Кинематика

Раздел физики, описывающий движение объектов без учета сил.

Кинематика — это подраздел физики и математики , разработанный в классической механике , который описывает движение точек, тел (объектов) и систем тел (групп объектов) без учета сил , которые заставляют их двигаться. ^{[1] [2] [3]} Кинематика, как область изучения, часто упоминается как «геометрия движения» и иногда рассматривается как раздел как прикладной, так и чистой математики, поскольку ее можно изучать без учета массы тела или сил, действующих на него. ^{[4] [5] [6]} Задача кинематики начинается с описания геометрии системы и объявления начальных условий любых известных значений положения, скорости и/или ускорения точек внутри системы. Затем, используя аргументы из геометрии, можно определить положение, скорость и ускорение любых неизвестных частей системы. Изучение того, как силы действуют на тела, относится к кинетике , а не кинематике. Для получения более подробной информации см. аналитическую динамику .

Кинематика используется в астрофизике для описания движения небесных тел и совокупностей таких тел. В машиностроении , робототехнике и биомеханике ^[7] кинематика используется для описания движения систем, состоящих из соединенных частей (многозвенных систем), таких как двигатель , роботизированная рука или человеческий скелет .

Геометрические преобразования, также называемые жесткими преобразованиями , используются для описания движения компонентов в механической системе , упрощая вывод уравнений движения. Они также являются центральными для динамического анализа .

Кинематический анализ — это процесс измерения кинематических величин, используемых для описания движения. Например, в инженерии кинематический анализ может использоваться для нахождения диапазона движения для данного механизма и, работая в обратном направлении, использовать кинематический синтез для проектирования механизма для желаемого диапазона движения. ^[8] Кроме того, кинематика применяет алгебраическую геометрию для изучения механического преимущества механической системы или механизма.

Этимология

Термин «кинематический» является английской версией термина AM Ampère cinématique [ ^9] , который он создал из греческого κίνημα kinema («движение, перемещение»), которое в свою очередь произошло от κινεῖν kinein («двигаться»). ^{[10] [11]}

Kinematic и cinématique связаны с французским словом cinéma, но ни одно из них не произошло от него напрямую. Однако у них есть общий корень, так как cinéma произошло от сокращенной формы cinématographe, «кинопроектор и камера», опять же от греческого слова, обозначающего движение, и от греческого γρᾰ́φω grapho («писать»). ^[12]

Кинематика траектории частицы в невращающейся системе отсчета

Кинематические величины классической частицы: масса m , положение r , скорость v , ускорение a .

Кинематические векторы в плоских полярных координатах. Обратите внимание, что настройка не ограничена двумерным пространством, а плоскостью в любом более высоком измерении.

Кинематика частиц — это изучение траектории частиц. Положение частицы определяется как вектор координат от начала координатной системы до частицы. Например, рассмотрим башню в 50 м к югу от вашего дома, где центр координатной системы находится в вашем доме, так что восток находится в направлении оси x , а север — в направлении оси y , тогда вектор координат до основания башни равен r = (0 м, −50 м, 0 м). Если высота башни составляет 50 м, и эта высота измеряется вдоль оси z , то вектор координат до вершины башни равен r = (0 м, −50 м, 50 м).

В самом общем случае для определения положения частицы используется трехмерная система координат. Однако, если частица ограничена движением в плоскости, то достаточно двухмерной системы координат. Все наблюдения в физике неполны, если они не описаны относительно системы отсчета.

Вектор положения частицы — это вектор, проведенный из начала системы отсчета к частице. Он выражает как расстояние точки от начала координат, так и ее направление от начала координат. В трех измерениях вектор положения можно выразить как где , , и — декартовы координаты , а , и — единичные векторы вдоль осей координат , , и соответственно. Величина вектора положения дает расстояние между точкой и началом координат. Направляющие косинусы вектора положения обеспечивают количественную меру направления. В общем случае вектор положения объекта будет зависеть от системы отсчета; разные системы отсчета приведут к разным значениям вектора положения. ${\displaystyle {\bf {r}}}$ $${\displaystyle \mathbf {r} =(x,y,z)=x{\hat {\mathbf {x} }}+y{\hat {\mathbf {y} }}+z{\hat {\mathbf {z} }},}$$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle {\hat {\mathbf {x} }}}$ ${\displaystyle {\hat {\mathbf {y} }}}$ ${\displaystyle {\hat {\mathbf {z} }}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle \left|\mathbf {r} \right|}$ ${\displaystyle \mathbf {r} }$ $${\displaystyle |\mathbf {r} |={\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}}}.}$$

Траектория частицы является векторной функцией времени , которая определяет кривую, прокладываемую движущейся частицей, заданную соотношением, где , , и описывают каждую координату положения частицы как функцию времени. ${\displaystyle \mathbf {r} (t)}$ $${\displaystyle \mathbf {r} (t)=x(t){\hat {\mathbf {x} }}+y(t){\hat {\mathbf {y} }}+z(t){\hat {\mathbf {z} }},}$$ ${\displaystyle x(t)}$ ${\displaystyle y(t)}$ ${\displaystyle z(t)}$

Пройденное расстояние всегда больше или равно перемещению.

Скорость и быстрота

Скорость частицы — это векторная величина, которая описывает направление , а также величину движения частицы. Более математически, скорость изменения вектора положения точки по времени — это скорость точки. Рассмотрим отношение, образованное путем деления разности двух положений частицы ( смещение ) на временной интервал. Это отношение называется средней скоростью за этот временной интервал и определяется как где — вектор смещения за временной интервал . В пределе, когда временной интервал стремится к нулю, средняя скорость приближается к мгновенной скорости, определяемой как производная по времени вектора положения. Таким образом, скорость частицы — это скорость изменения ее положения по времени. Кроме того, эта скорость касается траектории частицы в каждой точке ее пути. В невращающейся системе отсчета производные направлений координат не рассматриваются, поскольку их направления и величины являются константами. $${\displaystyle \mathbf {\bar {v}} ={\frac {\Delta \mathbf {r} }{\Delta t}}={\frac {\Delta x}{\Delta t}}{\hat {\mathbf {x} }}+{\frac {\Delta y}{\Delta t}}{\hat {\mathbf {y} }}+{\frac {\Delta z}{\Delta t}}{\hat {\mathbf {z} }}={\bar {v}}_{x}{\hat {\mathbf {x} }}+{\bar {v}}_{y}{\hat {\mathbf {y} }}+{\bar {v}}_{z}{\hat {\mathbf {z} }}\,}$$ ${\displaystyle \Delta \mathbf {r} }$ ${\displaystyle \Delta t}$ ${\displaystyle \Delta t}$ $${\displaystyle \mathbf {v} =\lim _{\Delta t\to 0}{\frac {\Delta \mathbf {r} }{\Delta t}}={\frac {{\text{d}}\mathbf {r} }{{\text{d}}t}}=v_{x}{\hat {\mathbf {x} }}+v_{y}{\hat {\mathbf {y} }}+v_{z}{\hat {\mathbf {z} }}.}$$

