Антиподальная точка

Пара диаметрально противоположных точек на окружности, сфере или гиперсфере.

Две точки P и P ' (красные) противоположны , потому что они являются концами диаметра PP ' , сегмента оси a ( фиолетового цвета), проходящего через центр сферы O (черного цвета). P и P ' — полюса большого круга g (зеленого цвета), точки которого равноудалены друг от друга (с центральным прямым углом). Любой большой круг s (синий), проходящий через полюса, вторичен по отношению к g .

В математике две точки сферы ( или n-сферы , включая круг ) называются антиподальными или диаметрально противоположными, если они являются концами диаметра , отрезка прямой между двумя точками на сфере и проходящей через ее центр . ^[1]

Для любой точки на сфере ее антиподальная точка является единственной точкой наибольшего расстояния , независимо от того, измерена ли она внутренне ( расстояние по большому кругу на поверхности сферы) или внешне ( хордальное расстояние через внутреннюю часть сферы). Каждый большой круг на сфере, проходящий через точку, также проходит через свою антиподальную точку, и существует бесконечно много больших кругов, проходящих через пару противоположных точек (в отличие от ситуации для любой неантиподальной пары точек, которая имеет единственный большой круг проходя через оба). Многие результаты в сферической геометрии зависят от выбора неантиподальных точек и вырождаются , если допускаются антиподальные точки; например, сферический треугольник вырождается в неопределенную луну , если две вершины противоположны.

Точка, антиподальная к данной точке, называется ее антиподами , от греческого ἀντίποδες ( антиподы ), что означает «противоположные ноги»; см. Антиподы § Этимология . Иногда буква s опускается, и получается антипод , задняя формация .

Высшая математика

Понятие антиподальных точек распространяется на сферы любого измерения: две точки на сфере являются антиподальными, если они противоположны через центр . Каждая линия, проходящая через центр, пересекает сферу в двух точках, по одной для каждого луча , исходящего из центра, и эти две точки противоположны.

Теорема Борсука-Улама является результатом алгебраической топологии , имеющей дело с такими парами точек. Он говорит, что любая непрерывная функция от до отображает некоторую пару противоположных точек в одну и ту же точку в Здесь обозначает -мерную сферу и -мерное действительное координатное пространство . ${\displaystyle S^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle S^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}.}$ ${\displaystyle S^{n}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle n}$

Антиподальная карта отправляет каждую точку сферы в свою антиподальную точку. Если точки на -сфере представлены как векторы смещения из центра сферы в евклидовом -пространстве, то две антиподальные точки представлены аддитивными инверсиями , и антиподальное отображение может быть определено как Антиподальное отображение сохраняет ориентацию ( гомотопно тождественному отображению ) ^[2] когда нечетно, и меняет его, когда четно. Его степень _ ${\displaystyle A:S^{n}\to S^{n}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle (n+1)}$ ${\displaystyle {\mathbf {v}}}$ ${\displaystyle -{\mathbf {v}},}$ ${\displaystyle A({\mathbf {x}})=-{\mathbf {x}}.}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle (-1)^{n+1}.}$

Если идентифицированы противоположные точки (считающиеся эквивалентными), сфера становится моделью реального проективного пространства .

Смотрите также

• Вырезать локус

Рекомендации

1. Чисхолм, Хью , изд. (1911). «Антиподы»  . Британская энциклопедия . Том. 2 (11-е изд.). Издательство Кембриджского университета. стр. 133–34.
2. В. Гиймен; А. Поллак (1974). Дифференциальная топология . Прентис-Холл.

Внешние ссылки

• «Антиподы», Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]
• «антиподальный». ПланетаМатематика .