Основная теорема алгебры

Каждый многочлен имеет действительный или комплексный корень.

Фундаментальная теорема алгебры , также называемая теоремой Даламбера ^[1] или теоремой Даламбера–Гаусса , ^[2] утверждает, что каждый непостоянный многочлен с одной переменной с комплексными коэффициентами имеет по крайней мере один комплексный корень . Сюда входят многочлены с действительными коэффициентами, поскольку каждое действительное число представляет собой комплексное число, мнимая часть которого равна нулю.

Эквивалентно (по определению) теорема утверждает, что поле комплексных чисел алгебраически замкнуто .

Теорема также формулируется следующим образом: каждый ненулевой полином с одной переменной степени n с комплексными коэффициентами имеет, считая с кратностью , ровно n комплексных корней. Эквивалентность двух утверждений можно доказать с помощью последовательного полиномиального деления .

Несмотря на название, чисто алгебраического доказательства теоремы не существует, поскольку любое доказательство должно использовать некоторую форму аналитической полноты действительных чисел , которая не является алгебраическим понятием. ^[3] Кроме того, это не является фундаментальным для современной алгебры ; оно было названо, когда алгебра была синонимом теории уравнений .

История

Питер Рот в своей книге «Философская арифметика» (опубликованной в 1608 году в Нюрнберге Иоганном Ланценбергером) ^[4] писал, что полиномиальное уравнение степени n (с действительными коэффициентами) может иметь n решений. Альбер Жирар в своей книге «Новое изобретение в алгебре» (опубликованной в 1629 году) утверждал, что полиномиальное уравнение степени n имеет n решений, но не утверждал, что они должны быть действительными числами. Более того, он добавил, что его утверждение справедливо, «если уравнение не является неполным», под этим он имел в виду, что ни один коэффициент не равен 0. Однако, когда он подробно объясняет, что он имеет в виду, становится ясно, что он действительно считает, что его утверждение всегда правда; например, он показывает, что уравнение , хотя и неполное, имеет четыре решения (с учетом кратностей): 1 (дважды) и ${\displaystyle x^{4}=4x-3,}$ ${\displaystyle -1+i{\sqrt {2}},}$ ${\displaystyle -1-i{\sqrt {2}}.}$

Как будет еще раз упомянуто ниже, из основной теоремы алгебры следует, что всякий непостоянный многочлен с вещественными коэффициентами можно записать в виде произведения многочленов с вещественными коэффициентами, степени которых равны либо 1, либо 2. Однако в 1702 году Лейбниц ошибочно сказал: что никакой многочлен типа x ⁴ + a ⁴ (с действительным и отличным от 0) не может быть записан таким образом. Позже Николаус Бернулли сделал то же утверждение относительно многочлена x ⁴ − 4 x ³ + 2 x ² + 4 x + 4 , но получил письмо от Эйлера в 1742 году ^[5] , в котором было показано, что этот многочлен равен

${\displaystyle \left(x^{2}-(2+\alpha )x+1+{\sqrt {7}}+\alpha \right)\left(x^{2}-(2-\alpha )x+1+{\sqrt {7}}-\alpha \right),}$

Кроме того, Эйлер отметил, что ${\displaystyle \alpha ={\sqrt {4+2{\sqrt {7}}}}.}$

${\displaystyle x^{4}+a^{4}=\left(x^{2}+a{\sqrt {2}}\cdot x+a^{2}\right)\left(x^{2}-a{\sqrt {2}}\cdot x+a^{2}\right).}$

Первую попытку доказать теорему предпринял Даламбер в 1746 году, но его доказательство оказалось неполным. Среди других проблем он неявно предполагал теорему (теперь известную как теорема Пюизо ), которая была доказана только более века спустя и с использованием фундаментальной теоремы алгебры. Другие попытки были предприняты Эйлером (1749 г.), де Фонсенексом (1759 г.), Лагранжем (1772 г.) и Лапласом (1795 г.). Эти последние четыре попытки неявно предполагали утверждение Жирара; точнее, предполагалось существование решений и оставалось доказать только то, что их форма равна a  +  bi для некоторых действительных чисел a и b . Говоря современным языком, Эйлер, де Фонсенекс, Лагранж и Лаплас предполагали существование поля расщепления многочлена p ( z ).

В конце XVIII века были опубликованы два новых доказательства, не предполагавшие существования корней, но ни одно из которых не было полным. Одна из них, написанная Джеймсом Вудом и в основном алгебраическая, была опубликована в 1798 году и полностью проигнорирована. В доказательстве Вуда имелся алгебраический пробел. ^[6] Другой был опубликован Гауссом в 1799 году и был в основном геометрическим, но в нем был топологический пробел, заполненный только Александром Островским в 1920 году, как обсуждалось в Смейле (1981). ^[7]

Первое строгое доказательство было опубликовано Арганом , математиком-любителем , в 1806 году (и пересмотрено в 1813 году); ^{В [8]} также здесь впервые была сформулирована основная теорема алгебры для многочленов с комплексными коэффициентами, а не только с действительными коэффициентами. Гаусс представил два других доказательства в 1816 году и еще одну неполную версию своего первоначального доказательства в 1849 году.

Первым учебником, содержащим доказательство теоремы, был « Кур анализа Королевской политехнической школы» Коши (1821 г.). Он содержал доказательство Арганда, хотя Арганду оно не приписывается.

Ни одно из упомянутых до сих пор доказательств не является конструктивным . Именно Вейерштрасс впервые в середине XIX века поставил задачу о нахождении конструктивного доказательства основной теоремы алгебры. Свое решение, которое в современных терминах представляет собой комбинацию метода Дюрана-Кернера с принципом продолжения гомотопии , он представил в 1891 году. Другое доказательство такого рода было получено Хельмутом Кнезером в 1940 году и упрощено его сыном Мартином Кнезером в 1981 году.

Без использования счетного выбора невозможно конструктивно доказать фундаментальную теорему алгебры для комплексных чисел на основе действительных чисел Дедекинда (которые не конструктивно эквивалентны действительным числам Коши без счетного выбора). ^[9] Однако Фред Ричман доказал переформулированную версию теоремы, которая действительно работает. ^[10]

Эквивалентные утверждения

Существует несколько эквивалентных формулировок теоремы:

• Каждый одномерный многочлен положительной степени с действительными коэффициентами имеет хотя бы один комплексный корень .
• Каждый одномерный многочлен положительной степени с комплексными коэффициентами имеет хотя бы один комплексный корень .

