Расстояние большого круга

Кратчайшее расстояние между двумя точками на поверхности сферы

Диаграмма, показывающая расстояние по большому кругу (нарисованное красным) между двумя точками на сфере, P и Q. Также показаны две противоположные точки , u и v.

Расстояние по большому кругу , ортодромическое расстояние или сферическое расстояние — это расстояние по большому кругу .

Это кратчайшее расстояние между двумя точками на поверхности сферы , измеренное вдоль поверхности сферы (в отличие от прямой линии, проходящей через внутреннюю часть сферы). Расстояние между двумя точками в евклидовом пространстве есть длина прямой между ними, т. е. длина хорды , но на сфере прямых линий нет. В пространствах с кривизной прямые линии заменяются геодезическими . Геодезические на сфере — это круги на сфере, центры которых совпадают с центром сферы, и называются «большими кругами».

Определение расстояния по большому кругу является частью более общей задачи навигации по большому кругу , которая также вычисляет азимуты в конечных и промежуточных точках пути.

Через любые две точки сферы, не являющиеся противоположными точками (прямо противоположными друг другу), проходит единственный большой круг. Две точки разделяют большой круг на две дуги. Длина более короткой дуги равна расстоянию между точками по большому кругу. Большой круг, наделенный таким расстоянием, в римановой геометрии называется римановым кругом .

Между противоположными точками существует бесконечно много больших кругов, и все дуги большого круга между противоположными точками имеют длину, равную половине окружности круга , или , где r — радиус сферы. ${\displaystyle \pi r}$

Земля имеет почти сферическую форму , поэтому формулы расстояния по большому кругу дают расстояние между точками на поверхности Земли с точностью примерно 0,5% . ^[1]

Формулы

Иллюстрация центрального угла Δσ между двумя точками P и Q. λ и φ — это продольный и широтный углы P соответственно.

Пусть и - географическая долгота и широта двух точек 1 и 2, а - их абсолютные разности; тогда , центральный угол между ними, определяется сферическим законом косинусов, если один из полюсов используется как вспомогательная третья точка на сфере: ^[2] ${\displaystyle \lambda _{1},\phi _{1}}$ ${\displaystyle \lambda _{2},\phi _{2}}$ ${\displaystyle \Delta \lambda ,\Delta \phi }$ ${\displaystyle \Delta \sigma }$

${\displaystyle \Delta \sigma =\arccos {\bigl (}\sin \phi _{1}\sin \phi _{2}+\cos \phi _{1}\cos \phi _{2}\cos \Delta \lambda {\bigr )}.}$

Задача обычно выражается в терминах нахождения центрального угла . Учитывая этот угол в радианах, фактическую длину дуги d на сфере радиуса r можно тривиально вычислить как ${\displaystyle \Delta \sigma }$

${\displaystyle d=r\,\Delta \sigma .}$

Связь между центральным углом и длиной хорды

Центральный угол связан с длиной хорды единичной сферы : ${\displaystyle \Delta \sigma }$ ${\displaystyle \Delta \sigma _{\text{c}}\,\!}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\Delta \sigma &=2\arcsin {\frac {\Delta \sigma _{\text{c}}}{2}},\\\Delta \sigma _{\text{c}}&=2\sin {\frac {\Delta \sigma }{2}}.\end{aligned}}}$

Вычислительные формулы

В компьютерных системах с низкой точностью с плавающей запятой формула сферического закона косинусов может иметь большие ошибки округления , если расстояние небольшое (если две точки находятся на расстоянии километра друг от друга на поверхности Земли, косинус центрального угла близок к 0,99999999). ). Для современных 64-битных чисел с плавающей запятой формула сферического закона косинусов, приведенная выше, не имеет серьезных ошибок округления для расстояний, превышающих несколько метров на поверхности Земли. ^[3] Формула хаверсинуса численно лучше обусловлена ​​для малых расстояний за счет использования соотношения длины хорды: ^[4]

${\displaystyle {\begin{aligned}\Delta \sigma &=\operatorname {archav} \left(\operatorname {hav} \left(\Delta \phi \right)+\left(1-\operatorname {hav} (\Delta \phi )-\operatorname {hav} (\phi _{1}+\phi _{2})\right)\operatorname {hav} \left(\Delta \lambda \right)\right).\end{aligned}}}$

Исторически использование этой формулы упрощалось наличием таблиц для функции гаверсинуса : hav( θ ) = sin ² ( θ /2).