Скорость объекта — это величина его скорости. Это скалярная величина: где — длина дуги, измеренная вдоль траектории частицы. Эта длина дуги должна всегда увеличиваться по мере движения частицы. Следовательно, неотрицательна , что подразумевает, что скорость также неотрицательна. $${\displaystyle v=|\mathbf {v} |={\frac {{\text{d}}s}{{\text{d}}t}},}$$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle {\text{d}}s/{\text{d}}t}$

Ускорение

Вектор скорости может изменяться по величине и направлению или по обоим параметрам одновременно. Следовательно, ускорение учитывает как скорость изменения величины вектора скорости, так и скорость изменения направления этого вектора. Те же рассуждения, которые использовались в отношении положения частицы для определения скорости, можно применить к скорости для определения ускорения. Ускорение частицы — это вектор, определяемый скоростью изменения вектора скорости. Среднее ускорение частицы за интервал времени определяется как отношение. где Δ v — средняя скорость, а Δ t — интервал времени. $${\displaystyle \mathbf {\bar {a}} ={\frac {\Delta \mathbf {\bar {v}} }{\Delta t}}={\frac {\Delta {\bar {v}}_{x}}{\Delta t}}{\hat {\mathbf {x} }}+{\frac {\Delta {\bar {v}}_{y}}{\Delta t}}{\hat {\mathbf {y} }}+{\frac {\Delta {\bar {v}}_{z}}{\Delta t}}{\hat {\mathbf {z} }}={\bar {a}}_{x}{\hat {\mathbf {x} }}+{\bar {a}}_{y}{\hat {\mathbf {y} }}+{\bar {a}}_{z}{\hat {\mathbf {z} }}\,}$$

Ускорение частицы является пределом среднего ускорения, когда интервал времени приближается к нулю, что является производной по времени, $${\displaystyle \mathbf {a} =\lim _{\Delta t\to 0}{\frac {\Delta \mathbf {v} }{\Delta t}}={\frac {{\text{d}}\mathbf {v} }{{\text{d}}t}}=a_{x}{\hat {\mathbf {x} }}+a_{y}{\hat {\mathbf {y} }}+a_{z}{\hat {\mathbf {z} }}.}$$

В качестве альтернативы, $${\displaystyle \mathbf {a} =\lim _{(\Delta t)^{2}\to 0}{\frac {\Delta \mathbf {r} }{(\Delta t)^{2}}}={\frac {{\text{d}}^{2}\mathbf {r} }{{\text{d}}t^{2}}}=a_{x}{\hat {\mathbf {x} }}+a_{y}{\hat {\mathbf {y} }}+a_{z}{\hat {\mathbf {z} }}.}$$

Таким образом, ускорение является первой производной вектора скорости и второй производной вектора положения этой частицы. В невращающейся системе отсчета производные направлений координат не рассматриваются, поскольку их направления и величины являются константами.

Величина ускорения объекта — это величина | a | вектора его ускорения. Это скалярная величина: $${\displaystyle |\mathbf {a} |=|{\dot {\mathbf {v} }}|={\frac {{\text{d}}v}{{\text{d}}t}}.}$$

Вектор относительного положения

Вектор относительного положения — это вектор, который определяет положение одной точки относительно другой. Это разница в положении двух точек. Положение одной точки A относительно другой точки B — это просто разница между их положениями

${\displaystyle \mathbf {r} _{A/B}=\mathbf {r} _{A}-\mathbf {r} _{B}}$

что представляет собой разницу между компонентами их векторов положения.

Если точка А имеет компоненты положения ${\displaystyle \mathbf {r} _{A}=\left(x_{A},y_{A},z_{A}\right)}$

и точка B имеет компоненты положения ${\displaystyle \mathbf {r} _{B}=\left(x_{B},y_{B},z_{B}\right)}$

тогда положение точки А относительно точки В равно разности их компонентов: ${\displaystyle \mathbf {r} _{A/B}=\mathbf {r} _{A}-\mathbf {r} _{B}=\left(x_{A}-x_{B},y_{A}-y_{B},z_{A}-z_{B}\right)}$

Относительная скорость

Относительные скорости между двумя частицами в классической механике.

Скорость одной точки относительно другой — это просто разность их скоростей, которая, в свою очередь, является разностью компонентов их скоростей. $${\displaystyle \mathbf {v} _{A/B}=\mathbf {v} _{A}-\mathbf {v} _{B}}$$

Если точка A имеет компоненты скорости , а точка B имеет компоненты скорости , то скорость точки A относительно точки B равна разности их компонентов: ${\displaystyle \mathbf {v} _{A}=\left(v_{A_{x}},v_{A_{y}},v_{A_{z}}\right)}$ ${\displaystyle \mathbf {v} _{B}=\left(v_{B_{x}},v_{B_{y}},v_{B_{z}}\right)}$ ${\displaystyle \mathbf {v} _{A/B}=\mathbf {v} _{A}-\mathbf {v} _{B}=\left(v_{A_{x}}-v_{B_{x}},v_{A_{y}}-v_{B_{y}},v_{A_{z}}-v_{B_{z}}\right)}$

В качестве альтернативы этот же результат можно получить, вычислив производную по времени вектора относительного положения r _B/A .

Относительное ускорение

Ускорение одной точки C относительно другой точки B — это просто разность их ускорений, которая представляет собой разность между компонентами их ускорений. $${\displaystyle \mathbf {a} _{C/B}=\mathbf {a} _{C}-\mathbf {a} _{B}}$$

Если точка C имеет компоненты ускорения , а точка B имеет компоненты ускорения , то ускорение точки C относительно точки B равно разности их компонентов: ${\displaystyle \mathbf {a} _{C}=\left(a_{C_{x}},a_{C_{y}},a_{C_{z}}\right)}$ ${\displaystyle \mathbf {a} _{B}=\left(a_{B_{x}},a_{B_{y}},a_{B_{z}}\right)}$ ${\displaystyle \mathbf {a} _{C/B}=\mathbf {a} _{C}-\mathbf {a} _{B}=\left(a_{C_{x}}-a_{B_{x}},a_{C_{y}}-a_{B_{y}},a_{C_{z}}-a_{B_{z}}\right)}$

В качестве альтернативы этот же результат можно получить, вычислив вторую производную по времени относительного вектора положения r _B/A . ^[13]

Предполагая, что начальные условия положения , и скорости в момент времени известны, первое интегрирование дает скорость частицы как функцию времени. ^[a] ${\displaystyle \mathbf {r} _{0}}$ ${\displaystyle \mathbf {v} _{0}}$ ${\displaystyle t=0}$ $${\displaystyle \mathbf {v} (t)=\mathbf {v} _{0}+\int _{0}^{t}\mathbf {a} \,{\text{d}}\tau =\mathbf {v} _{0}+\mathbf {a} t.}$$