  Отсюда сразу следует предыдущее утверждение, поскольку действительные числа также являются комплексными числами. Обратное является результатом того, что можно получить многочлен с действительными коэффициентами, взяв произведение многочлена и его комплексно-сопряженного числа (полученного путем замены каждого коэффициента на его комплексно-сопряженное число). Корнем этого произведения является либо корень данного многочлена, либо его сопряженного; в последнем случае сопряженное к этому корню является корнем данного многочлена.

• Каждый одномерный многочлен положительной степени n с комплексными коэффициентами можно факторизовать как
  $${\displaystyle c(x-r_{1})\cdots (x-r_{n}),}$$
  где комплексные числа. ${\displaystyle c,r_{1},\ldots ,r_{n}}$

  Комплексные числа n являются корнями многочлена . Если корень появляется в нескольких сомножителях, то он является кратным корнем , а количество его вхождений есть по определению кратность корня. ${\displaystyle r_{1},\ldots ,r_{n}}$

  Доказательство того, что это утверждение является результатом предыдущих, осуществляется рекурсией по n : когда корень найден, полиномиальное деление на дает многочлен степени , корни которого являются другими корнями данного многочлена. ${\displaystyle r_{1}}$ ${\displaystyle x-r_{1}}$ ${\displaystyle n-1}$

Следующие два утверждения эквивалентны предыдущим, хотя они не содержат каких-либо недействительных комплексных чисел. Эти утверждения можно доказать с помощью предыдущих факторизаций, заметив, что, если r является невещественным корнем многочлена с действительными коэффициентами, его комплексно-сопряженный элемент также является корнем и является многочленом второй степени с действительными коэффициентами (это комплекс теорема о сопряженном корне ). И наоборот, если у кого-то есть фактор второй степени, квадратичная формула дает корень. ${\displaystyle {\overline {r}}}$ ${\displaystyle (x-r)(x-{\overline {r}})}$

• Каждый одномерный многочлен с действительными коэффициентами степени больше двух имеет множитель второй степени с действительными коэффициентами.
• Каждый одномерный многочлен с действительными коэффициентами положительной степени можно разложить на множители как
  $${\displaystyle cp_{1}\cdots p_{k},}$$
  где c — действительное число, а каждый — монический многочлен степени не выше двух с действительными коэффициентами. Более того, можно предположить, что множители второй степени не имеют вещественного корня. ${\displaystyle p_{i}}$

Доказательства

Все приведенные ниже доказательства включают в себя некоторый математический анализ или, по крайней мере, топологическую концепцию непрерывности действительных или комплексных функций. Некоторые также используют дифференцируемые или даже аналитические функции. Это требование привело к замечанию, что Основная теорема алгебры не является ни фундаментальной, ни теоремой алгебры. ^[11]

Некоторые доказательства теоремы доказывают только то, что любой непостоянный многочлен с действительными коэффициентами имеет некоторый комплексный корень. Этой леммы достаточно, чтобы установить общий случай, поскольку для непостоянного многочлена p с комплексными коэффициентами полином

${\displaystyle q=p{\overline {p}},}$

имеет только действительные коэффициенты, и если z является корнем q , то либо z , либо сопряженное с ним число является корнем p . Здесь – полином, полученный заменой каждого коэффициента p его комплексно-сопряженным ; корни являются в точности комплексно-сопряженными корнями p ${\displaystyle {\overline {p}}}$ ${\displaystyle {\overline {p}}}$

Многие неалгебраические доказательства теоремы используют тот факт (иногда называемый «леммой о росте»), что полиномиальная функция p ( z ) степени n , доминирующий коэффициент которой равен 1, ведет себя как z ⁿ , когда | г | достаточно велик. Точнее, существует некоторое положительное действительное число R такое, что

${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}|z^{n}|<|p(z)|<{\tfrac {3}{2}}|z^{n}|}$

когда | г | >  Р. _

Реально-аналитические доказательства

Даже не используя комплексные числа, можно показать, что вещественный многочлен p ( x ): p (0) ≠ 0 степени n > 2 всегда можно разделить на некоторый квадратичный многочлен с действительными коэффициентами. ^[12] Другими словами, для некоторых вещественных значений a и b коэффициенты линейного остатка при делении p ( x ) на x ² − ax − b одновременно становятся нулевыми.

${\displaystyle p(x)=(x^{2}-ax-b)q(x)+x\,R_{p(x)}(a,b)+S_{p(x)}(a,b),}$

где q ( x ) — многочлен степени n − 2. Коэффициенты R _{p ( x )} ( a , b ) и S _{p ( x )} ( a , b ) не зависят от x и полностью определяются коэффициентами p ( Икс ). С точки зрения представления, R _{p ( x )} ( a , b ) и S _{p ( x )} ( a , b ) являются двумерными полиномами от a и b . В духе первого (неполного) доказательства этой теоремы Гаусса от 1799 года ключевым моментом является показать, что для любого достаточно большого отрицательного значения b все _корни как R _{p ( x )} ( a , b ), так и Sp _{( x )} ( a , b ) в переменной a имеют действительные значения и чередуют друг друга (свойство переплетения). Используя цепочку типа Штурма , которая содержит R _{p ( x )} ( a , b ) и Sp _{( x )} ( a , b ) в качестве последовательных членов, чередование в переменной a может быть _{показано} для всех последовательных пар в цепочке всякий раз, когда b имеет достаточно большое отрицательное значение. Поскольку S _p ( a , b = 0) = p (0) не имеет корней, переплетение R _{p ( x )} ( a , b ) и Sp _{( x ) (} a , b ) в переменной a не выполняется при b = 0. Топологические аргументы могут быть применены к свойству переплетения, чтобы показать, что место корней R _{p ( x )} ( a , b ) и S _{p (x )} ( a , b ) должно пересекаться для некоторых действительных значений a и b < 0.

