В статистической обработке сигналов цель оценки спектральной плотности ( SDE ) или просто спектральной оценки состоит в том, чтобы оценить спектральную плотность (также известную как спектральная плотность мощности ) сигнала из последовательности временных выборок сигнала. [1] Интуитивно говоря, спектральная плотность характеризует частотный состав сигнала. Одной из целей оценки спектральной плотности является обнаружение любых периодичностей в данных путем наблюдения пиков на частотах, соответствующих этим периодичностям.
Некоторые методы SDE предполагают, что сигнал состоит из ограниченного (обычно небольшого) числа генерируемых частот плюс шум, и стремятся определить местоположение и интенсивность генерируемых частот. Другие не делают предположений о количестве компонентов и стремятся оценить весь генерирующий спектр.
Спектральный анализ , также называемый анализом частотной области или оценкой спектральной плотности, представляет собой технический процесс разложения сложного сигнала на более простые части. Как описано выше, многие физические процессы лучше всего описываются как сумма множества отдельных частотных составляющих. Любой процесс, который количественно определяет различные величины (например, амплитуды, мощности, интенсивности) в зависимости от частоты (или фазы ), можно назвать спектральным анализом .
Спектральный анализ может быть выполнен для всего сигнала. Альтернативно сигнал можно разбить на короткие сегменты (иногда называемые кадрами ), и к этим отдельным сегментам можно применить спектральный анализ. Периодические функции (такие как ) особенно хорошо подходят для этого подразделения. Общие математические методы анализа непериодических функций относятся к категории анализа Фурье .
Преобразование Фурье функции создает частотный спектр, который содержит всю информацию об исходном сигнале, но в другой форме. Это означает, что исходная функция может быть полностью восстановлена ( синтезирована ) обратным преобразованием Фурье . Для идеального восстановления анализатор спектра должен сохранять как амплитуду , так и фазу каждой частотной составляющей. Эти две части информации могут быть представлены как двумерный вектор, как комплексное число или как величина (амплитуда) и фаза в полярных координатах (т. е. как вектор ). Распространенным методом обработки сигналов является рассмотрение квадрата амплитуды или мощности ; в этом случае результирующий график называется спектром мощности .
Из-за обратимости преобразование Фурье называется представлением функции в терминах частоты, а не времени; таким образом, это представление в частотной области . Линейные операции, которые можно выполнить во временной области, имеют аналоги, которые часто легче выполнить в частотной области. Частотный анализ также упрощает понимание и интерпретацию эффектов различных операций во временной области, как линейных, так и нелинейных. Например, только нелинейные или изменяющиеся во времени операции могут создавать новые частоты в частотном спектре.
На практике почти все программное обеспечение и электронные устройства, генерирующие частотные спектры, используют дискретное преобразование Фурье (ДПФ), которое работает с выборками сигнала и обеспечивает математическую аппроксимацию полного интегрального решения. ДПФ почти всегда реализуется с помощью эффективного алгоритма, называемого быстрым преобразованием Фурье (БПФ). Массив компонентов ДПФ с квадратичной величиной представляет собой тип спектра мощности, называемый периодограммой , который широко используется для изучения частотных характеристик бесшумных функций, таких как импульсные характеристики фильтра и оконные функции . Но периодограмма не обеспечивает выигрыша в обработке при применении к шумоподобным сигналам или даже синусоидам с низким отношением сигнал/шум. Другими словами, дисперсия его спектральной оценки на заданной частоте не уменьшается по мере увеличения количества выборок, используемых в расчетах. Это можно смягчить путем усреднения по времени ( метод Уэлча [2] ) или по частоте ( сглаживание ). Метод Уэлча широко используется для оценки спектральной плотности (SDE). Однако методы, основанные на периодограмме, вносят небольшие погрешности, которые неприемлемы в некоторых приложениях. Другие альтернативы представлены в следующем разделе.
Многие другие методы спектральной оценки были разработаны для устранения недостатков базовой периодограммы. Эти методы обычно можно разделить на непараметрические , параметрические и , в последнее время, полупараметрические (также называемые разреженными) методы. [3] Непараметрические подходы явно оценивают ковариацию или спектр процесса, не предполагая, что процесс имеет какую-либо конкретную структуру. Некоторые из наиболее распространенных оценщиков, используемых для основных приложений (например, метод Уэлча ), являются непараметрическими оценщиками, тесно связанными с периодограммой. Параметрические подходы, напротив, предполагают, что лежащий в основе стационарный случайный процесс имеет определенную структуру, которую можно описать с помощью небольшого числа параметров (например, с помощью модели авторегрессии или модели скользящего среднего ). В этих подходах задачей является оценка параметров модели, описывающей случайный процесс. При использовании полупараметрических методов основной процесс моделируется с использованием непараметрической структуры с дополнительным предположением, что количество ненулевых компонентов модели невелико (т. е. модель разрежена). Подобные подходы могут также использоваться для восстановления недостающих данных [4] , а также реконструкции сигнала .