Второе интегрирование дает его путь (траекторию), $${\displaystyle \mathbf {r} (t)=\mathbf {r} _{0}+\int _{0}^{t}\mathbf {v} (\tau )\,{\text{d}}\tau =\mathbf {r} _{0}+\int _{0}^{t}\left(\mathbf {v} _{0}+\mathbf {a} \tau \right){\text{d}}\tau =\mathbf {r} _{0}+\mathbf {v} _{0}t+{\tfrac {1}{2}}\mathbf {a} t^{2}.}$$

Дополнительные соотношения между смещением, скоростью, ускорением и временем могут быть получены. Поскольку ускорение постоянно, его можно подставить в приведенное выше уравнение, чтобы получить: $${\displaystyle \mathbf {a} ={\frac {\Delta \mathbf {v} }{\Delta t}}={\frac {\mathbf {v} -\mathbf {v} _{0}}{t}}}$$ $${\displaystyle \mathbf {r} (t)=\mathbf {r} _{0}+\left({\frac {\mathbf {v} +\mathbf {v} _{0}}{2}}\right)t.}$$

Связь между скоростью, положением и ускорением без явной зависимости от времени можно получить, решив среднее ускорение по времени и подставив и упростив

$${\displaystyle t={\frac {\mathbf {v} -\mathbf {v} _{0}}{\mathbf {a} }}}$$

$${\displaystyle \left(\mathbf {r} -\mathbf {r} _{0}\right)\cdot \mathbf {a} =\left(\mathbf {v} -\mathbf {v} _{0}\right)\cdot {\frac {\mathbf {v} +\mathbf {v} _{0}}{2}}\ ,}$$где обозначает скалярное произведение , что вполне уместно, поскольку произведения являются скалярами, а не векторами. ${\displaystyle \cdot }$ $${\displaystyle 2\left(\mathbf {r} -\mathbf {r} _{0}\right)\cdot \mathbf {a} =|\mathbf {v} |^{2}-|\mathbf {v} _{0}|^{2}.}$$

Скалярное произведение можно заменить косинусом угла α между векторами ( подробнее см. Геометрическую интерпретацию скалярного произведения ), а векторы — их величинами, в этом случае: $${\displaystyle 2\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} _{0}\right|\left|\mathbf {a} \right|\cos \alpha =|\mathbf {v} |^{2}-|\mathbf {v} _{0}|^{2}.}$$

В случае, если ускорение всегда направлено в сторону движения, а направление движения должно быть положительным или отрицательным, угол между векторами ( α ) равен 0, поэтому и Это можно упростить, используя обозначение для величин векторов ^{[ требуется ссылка ]} , где может быть любой криволинейной траекторией, поскольку постоянное тангенциальное ускорение приложено вдоль этой траектории ^{[ требуется ссылка ]} , поэтому ${\displaystyle \cos 0=1}$ $${\displaystyle |\mathbf {v} |^{2}=|\mathbf {v} _{0}|^{2}+2\left|\mathbf {a} \right|\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} _{0}\right|.}$$ ${\displaystyle |\mathbf {a} |=a,|\mathbf {v} |=v,|\mathbf {r} -\mathbf {r} _{0}|=\Delta r}$ ${\displaystyle \Delta r}$ $${\displaystyle v^{2}=v_{0}^{2}+2a\Delta r.}$$

Это сводит параметрические уравнения движения частицы к декартовой зависимости скорости от положения. Эта зависимость полезна, когда время неизвестно. Мы также знаем, что или — это площадь под графиком скорости–времени. ^[15] ${\textstyle \Delta r=\int v\,{\text{d}}t}$ ${\displaystyle \Delta r}$

График физики скорости и времени

Мы можем взять , сложив верхнюю площадь и нижнюю площадь. Нижняя площадь представляет собой прямоугольник, а площадь прямоугольника равна , где — ширина, а — высота. В этом случае и ( здесь отличается от ускорения ). Это означает, что нижняя площадь равна . Теперь давайте найдем верхнюю площадь (треугольник). Площадь треугольника равна , где — основание, а — высота. ^[16] В этом случае и или . Добавление и в результате в уравнении приводит к уравнению . ^[17] Это уравнение применимо, когда конечная скорость v неизвестна. ${\displaystyle \Delta r}$ ${\displaystyle A\cdot B}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle A=t}$ ${\displaystyle B=v_{0}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle tv_{0}}$ ${\textstyle {\frac {1}{2}}BH}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle B=t}$ ${\displaystyle H=at}$ ${\textstyle A={\frac {1}{2}}BH={\frac {1}{2}}att={\frac {1}{2}}at^{2}={\frac {at^{2}}{2}}}$ ${\displaystyle v_{0}t}$ ${\textstyle {\frac {at^{2}}{2}}}$ ${\displaystyle \Delta r}$ ${\textstyle \Delta r=v_{0}t+{\frac {at^{2}}{2}}}$

Рисунок 2: Скорость и ускорение для неравномерного кругового движения: вектор скорости направлен по касательной к орбите, но вектор ускорения не направлен радиально внутрь из-за его тангенциальной составляющей a _θ , которая увеличивает скорость вращения: d ω /d t = | a _θ |/ R .

Траектории частиц в цилиндрически-полярных координатах

Часто бывает удобно сформулировать траекторию частицы r ( t ) = ( x ( t ), y ( t ), z ( t )) с помощью полярных координат в плоскости X – Y. В этом случае ее скорость и ускорение принимают удобный вид.

Напомним, что траектория частицы P определяется ее координатным вектором r, измеренным в неподвижной системе отсчета F. По мере движения частицы ее координатный вектор r ( t ) описывает ее траекторию, которая представляет собой кривую в пространстве, заданную формулой: где x̂ , ŷ , и ẑ — единичные векторы вдоль осей x , y и z системы отсчета F соответственно. $${\displaystyle \mathbf {r} (t)=x(t){\hat {\mathbf {x} }}+y(t){\hat {\mathbf {y} }}+z(t){\hat {\mathbf {z} }},}$$

Рассмотрим частицу P , которая движется только по поверхности кругового цилиндра r ( t ) = const, можно совместить ось z неподвижной системы отсчета F с осью цилиндра. Тогда угол θ вокруг этой оси в плоскости x – y можно использовать для определения траектории как, где постоянное расстояние от центра обозначается как r , а θ ( t ) является функцией времени. $${\displaystyle \mathbf {r} (t)=r\cos(\theta (t)){\hat {\mathbf {x} }}+r\sin(\theta (t)){\hat {\mathbf {y} }}+z(t){\hat {\mathbf {z} }},}$$

