Гармонический анализ — это раздел математики , занимающийся исследованием связей между функцией и ее представлением в виде частоты . Частотное представление находится с помощью преобразования Фурье для функций на действительной прямой или с помощью ряда Фурье для периодических функций. Обобщение этих преобразований на другие области обычно называется анализом Фурье , хотя этот термин иногда используется как синоним гармонического анализа. Гармонический анализ стал обширной темой, имеющей приложения в таких разнообразных областях, как теория чисел , теория представлений , обработка сигналов , квантовая механика , приливной анализ и нейробиология .
Термин « гармоника » произошел от древнегреческого слова «гармоникос» , что означает «искусный в музыке». [1] В физических задачах на собственные значения под ним стали обозначать волны, частоты которых являются целыми кратными друг другу, как и частоты гармоник музыкальных нот . Тем не менее, этот термин получил обобщение, выходящее за рамки его первоначального значения.
Классическое преобразование Фурье для R n все еще является областью продолжающихся исследований, особенно в отношении преобразования Фурье для более общих объектов, таких как умеренные распределения . Например, если мы налагаем некоторые требования на распределение f , мы можем попытаться перевести эти требования в преобразование Фурье f . Теорема Пэли – Винера является примером. Из теоремы Пэли–Винера сразу следует, что если f — ненулевое распределение с компактным носителем (к ним относятся функции с компактным носителем), то его преобразование Фурье никогда не имеет компактного носителя (т. е. если сигнал ограничен в одной области, он неограничен в другой). Это элементарная форма принципа неопределенности в условиях гармонического анализа.
Ряды Фурье удобно изучать в контексте гильбертовых пространств , что обеспечивает связь между гармоническим анализом и функциональным анализом . Существует четыре версии преобразования Фурье, в зависимости от пространств, отображаемых преобразованием:
Одной из наиболее современных отраслей гармонического анализа, берущей свое начало в середине 20 века, является анализ на топологических группах . Основными мотивирующими идеями являются различные преобразования Фурье , которые можно обобщить до преобразования функций , определенных на хаусдорфовых локально компактных топологических группах .
Теория абелевых локально компактных групп называется двойственностью Понтрягина .
Гармонический анализ изучает свойства этой двойственности. Фурье преобразует и пытается распространить эти функции на различные параметры, например, на случай неабелевых групп Ли .
Гармонический анализ тесно связан с теорией унитарных групповых представлений общих неабелевых локально компактных групп. Для компактных групп теорема Питера – Вейля объясняет, как можно получить гармоники, выбрав одно неприводимое представление из каждого класса эквивалентности представлений. Этот выбор гармоник обладает некоторыми ценными свойствами классического преобразования Фурье с точки зрения переноса сверток в точечные произведения или иного проявления определенного понимания базовой структуры группы . См. также: Некоммутативный гармонический анализ .
Если группа не является ни абелевой, ни компактной, в настоящее время не известна общая удовлетворительная теория («удовлетворительная» означает, по крайней мере, такую же сильную, как теорема Планшереля ). Однако было проанализировано множество конкретных случаев, например SL n . В этом случае решающую роль играют представления в бесконечных измерениях .
.png/1280px-Bass_Guitar_Time_Signal_of_open_string_A_note_(55_Hz).png)
Многие применения гармонического анализа в науке и технике начинаются с идеи или гипотезы о том, что явление или сигнал состоит из суммы отдельных колебательных компонентов. Океанские приливы и вибрирующие струны — распространенные и простые примеры. Теоретический подход часто пытается описать систему дифференциальным уравнением или системой уравнений , чтобы предсказать основные характеристики, включая амплитуду, частоту и фазы колебательных составляющих. Конкретные уравнения зависят от области, но теории обычно пытаются выбрать уравнения, которые отражают важные применимые принципы.
Экспериментальный подход обычно заключается в получении данных , которые точно количественно определяют явление. Например, при изучении приливов и приливов экспериментатор должен получать образцы глубины воды в зависимости от времени через достаточно близкие интервалы времени, чтобы увидеть каждое колебание, и в течение достаточно большой продолжительности, чтобы, вероятно, было включено несколько периодов колебаний. При исследовании вибрирующих струн экспериментатор обычно получает звуковую волну, дискретизированную со скоростью, по крайней мере, вдвое превышающей ожидаемую самую высокую частоту, и с продолжительностью, во много раз превышающей период ожидаемой самой низкой частоты.
Например, верхний сигнал справа — это звуковая волна бас-гитары, играющей на открытой струне, соответствующей ноте ля с основной частотой 55 Гц. Форма волны выглядит колебательной, но она более сложна, чем простая синусоидальная волна, что указывает на наличие дополнительных волн. Различные волновые компоненты, влияющие на звук, можно выявить, применив метод математического анализа, известный как преобразование Фурье , показанный на нижнем рисунке. Имеется заметный пик на частоте 55 Гц, но есть и другие пики на частотах 110 Гц, 165 Гц и на других частотах, соответствующих целым числам, кратным 55 Гц. В этом случае 55 Гц идентифицируется как основная частота вибрации струны, а целочисленные кратные частоты известны как гармоники .
