэффициенты.
Найти корни приводимого кубического уравнения проще, чем решать общий случай. Фактически, если уравнение приводимо, один из факторов должен иметь степень один и, следовательно, иметь вид
где q и p являются взаимно простыми целыми числами . Тест на рациональный корень позволяет найти q и p путем рассмотрения конечного числа случаев (поскольку q должен быть делителем a , а p должен быть делителем d ).
Таким образом, один корень является , а остальные корни являются корнями другого сомножителя, который можно найти методом деления полинома в столбик . Этот другой фактор
(Коэффициенты не кажутся целыми числами, но должны быть целыми числами, если p / q является корнем.)
Тогда остальные корни являются корнями этого квадратного многочлена и могут быть найдены с помощью квадратичной формулы .
Кубики формы
говорят, что в депрессии. Они намного проще, чем обычные кубики, но имеют фундаментальное значение, поскольку изучение любой кубики можно свести к простой замене переменной на переменную пониженной кубики.
Позволять
быть кубическим уравнением. Изменение переменной
дает кубику (в t ), которая не имеет члена в t 2 .
После деления на единицу получается депрессивное кубическое уравнение
с
Корни исходного уравнения связаны с корнями депрессивного уравнения соотношениями
Природу (действительную или нет, различимую или нет) корней кубики можно определить без их явного вычисления, используя дискриминант .
Дискриминант многочлена — это функция его коэффициентов, которая равна нулю тогда и только тогда, когда многочлен имеет кратный корень или если он делится на квадрат непостоянного многочлена. Другими словами, дискриминант отличен от нуля тогда и только тогда, когда многочлен не содержит квадратов .
Если r 1 , r 2 , r 3 — три корня (не обязательно различных и вещественных ) кубики, то дискриминант равен
Дискриминант депрессивной кубики равен
Дискриминант общей кубики равен
Это произведение и дискриминант соответствующей депрессивной кубики. Используя формулу, связывающую общую кубику и связанную с ней депрессивную кубику, это означает, что дискриминант общей кубики можно записать как
Отсюда следует, что один из этих двух дискриминантов равен нулю тогда и только тогда, когда другой также равен нулю, и, если коэффициенты действительны , два дискриминанта имеют одинаковый знак. Таким образом, одну и ту же информацию можно получить из любого из этих двух дискриминантов.
Чтобы доказать предыдущие формулы, можно использовать формулы Виеты, чтобы выразить все в виде полиномов от r 1 , r 2 , r 3 и a . Тогда доказательство приводит к проверке равенства двух многочленов.
Если коэффициенты многочлена — действительные числа , а его дискриминант не равен нулю, возможны два случая:
Это можно доказать следующим образом. Во-первых, если r — корень многочлена с вещественными коэффициентами, то его комплексно-сопряженный элемент также является корнем. Таким образом, невещественные корни, если они есть, встречаются как пары комплексно-сопряженных корней. Поскольку кубический многочлен имеет три корня (не обязательно различных) по фундаментальной теореме алгебры , по крайней мере один корень должен быть вещественным.
Как указано выше, если r 1 , r 2 , r 3 — три корня кубики , то дискриминант равен
Если три корня вещественны и различны, дискриминант является продуктом положительных действительности, то есть
Если только один корень, скажем, r 1 , является вещественным, то r 2 и r 3 являются комплексно-сопряженными числами, из чего следует, что r 2 – r 3 является чисто мнимым числом , и, таким образом, ( r 2 – r 3 ) 2 является вещественным и отрицательный. С другой стороны, r 1 – r 2 и r 1 – r 3 являются комплексно-сопряженными числами, а их произведение вещественно и положительно. [23] Таким образом, дискриминант — это произведение одного отрицательного числа и нескольких положительных. То есть
Если дискриминант кубики равен нулю, кубика имеет кратный корень . Если, кроме того, его коэффициенты вещественны, то все его корни вещественны.