Цилиндрические координаты для r ( t ) можно упростить, введя радиальные и тангенциальные единичные векторы и их производные по времени из элементарного исчисления: $${\displaystyle {\hat {\mathbf {r} }}=\cos(\theta (t)){\hat {\mathbf {x} }}+\sin(\theta (t)){\hat {\mathbf {y} }},\quad {\hat {\mathbf {\theta } }}=-\sin(\theta (t)){\hat {\mathbf {x} }}+\cos(\theta (t)){\hat {\mathbf {y} }}.}$$ $${\displaystyle {\frac {{\text{d}}{\hat {\mathbf {r} }}}{{\text{d}}t}}=\omega {\hat {\mathbf {\theta } }}.}$$ $${\displaystyle {\frac {{\text{d}}^{2}{\hat {\mathbf {r} }}}{{\text{d}}t^{2}}}={\frac {{\text{d}}(\omega {\hat {\mathbf {\theta } }})}{{\text{d}}t}}=\alpha {\hat {\mathbf {\theta } }}-\omega {\hat {\mathbf {r} }}.}$$

$${\displaystyle {\frac {{\text{d}}{\hat {\mathbf {\theta } }}}{{\text{d}}t}}=-\theta {\hat {\mathbf {r} }}.}$$ $${\displaystyle {\frac {{\text{d}}^{2}{\hat {\mathbf {\theta } }}}{{\text{d}}t^{2}}}={\frac {{\text{d}}(-\theta {\hat {\mathbf {r} }})}{{\text{d}}t}}=-\alpha {\hat {\mathbf {r} }}-\omega ^{2}{\hat {\mathbf {\theta } }}.}$$

Используя эту нотацию, r ( t ) принимает вид, В общем случае траектория r ( t ) не ограничена тем, чтобы лежать на круговом цилиндре, поэтому радиус R изменяется со временем, а траектория частицы в цилиндрически-полярных координатах становится: Где r , θ , и z могут быть непрерывно дифференцируемыми функциями времени, а обозначение функции опущено для простоты. Вектор скорости v _P является производной по времени траектории r ( t ), что дает: $${\displaystyle \mathbf {r} (t)=r{\hat {\mathbf {r} }}+z(t){\hat {\mathbf {z} }}.}$$ $${\displaystyle \mathbf {r} (t)=r(t){\hat {\mathbf {r} }}+z(t){\hat {\mathbf {z} }}.}$$ $${\displaystyle \mathbf {v} _{P}={\frac {\text{d}}{{\text{d}}t}}\left(r{\hat {\mathbf {r} }}+z{\hat {\mathbf {z} }}\right)=v{\hat {\mathbf {r} }}+r\mathbf {\omega } {\hat {\mathbf {\theta } }}+v_{z}{\hat {\mathbf {z} }}=v({\hat {\mathbf {r} }}+{\hat {\mathbf {\theta } }})+v_{z}{\hat {\mathbf {z} }}.}$$

Аналогично, ускорение a _P , которое является производной по времени скорости v _P , определяется по формуле: $${\displaystyle \mathbf {a} _{P}={\frac {\text{d}}{{\text{d}}t}}\left(v{\hat {\mathbf {r} }}+v{\hat {\mathbf {\theta } }}+v_{z}{\hat {\mathbf {z} }}\right)=(a-v\theta ){\hat {\mathbf {r} }}+(a+v\omega ){\hat {\mathbf {\theta } }}+a_{z}{\hat {\mathbf {z} }}.}$$

Член действует по направлению к центру кривизны пути в этой точке пути, обычно называется центростремительным ускорением . Член называется ускорением Кориолиса . ${\displaystyle -v\theta {\hat {\mathbf {r} }}}$ ${\displaystyle v\omega {\hat {\mathbf {\theta } }}}$

Постоянный радиус

Если траектория частицы ограничена цилиндром, то радиус r постоянен, а векторы скорости и ускорения упрощаются. Скорость v _P является производной по времени траектории r ( t ), $${\displaystyle \mathbf {v} _{P}={\frac {\text{d}}{{\text{d}}t}}\left(r{\hat {\mathbf {r} }}+z{\hat {\mathbf {z} }}\right)=r\omega {\hat {\mathbf {\theta } }}+v_{z}{\hat {\mathbf {z} }}=v{\hat {\mathbf {\theta } }}+v_{z}{\hat {\mathbf {z} }}.}$$

Плоские круговые траектории

Каждая частица на колесе движется по плоской круговой траектории (Кинематика машин, 1876). ^[18]

Частный случай траектории частицы на круговом цилиндре имеет место, когда нет движения вдоль оси z : где r и z ₀ — константы. В этом случае скорость v _P определяется по формуле: где — угловая скорость единичного вектора θ ^{^} вокруг оси z цилиндра. $${\displaystyle \mathbf {r} (t)=r{\hat {\mathbf {r} }}+z{\hat {\mathbf {z} }},}$$ $${\displaystyle \mathbf {v} _{P}={\frac {\text{d}}{{\text{d}}t}}\left(r{\hat {\mathbf {r} }}+z{\hat {\mathbf {z} }}\right)=r\omega {\hat {\mathbf {\theta } }}=v{\hat {\mathbf {\theta } }},}$$ ${\displaystyle \omega }$

Ускорение a _P частицы P теперь определяется по формуле: $${\displaystyle \mathbf {a} _{P}={\frac {{\text{d}}(v{\hat {\mathbf {\theta } }})}{{\text{d}}t}}=a{\hat {\mathbf {\theta } }}-v\theta {\hat {\mathbf {r} }}.}$$

Компоненты называются соответственно радиальной и тангенциальной составляющими ускорения. $${\displaystyle a_{r}=-v\theta ,\quad a_{\theta }=a,}$$

Обозначение для угловой скорости и углового ускорения часто определяется как , поэтому радиальные и тангенциальные компоненты ускорения для круговых траекторий также записываются как $${\displaystyle \omega ={\dot {\theta }},\quad \alpha ={\ddot {\theta }},}$$ $${\displaystyle a_{r}=-r\omega ^{2},\quad a_{\theta }=r\alpha .}$$

Траектории точек тела, движущегося в плоскости

Движение компонентов механической системы анализируется путем прикрепления опорной системы к каждой части и определения того, как различные опорные системы движутся относительно друг друга. Если структурная жесткость частей достаточна, то их деформацией можно пренебречь и использовать жесткие преобразования для определения этого относительного движения. Это сводит описание движения различных частей сложной механической системы к проблеме описания геометрии каждой части и геометрической ассоциации каждой части относительно других частей.

Геометрия — это изучение свойств фигур, которые остаются неизменными, в то время как пространство преобразуется различными способами — более технически, это изучение инвариантов при наборе преобразований. ^[19] Эти преобразования могут вызвать смещение треугольника на плоскости, оставляя при этом угол при вершине и расстояния между вершинами неизменными. Кинематика часто описывается как прикладная геометрия, где движение механической системы описывается с помощью жестких преобразований евклидовой геометрии.

Координаты точек на плоскости — двумерные векторы в R ² (двумерное пространство). Жесткие преобразования — это те, которые сохраняют расстояние между любыми двумя точками. Множество жестких преобразований в n -мерном пространстве называется специальной евклидовой группой на R ⁿ и обозначается SE( n ) .

Смещения и движение

Движение каждого из компонентов паровой машины Болтона и Уатта (1784) моделируется непрерывным набором жестких перемещений.