Комплексно-аналитические доказательства

Найдите замкнутый диск D радиуса r с центром в начале координат такой, что | п ( z )| > | р (0)| всякий раз, когда | г | ≥  р . Минимум | п ( z )| на D , которое _должно существовать, поскольку D компактно , достигается поэтому в некоторой точке z0 внутри D , но не в какой-либо точке его границы. Принцип максимума модуля , примененный к 1/ p ( z ), подразумевает, что _p(z0 ) = 0. Другими словами, _z0 является нулем p ( z ).

Вариант этого доказательства не требует принципа максимума модуля (на самом деле, аналогичный аргумент также дает доказательство принципа максимума модуля для голоморфных функций). Продолжая то, что было до того, как был использован этот принцип, если a  := p ( z ₀ ) ≠ 0, то, разложив p ( z ) по степеням z − z ₀ , мы можем записать

${\displaystyle p(z)=a+c_{k}(z-z_{0})^{k}+c_{k+1}(z-z_{0})^{k+1}+\cdots +c_{n}(z-z_{0})^{n}.}$

Здесь c _j — это просто коэффициенты полинома z → p ( z + z ₀ ) после расширения, а k — это индекс первого ненулевого коэффициента, следующего за постоянным членом. При z, достаточно близком к z _0, эта функция ведет себя асимптотически аналогично более простому многочлену . Точнее, функция ${\displaystyle q(z)=a+c_{k}(z-z_{0})^{k}}$

${\displaystyle \left|{\frac {p(z)-q(z)}{(z-z_{0})^{k+1}}}\right|\leq M}$

для некоторой положительной константы M в некоторой окрестности _точки z0 . Следовательно, если мы определим и позволим проследить круг радиуса r > 0 вокруг z , то для любого достаточно малого r (так что выполняется граница M ) мы увидим, что ${\displaystyle \theta _{0}=(\arg(a)+\pi -\arg(c_{k}))/k}$ ${\displaystyle z=z_{0}+re^{i\theta _{0}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}|p(z)|&\leq |q(z)|+r^{k+1}\left|{\frac {p(z)-q(z)}{r^{k+1}}}\right|\\[4pt]&\leq \left|a+(-1)c_{k}r^{k}e^{i(\arg(a)-\arg(c_{k}))}\right|+Mr^{k+1}\\[4pt]&=|a|-|c_{k}|r^{k}+Mr^{k+1}\end{aligned}}}$

Когда r достаточно близко к 0, эта верхняя граница для | п ( z )| строго меньше | a |, что противоречит определению z ₀ . Геометрически мы нашли явное направление θ ₀ такое, что если приблизиться к z ₀ с этого направления, можно получить значения p ( z ), меньшие по абсолютной величине, чем | п ( z ₀ )|.

В этом направлении можно получить еще одно аналитическое доказательство, заметив, что, поскольку | п ( z )| > | р (0)| вне D минимум | п ( z )| на всей комплексной плоскости достигается при z ₀ . Если | п ( z ₀ )| > 0, то 1/ p — ограниченная голоморфная функция во всей комплексной плоскости, поскольку для каждого комплексного числа z |1/ p ( z )| ≤ |1/ п ( z ₀ )|. Применяя теорему Лиувилля , которая утверждает, что ограниченная целая функция должна быть постоянной, это будет означать, что 1/ p является постоянным и, следовательно, что p является постоянным. Это дает противоречие, и, следовательно, p ( z ₀ ) = 0. ^[13]

Еще одно аналитическое доказательство использует принцип аргумента . Пусть R — положительное действительное число, достаточно большое, чтобы каждый корень из p ( z ) имел абсолютное значение меньше, чем R ; такое число должно существовать, поскольку каждая непостоянная полиномиальная функция степени n имеет не более n нулей. Для каждого r  >  R рассмотрим число

${\displaystyle {\frac {1}{2\pi i}}\int _{c(r)}{\frac {p'(z)}{p(z)}}\,dz,}$

где c ( r ) — круг с центром в точке 0 и радиусом r , ориентированный против часовой стрелки; тогда принцип аргумента гласит, что это число представляет собой количество N нулей p ( z ) в открытом шаре с центром в 0 и радиусом r , который, поскольку r  >  R , является общим количеством нулей p ( z ). С другой стороны, интеграл от n / z вдоль c ( r ), деленный на 2π i , равен n . Но разница между этими двумя числами

${\displaystyle {\frac {1}{2\pi i}}\int _{c(r)}\left({\frac {p'(z)}{p(z)}}-{\frac {n}{z}}\right)dz={\frac {1}{2\pi i}}\int _{c(r)}{\frac {zp'(z)-np(z)}{zp(z)}}\,dz.}$

Числитель интегрируемого рационального выражения имеет степень не выше n  − 1, а степень знаменателя равна n  + 1. Следовательно, указанное выше число стремится к 0 при r → +∞. Но это число также равно N  −  n , поэтому N  =  n .

Другое комплексно-аналитическое доказательство можно дать, объединив линейную алгебру с теоремой Коши . Чтобы установить, что каждый комплексный многочлен степени n  > 0 имеет ноль, достаточно показать, что каждая комплексная квадратная матрица размера n  > 0 имеет (комплексное) собственное значение . ^[14] Доказательство последнего утверждения проводится от противного .

Пусть A — комплексная квадратная матрица размера n  > 0, а I _n — единичная матрица того же размера. Предположим, что A не имеет собственных значений. Рассмотрим резольвентную функцию

${\displaystyle R(z)=(zI_{n}-A)^{-1},}$

которая является мероморфной функцией на комплексной плоскости со значениями в векторном пространстве матриц. Собственные значения A являются в точности полюсами R ( z ). Поскольку по предположению A не имеет собственных значений, функция R ( z ) является целой функцией , и из теоремы Коши следует, что

${\displaystyle \int _{c(r)}R(z)\,dz=0.}$

С другой стороны, R ( z ), развернутый в геометрический ряд, дает:

${\displaystyle R(z)=z^{-1}(I_{n}-z^{-1}A)^{-1}=z^{-1}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{z^{k}}}A^{k}\cdot }$

Эта формула справедлива вне замкнутого круга радиуса ( операторной нормы A ). Пусть тогда ${\displaystyle \|A\|}$ ${\displaystyle r>\|A\|.}$

${\displaystyle \int _{c(r)}R(z)dz=\sum _{k=0}^{\infty }\int _{c(r)}{\frac {dz}{z^{k+1}}}A^{k}=2\pi iI_{n}}$

(в котором только слагаемое k  = 0 имеет ненулевой интеграл). Это противоречие, и поэтому A имеет собственное значение.

