В математике концепция проективного пространства возникла из-за визуального эффекта перспективы , когда параллельные линии кажутся сходящимися в бесконечности . Таким образом, проективное пространство можно рассматривать как расширение евклидова пространства или, в более общем плане, аффинного пространства с бесконечно удаленными точками , таким образом, что в каждом направлении параллельных линий имеется одна точка в бесконечности .
Это определение проективного пространства имеет тот недостаток, что оно не изотропно и имеет два разных типа точек, которые в доказательствах необходимо рассматривать отдельно. Поэтому обычно предпочтительны другие определения. Существует два класса определений. В синтетической геометрии точка и линия — это примитивные объекты, которые связаны отношением инцидентности «точка находится на прямой» или «линия проходит через точку», что подчиняется аксиомам проективной геометрии . Было показано, что для некоторых таких наборов аксиом определенные проективные пространства эквивалентны тем, которые следуют из следующего определения, которое чаще встречается в современных учебниках.
Используя линейную алгебру , проективное пространство размерности n определяется как набор векторных линий (то есть векторных подпространств размерности один) в векторном пространстве V размерности n + 1 . Эквивалентно, это фактормножество V \ {0} по отношению эквивалентности , «находящееся на одной векторной прямой». Поскольку векторная линия пересекает единичную сферу V в двух противоположных точках , проективные пространства можно эквивалентно определить как сферы , в которых идентифицированы противоположные точки. Проективное пространство размерности 1 — это проективная прямая , а проективное пространство размерности 2 — проективная плоскость .
Проективные пространства широко используются в геометрии , поскольку допускают более простые утверждения и более простые доказательства. Например, в аффинной геометрии две различные прямые на плоскости пересекаются не более чем в одной точке, а в проективной геометрии они пересекаются ровно в одной точке. Также существует только один класс конических сечений , которые можно отличить только по их пересечениям с линией, находящейся на бесконечности: две точки пересечения для гипербол ; один для параболы , касательной к бесконечной линии; и нет реальной точки пересечения эллипсов .
В топологии , а точнее в теории многообразий , проективные пространства играют фундаментальную роль, являясь типичными примерами неориентируемых многообразий .
Как отмечалось выше, проективные пространства были введены для формализации утверждений типа «две копланарные прямые пересекаются ровно в одной точке, и эта точка находится на бесконечности, если прямые параллельны ». Такие утверждения подсказываются исследованием перспективы , которую можно рассматривать как центральную проекцию трехмерного пространства на плоскость ( см. Модель камеры-обскуры ). Точнее, входной зрачок камеры или глаза наблюдателя является центром проекции , и изображение формируется на плоскости проекции .
Математически центром проекции является точка О пространства (пересечение осей на рисунке); плоскость проекции ( P 2 , синего цвета на рисунке) — это плоскость, не проходящая через O , которую часто выбирают в качестве плоскости уравнения z = 1 , когда рассматриваются декартовы координаты . Затем центральная проекция отображает точку P в пересечение линии OP с плоскостью проекции. Такое пересечение существует тогда и только тогда, когда точка P не принадлежит плоскости ( P 1 , на рисунке выделена зеленым цветом), которая проходит через O и параллельна P 2 .
Отсюда следует, что линии, проходящие через O, распадаются на два непересекающихся подмножества: прямые, не содержащиеся в P1 , находящиеся во взаимно однозначном соответствии с точками P2 , и содержащиеся в P1 , находящиеся в одно-однозначном соответствии с точками P2 . одно соответствие направлениям параллельных линий в P 2 . Это предлагает определить точки (называемые здесь для ясности проективными точками ) проективной плоскости как прямые, проходящие через O . Проективная прямая в этой плоскости состоит из всех проективных точек (которые являются прямыми), содержащихся в плоскости, проходящей через O . Поскольку пересечение двух плоскостей, проходящих через O , является линией, проходящей через O , пересечение двух различных проективных прямых состоит из одной проективной точки. Плоскость P1 определяет проективную прямую , которая называется линией на бесконечности P2 . Отождествляя каждую точку P2 с соответствующей проективной точкой, можно, таким образом, сказать, что проективная плоскость представляет собой дизъюнктное объединение P2 и ( проективной) прямой на бесконечности.
Поскольку аффинное пространство с выделенной точкой O может быть отождествлено со связанным с ним векторным пространством (см. Аффинное пространство § Векторные пространства как аффинные пространства ), предыдущая конструкция обычно выполняется, начиная с векторного пространства, и называется проективизацией . Кроме того, построение можно выполнить, начав с векторного пространства любой положительной размерности.