Дискриминант вдавленной кубики равен нулю, если если p также равен нулю, то p = q = 0 , а 0 — тройной корень кубики. Если и p ≠ 0 , то кубика имеет простой корень
и двойной корень
Другими словами,
Этот результат можно доказать, разложив последнее произведение, или получить, решив довольно простую систему уравнений , возникающую на основе формул Виета .
Используя редукцию депрессивной кубики, эти результаты можно распространить на общую кубику. Это дает: Если дискриминант кубики равен нулю, то
Приведенные выше результаты действительны, когда коэффициенты принадлежат к полю характеристики , отличной от 2 или 3, но должны быть изменены для характеристики 2 или 3 из-за задействованного деления на 2 и 3.
Приведение к депрессивной кубике работает для характеристики 2, но не для характеристики 3. Однако в обоих случаях проще установить и сформулировать результаты для общей кубики. Основным инструментом для этого является тот факт, что кратный корень является общим корнем многочлена и его формальной производной . В этих характеристиках, если производная не является константой, она представляет собой линейный полином в характеристике 3 и представляет собой квадрат линейного полинома в характеристике 2. Следовательно, для любой характеристики 2 или 3 производная имеет только один корень. Это позволяет вычислить кратный корень, а третий корень можно вывести из суммы корней, что обеспечивается формулами Виеты .
Отличие от других характеристик состоит в том, что в характеристике 2 в формуле двойного корня используется квадратный корень, а в характеристике 3 в формуле тройного корня используется кубический корень.
Джероламо Кардано приписывают публикацию первой формулы решения кубических уравнений, приписывая ее Сципионе дель Ферро и Никколо Фонтана Тарталья . Формула применима к депрессивным кубам, но, как показано в § Депрессивные кубы, она позволяет решать все кубические уравнения.
Результат Кардано состоит в том, что если
— кубическое уравнение, такое, что p и q — действительные числа, такие, что оно положительное (это означает, что дискриминант уравнения отрицательный), тогда уравнение имеет действительный корень
где и являются двумя числами и
См. ниже § Вывод корней, где описаны несколько методов получения этого результата.
Как показано в § Природа корней, два других корня в данном случае являются недействительными комплексно-сопряженными числами. Позже было показано (Кардано не знал комплексных чисел ), что два других корня получаются умножением одного из кубических корней на примитивный кубический корень из единицы , а другого кубического корня на другой примитивный кубический корень из единицы . остальные корни уравнения: и [24]
Если есть три действительных корня, но теория Галуа позволяет доказать, что при отсутствии рационального корня корни не могут быть выражены алгебраическим выражением , включающим только действительные числа. Следовательно, уравнение в этом случае невозможно решить, зная время Кардано. Таким образом, этот случай получил название casus нередуцируемый , что на латыни означает «неприводимый случай» .
В casus reducibilis формулу Кардано все еще можно использовать, но при использовании кубических корней необходима определенная осторожность. Первый метод состоит в том, чтобы определить символы и как представляющие главные значения корневой функции (то есть корня, имеющего наибольшую действительную часть). При этом соглашении формула Кардано для трех корней остается действительной, но не является чисто алгебраической, поскольку определение главной части не является чисто алгебраическим, поскольку оно включает неравенства для сравнения действительных частей. Кроме того, использование главного кубического корня может дать неправильный результат, если коэффициенты являются недействительными комплексными числами. Более того, если коэффициенты принадлежат другому полю , то главный кубический корень вообще не определен.
Второй способ сделать формулу Кардано всегда правильной — это заметить, что произведение двух кубических корней должно быть – p /3 . Получается, что корень уравнения равен
В этой формуле символы и обозначают любой квадратный и любой кубический корень. Остальные корни уравнения получаются либо заменой кубического корня, либо, что то же самое, умножением кубического корня на примитивный кубический корень из единицы, то есть
Эта формула для корней всегда верна, за исключением случаев, когда p = q = 0 , при условии, что если p = 0 , квадратный корень выбирается так, что C ≠ 0 . Однако в этих случаях формула бесполезна, поскольку корни можно выразить без кубического корня. Точно так же формула бесполезна и в других случаях, когда кубический корень не требуется, то есть когда и когда кубический многочлен не является неприводимым .