Наконец, теорема Руше дает, пожалуй, самое короткое доказательство теоремы.

Топологические доказательства

Анимация, иллюстрирующая доказательство многочлена ${\displaystyle x^{5}-x-1}$

Предположим, минимум | п ( z )| на всей комплексной плоскости достигается при z ₀ ; при доказательстве, использующем теорему Лиувилля, было видно, что такое число должно существовать. Мы можем записать p ( z ) как полином от z  −  z ₀ : существует некоторое натуральное число k и существуют некоторые комплексные числа c _k , c _{k  + 1} , ..., c _n такие, что c _k  ≠ 0 и:

${\displaystyle p(z)=p(z_{0})+c_{k}(z-z_{0})^{k}+c_{k+1}(z-z_{0})^{k+1}+\cdots +c_{n}(z-z_{0})^{n}.}$

Если p ( z ₀ ) не равно нулю, отсюда следует, что если a является корнем k ^{-й степени} из − p ( z ₀ )/ c _k и если t положительное и достаточно малое, то | п ( z ₀  +  та )| < | p ( z ₀ )|, что невозможно, поскольку | п ( z ₀ )| это минимум | р | на Д. _

Для другого топологического доказательства от противного предположим, что многочлен p ( z ) не имеет корней и, следовательно, никогда не равен 0. Думайте о многочлене как об отображении комплексной плоскости в комплексную плоскость. Он отображает любой круг | г | =  R в замкнутый контур, кривую P ( R ). Мы рассмотрим, что происходит с числом витков P ( R ) в крайних случаях, когда R очень велико и когда R = 0. Когда R — достаточно большое число, тогда главный член z ⁿ из p ( z ) доминирует над всеми остальными. термины комбинированные; другими словами,

${\displaystyle \left|z^{n}\right|>\left|a_{n-1}z^{n-1}+\cdots +a_{0}\right|.}$

Когда z пересекает окружность один раз против часовой стрелки, затем поворачивается n раз против часовой стрелки вокруг начала координат (0,0), и P ( R ) аналогично. Другая крайность: | г | = 0, кривая P (0) — это просто единственная точка p (0), которая должна быть ненулевой, поскольку p ( z ) никогда не равна нулю. Таким образом, p (0) должно отличаться от начала координат (0,0), которое обозначает 0 в комплексной плоскости. Таким образом , число витков P (0) вокруг начала координат (0,0) равно 0. Теперь постоянное изменение R будет постоянно деформировать петлю . При некотором R номер обмотки должен измениться. Но это может произойти только в том случае , если кривая P ( R ) включает начало координат (0,0) для некоторого R. Но тогда для некоторого z на этом круге | г | =  R мы имеем p ( z ) = 0, что противоречит нашему исходному предположению. Следовательно, p ( z ) имеет хотя бы один нуль. ${\displaystyle Re^{i\theta }}$ ${\displaystyle (0\leq \theta \leq 2\pi ),}$ ${\displaystyle z^{n}=R^{n}e^{in\theta }}$ ${\displaystyle (0\leq \theta \leq 2\pi n)}$

Алгебраические доказательства

Эти доказательства Основной теоремы алгебры должны использовать следующие два факта о действительных числах, которые не являются алгебраическими, но требуют лишь небольшого анализа (точнее, теоремы о промежуточном значении в обоих случаях):

• каждый многочлен нечетной степени и действительными коэффициентами имеет действительный корень;
• каждое неотрицательное действительное число имеет квадратный корень.

Из второго факта вместе с квадратичной формулой следует теорема для вещественных квадратичных многочленов. Другими словами, алгебраические доказательства фундаментальной теоремы на самом деле показывают, что если R — любое вещественно-замкнутое поле , то его расширение C = R ( √ −1 ) алгебраически замкнуто.

По индукции

Как уже говорилось выше, достаточно проверить утверждение «всякий непостоянный многочлен p ( z ) с вещественными коэффициентами имеет комплексный корень». Это утверждение можно доказать индукцией по наибольшему неотрицательному целому числу k такому, что 2 ^k делит степень n числа p ( z ). Пусть a будет коэффициентом при ^zn в p ( z ) , и пусть F будет полем разложения p ( z ) над C ; другими словами, поле F содержит C и существуют элементы z ₁ , z ₂ , ..., z _n в F такие, что

${\displaystyle p(z)=a(z-z_{1})(z-z_{2})\cdots (z-z_{n}).}$

Если k  = 0, то n нечетно, и, следовательно, p ( z ) имеет вещественный корень. Теперь предположим, что n  = 2 ^k m (с m нечетным и k  > 0) и что теорема уже доказана, когда степень многочлена имеет вид 2 ^{k  − 1} m ′ с m ′ нечетным. Для действительного числа t определите:

${\displaystyle q_{t}(z)=\prod _{1\leq i<j\leq n}\left(z-z_{i}-z_{j}-tz_{i}z_{j}\right).}$

Тогда коэффициенты q _t ( z ) являются симметричными многочленами от z _i с действительными коэффициентами. Следовательно, их можно выразить в виде многочленов с вещественными коэффициентами в элементарных симметричных многочленах , то есть в − a ₁ , a ₂ , ..., (−1) ⁿ a _n . Таким образом, q _t ( z ) на самом деле имеет действительные коэффициенты. Кроме того, степень q _t ( z ) равна n ( n  - 1)/2 = 2 ^{k - 1} m ( n  - 1), а m ( n  - 1) является нечетным числом. Итак, согласно предположению индукции, q _t имеет хотя бы один комплексный корень; другими словами, z _i  +  z _j  +  tz _i z _j является комплексным для двух различных элементов i и j из {1, ..., n }. Поскольку действительных чисел больше, чем пар ( i , j ), можно найти различные действительные числа t и s такие, что z _i  +  z _j  +  tz _i z _j и z _i  +  z _j  +  sz _i z _j являются комплексными (для то же самое я и j ). Итак, z _i  +  z _j и z _i z _j — комплексные числа. Легко проверить, что каждое комплексное число имеет комплексный квадратный корень, поэтому каждый комплексный многочлен степени 2 имеет комплексный корень по квадратной формуле. Отсюда следует, что z _i и z _j являются комплексными числами, поскольку они являются корнями квадратного многочлена z ²  - ( z _i  +  z _j ) z  +  z _i z _j .