Итак, проективное пространство размерности n можно определить как набор векторных линий (векторных подпространств размерности один) в векторном пространстве размерности n + 1 . Проективное пространство также можно определить как элементы любого множества, которое находится в естественном соответствии с этим набором векторных линий.
Этот набор может быть набором классов эквивалентности при отношении эквивалентности между векторами, определяемым формулой «один вектор является произведением другого на ненулевой скаляр». Другими словами, это равносильно определению проективного пространства как набора векторных линий, из которых удален нулевой вектор.
Третье эквивалентное определение состоит в том, чтобы определить проективное пространство размерности n как набор пар противоположных точек в сфере размерности n (в пространстве размерности n + 1 ).
Для векторного пространства V над полем K проективное пространство P ( V ) представляет собой набор классов эквивалентности V \ {0} при отношении эквивалентности ~ , определенном как x ~ y , если существует ненулевой элемент λ поля K такой, что Икс знак равно λy . Если V является топологическим векторным пространством , фактор-пространство P ( V ) является топологическим пространством , наделенным фактор-топологией топологии подпространства V \ {0} . Это тот случай, когда K — поле R действительных чисел или поле C комплексных чисел . Если V конечномерно, размерность P ( V ) равна размерности V минус один.
В общем случае, когда V = Kn +1 , проективное пространство P ( V ) обозначается Pn ( K ) ( а также KPn или Pn ( K ) , хотя это обозначение можно спутать с возведением в степень ) . Пространство Pn ( K ) часто называют проективным пространством размерности n над K или проективным n -пространством , поскольку все проективные пространства размерности n изоморфны ему (поскольку каждое векторное пространство K размерности n + 1 изоморфно до К n +1 ).
Элементы проективного пространства P ( V ) принято называть точками . Если выбран базис V и, в частности, если V = K n +1 , проективными координатами точки P являются координаты на базисе любого элемента соответствующего класса эквивалентности . Эти координаты обычно обозначаются [ x 0 : ... : x n ] , двоеточия и скобки используются для отличия от обычных координат и подчеркивания того, что это класс эквивалентности, который определяется с точностью до умножения на ненулевое число. постоянный. То есть, если [ x 0 : ... : x n ] являются проективными координатами точки, то [ λx 0 : ... : λx n ] также являются проективными координатами той же точки для любого ненулевого λ в K . Кроме того, из приведенного выше определения следует, что [ x 0 : ... : x n ] являются проективными координатами точки тогда и только тогда, когда хотя бы одна из координат не равна нулю.
Если K — поле действительных или комплексных чисел, проективное пространство называется вещественным проективным пространством или комплексным проективным пространством соответственно. Если n равно единице или двум, проективное пространство размерности n называется проективной прямой или проективной плоскостью соответственно. Комплексную проективную прямую также называют сферой Римана .
Все эти определения естественным образом распространяются на случай, когда К — тело ; см., например, Кватернионное проективное пространство . Обозначение PG( n , K ) иногда используется для Pn ( K ) . [1] Если K — конечное поле с q элементами, Pn ( K ) часто обозначается PG( n , q ) (см. PG(3,2) ). [а]
Пусть P ( V ) — проективное пространство, где V — векторное пространство над полем K , и
Каждое линейное подпространство W в V представляет собой объединение прямых. Отсюда следует, что p ( W ) — проективное пространство, которое можно отождествить с P ( W ) .
Проективное подпространство , таким образом, является проективным пространством, которое получается путем ограничения на линейное подпространство отношения эквивалентности, которое определяет P ( V ) .
Если p ( v ) и p ( w ) — две разные точки P ( V ) , векторы v и w линейно независимы . Следует, что:
В синтетической геометрии , где проективные линии являются примитивными объектами, первое свойство является аксиомой, а второе — определением проективного подпространства.
Каждое пересечение проективных подпространств является проективным подпространством. Отсюда следует, что для каждого подмножества S проективного пространства существует наименьшее проективное подпространство, содержащее S , пересечение всех проективных подпространств, содержащих S. Это проективное подпространство называется проективной оболочкой S и S является для него остовным множеством.