Эта формула верна также, когда p и q принадлежат любому полю характеристики , отличной от 2 или 3.
Кубическая формула для корней общего кубического уравнения (при a ≠ 0 )
можно вывести из каждого варианта формулы Кардано путем приведения к депрессивной кубике. Представленный здесь вариант справедлив не только для вещественных коэффициентов, но и для коэффициентов a , b , c , d , принадлежащих любому полю характеристики , отличной от 2 или 3.
Поскольку формула довольно сложная, стоит разбить ее на более мелкие формулы.
Позволять
(Оба и могут быть выражены как результирующие кубической величины и ее производных:−1/8 аумноженный на результат кубического числа и его второй производной, и равен−1/12 аумноженное на результат первой и второй производных кубического многочлена.)
Тогда пусть
где символы и интерпретируются как любой квадратный корень и любой кубический корень соответственно (каждое ненулевое комплексное число имеет два квадратных корня и три кубических корня). Знак « ± » перед квадратным корнем равен « + » или « – »; выбор почти произволен, и его изменение равносильно выбору другого квадратного корня. Однако если выбор дает C = 0 (это происходит, если ), то вместо этого должен быть выбран другой знак. Если оба варианта дают C = 0 , то есть если дробь0/0встречается в следующих формулах; эту дробь следует интерпретировать как равную нулю (см. конец этого раздела). Одним из корней этих соглашений является
Два других корня можно получить, изменив выбор кубического корня в определении C или, что то же самое, умножив C на примитивный кубический корень из единицы , то есть–1 ± √ –3/2. Другими словами, три корня
где ξ =–1 + √ –3/2.
Что касается частного случая депрессивной кубической формулы, эта формула применима, но бесполезна, когда корни можно выразить без кубических корней. В частности, если формула дает равенство трех корней, это означает, что кубический многочлен можно факторизовать как. Непосредственное вычисление позволяет проверить, что существование этой факторизации эквивалентно
Когда кубическое уравнение с действительными коэффициентами имеет три действительных корня, формулы, выражающие эти корни через радикалы, включают комплексные числа. Теория Галуа позволяет доказать, что когда три корня действительны и ни один из них не является рациональным ( casus reducibilis ), корни нельзя выразить через действительные радикалы. Тем не менее, чисто вещественные выражения решений могут быть получены с помощью тригонометрических функций , в частности, через косинусы и арккосинусы . [25] Точнее, корни вдавленной кубической
есть [26]
Эта формула принадлежит Франсуа Вьету . [22] Это чисто реально, когда уравнение имеет три действительных корня (то есть ). В противном случае оно по-прежнему правильно, но включает в себя комплексные косинусы и арккосинусы, когда имеется только один действительный корень, и бессмысленно (деление на ноль), когда p = 0 .
Эту формулу можно напрямую преобразовать в формулу для корней общего кубического уравнения, используя обратную замену, описанную в § Депрессивная кубика.
Формулу можно доказать следующим образом: исходя из уравнения t 3 + pt + q = 0 , положим t = u cos θ . Идея состоит в том, чтобы выбрать u так, чтобы уравнение совпадало с тождеством
Для этого выберите и разделите уравнение на. Это дает
Объединяя с приведенным выше тождеством, получаем
и корни, таким образом,
Когда существует только один действительный корень (и p ≠ 0 ), этот корень можно аналогичным образом представить с помощью гиперболических функций , как [27] [28]
Если p ≠ 0 и неравенства справа не выполняются (случай трех действительных корней), формулы остаются верными, но включают в себя комплексные величины.
Когда p = ±3 , приведенные выше значения t 0 иногда называют кубическим корнем Чебышева. [29] Точнее, значения, включающие косинусы и гиперболические косинусы, определяют, когда p = −3 , одну и ту же аналитическую функцию , обозначаемую C 1/3 ( q ) , которая является собственным кубическим корнем Чебышева. Значение, включающее гиперболические синусы, аналогично обозначается S 1/3 ( q ) , когда p = 3 .