Джозеф Шипман показал в 2007 году, что предположение о том, что полиномы нечетной степени имеют корни, сильнее, чем необходимо; любое поле, в котором многочлены простой степени имеют корни, алгебраически замкнуто (поэтому «нечетное» можно заменить на «нечетное простое число», и это справедливо для полей всех характеристик). ^[15] Для аксиоматизации алгебраически замкнутых полей это наилучший вариант, поскольку существуют контрпримеры, если исключить одно простое число. Однако эти контрпримеры основаны на том, что −1 имеет квадратный корень. Если мы возьмем поле, в котором −1 не имеет квадратного корня, а каждый многочлен степени n  ∈  I имеет корень, где I — любой фиксированный бесконечный набор нечетных чисел, то каждый многочлен f ( x ) нечетной степени имеет корень ( поскольку ( x ² + 1) ^k f ( x ) имеет корень, где k выбрано так, что deg( f ) + 2 k ∈ I ). Мохсен Алиабади обобщил ^{[ сомнительно ]} результат Шипмана в 2013 году, предоставив независимое доказательство того, что достаточным условием для того, чтобы произвольное поле (любой характеристики) было алгебраически замкнутым, является наличие корня для каждого многочлена простой степени. ^[16]

Из теории Галуа

Другое алгебраическое доказательство основной теоремы можно дать с помощью теории Галуа . Достаточно показать, что C не имеет собственного конечного расширения поля . ^[17] Пусть K / C — конечное расширение. Поскольку нормальное замыкание K над R по-прежнему имеет конечную степень над C (или R ), мы можем без ограничения общности предположить , что K является нормальным расширением R ( следовательно, это расширение Галуа , поскольку любое алгебраическое расширение поля характеристики 0 сепарабельна ) . Пусть G — группа Галуа этого расширения, и пусть H — силовская 2 -подгруппа группы G , так что порядок H равен степени 2, а индекс H в G нечетен. По основной теореме теории Галуа существует подрасширение L расширения K / R такое, что Gal( K / L ) =  H. Поскольку [ L : R ] = [ G : H ] нечетно и не существует нелинейных неприводимых вещественных многочленов нечетной степени, мы должны иметь L  = R , таким образом, [ K : R ] и [ K : C ] являются степенями 2. Полагая от противного, что [ K : C ] > 1, заключаем, что 2-группа Gal( K / C ) содержит подгруппу индекса 2, поэтому существует подрасширение M группы C степени 2. Однако C не имеет расширения степени 2, поскольку, как упоминалось выше, каждый квадратичный комплексный многочлен имеет комплексный корень. Это показывает, что [ K : C ] = 1, и, следовательно, K = C , что завершает доказательство.

Геометрические доказательства

Существует еще один способ приблизиться к основной теореме алгебры, предложенный Дж. М. Альмирой и А. Ромеро: с помощью римановых геометрических аргументов. Основная идея здесь состоит в том, чтобы доказать, что из существования непостоянного многочлена p ( z ) без нулей следует существование плоской римановой метрики над сферой S2 ^. Это приводит к противоречию, поскольку сфера не плоская.

Риманова поверхность ( M , g ) называется плоской, если ее гауссова кривизна, которую мы обозначаем K _g , тождественно равна нулю. Теперь теорема Гаусса–Бонне , примененная к сфере S ² , утверждает, что

${\displaystyle \int _{\mathbf {S} ^{2}}K_{g}=4\pi ,}$

что доказывает, что сфера не плоская.

Предположим теперь, что n > 0 и

${\displaystyle p(z)=a_{0}+a_{1}z+\cdots +a_{n}z^{n}\neq 0}$

для каждого комплексного числа z . Давайте определим

${\displaystyle p^{*}(z)=z^{n}p\left({\tfrac {1}{z}}\right)=a_{0}z^{n}+a_{1}z^{n-1}+\cdots +a_{n}.}$

Очевидно, p* ( z ) ≠ 0 для всех z в C. Рассмотрим полином f ( z ) =  p ( z ) p* ( z ). Тогда f ( z ) ≠ 0 для каждого z в C. Более того,

${\displaystyle f({\tfrac {1}{w}})=p\left({\tfrac {1}{w}}\right)p^{*}\left({\tfrac {1}{w}}\right)=w^{-2n}p^{*}(w)p(w)=w^{-2n}f(w).}$

Мы можем использовать это функциональное уравнение, чтобы доказать, что g , определяемый формулой

${\displaystyle g={\frac {1}{|f(w)|^{\frac {2}{n}}}}\,|dw|^{2}}$

для w в C и

${\displaystyle g={\frac {1}{\left|f\left({\tfrac {1}{w}}\right)\right|^{\frac {2}{n}}}}\left|d\left({\tfrac {1}{w}}\right)\right|^{2}}$

для w  ∈  S2 ^\ {0} — корректно определенная риманова метрика над сферой S2 (которую мы ^{отождествляем} с расширенной комплексной плоскостью C  ∪ {∞}).

Теперь простое вычисление показывает, что

${\displaystyle \forall w\in \mathbf {C} :\qquad {\frac {1}{|f(w)|^{\frac {1}{n}}}}K_{g}={\frac {1}{n}}\Delta \log |f(w)|={\frac {1}{n}}\Delta {\text{Re}}(\log f(w))=0,}$

поскольку действительная часть аналитической функции гармонична. Это доказывает, что K _g  = 0.

