Векторное исчисление

Исчисление векторных функций

Векторное исчисление , или векторный анализ , представляет собой разновидность высшей математики, которая имеет практическое применение в физике и технике . Это связано с дифференциацией и интеграцией векторных полей , прежде всего в 3-мерном евклидовом пространстве . Термин векторное исчисление иногда используется как синоним более широкого предмета исчисления с множеством переменных , который охватывает векторное исчисление, а также частичное дифференцирование и множественную интеграцию . Векторное исчисление играет важную роль в дифференциальной геометрии и при изучении уравнений в частных производных . Он широко используется в физике и технике, особенно при описании электромагнитных полей , гравитационных полей и потоков жидкости . ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}.}$

Векторное исчисление было разработано на основе анализа кватернионов Дж. Уиллардом Гиббсом и Оливером Хевисайдом ближе к концу XIX века, а большая часть обозначений и терминологии была установлена ​​Гиббсом и Эдвином Бидвеллом Уилсоном в их книге 1901 года «Векторный анализ» . В традиционной форме с использованием векторных произведений векторное исчисление не обобщается на более высокие измерения, в то время как альтернативный подход геометрической алгебры , который использует внешние произведения , делает это ( подробнее см. § Обобщения ниже).

Базовые объекты

Скалярные поля

Скалярное поле связывает скалярное значение с каждой точкой пространства. Скаляр — это математическое число , представляющее физическую величину . Примеры скалярных полей в приложениях включают распределение температуры в пространстве, распределение давления в жидкости и квантовые поля с нулевым спином (известные как скалярные бозоны ), такие как поле Хиггса . Эти поля являются предметом скалярной теории поля .

Векторные поля

Векторное поле — это присвоение вектора каждой точке пространства . ^[1] Например, векторное поле на плоскости можно представить как набор стрел с заданной величиной и направлением, каждая из которых прикреплена к точке на плоскости. Векторные поля часто используются для моделирования, например, скорости и направления движущейся жидкости в пространстве или силы и направления некоторой силы , такой как магнитная или гравитационная сила, когда она меняется от точки к точке. Это можно использовать, например, для расчета работы , проделанной на линии.

Векторы и псевдовекторы

В более продвинутых методах лечения дополнительно различают псевдовекторные поля и псевдоскалярные поля, которые идентичны векторным полям и скалярным полям, за исключением того, что они меняют знак при отображении, меняющем ориентацию: например, ротор векторного поля является псевдовекторным полем, а если отражать векторное поле, то завиток указывает в противоположном направлении. Это различие уточняется и разрабатывается в геометрической алгебре , как описано ниже.

Векторная алгебра

Алгебраические (недифференциальные) операции в векторном исчислении называются векторной алгеброй , определяются для векторного пространства и затем поточечно применяются к векторному полю. Основные алгебраические операции состоят из:

Также обычно используются два тройных продукта :

Операторы и теоремы

Дифференциальные операторы

Векторное исчисление изучает различные дифференциальные операторы , определенные в скалярных или векторных полях, которые обычно выражаются с помощью оператора del ( ), также известного как «набла». Три основных векторных оператора : ^[2] ${\displaystyle \nabla }$

Также часто используются два оператора Лапласа:

Величина, называемая матрицей Якобиана , полезна для изучения функций, когда и область определения, и диапазон функции являются многопараметрическими, например, при замене переменных во время интегрирования.

Интегральные теоремы

Три основных векторных оператора имеют соответствующие теоремы, которые обобщают фундаментальную теорему исчисления на более высокие измерения:

В двух измерениях теоремы о дивергенции и роторе сводятся к теореме Грина:

Приложения

Линейные приближения

Линейные приближения используются для замены сложных функций почти одинаковыми линейными функциями. Учитывая дифференцируемую функцию f ( x , y ) с действительными значениями, можно аппроксимировать f ( x , y ) для ( x , y ) близкого к ( a , b ) по формуле

${\displaystyle f(x,y)\ \approx \ f(a,b)+{\tfrac {\partial f}{\partial x}}(a,b)\,(x-a)+{\tfrac {\partial f}{\partial y}}(a,b)\,(y-b).}$

Правая часть представляет собой уравнение плоскости, касательной к графику z = f ( x , y ) в точке ( a , b ) .

Оптимизация

Для непрерывно дифференцируемой функции нескольких действительных переменных точка P (то есть набор значений входных переменных, который рассматривается как точка в R ⁿ ) является критической, если все частные производные функции равны нулю в точке P или, что то же самое, если его градиент равен нулю. Критические значения — это значения функции в критических точках.