Для решения кубического уравнения x 3 + m 2 x = n , где n > 0 , Омар Хайям построил параболу y = x 2 / m , круг, диаметр которого составляет отрезок [0, n / m 2 ] на положительная ось x и вертикальная линия, проходящая через точку пересечения круга и параболы над осью x . Решение определяется длиной отрезка горизонтальной линии от начала координат до пересечения вертикальной линии и оси x (см. рисунок).
Простое современное доказательство состоит в следующем. Умножив уравнение на x / m 2 и перегруппировав члены, получим
Левая часть — это значение y 2 на параболе. Уравнение окружности y 2 + x ( x −н/м 2) = 0 , правая часть — это значение y 2 на окружности.
Кубическое уравнение с действительными коэффициентами можно решить геометрически с помощью циркуля, линейки и трисектора угла тогда и только тогда, когда оно имеет три действительных корня. [30] : Thm. 1
Кубическое уравнение можно решить с помощью построения циркуля и линейки (без трисектора) тогда и только тогда, когда оно имеет рациональный корень. Это означает, что старые проблемы трисекции угла и удвоения куба , поставленные древнегреческими математиками , не могут быть решены с помощью построения циркуля и линейки.
Тригонометрическое выражение корней Виета в случае трех действительных корней поддается геометрической интерпретации в терминах круга. [22] [31] Когда кубика записана в депрессивной форме ( 2 ) , t 3 + pt + q = 0 , как показано выше, решение можно выразить как
Вот угол в единичной окружности; принимая1/3этого угла соответствует извлечению кубического корня из комплексного числа; добавление − k2 π/3для k = 1, 2 находит остальные кубические корни; и умножаем косинусы этих получившихся углов на поправки на масштаб.
Для случая без депрессии ( 1 ) (показанного на прилагаемом графике) случай с депрессией, как указано ранее, получается путем определения t такого, что x = t -б/3 аитак т = х +б/3 а. Графически это соответствует простому сдвигу графика по горизонтали при изменении переменных t и x без изменения угловых соотношений. Этот сдвиг перемещает точку перегиба и центр окружности на ось Y. Следовательно, сумма корней уравнения в t равна нулю.
Когда график кубической функции строится в декартовой плоскости , если имеется только один действительный корень, это абсцисса ( координата x ) горизонтального пересечения кривой (точка R на рисунке). Далее, [32] [33] [34] если комплексно-сопряженные корни записаны как g ± hi , то действительная часть g представляет собой абсциссу точки касания H касательной прямой к кубике, проходящей через x -пересечение R кубическая (то есть длина со знаком OM, отрицательная на рисунке). Мнимые части ±h представляют собой квадратные корни из тангенса угла между этой касательной и горизонтальной осью. [ нужны разъяснения ]
Имея один действительный и два комплексных корня, эти три корня могут быть представлены как точки на комплексной плоскости, как и два корня производной кубической дроби. Между всеми этими корнями существует интересная геометрическая связь.
Точки комплексной плоскости, представляющие три корня, служат вершинами равнобедренного треугольника. (Треугольник равнобедренный, потому что один корень находится на горизонтальной (вещественной) оси, а два других корня, будучи комплексно-сопряженными, появляются симметрично выше и ниже вещественной оси.) Теорема Мардена гласит, что точки, представляющие корни производной кубические — это фокусы эллипса Штейнера треугольника — уникального эллипса, касающегося треугольника в середине его сторон. Если угол при вершине на действительной оси меньшеπ/3тогда большая ось эллипса лежит на действительной оси, как и его фокусы и, следовательно, корни производной. Если этот угол большеπ/3, большая ось вертикальна, а ее фокусы, корни производной, являются комплексно-сопряженными. И если этот уголπ/3, треугольник равносторонний, эллипс Штейнера - это просто вписанная окружность треугольника, его фокусы совпадают друг с другом в центре, который лежит на действительной оси, и, следовательно, производная имеет повторяющиеся действительные корни.