Следствия

Поскольку фундаментальную теорему алгебры можно рассматривать как утверждение о том, что поле комплексных чисел алгебраически замкнуто , отсюда следует, что любая теорема, касающаяся алгебраически замкнутых полей, применима к полю комплексных чисел. Вот еще несколько следствий теоремы, касающихся либо поля действительных чисел, либо связи между полем действительных чисел и полем комплексных чисел:

• Поле комплексных чисел является алгебраическим замыканием поля действительных чисел.
• Каждый многочлен от одной переменной z с комплексными коэффициентами является произведением комплексной константы и многочленов вида z  +  a с комплексом .
• Каждый многочлен от одной переменной x с вещественными коэффициентами можно однозначно записать как произведение константы, многочленов вида x  +  a с вещественным числом и многочленов вида x ²  +  ax  +  b с вещественными a и b и a ²  − 4 b  < 0 (это то же самое, что сказать, что многочлен x ²  +  ax  +  b не имеет действительных корней). (По теореме Абеля–Руффини действительные числа a и b не обязательно выражаются через коэффициенты многочлена, основные арифметические операции и извлечение корней n -й степени.) Это означает, что число невещественных чисел Комплексные корни всегда четны и остаются четными при учете их кратности.
• Каждую рациональную функцию от одной переменной x с действительными коэффициентами можно записать как сумму полиномиальной функции с рациональными функциями вида a /( x  −  b ) ⁿ (где n — натуральное число, а a и b — вещественные числа). числа) и рациональные функции вида ( ax  +  b )/( x ²  +  cx  +  d ) ⁿ (где n — натуральное число, а a , b , c и d — действительные числа такие, что c ²  − 4 д  < 0). Следствием этого является то, что каждая рациональная функция с одной переменной и действительными коэффициентами имеет элементарную примитивную форму .
• Каждое алгебраическое расширение вещественного поля изоморфно либо вещественному полю, либо комплексному полю.

Границы нулей многочлена

Хотя основная теорема алгебры формулирует общий результат существования, определенный интерес, как с теоретической, так и с практической точки зрения, представляет информация о расположении нулей данного многочлена. Более простой результат в этом направлении — это оценка модуля: все нули ζ монического многочлена удовлетворяют неравенству |ζ| ≤ R∞ _, где ${\displaystyle z^{n}+a_{n-1}z^{n-1}+\cdots +a_{1}z+a_{0}}$

${\displaystyle R_{\infty }:=1+\max\{|a_{0}|,\ldots ,|a_{n-1}|\}.}$

Как уже говорилось, это еще не результат существования, а скорее пример того, что называется априорной границей : она говорит, что если есть решения , то они лежат внутри замкнутого круга с центром, началом координат и радиусом R _∞ . Однако в сочетании с фундаментальной теоремой алгебры это говорит о том, что диск на самом деле содержит по крайней мере одно решение. В более общем смысле, оценка может быть задана непосредственно через любую p-норму n -вектора коэффициентов , которая равна |ζ| ⩽ R _p , где R _p — это в точности q -норма 2-вектора q , являющегося показателем сопряженности p , для любого 1 ⩽ p ⩽ ∞. Таким образом, модуль любого решения также ограничен ${\displaystyle a:=(a_{0},a_{1},\ldots ,a_{n-1}),}$ ${\displaystyle (1,\|a\|_{p}),}$ ${\displaystyle {\tfrac {1}{p}}+{\tfrac {1}{q}}=1,}$

${\displaystyle R_{1}:=\max \left\{1,\sum _{0\leq k<n}|a_{k}|\right\},}$

${\displaystyle R_{p}:=\left[1+\left(\sum _{0\leq k<n}|a_{k}|^{p}\right)^{\frac {q}{p}}\right]^{\frac {1}{q}},}$

при 1 < p < ∞ и, в частности,

${\displaystyle R_{2}:={\sqrt {\sum _{0\leq k\leq n}|a_{k}|^{2}}}}$

(где мы определяем n как 1, что вполне разумно, поскольку 1 действительно является _n - м коэффициентом нашего многочлена). Случай общего полинома степени n ,

${\displaystyle P(z):=a_{n}z^{n}+a_{n-1}z^{n-1}+\cdots +a_{1}z+a_{0},}$

конечно, сводится к случаю унитарного множителя, деля все коэффициенты на n _≠ 0. Кроме того, в случае, когда 0 не является корнем, т. е. a ₀ ≠ 0, оценки снизу для корней ζ следуют сразу же, как и оценки сверху на , то есть корни ${\displaystyle {\tfrac {1}{\zeta }}}$

${\displaystyle a_{0}z^{n}+a_{1}z^{n-1}+\cdots +a_{n-1}z+a_{n}.}$

Наконец, расстояние от корней ζ до любой точки можно оценить снизу и сверху, рассматривая как нули многочлена , коэффициенты которого являются разложением Тейлора P ( z ) при ${\displaystyle |\zeta -\zeta _{0}|}$ ${\displaystyle \zeta _{0}}$ ${\displaystyle \zeta -\zeta _{0}}$ ${\displaystyle P(z+\zeta _{0})}$ ${\displaystyle z=\zeta _{0}.}$

Пусть ζ – корень многочлена

${\displaystyle z^{n}+a_{n-1}z^{n-1}+\cdots +a_{1}z+a_{0};}$

чтобы доказать неравенство |ζ| ≤ R _p, мы можем, конечно, считать, что |ζ| > 1. Записав уравнение в виде

${\displaystyle -\zeta ^{n}=a_{n-1}\zeta ^{n-1}+\cdots +a_{1}\zeta +a_{0},}$

и используя неравенство Гёльдера, находим

${\displaystyle |\zeta |^{n}\leq \|a\|_{p}\left\|\left(\zeta ^{n-1},\ldots ,\zeta ,1\right)\right\|_{q}.}$

Теперь, если p = 1, это

${\displaystyle |\zeta |^{n}\leq \|a\|_{1}\max \left\{|\zeta |^{n-1},\ldots ,|\zeta |,1\right\}=\|a\|_{1}|\zeta |^{n-1},}$

таким образом

${\displaystyle |\zeta |\leq \max\{1,\|a\|_{1}\}.}$

В случае 1 < p ≤ ∞ с учетом формулы суммирования геометрической прогрессии имеем

${\displaystyle |\zeta |^{n}\leq \|a\|_{p}\left(|\zeta |^{q(n-1)}+\cdots +|\zeta |^{q}+1\right)^{\frac {1}{q}}=\|a\|_{p}\left({\frac {|\zeta |^{qn}-1}{|\zeta |^{q}-1}}\right)^{\frac {1}{q}}\leq \|a\|_{p}\left({\frac {|\zeta |^{qn}}{|\zeta |^{q}-1}}\right)^{\frac {1}{q}},}$

таким образом

${\displaystyle |\zeta |^{nq}\leq \|a\|_{p}^{q}{\frac {|\zeta |^{qn}}{|\zeta |^{q}-1}}}$

и упрощая,

${\displaystyle |\zeta |^{q}\leq 1+\|a\|_{p}^{q}.}$

Поэтому

${\displaystyle |\zeta |\leq \left\|\left(1,\|a\|_{p}\right)\right\|_{q}=R_{p}}$

выполняется для всех 1 ⩽ p ⩽ ∞.