Ниже приводится неполный список методов оценки спектральной плотности:
При параметрической спектральной оценке предполагается, что сигнал моделируется стационарным процессом , который имеет функцию спектральной плотности (SDF) , которая является функцией частоты и параметров . [8] Тогда проблема оценки становится проблемой оценки этих параметров.
Наиболее распространенная форма параметрической оценки SDF использует в качестве модели авторегрессионную модель порядка . [8] : 392 Последовательность сигналов, подчиняющаяся процессу с нулевым средним, удовлетворяет уравнению
где — фиксированные коэффициенты и — процесс белого шума с нулевым средним и инновационной дисперсией . SDF для этого процесса
с интервалом времени дискретизации и частотой Найквиста .
Существует ряд подходов к оценке параметров процесса и, следовательно, спектральной плотности: [8] : 452-453.
Альтернативные параметрические методы включают подгонку к модели скользящего среднего (MA) и полной авторегрессионной модели скользящего среднего (ARMA).
Оценка частоты — это процесс оценки частоты , амплитуды и фазового сдвига сигнала при наличии шума с учетом предположений о количестве компонентов. [10] Это контрастирует с общими методами, описанными выше, которые не делают предварительных предположений о компонентах.
Если нужно оценить только частоту одного самого громкого чистого тона сигнала , можно использовать алгоритм определения высоты тона .
Если доминирующая частота меняется со временем, то проблемой становится оценка мгновенной частоты , определенной в представлении время-частота . К методам мгновенной оценки частоты относятся методы, основанные на распределении Вигнера-Вилля и функциях неоднозначности более высокого порядка . [11]
Если кто-то хочет знать все (возможно, сложные) частотные компоненты принятого сигнала (включая передаваемый сигнал и шум), он использует многотональный подход.
Типичная модель сигнала состоит из суммы комплексных экспонент при наличии белого шума .
Спектральная плотность мощности состоит из импульсных функций в дополнение к функции спектральной плотности, обусловленной шумом.
Наиболее распространенные методы оценки частоты включают определение подпространства шума для извлечения этих компонентов. Эти методы основаны на собственном разложении матрицы автокорреляции на подпространство сигнала и подпространство шума. После того как эти подпространства идентифицированы, функция оценки частоты используется для нахождения частот компонентов из подпространства шума. Наиболее популярными методами оценки частоты на основе шумового подпространства являются метод Писаренко , метод классификации множественных сигналов (MUSIC), метод собственных векторов и метод минимальной нормы.
Предположим , от до — временной ряд (дискретное время) с нулевым средним значением. Предположим, что это сумма конечного числа периодических составляющих (все частоты положительны):
Дисперсия для функции нулевого среднего, как указано выше, определяется выражением
Если бы эти данные были выборками, взятыми из электрического сигнала, это была бы его средняя мощность (мощность — это энергия в единицу времени, поэтому она аналогична дисперсии, если энергия аналогична квадрату амплитуды).
Теперь, для простоты, предположим, что сигнал распространяется бесконечно во времени, поэтому мы переходим к пределу: если средняя мощность ограничена, что почти всегда имеет место в действительности, то существует следующий предел, который представляет собой дисперсию данных.
Опять же, для простоты, перейдем к непрерывному времени и предположим, что сигнал бесконечно распространяется во времени в обоих направлениях. Тогда эти две формулы станут
и
Среднеквадратичное значение равно , поэтому дисперсия равна Следовательно , вклад в среднюю мощность, исходящий от компонента с частотой , равен Все эти вклады в сумме составляют среднюю мощность
Тогда мощность как функция частоты равна и ее статистическая кумулятивная функция распределения будет равна
— ступенчатая функция , монотонно неубывающая. Его скачки происходят на частотах периодических компонент , а значение каждого скачка является степенью или дисперсией этого компонента.
Дисперсия — это ковариация данных относительно самих себя. Если мы теперь рассмотрим те же данные , но с задержкой , мы можем взять ковариацию с и определить ее как автокорреляционную функцию сигнала (или данных) :
Если он существует, то это четная функция: Если средняя мощность ограничена, то существует повсюду, конечна и ограничена тем, чем является средняя степень или дисперсия данных.
Можно показать, что можно разложить на периодические составляющие с теми же периодами, что и :
Фактически это спектральное разложение по различным частотам, связанное с распределением мощности по частотам: амплитуда частотной составляющей является ее вкладом в среднюю мощность сигнала.
Спектр мощности в этом примере не является непрерывным и, следовательно, не имеет производной, и, следовательно, этот сигнал не имеет функции спектральной плотности мощности. В общем, спектр мощности обычно представляет собой сумму двух частей: линейного спектра, такого как в этом примере, который не является непрерывным и не имеет функции плотности, и остатка, который абсолютно непрерывен и имеет функцию плотности. .