Для данного кубического неприводимого многочлена над полем K характеристики , отличной от 2 и 3, группа Галуа над K представляет собой группу полевых автоморфизмов , которые фиксируют K наименьшего расширения K ( поле расщепления ). Поскольку эти автоморфизмы должны переставлять корни многочленов, эта группа является либо группой S3 всех шести перестановок трех корней, либо группой A3 трех круговых перестановок.
Дискриминант ∆ кубики — это квадрат
где a — старший коэффициент кубики, а r 1 , r 2 и r 3 — три корня кубики. Поскольку смена знака при замене двух корней фиксируется группой Галуа только в том случае, если группа Галуа равна A 3 . Другими словами, группа Галуа является A 3 тогда и только тогда, когда дискриминант является квадратом элемента K .
Поскольку большинство целых чисел не являются квадратами, при работе над полем Q рациональных чисел группа Галуа большинства неприводимых кубических многочленов представляет собой группу S 3 с шестью элементами. Пример группы Галуа A 3 с тремя элементами дан p ( x ) = x 3 - 3 x - 1 , дискриминант которой равен 81 = 9 2 .
В этом разделе объединены несколько методов вывода формулы Кардано.
Этот метод принадлежит Сципионе дель Ферро и Тарталье , но назван в честь Джероламо Кардано , который впервые опубликовал его в своей книге Ars Magna (1545).
Этот метод применим к депрессивному кубику t 3 + pt + q = 0 . Идея состоит в том, чтобы ввести две переменные u и v такие, что u + v = t , и подставить их в депрессивную кубику, что даст
В этот момент Кардано наложил условие 3 uv + p = 0 . Это удаляет третий член в предыдущем равенстве, что приводит к системе уравнений
Зная сумму и произведение u 3 и v 3 , можно сделать вывод, что они являются двумя решениями квадратного уравнения
так
Дискриминант этого уравнения равен , и если он положителен, действительные решения этого уравнения будут (после складывания деления на 4 под квадратным корнем):
Итак (без потери общности при выборе u или v ):
Поскольку u + v = t , сумма кубических корней этих решений является корнем уравнения. То есть
является корнем уравнения; это формула Кардано.
Это хорошо работает , но если квадратный корень, фигурирующий в формуле, недействителен. Поскольку комплексное число имеет три кубических корня, неосторожное использование формулы Кардано даст девять корней, тогда как кубическое уравнение не может иметь более трех корней. Впервые это пояснил Рафаэль Бомбелли в своей книге «Алгебра» (1572 г.). Решение состоит в том, чтобы использовать тот факт, что uv =- п/3, то есть v =- п/3 ты. Это означает, что необходимо вычислить только один кубический корень, что приводит ко второй формуле, приведенной в § Формуле Кардано.
Остальные корни уравнения можно получить заменой кубического корня или, что то же самое, умножением кубического корня на каждый из двух примитивных кубических корней из единицы , которые равны
Замена Виеты - это метод, введенный Франсуа Вьетом (Виета - его латинское имя) в тексте, опубликованном посмертно в 1615 году, который непосредственно дает вторую формулу § метода Кардано и позволяет избежать проблемы вычисления двух разных кубических корней. [35]
Начиная с депрессивной кубики t 3 + pt + q = 0 , замена Виеты равна t = w –п/3 Вт. [б]
Замена t = w –п/3 Втпревращает депрессивный куб в
Умножив на w3 , получим квадратное уравнение относительно w3 :
Позволять
— любой ненулевой корень этого квадратного уравнения. Если w 1 , w 2 и w 3 являются тремя кубическими корнями W , то корнями исходной кубической кубики являются w 1 −п/3 Вт 1, ш 2 −п/3 Вт 2, и w 3 −п/3 ж 3. Другой корень квадратного уравнения: Это означает, что при изменении знака квадратного корня меняются местами w i и —п/3 Вт ядля i = 1, 2, 3 и, следовательно, не меняет корни. Этот метод терпит неудачу только тогда, когда оба корня квадратного уравнения равны нулю, то есть когда p = q = 0 , и в этом случае единственный корень пониженной кубики равен 0 .