Смотрите также

• Теорема Вейерштрасса о факторизации , обобщение теоремы на другие целые функции.
• Теорема Эйленберга – Нивена , обобщение теоремы на многочлены с кватернионными коэффициентами и переменными.
• Nullstellensatz Гильберта , обобщение на несколько переменных утверждения о существовании комплексных корней.
• Теорема Безу , обобщение на несколько переменных утверждения о количестве корней.

Рекомендации

Цитаты

1. https://www.maa.org/sites/default/files/pdf/upload_library/22/Polya/07468342.di020748.02p0019l.pdf ^{[ пустой URL-адрес PDF ]}
2. http://www.math.toronto.edu/campesat/ens/20F/14.pdf ^{[ пустой URL-адрес PDF ]}
3. Даже доказательство того, что уравнение имеет решение, включает в себя определение действительных чисел посредством некоторой формы полноты (в частности, теоремы о промежуточном значении ). ${\displaystyle x^{2}-2=0}$
4. Редкие книги
5. См. раздел «Роль д'Эйлера» в статье К. Жилена « Sur l'histoire du theorème Fundamental de l'algèbre: theorie des équations et Calcul intégral» .
6. О доказательстве Вуда см. статью Фрэнка Смитиса « Забытая статья по фундаментальной теореме алгебры» .
7. Смейл пишет: «...Я хочу указать, какой огромный пробел содержался в доказательстве Гаусса. Даже сегодня остается тонким моментом то, что настоящая алгебраическая плоская кривая не может войти в диск, не выходя из него. Фактически, даже несмотря на то, что Гаусс переделал это доказательство 50 лет спустя пробел остался. Только в 1920 году доказательство Гаусса было завершено. В справочнике Гаусса А. Островский приводит статью, в которой это делается, а также прекрасно обсуждается проблема..."
8. О'Коннор, Джон Дж.; Робертсон, Эдмунд Ф. , «Жан-Робер Арган», Архив истории математики MacTutor , Университет Сент-Эндрюс
9. Минимум, необходимый для доказательства их эквивалентности, см. в Bridges, Schuster и Richman; 1998 год; Слабый принцип счетного выбора ; доступно по адресу [1]. Архивировано 19 февраля 2020 г. на Wayback Machine .
10. См. Фреда Ричмана; 1998 год; Основная теорема алгебры: конструктивное развитие без выбора ; доступно в [2]. Архивировано 19 февраля 2020 г. на Wayback Machine .
11. Айгнер, Мартин; Циглер, Гюнтер (2018). Доказательства из книги. Спрингер. п. 151. ИСБН 978-3-662-57264-1. ОСЛК  1033531310.
12. Басу, С. СТРОГО ВЕЩЕСТВЕННАЯ ФУНДАМЕНТАЛЬНАЯ ТЕОРЕМА АЛГЕБРЫ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ ПОЛИНОМИАЛЬНОГО ПЕРЕСЕЧЕНИЯ. Бюллетень Австралийского математического общества , том 104 (2021 г.), выпуск 2. стр. 249–255.
13. Альфорс, Ларс. Комплексный анализ (2-е изд.). Книжная компания МакГроу-Хилл. п. 122.
14. Доказательство того, что этого достаточно, можно увидеть здесь .
15. Шипман, Дж. Улучшение фундаментальной теоремы алгебры. The Mathematical Intelligencer , том 29 (2007), номер 4, стр. 9–14.
16. М. Алиабади, М. Р. Дарафше, О свойстве максимального и минимального линейного паросочетания, Алгебра и дискретная математика , том 15 (2013), номер 2, стр. 174–178.
17. Доказательство того, что этого достаточно, можно увидеть здесь .

