Формальная производная

В математике формальная производная — это операция над элементами кольца полиномов или кольца формальных степенных рядов , которая имитирует форму производной из исчисления . Хотя они кажутся похожими, алгебраическое преимущество формальной производной состоит в том, что она не опирается на понятие предела , который в общем случае невозможно определить для кольца . Многие свойства производной справедливы для формальной производной, но некоторые, особенно те, которые содержат числовые утверждения, — нет.

Формальное дифференцирование используется в алгебре для проверки наличия кратных корней многочлена .

Определение

Зафиксируйте кольцо (не обязательно коммутативное) и пусть – кольцо многочленов над . (Если не коммутативна, то это свободная алгебра над одной неопределенной переменной.) ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle A=R[x]}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle R}$

Тогда формальная производная — это операция над элементами , где если ${\displaystyle A}$

${\displaystyle f(x)\,=\,a_{n}x^{n}+\cdots +a_{1}x+a_{0},}$

то его формальная производная равна

${\displaystyle f'(x)\,=\,Df(x)=na_{n}x^{n-1}+\cdots +ia_{i}x^{i-1}+\cdots +a_{1}.}$

В приведенном выше определении для любого неотрицательного целого числа и определяется как обычно в кольце: (с if ). ^[1] ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle r\in R}$ ${\displaystyle ir}$ ${\displaystyle ir=\underbrace {r+r+\cdots +r} _{i{\text{ times}}}}$ ${\displaystyle ir=0}$ ${\displaystyle i=0}$

Это определение также работает, даже если оно не имеет мультипликативного тождества (то есть является rng ). ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle R}$

Альтернативное аксиоматическое определение

Можно также аксиоматически определить формальную производную как отображение, удовлетворяющее следующим свойствам. ${\displaystyle (\ast )^{\prime }\colon R[x]\to R[x]}$

1. ${\displaystyle r'=0}$для всех ${\displaystyle r\in R\subset R[x].}$
2. Аксиома нормализации ${\displaystyle x'=1.}$
3. Карта коммутирует с операцией сложения в кольце полиномов: ${\displaystyle (a+b)'=a'+b'.}$
4. Карта удовлетворяет закону Лейбница относительно операции умножения кольца многочленов: ${\displaystyle (a\cdot b)'=a'\cdot b+a\cdot b'.}$

Можно доказать, что это аксиоматическое определение дает четко определенное отображение, соответствующее всем обычным аксиомам колец.

Приведенная выше формула (т.е. определение формальной производной, когда кольцо коэффициентов коммутативно) является прямым следствием вышеупомянутых аксиом:

${\displaystyle {\begin{aligned}\left(\sum _{i}a_{i}x^{i}\right)'&=\sum _{i}\left(a_{i}x^{i}\right)'\\&=\sum _{i}\left((a_{i})'x^{i}+a_{i}\left(x^{i}\right)'\right)\\&=\sum _{i}\left(0x^{i}+a_{i}\left(\sum _{j=1}^{i}x^{j-1}(x')x^{i-j}\right)\right)\\&=\sum _{i}\sum _{j=1}^{i}a_{i}x^{i-1}\\&=\sum _{i}ia_{i}x^{i-1}.\end{aligned}}}$

Характеристики

Можно убедиться, что:

• Формальное дифференцирование линейно: для любых двух многочленов f ( x ), g ( x ) из R [ x ] и элементов r , s из R мы имеем

${\displaystyle (r\cdot f+s\cdot g)'(x)=r\cdot f'(x)+s\cdot g'(x).}$

• Формальная производная удовлетворяет правилу произведения :

${\displaystyle (f\cdot g)'(x)=f'(x)\cdot g(x)+f(x)\cdot g'(x).}$

Обратите внимание на порядок факторов; когда R не коммутативен, это важно.

Эти два свойства делают D выводом на A ( обсуждение обобщения см. в модуле относительных дифференциальных форм ).