Множество S точек является проективно независимым , если его оболочка не является промежутком какого-либо собственного подмножества S . Если S — остовное множество проективного пространства P , то существует подмножество S , которое охватывает P и является проективно независимым (это следует из аналогичной теоремы для векторных пространств). Если размерность P равна n , такой независимый связующий набор имеет n + 1 элемент.
В отличие от случаев векторных пространств и аффинных пространств , независимого связующего множества недостаточно для определения координат. Нужен еще один момент, см. следующий раздел.
Проективная система координат — это упорядоченный набор точек в проективном пространстве, позволяющий определять координаты. Точнее, в n -мерном проективном пространстве проективная рамка представляет собой набор из n + 2 точек, из которых любые n + 1 независимы, то есть не содержатся в гиперплоскости.
Если V — ( n + 1) -мерное векторное пространство, а p — каноническая проекция из V в P ( V ) , то ( p ( e 0 ), ..., p ( e n +1 )) является проективная система координат тогда и только тогда, когда ( e 0 , ..., en ) является базисом V , и все коэффициенты en +1 на этом базисе ненулевые . Изменяя масштаб первых n векторов, любой кадр можно переписать как ( p ( e ′ 0 ), ..., p( e ′ n +1 )) так, что e ′ n +1 = e ′ 0 + ... + е ' н ; это представление уникально с точностью до умножения всех e ′ i на общий ненулевой множитель.
Проективные координаты или однородные координаты точки p ( v ) в системе отсчета ( p ( e0 ),..., p ( en + 1 ) ) с en +1 = e0 + ... + en являются координатами v на основе ( e 0 ,..., en ) . Они снова определяются только с точностью до масштабирования с общим ненулевым коэффициентом.
Канонический каркас проективного пространства P n ( K ) состоит из образов p элементов канонического базиса K n +1 ( кортежей только с одним ненулевым элементом, равным 1) и образа p их сумма.
В математике проективная геометрия — это изучение геометрических свойств , инвариантных относительно проективных преобразований . Это означает, что по сравнению с элементарной евклидовой геометрией проективная геометрия имеет другую настройку, проективное пространство и выборочный набор основных геометрических понятий. Основная интуиция заключается в том, что проективное пространство имеет больше точек, чем евклидово пространство , для данного измерения, и что разрешены геометрические преобразования , которые преобразуют дополнительные точки (называемые « точками на бесконечности ») в евклидовы точки, и наоборот.
Свойства, значимые для проективной геометрии, учитываются этой новой идеей трансформации, которая более радикальна по своим последствиям, чем может быть выражена с помощью матрицы трансформации и трансляций ( аффинных трансформаций ). Первый вопрос для геометров заключается в том, какая геометрия подходит для новой ситуации. Невозможно относиться к углам в проективной геометрии так, как это происходит в евклидовой геометрии , потому что угол является примером понятия, не инвариантного относительно проективных преобразований, как это видно при рисовании перспективы с изменяющейся точки зрения. Одним из источников проективной геометрии действительно была теория перспективы. Еще одним отличием от элементарной геометрии является то, как можно сказать, что параллельные линии встречаются в бесконечной точке , если эту концепцию перевести в термины проективной геометрии. Опять же, это понятие имеет интуитивную основу, например, железнодорожные пути, встречающиеся на горизонте на перспективном рисунке. См. Проекционную плоскость , чтобы узнать об основах проективной геометрии в двух измерениях.
Хотя идеи были доступны и раньше, проективная геометрия была в основном развитием 19 века. Это включало теорию комплексного проективного пространства , в которой используемые координаты ( однородные координаты ) были комплексными числами. Несколько основных типов более абстрактной математики (включая теорию инвариантов , итальянскую школу алгебраической геометрии и Эрлангенскую программу Феликса Кляйна , приведшую к изучению классических групп ) были мотивированы проективной геометрией. Этот предмет, как синтетическая геометрия , интересовал многих практиков сам по себе . Другая тема, развившаяся в результате аксиоматических исследований проективной геометрии, — это конечная геометрия .
Сама тема проективной геометрии теперь разделена на множество исследовательских подтем, двумя примерами которых являются проективная алгебраическая геометрия (изучение проективных многообразий ) и проективная дифференциальная геометрия (исследование дифференциальных инвариантов проективных преобразований).В проективной геометрии гомография — это изоморфизм проективных пространств, индуцированный изоморфизмом векторных пространств , из которых происходят проективные пространства. [2] Это биекция , которая отображает линии на линии и, следовательно, является коллинеацией . В общем, некоторые коллинеации не являются гомографиями, но фундаментальная теорема проективной геометрии утверждает, что это не так в случае реальных проективных пространств размерности не менее двух. Синонимы включают проективность, проективную трансформацию и проективную коллинеацию.