Ниже показана эквивалентная формула, явно выражающая длину хорды:

${\displaystyle {\begin{aligned}\Delta \sigma &=2\arcsin {\frac {\Delta \sigma _{\text{c}}}{2}},\\\Delta \sigma _{\text{c}}&=2{\sqrt {\sin ^{2}{\frac {\Delta \phi }{2}}+\left(\cos ^{2}\phi _{\text{m}}-\sin ^{2}{\frac {\Delta \phi }{2}}\right)\sin ^{2}{\frac {\Delta \lambda }{2}}}},\end{aligned}}}$

где . ${\displaystyle \phi _{\text{m}}={\frac {\phi _{1}+\phi _{2}}{2}}}$

Хотя эта формула точна для большинства расстояний на сфере, она также страдает ошибками округления для особого (и несколько необычного) случая противоположных точек. Формула, точная для всех расстояний, представляет собой следующий частный случай формулы Винсенти для эллипсоида с равными большой и малой осями: ^[5]

${\displaystyle \Delta \sigma =\arctan {\frac {\sqrt {\left(\cos \phi _{2}\sin \Delta \lambda \right)^{2}+\left(\cos \phi _{1}\sin \phi _{2}-\sin \phi _{1}\cos \phi _{2}\cos \Delta \lambda \right)^{2}}}{\sin \phi _{1}\sin \phi _{2}+\cos \phi _{1}\cos \phi _{2}\cos \Delta \lambda }}.}$

Здесь квадрант для должен определяться знаками числителя и знаменателя правой части, например, с помощью функции atan2 . ${\displaystyle \Delta \sigma }$

Векторная версия

Другое представление подобных формул, но с использованием нормальных векторов вместо широты и долготы для описания положений, находится с помощью трехмерной векторной алгебры , используя скалярное произведение , векторное произведение или их комбинацию: ^[6]

${\displaystyle {\begin{aligned}\Delta \sigma &=\arccos \left(\mathbf {n} _{1}\cdot \mathbf {n} _{2}\right)\\&=\arcsin \left|\mathbf {n} _{1}\times \mathbf {n} _{2}\right|\\&=\arctan {\frac {\left|\mathbf {n} _{1}\times \mathbf {n} _{2}\right|}{\mathbf {n} _{1}\cdot \mathbf {n} _{2}}}\\\end{aligned}}}$

где и — нормали к сфере в двух позициях 1 и 2. Подобно приведенным выше уравнениям, основанным на широте и долготе, выражение, основанное на арктанге, является единственным, которое хорошо обусловлено для всех углов . Выражение, основанное на арктанге, требует величины векторного произведения по скалярному произведению. ${\displaystyle \mathbf {n} _{1}}$ ${\displaystyle \mathbf {n} _{2}}$

От длины хорды

Линия, проходящая через трехмерное пространство между точками интереса на сферической Земле , является хордой большого круга между точками. Центральный угол между двумя точками можно определить по длине хорды. Расстояние по большому кругу пропорционально центральному углу.