Положение одного компонента механической системы относительно другого определяется введением системы отсчета, скажем, M , на одной из них, которая движется относительно фиксированной системы отсчета F на другой. Жесткое преобразование или смещение M относительно F определяет относительное положение двух компонентов. Смещение состоит из комбинации вращения и трансляции .

Множество всех перемещений точки M относительно F называется конфигурационным пространством точки M. Гладкая кривая из одного положения в другое в этом конфигурационном пространстве представляет собой непрерывное множество перемещений, называемое движением точки M относительно F. Движение тела состоит из непрерывного множества вращений и перемещений.

Матричное представление

Комбинация поворота и переноса в плоскости R ² может быть представлена ​​определенным типом матрицы 3×3, известной как однородное преобразование. Однородное преобразование 3×3 строится из матрицы поворота 2×2 A ( φ ) и вектора переноса 2×1 d = ( d _x , d _y ), как: Эти однородные преобразования выполняют жесткие преобразования в точках плоскости z = 1, то есть в точках с координатами r = ( x , y , 1). $${\displaystyle [T(\phi ,\mathbf {d} )]={\begin{bmatrix}A(\phi )&\mathbf {d} \\\mathbf {0} &1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\cos \phi &-\sin \phi &d_{x}\\\sin \phi &\cos \phi &d_{y}\\0&0&1\end{bmatrix}}.}$$

В частности, пусть r определяет координаты точек в системе отсчета M, совпадающей с неподвижной системой F. Тогда, когда начало M смещено на вектор переноса d относительно начала F и повернуто на угол φ относительно оси x F , новые координаты в F точек в M определяются как: $${\displaystyle \mathbf {P} =[T(\phi ,\mathbf {d} )]\mathbf {r} ={\begin{bmatrix}\cos \phi &-\sin \phi &d_{x}\\\sin \phi &\cos \phi &d_{y}\\0&0&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x\\y\\1\end{bmatrix}}.}$$

Однородные преобразования представляют собой аффинные преобразования . Эта формулировка необходима, поскольку перенос не является линейным преобразованием R 2 ^. Однако, используя проективную геометрию, так что R ² рассматривается как подмножество R ³ , переносы становятся аффинными линейными преобразованиями. ^[20]

Чистый перевод

Если твердое тело движется так, что его система отсчета M не вращается ( θ = 0) относительно неподвижной системы F , движение называется чистым переносом. В этом случае траектория каждой точки тела является смещением траектории d ( t ) начала координат M, то есть: $${\displaystyle \mathbf {r} (t)=[T(0,\mathbf {d} (t))]\mathbf {p} =\mathbf {d} (t)+\mathbf {p} .}$$

Таким образом, для тел, находящихся в чистом поступательном движении, скорость и ускорение каждой точки P в теле определяются как: где точка обозначает производную по времени, а v _O и a _O — скорость и ускорение, соответственно, начала движущейся системы отсчета M. Напомним, что вектор координат p в M постоянен, поэтому его производная равна нулю. $${\displaystyle \mathbf {v} _{P}={\dot {\mathbf {r} }}(t)={\dot {\mathbf {d} }}(t)=\mathbf {v} _{O},\quad \mathbf {a} _{P}={\ddot {\mathbf {r} }}(t)={\ddot {\mathbf {d} }}(t)=\mathbf {a} _{O},}$$

Вращение тела вокруг неподвижной оси

Рисунок 1: Вектор угловой скорости Ω направлен вверх для вращения против часовой стрелки и вниз для вращения по часовой стрелке, как указано в правиле правой руки . Угловое положение θ ( t ) изменяется со временем со скоростью ω ( t ) = d θ /d t .

Вращательная или угловая кинематика — это описание вращения объекта. ^[21] В дальнейшем внимание будет ограничено простым вращением вокруг оси фиксированной ориентации. Ось z была выбрана для удобства.

Позиция

Это позволяет описать вращение как угловое положение плоской системы отсчета M относительно фиксированной точки F вокруг этой общей оси z . Координаты p = ( x , y ) в M связаны с координатами P = (X, Y) в F матричным уравнением: $${\displaystyle \mathbf {P} (t)=[A(t)]\mathbf {p} ,}$$

где — матрица вращения, определяющая угловое положение точки М относительно точки F как функцию времени. $${\displaystyle [A(t)]={\begin{bmatrix}\cos(\theta (t))&-\sin(\theta (t))\\\sin(\theta (t))&\cos(\theta (t))\end{bmatrix}},}$$

Скорость

Если точка p не движется в M , ее скорость в F определяется как Удобно исключить координаты p и записать это как операцию над траекторией P ( t ), где матрица известна как матрица угловой скорости M относительно F. Параметр ω является производной по времени от угла θ , то есть: $${\displaystyle \mathbf {v} _{P}={\dot {\mathbf {P} }}=[{\dot {A}}(t)]\mathbf {p} .}$$ $${\displaystyle \mathbf {v} _{P}=[{\dot {A}}(t)][A(t)^{-1}]\mathbf {P} =[\Omega ]\mathbf {P} ,}$$ $${\displaystyle [\Omega ]={\begin{bmatrix}0&-\omega \\\omega &0\end{bmatrix}},}$$ $${\displaystyle \omega ={\frac {{\text{d}}\theta }{{\text{d}}t}}.}$$

Ускорение

Ускорение P ( t ) в F получается как производная скорости по времени, которая становится равной где — матрица углового ускорения M в F , а $${\displaystyle \mathbf {A} _{P}={\ddot {P}}(t)=[{\dot {\Omega }}]\mathbf {P} +[\Omega ]{\dot {\mathbf {P} }},}$$ $${\displaystyle \mathbf {A} _{P}=[{\dot {\Omega }}]\mathbf {P} +[\Omega ][\Omega ]\mathbf {P} ,}$$ $${\displaystyle [{\dot {\Omega }}]={\begin{bmatrix}0&-\alpha \\\alpha &0\end{bmatrix}},}$$ $${\displaystyle \alpha ={\frac {{\text{d}}^{2}\theta }{{\text{d}}t^{2}}}.}$$

Описание вращения тогда включает в себя следующие три величины:

• Угловое положение : ориентированное расстояние от выбранного начала координат на оси вращения до точки объекта — это вектор r ( t ), определяющий местоположение точки. Вектор r ( t ) имеет некоторую проекцию (или, что эквивалентно, некоторую компоненту) r _⊥ ( t ) на плоскость, перпендикулярную оси вращения. Тогда угловое положение этой точки — это угол θ от опорной оси (обычно положительной оси x ) к вектору r _⊥ ( t ) в известном направлении вращения (обычно задается правилом правой руки ).
• Угловая скорость : угловая скорость ω — это скорость, с которой угловое положение θ изменяется относительно времени t : Угловая скорость представлена ​​на рисунке 1 вектором Ω, направленным вдоль оси вращения с величиной ω и направлением, определяемым направлением вращения, как указано в правиле правой руки . $${\displaystyle \omega ={\frac {{\text{d}}\theta }{{\text{d}}t}}}$$
• Угловое ускорение : величина углового ускорения α — это скорость, с которой угловая скорость ω изменяется относительно времени t : $${\displaystyle \alpha ={\frac {{\text{d}}\omega }{{\text{d}}t}}}$$