Если функция гладкая или, по крайней мере, дважды непрерывно дифференцируемая, критическая точка может быть либо локальным максимумом , либо локальным минимумом , либо седловой точкой . Различные случаи можно отличить, рассматривая собственные значения матрицы Гессе вторых производных.

По теореме Ферма все локальные максимумы и минимумы дифференцируемой функции встречаются в критических точках. Поэтому для нахождения локальных максимумов и минимумов теоретически достаточно вычислить нули градиента и собственные значения матрицы Гессе в этих нулях.

Физика и инженерия

Векторное исчисление особенно полезно при изучении:

• Центр массы
• Теория поля
• Кинематика
• Уравнения Максвелла

Обобщения

Векторное исчисление также можно обобщить на другие трехмерные многообразия и пространства более высоких измерений .

Различные 3-многообразия

Векторное исчисление первоначально определено для евклидова 3-пространства , которое имеет дополнительную структуру, помимо простого трехмерного реального векторного пространства, а именно: норму ( дающую понятие длины), определенную через скалярное произведение , которое в поворот дает понятие угла, а ориентация дает представление о левостороннем и правостороннем повороте. Эти структуры порождают форму объема , а также векторное произведение , которое широко используется в векторном исчислении. ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3},}$

Градиент и дивергенция требуют только внутреннего продукта, в то время как ротор и векторное произведение также требуют учета направленности системы координат ( более подробно см. Взаимное произведение § Руководство ).

Векторное исчисление может быть определено в других трехмерных действительных векторных пространствах, если они имеют скалярный продукт (или, в более общем смысле, симметричную невырожденную форму ) и ориентацию; это меньше данных, чем изоморфизм евклидова пространства, поскольку он не требует набора координат (системы отсчета), что отражает тот факт, что векторное исчисление инвариантно относительно вращений (специальная ортогональная группа SO(3) ).

В более общем смысле векторное исчисление может быть определено на любом трехмерном ориентированном римановом многообразии или, в более общем смысле, на псевдоримановом многообразии . Эта структура просто означает, что касательное пространство в каждой точке имеет внутренний продукт (в более общем смысле, симметричную невырожденную форму) и ориентацию или, в более глобальном смысле, что существует симметричный невырожденный метрический тензор и ориентация, и работает, потому что определено векторное исчисление. через касательные векторы в каждой точке.

Другие размеры

Большинство аналитических результатов легко понять в более общей форме, используя аппарат дифференциальной геометрии , подмножеством которой является векторное исчисление. Grad и div немедленно обобщаются на другие измерения, как и теорема о градиенте, теорема о дивергенции и лапласиан (приводящая к гармоническому анализу ), в то время как ротор и векторное произведение не обобщаются так напрямую.

С общей точки зрения различные поля в (3-мерном) векторном исчислении единообразно рассматриваются как k -векторные поля: скалярные поля - это 0-векторные поля, векторные поля - это 1-векторные поля, псевдовекторные поля - это 2-векторные поля. поля, а псевдоскалярные поля являются 3-векторными полями. В более высоких измерениях существуют дополнительные типы полей (скалярные, векторные, псевдовекторные или псевдоскалярные, соответствующие измерениям 0 , 1 , n - 1 или n , что является исчерпывающим в размерности 3), поэтому нельзя работать только с (псевдо)скалярами и ( псевдо)векторы.

В любом измерении, принимая невырожденный вид, grad скалярной функции является векторным полем, а div векторного поля является скалярной функцией, но только в размерности 3 или 7 ^[3] (и, тривиально, в размерности 0 или 1 ) является ротором векторного поля, векторным полем, и только в 3 или 7 измерениях можно определить векторное произведение (обобщения в других размерностях либо требуют, чтобы векторы давали 1 вектор, либо являются альтернативными алгебрами Ли , которые являются более общими антисимметричными билинейными продукты). Обобщение grad и div, а также то, как можно обобщить Curl, подробно описано в разделе Curl § Generalizations ; Короче говоря, ротор векторного поля - это бивекторное поле, которое можно интерпретировать как специальную ортогональную алгебру Ли бесконечно малых вращений; однако это нельзя отождествить с векторным полем, потому что измерения различаются - существует 3 измерения вращения в 3 измерениях, но 6 измерений вращения в 4 измерениях (и, в более общем смысле, измерения вращения в n измерениях). ${\displaystyle n-1}$ ${\displaystyle \textstyle {{\binom {n}{2}}={\frac {1}{2}}n(n-1)}}$