Обратите внимание, что формальная производная не является кольцевым гомоморфизмом , поскольку правило произведения отличается от утверждения (и это не так), что . Однако по указанным выше правилам это гомоморфизм (линейное отображение) R -модулей . ${\displaystyle (f\cdot g)'=f'\cdot g'}$

Применение для поиска повторяющихся факторов

Как и в исчислении, производная обнаруживает несколько корней. Если R — поле, то R [ x ] — евклидова область , и в этой ситуации мы можем определить кратность корней; для каждого многочлена f ( x ) в R [ x ] и каждого элемента r из R существуют неотрицательное целое число m _r и многочлен g ( x ) такие, что

${\displaystyle f(x)=(x-r)^{m_{r}}g(x)}$

где g ( r )  ≠  0. m _r — кратность r как корня f . Из правила Лейбница следует, что в этой ситуации m _r также является количеством дифференцирований, которые необходимо выполнить над f ( x ), прежде чем r перестанет быть корнем полученного многочлена. Полезность этого наблюдения состоит в том, что хотя, вообще говоря, не каждый многочлен степени n в R [ x ] имеет n корней с учетом кратности (это максимум согласно приведенной выше теореме), мы можем перейти к расширениям полей , в которых это верно ( а именно, алгебраические замыкания ). Как только мы это сделаем, мы сможем обнаружить кратный корень, который вообще не был корнем, просто над R . Например, если R — конечное поле с тремя элементами, полином

${\displaystyle f(x)\,=\,x^{6}+1}$

не имеет корней в R ; однако его формальная производная ( ) равна нулю, поскольку 3 = 0 в R и в любом расширении R , поэтому, когда мы переходим к алгебраическому замыканию, он имеет кратный корень, который не может быть обнаружен путем факторизации в самом R. Таким образом, формальная дифференциация позволяет эффективно использовать понятие множественности. Это важно в теории Галуа , где проводится различие между сепарабельными расширениями полей (определяемыми многочленами без кратных корней) и неразделимыми. ${\displaystyle f'(x)\,=\,6x^{5}}$

Соответствие аналитической производной

Когда кольцо скаляров R коммутативно, существует альтернативное и эквивалентное определение формальной производной, которое напоминает то, которое наблюдается в дифференциальном исчислении. Элемент Y–X кольца R [X,Y] делит Y ⁿ – X ⁿ для любого целого неотрицательного n и, следовательно, делит f (Y) – f (X) для любого многочлена f от одной неопределенной. Если частное в R [X,Y] обозначается g , то

${\displaystyle g(X,Y)={\frac {f(Y)-f(X)}{Y-X}}.}$

Тогда нетрудно проверить, что g (X,X) (в R [X]) совпадает с формальной производной f , определенной выше.

Эта формулировка производной одинаково хорошо работает и для формального степенного ряда , если кольцо коэффициентов коммутативно.

Фактически, если деление в этом определении провести в классе функций, непрерывных при , оно повторит классическое определение производной. Если ее провести в классе функций, непрерывных как по , так и по , то мы получим равномерную дифференцируемость, и функция будет непрерывно дифференцируемой. Аналогично, выбирая разные классы функций (скажем, класс Липшица), мы получаем разные варианты дифференцируемости. Таким образом, дифференцирование становится частью алгебры функций. ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle f}$

Смотрите также

• Производная
• Евклидова область
• Модуль относительных дифференциальных форм
• Теория Галуа
• Формальный степенной ряд
• Производная Пинчерле

Рекомендации

1. Джон Б. Фрели; Виктор Дж. Кац (2002). Первый курс абстрактной алгебры . Пирсон. п. 443.

Источники

• Ланг, Серж (2002), Алгебра , Тексты для выпускников по математике , том. 211 (пересмотренное третье издание), Нью-Йорк: Springer-Verlag, ISBN. 978-0-387-95385-4, МР  1878556, Збл  0984.00001
• Михаил Лившиц, Вы можете упростить исчисление, arXiv:0905.3611v1