Уравнения поступательной кинематики можно легко распространить на плоскую вращательную кинематику для постоянного углового ускорения с простыми переменными обмена: $${\displaystyle \omega _{\mathrm {f} }=\omega _{\mathrm {i} }+\alpha t\!}$$ $${\displaystyle \theta _{\mathrm {f} }-\theta _{\mathrm {i} }=\omega _{\mathrm {i} }t+{\tfrac {1}{2}}\alpha t^{2}}$$ $${\displaystyle \theta _{\mathrm {f} }-\theta _{\mathrm {i} }={\tfrac {1}{2}}(\omega _{\mathrm {f} }+\omega _{\mathrm {i} })t}$$ $${\displaystyle \omega _{\mathrm {f} }^{2}=\omega _{\mathrm {i} }^{2}+2\alpha (\theta _{\mathrm {f} }-\theta _{\mathrm {i} }).}$$

Здесь θ _i и θ _f — соответственно начальное и конечное угловое положение, ω _i и ω _f — соответственно начальная и конечная угловая скорость, а α — постоянное угловое ускорение. Хотя положение в пространстве и скорость в пространстве являются истинными векторами (с точки зрения их свойств при вращении), как и угловая скорость, сам угол не является истинным вектором.

Траектории точек в теле, движущемся в трех измерениях

Важные формулы в кинематике определяют скорость и ускорение точек движущегося тела, когда они описывают траектории в трехмерном пространстве. Это особенно важно для центра масс тела, который используется для вывода уравнений движения с использованием либо второго закона Ньютона , либо уравнений Лагранжа .

Позиция

Для определения этих формул движение компонента B механической системы определяется набором вращений [A( t )] и перемещений d ( t ), собранных в однородное преобразование [T( t )]=[A( t ), d ( t )]. Если p — координаты точки P в B, измеренные в движущейся системе отсчета M , то траектория этой точки, отслеживаемая в F , задается следующим образом: Эта нотация не делает различий между P = (X, Y, Z, 1) и P = (X, Y, Z), что, как мы надеемся, понятно из контекста. $${\displaystyle \mathbf {P} (t)=[T(t)]\mathbf {p} ={\begin{bmatrix}\mathbf {P} \\1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}A(t)&\mathbf {d} (t)\\0&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\mathbf {p} \\1\end{bmatrix}}.}$$

Это уравнение для траектории P можно инвертировать, чтобы вычислить вектор координат p в M следующим образом: Это выражение использует тот факт, что транспонированная матрица вращения также является ее обратной, то есть: $${\displaystyle \mathbf {p} =[T(t)]^{-1}\mathbf {P} (t)={\begin{bmatrix}\mathbf {p} \\1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}A(t)^{\text{T}}&-A(t)^{\text{T}}\mathbf {d} (t)\\0&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\mathbf {P} (t)\\1\end{bmatrix}}.}$$ $${\displaystyle [A(t)]^{\text{T}}[A(t)]=I.\!}$$

Скорость

Скорость точки P вдоль ее траектории P ( t ) получается как производная по времени этого вектора положения. Точка обозначает производную по времени; поскольку p является константой, ее производная равна нулю. $${\displaystyle \mathbf {v} _{P}=[{\dot {T}}(t)]\mathbf {p} ={\begin{bmatrix}\mathbf {v} _{P}\\0\end{bmatrix}}=\left({\frac {d}{dt}}{\begin{bmatrix}A(t)&\mathbf {d} (t)\\0&1\end{bmatrix}}\right){\begin{bmatrix}\mathbf {p} \\1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}{\dot {A}}(t)&{\dot {\mathbf {d} }}(t)\\0&0\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\mathbf {p} \\1\end{bmatrix}}.}$$

Эту формулу можно модифицировать для получения скорости P , действуя на ее траекторию P ( t ), измеренную в неподвижной системе отсчета F. Подстановка обратного преобразования для p в уравнение скорости дает: Матрица [ S ] задается как: где — матрица угловой скорости. $${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {v} _{P}&=[{\dot {T}}(t)][T(t)]^{-1}\mathbf {P} (t)\\[4pt]&={\begin{bmatrix}\mathbf {v} _{P}\\0\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}{\dot {A}}&{\dot {\mathbf {d} }}\\0&0\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}A&\mathbf {d} \\0&1\end{bmatrix}}^{-1}{\begin{bmatrix}\mathbf {P} (t)\\1\end{bmatrix}}\\[4pt]&={\begin{bmatrix}{\dot {A}}&{\dot {\mathbf {d} }}\\0&0\end{bmatrix}}A^{-1}{\begin{bmatrix}1&-\mathbf {d} \\0&A\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\mathbf {P} (t)\\1\end{bmatrix}}\\[4pt]&={\begin{bmatrix}{\dot {A}}A^{-1}&-{\dot {A}}A^{-1}\mathbf {d} +{\dot {\mathbf {d} }}\\0&0\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\mathbf {P} (t)\\1\end{bmatrix}}\\[4pt]&={\begin{bmatrix}{\dot {A}}A^{\text{T}}&-{\dot {A}}A^{\text{T}}\mathbf {d} +{\dot {\mathbf {d} }}\\0&0\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\mathbf {P} (t)\\1\end{bmatrix}}\\[6pt]\mathbf {v} _{P}&=[S]\mathbf {P} .\end{aligned}}}$$ $${\displaystyle [S]={\begin{bmatrix}\Omega &-\Omega \mathbf {d} +{\dot {\mathbf {d} }}\\0&0\end{bmatrix}}}$$ $${\displaystyle [\Omega ]={\dot {A}}A^{\text{T}},}$$

Умножая на оператор [ S ], формула для скорости v _P принимает вид: где вектор ω — вектор угловой скорости, полученный из компонент матрицы [Ω]; вектор — положение точки P относительно начала координат O подвижной системы отсчета M ; — скорость начала координат O. $${\displaystyle \mathbf {v} _{P}=[\Omega ](\mathbf {P} -\mathbf {d} )+{\dot {\mathbf {d} }}=\omega \times \mathbf {R} _{P/O}+\mathbf {v} _{O},}$$ $${\displaystyle \mathbf {R} _{P/O}=\mathbf {P} -\mathbf {d} ,}$$ $${\displaystyle \mathbf {v} _{O}={\dot {\mathbf {d} }},}$$

Ускорение

Ускорение точки P в движущемся теле B находится как производная по времени от вектора ее скорости: $${\displaystyle \mathbf {A} _{P}={\frac {d}{dt}}\mathbf {v} _{P}={\frac {d}{dt}}\left([S]\mathbf {P} \right)=[{\dot {S}}]\mathbf {P} +[S]{\dot {\mathbf {P} }}=[{\dot {S}}]\mathbf {P} +[S][S]\mathbf {P} .}$$