Исторические источники

• Коши, Огюстен-Луи (1821), Cours d'Analyse de l'École Royale Polytechnique, 1-я партия: Анализ алгебры, Париж: Éditions Jacques Gabay (опубликовано в 1992 г.), ISBN 978-2-87647-053-8(тр. Курс анализа Королевской политехнической академии , часть 1: Алгебраический анализ)
• Эйлер, Леонард (1751), «Recherches sur les racines imaginaires des équations», Histoire de l'Académie Royale des Sciences et des Belles-Lettres de Berlin , Berlin, vol. 5, стр. 222–288, заархивировано из оригинала 24 декабря 2008 г. , получено 28 января 2008 г.. Английский перевод: Эйлер, Леонхард (1751), «Исследования мнимых корней уравнений» (PDF) , Histoire de l'Académie Royale des Sciences et des Belles-Lettres de Berlin , Berlin, vol. 5, стр. 222–288.
• Гаусс, Карл Фридрих (1799), Demonstratio nova теорематис omnem functionem алгебраическая рациональность integram unius variabilis in Factores Reales primi vel secundi gradus resolvi posse , Helmstedt : CG Fleckeisen(тр. Новое доказательство теоремы о том, что всякую целую рациональную алгебраическую функцию одной переменной можно разложить на действительные множители первой или второй степени).
• Гаусс, Карл Фридрих (1866), Карл Фридрих Гаусс Верке, том. Группа III, Königlichen Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen
  1. Демонстрация новой теоремы omnem functionem алгебраической рациональности integram unius variabilis in Factores Reales primi vel secundi gradus resolvi posse (1799), стр. 1–31. , п. 1, в Google Книгах – первое доказательство.
  2. Demonstratio nova altera теорематис omnem functionem алгебраическая рациональность integram unius variabilis in Factores Reales primi vel secundi gradus resolvi posse (декабрь 1815 г.), стр. 32–56. , п. 32, в Google Книгах – второе доказательство.
  3. Теорема о разрешимой функции алгебраического интегрирования в реальных факторах демонстрации тертиа Supplementum commentationis praecedentis (январь 1816 г.), стр. 57–64. , п. 57, в Google Книгах – третье доказательство.
  4. Beiträge zur Theorie der алгебраишен Gleichungen (июль 1849 г.), стр. 71–103. , п. 71, в Google Книгах – четвертое доказательство.
• Кнезер, Хельмут (1940), «Der Fundamentalsatz der Algebra und der Intuitionismus», Mathematische Zeitschrift , vol. 46, стр. 287–302, номер документа : 10.1007/BF01181442, ISSN  0025-5874, S2CID  120861330.(Основная теорема алгебры и интуиционизма ).
• Кнезер, Мартин (1981), «Ergänzung zu einer Arbeit von Hellmuth Kneser über den Fundamentalsatz der Algebra», Mathematische Zeitschrift , vol. 177, нет. 2, стр. 285–287, doi : 10.1007/BF01214206, ISSN  0025-5874, S2CID  122310417.(тр. Расширение работы Хельмута Кнезера по основной теореме алгебры).
• Островский, Александр (1920), «Über den ersten und vierten Gaußschen Beweis des Fundamental-Satses der Algebra», Карл Фридрих Гаусс Werke Band X Abt. 2(тр. О первом и четвёртом гауссовских доказательствах Основной теоремы алгебры).
• Вейерштрасс, Карл (1891), «Neuer Beweis des Satzes, dass jede ganze Reasone Function einer Veränderlichen dargestellt werden kann als ein Product aus Linearen Functionen derselben Veränderlichen», Sitzungsberichte der königlich preussischen Akademie der Wissenschaften zu Berlin , стр. 108 5–1101(тр. Новое доказательство теоремы о том, что всякую целочисленную рациональную функцию одной переменной можно представить в виде произведения линейных функций той же переменной).

Новейшая литература

• Альмира, Дж. М.; Ромеро, А. (2007), «Еще одно применение теоремы Гаусса-Бонне для сферы», Бюллетень Бельгийского математического общества , том. 14, стр. 341–342.
• Альмира, Дж. М.; Ромеро, А. (2012), «Некоторые римановы геометрические доказательства фундаментальной теоремы алгебры» (PDF) , Дифференциальная геометрия – динамические системы , том. 14, стр. 1–4.
• де Оливейра, ORB (2011), «Фундаментальная теорема алгебры: элементарное и прямое доказательство», Mathematical Intelligencer , vol. 33, нет. 2, стр. 1–2, номер документа : 10.1007/s00283-011-9199-2, S2CID  5243991.
• де Оливейра, ORB (2012), «Фундаментальная теорема алгебры: из четырех основных операций», American Mathematical Monthly , vol. 119, нет. 9, стр. 753–758, arXiv : 1110.0165 , doi : 10.4169/amer.math.monthly.119.09.753, S2CID  218548926
• Хорошо, Бенджамин; Розенбергер, Герхард (1997), Фундаментальная теорема алгебры , Тексты для студентов по математике , Берлин: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-94657-3, МР  1454356
• Герстен, С.М.; Столлингс, Джон Р. (1988), «О первом доказательстве Гаусса фундаментальной теоремы алгебры», Труды Американского математического общества , том. 103, нет. 1, стр. 331–332, doi : 10.1090/S0002-9939-1988-0938691-3 , ISSN  0002-9939, JSTOR  2047574.
• Гилен, Кристиан (1991), «Sur l'histoire du theorème Fundamental de l'algèbre: theorie des équations et Calcul intégral», Archive for History of Exact Sciences , vol. 42, нет. 2, стр. 91–136, номер документа : 10.1007/BF00496870, ISSN  0003-9519, S2CID  121468210.(тр. К истории основной теоремы алгебры: теория уравнений и интегральное исчисление .)
• Нетто, Ойген ; Ле Вавассер, Раймон (1916), «Les fonctions rationnelles §80–88: Фундаментальная теория», у Мейера, Франсуа; Молк, Жюль (ред.), Энциклопедия математических и прикладных наук, том I, том. 2 , Éditions Jacques Gabay (опубликовано в 1992 г.), ISBN 978-2-87647-101-6(тр. Рациональные функции §80–88: основная теорема).
• Реммерт, Рейнхольд (1991), «Фундаментальная теорема алгебры», в Эббингаузе, Хайнц-Дитер; Гермес, Ганс; Хирцебрух, Фридрих (ред.), Числа , Тексты для выпускников по математике 123, Берлин: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-97497-2
• Шипман, Джозеф (2007), «Улучшение фундаментальной теоремы алгебры», Mathematical Intelligencer , vol. 29, нет. 4, стр. 9–14, номер документа : 10.1007/BF02986170, ISSN  0343-6993, S2CID  123089882.
• Смейл, Стив (1981), «Фундаментальная теорема алгебры и теории сложности», Бюллетень Американского математического общества , новая серия, 4 (1): 1–36, doi : 10.1090/S0273-0979-1981-14858-8[3]
• Смит, Дэвид Юджин (1959), Справочник по математике , Дувр , ISBN 978-0-486-64690-9
• Смитис, Фрэнк (2000), «Забытая статья по фундаментальной теореме алгебры», Notes & Records of the Royal Society , vol. 54, нет. 3, стр. 333–341, номер документа : 10.1098/rsnr.2000.0116, ISSN  0035-9149, S2CID  145593806.
• Тейлор, Пол (2 июня 2007 г.), второе доказательство Гаусса основной теоремы алгебры– Английский перевод второго доказательства Гаусса.
• ван дер Варден, Бартель Леендерт (2003), Алгебра , том. Я (7-е изд.), Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-40624-4

Внешние ссылки

• Алгебра, фундаментальная теорема в Энциклопедии математики
• Основная теорема алгебры — сборник доказательств
• От основной теоремы алгебры к астрофизике: «гармоничный» путь
• Первое доказательство Гаусса (на латыни) в Google Книгах
• Первое доказательство Гаусса (на латыни) в Google Книгах
• Доказательство системы Mizar : http://mizar.org/version/current/html/polynom5.html#T74