Исторически гомографии (и проективные пространства) были введены для изучения перспективы и проекций в евклидовой геометрии , и термин гомография , который этимологически примерно означает «подобный рисунок», восходит к этому времени. В конце XIX века были введены формальные определения проективных пространств, которые расширили евклидовы и аффинные пространства за счет добавления новых точек, называемых точками на бесконечности . Термин «проективная трансформация» возник из этих абстрактных конструкций. Эти конструкции делятся на два класса, эквивалентность которых доказана. Проективное пространство может быть построено как набор линий векторного пространства над заданным полем (приведенное выше определение основано на этой версии); эта конструкция облегчает определение проективных координат и позволяет использовать средства линейной алгебры для изучения гомографий. Альтернативный подход состоит в определении проективного пространства через набор аксиом, которые не включают явно какое-либо поле ( геометрия инцидентности , см. также синтетическую геометрию ); в этом контексте коллинеации легче определить, чем гомографии, а гомографии определяются как конкретные коллинеации, называемые, таким образом, «проективными коллинеациями».
Для простоты, если не указано иное, проективные пространства, рассматриваемые в этой статье, считаются определенными над (коммутативным) полем . Эквивалентно предполагается, что теорема Паппа о шестиугольнике и теорема Дезарга верны. Большая часть результатов остается верной или может быть обобщена на проективные геометрии, для которых эти теоремы не выполняются.Проективное пространство — это топологическое пространство , наделенное фактор-топологией топологии конечномерного вещественного векторного пространства.
Пусть S — единичная сфера в нормированном векторном пространстве V и рассмотрим функцию
Для каждой точки P из S ограничение π на окрестность точки P является гомеоморфизмом ее образа при условии, что окрестность достаточно мала и не содержит ни одной пары противоположных точек. Это показывает, что проективное пространство является многообразием. Простой атлас может быть предоставлен следующим образом.
Как только для V выбран базис , любой вектор можно отождествить с его координатами на базисе, а любую точку P ( V ) можно отождествить с его однородными координатами . Для i = 0,..., n множество
Каждому Ui сопоставлена карта , представляющая собой гомеоморфизмы
Эти карты образуют атлас , и, поскольку карты переходов являются аналитическими функциями , из этого следует, что проективные пространства являются аналитическими многообразиями .
Например, в случае n = 1 , то есть проективной прямой, существует только два U i , каждый из которых может быть отождествлен с копией реальной прямой . В обеих строках пересечение двух диаграмм представляет собой набор ненулевых действительных чисел, а карта перехода — это
Реальные проективные пространства имеют простую комплексную структуру CW , поскольку P n ( R ) можно получить из P n −1 ( R ) путем присоединения n -клетки с факторпроекцией S n −1 → P n −1 ( R ) как прилагаемая карта.
Первоначально алгебраическая геометрия занималась изучением общих нулей множеств многомерных многочленов . Эти общие нули, называемые алгебраическими многообразиями , принадлежат аффинному пространству . Вскоре выяснилось, что в случае действительных коэффициентов для получения точных результатов необходимо учитывать все комплексные нули. Например, основная теорема алгебры утверждает, что одномерный бесквадратный многочлен степени n имеет ровно n комплексных корней. В многомерном случае учет комплексных нулей также необходим, но недостаточен: необходимо учитывать также нули на бесконечности . Например, теорема Безу утверждает, что пересечение двух плоских алгебраических кривых соответствующих степеней d и e состоит ровно из de точек, если рассматривать комплексные точки на проективной плоскости и если считать точки с их кратностью. [b] Другим примером является формула рода-степени , которая позволяет вычислить род плоской алгебраической кривой по ее особенностям на комплексной проективной плоскости .
Итак, проективное многообразие — это множество точек проективного пространства, однородные координаты которых являются общими нулями множества однородных многочленов . [с]
Любое аффинное многообразие может быть дополнено уникальным способом в проективное многообразие путем добавления его точек на бесконечности , что состоит из усреднения определяющих многочленов и удаления компонентов, содержащихся в гиперплоскости на бесконечности, путем насыщения по отношению к гомогенизирующая переменная.