Есть два важных альтернативных обобщения векторного исчисления. Первая, геометрическая алгебра , использует k -векторные поля вместо векторных полей (в трех или менее измерениях каждое k -векторное поле может быть идентифицировано со скалярной функцией или векторным полем, но это неверно в более высоких измерениях). Это заменяет векторное произведение, которое характерно для трех измерений и принимает два векторных поля и выдает на выходе векторное поле, на внешнее произведение , которое существует во всех измерениях и принимает два векторных поля, выдавая на выходе бивектор (2 -векторное) поле. Этот продукт дает алгебры Клиффорда как алгебраическую структуру в векторных пространствах (с ориентацией и невырожденной формой). Геометрическая алгебра в основном используется при обобщении физики и других прикладных областей на более высокие измерения.

Второе обобщение использует дифференциальные формы ( k -ковекторные поля) вместо векторных полей или k -векторных полей и широко используется в математике, особенно в дифференциальной геометрии , геометрической топологии и гармоническом анализе , в частности, дает теорию Ходжа на ориентированных псевдо- Римановы многообразия. С этой точки зрения grad, ротор и div соответствуют внешней производной 0-форм, 1-форм и 2-форм соответственно, а все ключевые теоремы векторного исчисления являются частными случаями общей формы Стокса. 'теорема .

С точки зрения обоих этих обобщений векторное исчисление неявно идентифицирует математически различные объекты, что делает представление более простым, но лежащую в основе математическую структуру и обобщения менее ясным. С точки зрения геометрической алгебры векторное исчисление неявно отождествляет k -векторные поля с векторными полями или скалярными функциями: 0-векторы и 3-векторы со скалярами, 1-векторы и 2-векторы с векторами. С точки зрения дифференциальных форм векторное исчисление неявно отождествляет k -формы со скалярными или векторными полями: 0-формы и 3-формы со скалярными полями, 1-формы и 2-формы с векторными полями. Так, например, ротор естественным образом принимает на вход векторное поле или 1-форму, но естественным образом имеет на выходе 2-векторное поле или 2-форму (следовательно, псевдовекторное поле), которое затем интерпретируется как векторное поле, а не принимается напрямую. векторное поле в векторное поле; это отражается в искривлении векторного поля в более высоких измерениях, не имеющих на выходе векторного поля.

Смотрите также

• Действительная функция
• Функция действительной переменной
• Функция нескольких действительных переменных
• Тождества векторного исчисления
• Отношения векторной алгебры
• Del в цилиндрических и сферических координатах
• Производная по направлению
• Консервативное векторное поле
• Соленоидальное векторное поле
• Лапласово векторное поле
• Разложение Гельмгольца
• Ортогональные координаты
• Наклон координат
• Криволинейные координаты
• Тензор
• Геометрическое исчисление

Рекомендации

Цитаты

1. Гальбис, Антонио; Маэстре, Мануэль (2012). Векторный анализ против векторного исчисления. Спрингер. п. 12. ISBN 978-1-4614-2199-3.
2. «Дифференциальные операторы». Математика24 . Проверено 17 сентября 2020 г.
3. Личжун Пэн и Лэй Ян (1999) «Ротор в семимерном пространстве и его приложения», Теория приближения и ее приложения 15 (3): от 66 до 80 doi : 10.1007/BF02837124

Источники

• Сандро Капаррини (2002) «Открытие векторного представления моментов и угловой скорости», Архив истории точных наук 56: 151–81.
• Кроу, Майкл Дж. (1967). История векторного анализа: эволюция идеи векторной системы (переиздание). Дуврские публикации. ISBN 978-0-486-67910-5.
• Марсден, Дж. Э. (1976). Векторное исчисление . WH Freeman & Company. ISBN 978-0-7167-0462-1.
• Шей, Х.М. (2005). Div Grad Curl и все такое: неофициальный текст по векторному исчислению . WW Нортон и компания. ISBN 978-0-393-92516-6.
• Барри Спейн (1965) Векторный анализ, 2-е издание, ссылка из Интернет-архива .
• Чен-То Тай (1995). Историческое исследование векторного анализа . Технический отчет RL 915, Радиационная лаборатория Мичиганского университета.

Внешние ссылки

• Фейнмановские лекции по физике Vol. II гл. Глава 2: Дифференциальное исчисление векторных полей
• «Векторный анализ», Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]
• «Векторная алгебра», Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]
• Обзор неправильного использования ∇ в векторном анализе (1994) Тай, Чен-То
• Векторный анализ: учебник для студентов-математиков и физиков (на основе лекций Уилларда Гиббса ) Эдвина Бидвелла Уилсона , опубликованный в 1902 году.