В своей статье Réflexions sur la résolution algébrique des équations («Мысли об алгебраическом решении уравнений») [36] Жозеф Луи Лагранж представил новый метод решения уравнений низкой степени единым способом в надежде, что он сможет обобщить это для высших степеней. Этот метод хорошо работает для уравнений кубической и четвёртой степени , но Лагранжу не удалось применить его к уравнению пятой степени , поскольку он требует решения резольвентного многочлена степени не ниже шестой. [37] [38] [39] Помимо того, что ранее никому это не удавалось, это было первое указание на несуществование алгебраической формулы для степеней 5 и выше; как было позже доказано теоремой Абеля–Руффини . Тем не менее современные методы решения разрешимых уравнений пятой степени в основном основаны на методе Лагранжа. [39]
В случае кубических уравнений метод Лагранжа дает то же решение, что и метод Кардано. Метод Лагранжа можно применить непосредственно к общему кубическому уравнению ax 3 + bx 2 + cx + d = 0 , но вычисление проще с помощью депрессивного кубического уравнения t 3 + pt + q = 0 .
Основная идея Лагранжа заключалась в том, чтобы работать с дискретным преобразованием Фурье корней, а не с самими корнями. Точнее, пусть ξ — примитивный корень третьей степени из единицы , то есть число такое, что ξ 3 = 1 и ξ 2 + ξ + 1 = 0 (при работе в пространстве комплексных чисел такая комплексная интерпретация не является используется здесь). Обозначая x 0 , x 1 и x 2 три корня кубического уравнения, которое необходимо решить, пусть
— дискретное преобразование Фурье корней. Если s 0 , s 1 и s 2 известны, корни могут быть восстановлены из них с помощью обратного преобразования Фурье, состоящего из обращения этого линейного преобразования; то есть,
По формулам Виеты известно , что s 0 равно нулю в случае вдавленной кубики, и —б/адля общего куб. Таким образом, необходимо вычислить только s 1 и s 2 . Они не являются симметричными функциями корней (обмен x 1 и x 2 меняет местами также s 1 и s 2 ), но некоторые простые симметричные функции s 1 и s 2 также симметричны относительно корней решаемого кубического уравнения. Таким образом, эти симметричные функции могут быть выражены через (известные) коэффициенты исходной кубики, и это позволяет в конечном итоге выразить s i как корни многочлена с известными коэффициентами. Это хорошо работает для любой степени, но в степенях выше четырех результирующий многочлен, имеющий в качестве корней s i , имеет степень выше, чем степень исходного многочлена, и поэтому бесполезен для решения. Это причина того, что метод Лагранжа не работает в пятой степени и выше.
В случае кубического уравнения и – такие симметричные многочлены (см. ниже). Отсюда следует, что и являются двумя корнями квадратного уравнения. Таким образом, решение уравнения можно завершить точно так же, как и методом Кардано, с и вместо u и v .
В случае вдавленной кубики имеем и в то время как в методе Кардано мы установили и Таким образом, с точностью до замены u и v мы имеем и Другими словами, в этом случае метод Кардано и метод Лагранжа вычисляют совершенно одно и то же вещи, вплоть до трехкратного увеличения вспомогательных переменных, главное отличие состоит в том, что метод Лагранжа объясняет, почему эти вспомогательные переменные появляются в задаче.
Непосредственное вычисление с использованием соотношений ξ 3 = 1 и ξ 2 + ξ + 1 = 0 дает
Это показывает, что P и S являются симметричными функциями корней. Используя тождества Ньютона , их несложно выразить через элементарные симметрические функции корней, давая
где e 1 = 0 , e 2 = p и e 3 = − q в случае вдавленной кубики, и e 1 = −б/а, е 2 =с/аи е 3 = −д/а, в общем случае.
Кубические уравнения возникают и в других контекстах.
...если два корня мнимые, то произведение положительное...