Это уравнение можно расширить, во-первых, вычислив и $${\displaystyle [{\dot {S}}]={\begin{bmatrix}{\dot {\Omega }}&-{\dot {\Omega }}\mathbf {d} -\Omega {\dot {\mathbf {d} }}+{\ddot {\mathbf {d} }}\\0&0\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}{\dot {\Omega }}&-{\dot {\Omega }}\mathbf {d} -\Omega \mathbf {v} _{O}+\mathbf {A} _{O}\\0&0\end{bmatrix}}}$$ $${\displaystyle [S]^{2}={\begin{bmatrix}\Omega &-\Omega \mathbf {d} +\mathbf {v} _{O}\\0&0\end{bmatrix}}^{2}={\begin{bmatrix}\Omega ^{2}&-\Omega ^{2}\mathbf {d} +\Omega \mathbf {v} _{O}\\0&0\end{bmatrix}}.}$$

Формулу для ускорения A _P теперь можно получить как: или где α — вектор углового ускорения, полученный из производной матрицы угловой скорости; — вектор относительного положения (положение P относительно начала координат O подвижной системы отсчета M ); — ускорение начала координат подвижной системы отсчета M. $${\displaystyle \mathbf {A} _{P}={\dot {\Omega }}(\mathbf {P} -\mathbf {d} )+\mathbf {A} _{O}+\Omega ^{2}(\mathbf {P} -\mathbf {d} ),}$$ $${\displaystyle \mathbf {A} _{P}=\alpha \times \mathbf {R} _{P/O}+\omega \times \omega \times \mathbf {R} _{P/O}+\mathbf {A} _{O},}$$ $${\displaystyle \mathbf {R} _{P/O}=\mathbf {P} -\mathbf {d} ,}$$ $${\displaystyle \mathbf {A} _{O}={\ddot {\mathbf {d} }}}$$

Кинематические ограничения

Кинематические ограничения — это ограничения на движение компонентов механической системы. Кинематические ограничения можно рассматривать как имеющие две основные формы: (i) ограничения, возникающие из-за шарниров, ползунков и кулачковых соединений, которые определяют конструкцию системы, называемые голономными ограничениями , и (ii) ограничения, налагаемые на скорость системы, такие как ограничение лезвия коньков на плоской поверхности или качение без проскальзывания диска или сферы в контакте с плоскостью, которые называются неголономными ограничениями . Ниже приведены некоторые общие примеры.

Кинематическая связь

Кинематическая связь точно ограничивает все 6 степеней свободы.

Катание без проскальзывания

Объект, катящийся по поверхности без скольжения, подчиняется условию, что скорость его центра масс равна векторному произведению его угловой скорости на вектор из точки контакта в центр масс: $${\displaystyle {\boldsymbol {v}}_{G}(t)={\boldsymbol {\Omega }}\times {\boldsymbol {r}}_{G/O}.}$$

Для случая, когда объект не наклоняется и не поворачивается, это уменьшается до . ${\displaystyle v=r\omega }$

Нерастягивающийся шнур

Это тот случай, когда тела соединены идеализированным шнуром, который остается в натяжении и не может менять длину. Ограничение заключается в том, что сумма длин всех сегментов шнура является общей длиной, и, соответственно, производная по времени этой суммы равна нулю. ^{[22] [23] [24]} Динамическая задача такого типа — маятник . Другой пример — барабан, вращаемый силой тяжести на падающем грузе, прикрепленном к ободу нерастяжимым шнуром. ^[25] Задача равновесия (т. е. не кинематическая) такого типа — цепная линия . ^[26]

Кинематические пары

Рело назвал идеальные соединения между компонентами, которые образуют машину, кинематическими парами . Он различал высшие пары, которые, как говорили, имели линейный контакт между двумя звеньями, и низшие пары, которые имели площадной контакт между звеньями. Дж. Филлипс показывает, что существует много способов построения пар, которые не соответствуют этой простой классификации. ^[27]

Нижняя пара

Нижняя пара — это идеальное соединение или голономная связь, которая поддерживает контакт между точкой, линией или плоскостью в движущемся твердом (трехмерном) теле и соответствующей точкой, линией или плоскостью в неподвижном твердом теле. Возможны следующие случаи:

• Вращательная пара, или шарнирное соединение, требует, чтобы линия, или ось, в движущемся теле оставалась коллинеарной с линией в неподвижном теле, а плоскость, перпендикулярная этой линии в движущемся теле, поддерживала контакт с аналогичной перпендикулярной плоскостью в неподвижном теле. Это накладывает пять ограничений на относительное движение звеньев, которое, следовательно, имеет одну степень свободы, которая является чистым вращением вокруг оси шарнира.
• Призматическое соединение , или ползун, требует, чтобы линия, или ось, в движущемся теле оставалась коллинеарной с линией в неподвижном теле, а плоскость, параллельная этой линии в движущемся теле, поддерживала контакт с аналогичной параллельной плоскостью в неподвижном теле. Это накладывает пять ограничений на относительное движение звеньев, которое, следовательно, имеет одну степень свободы. Эта степень свободы — расстояние скольжения вдоль линии.
• Цилиндрическое сочленение требует, чтобы линия или ось в движущемся теле оставалась коллинеарной с линией в неподвижном теле. Это комбинация вращательного сочленения и скользящего сочленения. Это сочленение имеет две степени свободы. Положение движущегося тела определяется как вращением вокруг оси, так и скольжением вдоль нее.
• Сферический шарнир, или шаровой шарнир, требует, чтобы точка в движущемся теле поддерживала контакт с точкой в ​​неподвижном теле. Этот шарнир имеет три степени свободы.
• Плоский шарнир требует, чтобы плоскость в движущемся теле поддерживала контакт с плоскостью в неподвижном теле. Этот шарнир имеет три степени свободы.

Высшие пары

В общем, более высокая пара — это ограничение, которое требует, чтобы кривая или поверхность в движущемся теле поддерживали контакт с кривой или поверхностью в неподвижном теле. Например, контакт между кулачком и его следящим элементом — это более высокая пара, называемая кулачковым соединением . Аналогично, контакт между эвольвентными кривыми, которые образуют зацепляющиеся зубья двух шестерен, — это кулачковые соединения.

Кинематические цепи

Иллюстрация четырехзвенного шарнирного механизма из «Кинематики машин», 1876 г.

Твердые тела («звенья»), соединенные кинематическими парами («суставами»), называются кинематическими цепями . Примерами кинематических цепей являются механизмы и роботы. Степень свободы кинематической цепи вычисляется из числа звеньев, а также числа и типа сочленений с использованием формулы подвижности . Эту формулу также можно использовать для перечисления топологий кинематических цепей, имеющих заданную степень свободы, что в машиностроении известно как синтез типа .