Длину хорды большого круга можно вычислить для соответствующей единичной сферы посредством декартова вычитания следующим образом : ${\displaystyle \Delta \sigma _{\text{c}}\,\!}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\Delta {X}&=\cos \phi _{2}\cos \lambda _{2}-\cos \phi _{1}\cos \lambda _{1};\\\Delta {Y}&=\cos \phi _{2}\sin \lambda _{2}-\cos \phi _{1}\sin \lambda _{1};\\\Delta {Z}&=\sin \phi _{2}-\sin \phi _{1};\\\Delta \sigma _{\text{c}}&={\sqrt {(\Delta {X})^{2}+(\Delta {Y})^{2}+(\Delta {Z})^{2}}}.\end{aligned}}}$

Радиус сферической Земли

Экваториальный ( а ), полярный ( б ) и средний радиусы Земли, как они определены в редакции Всемирной геодезической системы 1984 года . ( Не в масштабе .)

Форма Земли очень напоминает приплюснутую сферу ( сфероид ) с экваториальным радиусом 6378,137 км; расстояние от центра сфероида до каждого полюса равно 6356,7523142 км. При расчете длины короткой линии север-юг на экваторе круг, который лучше всего приближает эту линию, имеет радиус (который равен полуширотной прямой кишке меридиана ) или 6335,439 км, в то время как сфероид на полюсах лучше всего аппроксимируется. на сферу радиусом , или 6399,594 км, разница 1%. Пока предполагается, что Земля имеет сферическую форму, любая отдельная формула для определения расстояния на Земле гарантированно верна только в пределах 0,5% (хотя возможна более высокая точность, если формула предназначена только для применения к ограниченной области). Использование среднего радиуса Земли ( для эллипсоида WGS84 ) означает, что в пределе небольшого уплощения среднеквадратическая относительная ошибка в оценках расстояния минимизируется. ^[7] ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\textstyle {\frac {b^{2}}{a}}}$ ${\textstyle {\frac {a^{2}}{b}}}$ ${\textstyle R_{1}={\frac {1}{3}}(2a+b)\approx 6371.009{\text{ km}}}$

Смотрите также

• Аэронавигация
• Угловое расстояние
• Кругосветное плавание
• Планирование полета
• Геодезия
• Геодезические на эллипсоиде
• Геодезическая система
• Географическое расстояние
• изоазимутальный
• Локсодромная навигация
• Меридианная дуга
• Румпельная линия
• Сферическая геометрия
• Сферическая тригонометрия

Ссылки и примечания

1. Адмиралтейское руководство по навигации, том 1, Канцелярский офис, 1987, стр. 10, ISBN 9780117728806, Ошибки, возникающие при предположении, что Земля имеет сферическую форму, исходя из международной морской мили, составляют не более 0,5% для широты и 0,2% для долготы.
2. Келлс, Лайман М.; Керн, Уиллис Ф.; Бланд, Джеймс Р. (1940). Плоская и сферическая тригонометрия. McGraw Hill Book Company, Inc., стр. 323–326 . Проверено 13 июля 2018 г.
3. «Рассчитать расстояние, азимут и многое другое между точками широты и долготы» . Проверено 10 августа 2013 г.
4. Синнотт, Роджер В. (август 1984 г.). «Достоинства Гаверсина». Небо и телескоп . 68 (2): 159.
5. Винсенти, Таддеус (1 апреля 1975 г.). «Прямые и обратные решения геодезических на эллипсоиде с применением вложенных уравнений» (PDF) . Обзор опроса . Кингстон-роуд, Толворт, Суррей: Управление зарубежных исследований . 23 (176): 88–93. дои : 10.1179/sre.1975.23.176.88 . Проверено 21 июля 2008 г.
6. Гейд, Кеннет (2010). «Неособое представление горизонтального положения» (PDF) . Журнал навигации . Издательство Кембриджского университета. 63 (3): 395–417. дои : 10.1017/S0373463309990415.
7. Маккоу, GT (1932). «Длинные очереди на Земле». Обзор обзора империи . 1 (6): 259–263. дои : 10.1179/sre.1932.1.6.259.

Внешние ссылки

• GreatCircle в MathWorld