Важным свойством проективных пространств и проективных многообразий является то, что образ проективного многообразия относительно морфизма алгебраических многообразий замкнут для топологии Зарисского (т. е. является алгебраическим множеством ). Это обобщение на все основные поля компактности реального и комплексного проективного пространства.
Проективное пространство само по себе является проективным многообразием, представляя собой множество нулей нулевого многочлена.
Теория схем , введенная Александром Гротендиком во второй половине 20-го века, позволяет определить обобщение алгебраических многообразий, называемых схемами , путем склеивания меньших частей, называемых аффинными схемами , аналогично тому, как многообразия могут быть построены путем склеивания открытых наборов Rn . Конструкция Proj — это построение схемы проективного пространства и, в более общем плане, любой проективной разновидности путем склейки аффинных схем. В случае проективных пространств в качестве таких аффинных схем можно взять аффинные схемы, связанные с картами (аффинными пространствами) приведенного выше описания проективного пространства как многообразия.
В синтетической геометрии проективное пространство S может быть аксиоматически определено как набор P (набор точек) вместе с набором L подмножеств P (набор прямых), удовлетворяющих этим аксиомам: [3]
Последняя аксиома исключает приводимые случаи, которые можно записать как непересекающееся объединение проективных пространств вместе с двухточечными прямыми, соединяющими любые две точки в различных проективных пространствах. Более абстрактно, его можно определить как структуру инцидентности ( P , L , I ) , состоящую из набора P точек, набора L линий и отношения инцидентности I , которое определяет, какие точки лежат на каких прямых.
Структуры, определяемые этими аксиомами, являются более общими, чем структуры, полученные из конструкции векторного пространства, приведенной выше. Если (проективная) размерность не менее трех, то по теореме Веблена–Янга разницы нет. Однако для размерности два есть примеры, удовлетворяющие этим аксиомам, которые нельзя построить из векторных пространств (или даже модулей над телами). Эти примеры не удовлетворяют теореме Дезарга и известны как недесарговы плоскости . В размерности один любое множество, содержащее как минимум три элемента, удовлетворяет аксиомам, поэтому обычно предполагается дополнительная структура для проективных линий, определенных аксиоматически. [4]
Можно избежать неприятных случаев в малых размерностях, добавив или изменив аксиомы, определяющие проективное пространство. Коксетер (1969, стр. 231) дает такое расширение, предложенное Бахманом. [5] Чтобы гарантировать, что размерность равна как минимум двум, замените приведенную выше аксиому «три точки на линию» на:
Чтобы избежать недесарговых плоскостей, включите теорему Паппа в качестве аксиомы; [э]
И чтобы гарантировать, что векторное пространство определено над полем, которое не имеет даже характеристики, включите аксиому Фано ; [ф]
Подпространство проективного пространства — это подмножество X , такое , что любая линия, содержащая две точки X , является подмножеством X (то есть полностью содержится в X ). Полное пространство и пустое пространство всегда являются подпространствами.
Геометрическая размерность пространства называется n , если это наибольшее число, для которого существует строго возрастающая цепочка подпространств такого вида:
Говорят, что подпространство X i в такой цепочке имеет (геометрическую) размерность i . Подпространства размерности 0 называются точками , подпространства размерности 1 — линиями и так далее. Если все пространство имеет размерность n , то любое подпространство размерности n -1 называется гиперплоскостью .
Проективные пространства допускают эквивалентную формулировку в терминах теории решеток . Существует биективное соответствие между проективными пространствами и геомодулярными решетками, а именно подпрямо неприводимыми , компактно порожденными , дополненными модулярными решетками . [6]
Конечное проективное пространство — это проективное пространство, где P — конечное множество точек. В любом конечном проективном пространстве каждая прямая содержит одинаковое количество точек, а порядок пространства определяется на единицу меньше этого общего числа. Для конечных проективных пространств размерности не менее трех из теоремы Веддерберна следует, что тело, над которым определяется проективное пространство, должно быть конечным полем GF( q ) , порядок которого (то есть число элементов) равен q (простое число элементов). власть). Конечное проективное пространство, определенное над таким конечным полем, имеет q + 1 точку на прямой, поэтому два понятия порядка совпадают. Условно, PG( n , GF( q )) обычно записывается как PG( n , q ) .
