В математике резольвентный формализм — это метод применения концепций комплексного анализа к изучению спектра операторов в банаховых пространствах и более общих пространствах. Формальное обоснование манипуляций можно найти в рамках голоморфного функционального исчисления .
Резольвента фиксирует спектральные свойства оператора в аналитической структуре функционала . При наличии оператора A резольвента может быть определена как
Помимо прочего, резольвенту можно использовать для решения неоднородных интегральных уравнений Фредгольма ; обычно используемый подход — это решение в виде ряда, ряда Лиувилля–Неймана .
Резольвенту A можно использовать для непосредственного получения информации о спектральном разложении A. Например, предположим, что λ является изолированным собственным значением в спектре A. То есть предположим, что существует простая замкнутая кривая в комплексной плоскости, которая отделяет λ от остальной части спектра A. Тогда остаток
определяет оператор проекции на λ собственное пространство A . Теорема Хилле–Иосиды связывает резольвенту через преобразование Лапласа с интегралом по однопараметрической группе преобразований, порожденных A . [1] Таким образом, например, если A является косоэрмитовой матрицей , то U ( t ) = exp( tA ) является однопараметрической группой унитарных операторов. Всякий раз , когда , резольвента A в z может быть выражена как преобразование Лапласа
где интеграл берется вдоль луча . [2]
Первое крупное использование оператора резольвенты в качестве ряда в A (ср. ряд Лиувилля–Неймана ) было сделано Иваром Фредгольмом в знаменательной статье 1903 года в Acta Mathematica, которая помогла создать современную теорию операторов .
Название «резольвента» было дано Давидом Гильбертом .
Для всех z, w из ρ ( A ) , резольвентного множества оператора A , мы имеем, что первое резольвентное тождество (также называемое тождеством Гильберта) имеет место: [3]
(Обратите внимание, что Данфорд и Шварц , упомянутые выше, определяют резольвенту как ( zI −A ) −1 , поэтому приведенная выше формула отличается по знаку от их формулы.)
Второе резольвентное тождество является обобщением первого резольвентного тождества, приведенного выше, полезного для сравнения резольвент двух различных операторов. При заданных операторах A и B , оба определенных на одном и том же линейном пространстве, и z в ρ ( A ) ∩ ρ ( B ), выполняется следующее тождество, [4]
Доказательство в одну строку выглядит следующим образом:
При изучении замкнутого неограниченного оператора A : H → H в гильбертовом пространстве H , если существует такой, что — компактный оператор , мы говорим, что A имеет компактную резольвенту. Спектр такого A является дискретным подмножеством . Если, кроме того, A является самосопряженным , то и существует ортонормированный базис собственных векторов A с собственными значениями соответственно. Кроме того, не имеет конечной точки накопления . [5]