Примеры

Плоские одностепенные шарнирные соединения, собранные из N звеньев и j шарниров или скользящих соединений, следующие:

• N = 2, j = 1: двухзвенная связь, являющаяся рычагом;
• N = 4, j = 4: четырехзвенная шарнирная система ;
• N = 6, j = 7: шестизвенная связь . Она должна иметь два звена («тройные связи»), которые поддерживают три сочленения. Существуют две различные топологии, которые зависят от того, как соединены две тройные связи. В топологии Уатта две тройные связи имеют общий сочленение; в топологии Стефенсона две тройные связи не имеют общего сочленения и соединены бинарными связями. ^[28]
• N = 8, j = 10: восьмизвенная шарнирная система с 16 различными топологиями;
• N = 10, j = 13: десятизвенная связь с 230 различными топологиями;
• N = 12, j = 16: двенадцатистержневая связь с 6856 топологиями.

Для более крупных цепей и топологий их связей см. RP Sunkari и LC Schmidt , «Структурный синтез плоских кинематических цепей путем адаптации алгоритма типа Маккея», Mechanism and Machine Theory #41, стр. 1021–1030 (2006).

Смотрите также

• Абсемент
• Ускорение
• Аффинная геометрия § Кинематика
• Аналитическая механика
• Прикладная механика
• Небесная механика
• Центростремительная сила
• Классическая механика
• Расстояние
• Динамика (физика)
• Фиктивная сила
• Прямая кинематика
• Четырехзвенная связь
• Обратная кинематика
• Рывок (физика)
• Законы Кеплера
• Кинематическая связь
• Кинематическая схема
• Кинематический синтез
• Кинетика (физика)
• Движение (физика)
• Орбитальная механика
• Статика
• Скорость
• Интегральная кинематика
• Критерий Чебышева–Грублера–Куцбаха

Ссылки

1. Эдмунд Тейлор Уиттекер (1904). Трактат об аналитической динамике частиц и твердых тел . Cambridge University Press. Глава 1. ISBN 0-521-35883-3.
2. Джозеф Стайлз Беггс (1983). Кинематика. Тейлор и Фрэнсис. стр. 1. ISBN 0-89116-355-7.
3. Томас Уоллес Райт (1896). Элементы механики, включая кинематику, кинетику и статику. E и FN Spon. Глава 1.
4. Рассел К. Хиббелер (2009). «Кинематика и кинетика частицы». Инженерная механика: Динамика (12-е изд.). Prentice Hall. стр. 298. ISBN 978-0-13-607791-6.
5. Ахмед А. Шабана (2003). «Опорная кинематика». Динамика многотельных систем (2-е изд.). Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-54411-5.
6. PP Teodorescu (2007). "Кинематика". Механические системы, классические модели: механика частиц . Springer. стр. 287. ISBN 978-1-4020-5441-9..
7. А. Бивенер (2003). Передвижение животных. Издательство Оксфордского университета. ISBN 019850022X.
8. Дж. М. Маккарти и Г. С. Сох, 2010, Геометрическое проектирование связей, Springer, Нью-Йорк.
9. Ампер, Андре-Мари (1834). Эссе по философии наук. Ше Башелье.
10. Мерц, Джон (1903). История европейской мысли в девятнадцатом веке. Blackwood, Лондон. С. 5.
11. О. Боттема и Б. Рот (1990). Теоретическая кинематика. Dover Publications. Предисловие, стр. 5. ISBN 0-486-66346-9.
12. Харпер, Дуглас. "кино". Онлайн-словарь этимологии .
13. Ускоренный курс физики
14. 2.4 Интеграция, MIT, заархивировано из оригинала 2021-11-13 , извлечено 2021-07-04
15. https://www.youtube.com/watch?v=jLJLXka2wEM Ускоренный курс по физике интегралов
16. https://www.mathsisfun.com/algebra/trig-area-triangle-without-right-angle.html Площадь треугольников без прямых углов
17. kinematics.gif (508×368) (Изображение) . Получено 3 ноября 2023 г.
18. Рёло, Ф .; Кеннеди, Алекс Б. В. (1876), Кинематика машин: Очерки теории машин, Лондон: Macmillan
19. Геометрия: изучение свойств заданных элементов, которые остаются инвариантными при заданных преобразованиях. «Определение геометрии». Онлайн-словарь Merriam-Webster. 31 мая 2023 г.
20. Пол, Ричард (1981). Роботы-манипуляторы: математика, программирование и управление: компьютерное управление роботами-манипуляторами. MIT Press, Кембридж, Массачусетс. ISBN 978-0-262-16082-7.
21. Р. Дуглас Грегори (2006). Глава 16. Кембридж, Англия: Кембриджский университет. ISBN 0-521-82678-0.
22. Уильям Томсон Кельвин и Питер Гатри Тейт (1894). Элементы натуральной философии. Cambridge University Press. стр. 4. ISBN 1-57392-984-0.
23. Уильям Томсон Кельвин и Питер Гатри Тейт (1894). Элементы натуральной философии. стр. 296.
24. М. Фогель (1980). "Проблема 17-11". Решатель задач механики . Ассоциация исследований и образования. стр. 613. ISBN 0-87891-519-2.
25. Ирвинг Портер Чёрч (1908). Механика машиностроения. Wiley. стр. 111. ISBN 1-110-36527-6.
26. Моррис Клайн (1990). Математическая мысль от древних времен до наших дней . Oxford University Press. стр. 472. ISBN 0-19-506136-5.
27. Филлипс, Джек (2007). Свобода в машиностроении, тома 1–2 (переиздание). Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-67331-0.
28. Цай, Лунг-Вен (2001). Конструкция механизма: перечисление кинематических структур в соответствии с функцией (иллюстрированное издание). CRC Press. стр. 121. ISBN 978-0-8493-0901-4.

1. Хотя τ используется как переменная интегрирования, некоторые авторы могут использовать t′ как переменную интегрирования, хотя это можно спутать с обозначением Лагранжа для производных ^[14]

Дальнейшее чтение

• Koetsier, Teun (1994), "§8.3 Кинематика", в Grattan-Guinness, Ivor (ред.), Companion Encyclopedia of the History and Philosophy of the Mathematical Sciences , т. 2, Routledge , стр. 994–1001, ISBN 0-415-09239-6
• Moon, Francis C. (2007). Машины Леонардо да Винчи и Франца Рёло, Кинематика машин от эпохи Возрождения до 20-го века . Springer. ISBN 978-1-4020-5598-0.
• Эдуард Штуд (1913) переводчик Д. Х. Дельфенич, «Основы и задачи аналитической кинематики».

Внешние ссылки

• Java-апплет 1D-кинематики
• Physclips: Механика с анимациями и видеоклипами от Университета Нового Южного Уэльса.
• Цифровая библиотека кинематических моделей для проектирования (KMODDL), содержащая фильмы и фотографии сотен работающих моделей механических систем Корнелльского университета , а также электронную библиотеку классических текстов по машиностроению и проектированию.
• Микродюймовое позиционирование с кинематическими компонентами