Все конечные поля одного и того же порядка изоморфны, поэтому с точностью до изоморфизма существует только одно конечное проективное пространство для каждого измерения, большего или равного трем, над данным конечным полем. Однако в измерении два существуют недесарговы плоскости. С точностью до изоморфизма существуют
конечные проективные плоскости порядков 2, 3, 4, ..., 10 соответственно. Числа сверх этого очень трудно вычислить, и они не определены, за исключением некоторых нулевых значений из-за теоремы Брука-Райзера .
Наименьшая проективная плоскость — это плоскость Фано PG (2, 2) с 7 точками и 7 прямыми. Наименьшее трехмерное проективное пространство — PG(3, 2) с 15 точками, 35 линиями и 15 плоскостями.
Инъективные линейные отображения T ∈ L ( V , W ) между двумя векторными пространствами V и W над одним и тем же полем K индуцируют отображения соответствующих проективных пространств P ( V ) → P ( W ) через:
где v - ненулевой элемент V и [...] обозначает классы эквивалентности вектора при определяющей идентификации соответствующих проективных пространств. Поскольку члены класса эквивалентности различаются скалярным коэффициентом, а линейные отображения сохраняют скалярные коэффициенты, это индуцированное отображение корректно определено . (Если T не инъективен, он имеет нулевое пространство больше, чем {0} ; в этом случае смысл класса T ( v ) проблематичен, если v ненулевое и находится в пустом пространстве. В этом случае можно получить так называемое рациональное отображение , см. также Бирациональную геометрию .)
Два линейных отображения S и T в L ( V , W ) индуцируют одно и то же отображение между P ( V ) и P ( W ) тогда и только тогда, когда они отличаются скалярным кратным, то есть если T = λS для некоторого λ ≠ 0 . Таким образом, если кто-то отождествляет скалярные кратные тождественного отображения с основным полем K , набор K -линейных морфизмов из P ( V ) в P ( W ) равен просто P ( L ( V , W )) .
Автоморфизмы P ( V ) → P ( V ) можно описать более конкретно . (Мы имеем дело только с автоморфизмами, сохраняющими основное поле K ). Используя понятие пучков, порожденных глобальными сечениями , можно показать, что любой алгебраический (не обязательно линейный) автоморфизм должен быть линейным, т. е. происходить из (линейного) автоморфизма векторного пространства V . Последние образуют группу GL( V ) . Определяя карты, отличающиеся скаляром, можно сделать вывод, что
факторгруппа GL ( V ) по модулю матриц, которые являются скалярными кратными единицы . (Эти матрицы образуют центр Aut ( V ) .) Группы PGL называются проективными линейными группами . Автоморфизмы комплексной проективной прямой P1 ( C ) называются преобразованиями Мёбиуса .
Когда приведенная выше конструкция применяется к двойственному пространству V ∗, а не к V , получается двойственное проективное пространство, которое можно канонически отождествить с пространством гиперплоскостей через начало координат V . То есть, если V n -мерен, то P ( V ∗ ) — грассманиан n − 1 плоскостей в V .
В алгебраической геометрии эта конструкция обеспечивает большую гибкость при построении проективных расслоений. Хотелось бы иметь возможность сопоставить проективное пространство каждому квазикогерентному пучку E над схемой Y , а не только локально свободным. [ необходимы разъяснения ] См. EGA II , гл. II, пар. 4 для более подробной информации.
Многообразия Севери–Брауэра — это алгебраические многообразия над полем K , которые становятся изоморфными проективным пространствам после расширения основного поля K.
Другое обобщение проективных пространств — это взвешенные проективные пространства ; это сами частные случаи торических многообразий . [7]
![{\displaystyle U_{i}=\{[x_{0}:\cdots :x_{n}],x_{i}\neq 0\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/464921a3e53687360d8554f71d7f226bf624ca3a)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\mathbb {\varphi } _{i}:R^{n} &\to U_{i}\\(y_{0},\dots ,{\widehat {y_{i) }}},\dots y_{n})&\mapsto [y_{0}:\cdots :y_{i-1}:1:y_{i+1}:\cdots :y_{n}],\end {выровнено}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/243ea54c69f09fa5dc47c6bf3dd6a8ea2b12d8ce)
![{\displaystyle \varphi _{i}^{-1}\left([x_{0}:\cdots x_{n}]\right)=\left({\frac {x_{0}}{x_{i }}},\dots ,{\widehat {\frac {x_{i}}{x_{i}}}},\dots ,{\frac {x_{n}}{x_{i}}}\right) ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/26e2f636072781246e90259b862b9e97c0d53b6f)
