Ars Magna ( «Великое искусство» , 1545) — важная книга по алгебре на латинском языке, написанная Джероламо Кардано . Впервые она была опубликована в 1545 году под названием Artis Magnae, Sive de Regulis Algebraicis Liber Unus (« Книга номер один о Великом искусстве, или Правила алгебры» ). При жизни Кардано вышло второе издание, опубликованное в 1570 году. Оно считается [1] одним из трех величайших научных трактатов раннего Возрождения , вместе с « De Revolutionibus Orbium Coelestium» Коперника и «De humani corporis Fabrica » Везалия . Первые издания этих трех книг были опубликованы в течение двух лет (1543–1545).
В 1535 году Никколо Фонтана Тарталья прославился тем, что решил кубики вида x 3 + ax = b (при a , b > 0). Однако он решил сохранить свой метод в секрете. В 1539 году Кардано, в то время преподаватель математики в Фонде Пьятти в Милане, опубликовал свою первую математическую книгу Pratica Arithmeticæ et mensurandi uniqueis ( «Практика арифметики и простого измерения »). В том же году он попросил Тарталью объяснить ему свой метод решения кубических уравнений . После некоторого сопротивления Тарталья так и сделал, но попросил Кардано не делиться информацией, пока он ее не опубликует. Кардано в течение следующих нескольких лет погрузился в математику, работая над тем, как распространить формулу Тартальи на другие типы кубик. Более того, его ученик Лодовико Феррари нашел способ решения уравнений четвертой степени, но метод Феррари зависел от метода Тартальи, поскольку он включал использование вспомогательного кубического уравнения. Затем Кардано стало известно, что Сципионе дель Ферро открыл формулу Тартальи раньше самого Тартальи, и это открытие побудило его опубликовать эти результаты.
Книга, разделенная на сорок глав, содержит первое опубликованное алгебраическое решение уравнений кубической и четвертой степени . Кардано признает, что Тарталья дал ему формулу для решения кубических уравнений и что та же самая формула была открыта Сципионе дель Ферро. Он также признает, что именно Феррари нашел способ решения уравнений четвертой степени.
Поскольку в то время отрицательные числа обычно не признавались, умение решать кубики вида x 3 + ax = b не означало умение решать кубики вида x 3 = ax + b (с a , b > 0). , например. Кроме того, Кардано также объясняет, как свести уравнения вида x 3 + ax 2 + bx + c = 0 к кубическим уравнениям без квадратичного члена, но ему опять же приходится рассматривать несколько случаев. Всего Кардано был вынужден изучить тринадцать различных типов кубических уравнений (главы XI–XXIII).
В Ars Magna впервые появляется понятие множественного корня (глава I). Первый пример полиномиального уравнения с кратными корнями, который приводит Кардано, — это x 3 = 12 x + 16, из которых −2 является двойным корнем.
Ars Magna также содержит первое появление комплексных чисел (глава XXXVII). Задача, упомянутая Кардано, которая приводит к квадратным корням из отрицательных чисел, такова: найти два числа, сумма которых равна 10, а произведение равно 40. Ответ: 5 + √ −15 и 5 − √ −15 . Кардано назвал это «софистикой», поскольку не видел в этом физического смысла, но смело написал «тем не менее, мы будем действовать» и формально вычислил, что их произведение действительно равно 40. Затем Кардано говорит, что этот ответ «настолько тонкий, насколько и бесполезный». ".
Распространено заблуждение, что Кардано ввел комплексные числа при решении кубических уравнений. Поскольку (в современных обозначениях) формула Кардано для корня многочлена x 3 + px + q имеет вид
Квадратные корни отрицательных чисел естественным образом появляются в этом контексте. Однако q 2 /4 + p 3 /27 никогда не бывает отрицательным в тех конкретных случаях, когда Кардано применяет формулу. [2]
![{\displaystyle {\sqrt[{3}]{- {\frac {q}{2}}+{\sqrt {{\frac {q^{2}}{4}}+{\frac {p^{ 3}}{27}}}}}}+{\sqrt[{3}]{-{\frac {q}{2}}-{\sqrt {{\frac {q^{2}}{4} }+{\frac {p^{3}}{27}}}}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9a575d74279a3ccea6bdb94f77ff81437fbac89a)