Спектральная плотность

Относительная важность определенных частот в составном сигнале

Спектральная плотность флуоресцентного света как функция оптической длины волны показывает пики при атомных переходах, обозначенные пронумерованными стрелками.

Форма голосовой волны с течением времени (слева) имеет широкий спектр звуковой мощности (справа).

В обработке сигналов спектр мощности непрерывного во времени сигнала описывает распределение мощности по частотным компонентам, составляющим этот сигнал. ^[1] Согласно анализу Фурье , любой физический сигнал может быть разложен на ряд дискретных частот или спектр частот в непрерывном диапазоне. Статистическое среднее значение любого вида сигнала (включая шум ), проанализированное с точки зрения его частотного содержания, называется его спектром . ${\displaystyle S_{xx}(f)}$ ${\displaystyle x(t)}$ ${\displaystyle f}$

Когда энергия сигнала концентрируется вокруг конечного временного интервала, особенно если его полная энергия конечна, можно вычислить спектральную плотность энергии . Чаще используется спектральная плотность мощности (СПМ или просто спектр мощности ), которая применяется к сигналам, существующим в течение всего времени или в течение достаточно большого периода времени (особенно по отношению к продолжительности измерения), что он мог бы существовать в течение бесконечного временного интервала. СПМ тогда относится к спектральному распределению энергии, которое было бы найдено в единицу времени, поскольку полная энергия такого сигнала в течение всего времени, как правило, была бы бесконечной. Суммирование или интегрирование спектральных компонентов дает полную мощность (для физического процесса) или дисперсию (в статистическом процессе), идентичную той, что была бы получена путем интегрирования по временной области, как диктует теорема Парсеваля . ^[1] ${\displaystyle x^{2}(t)}$

Спектр физического процесса часто содержит существенную информацию о природе . Например, высота тона и тембр музыкального инструмента немедленно определяются из спектрального анализа. Цвет источника света определяется спектром электрического поля электромагнитной волны, поскольку он колеблется на чрезвычайно высокой частоте. Получение спектра из временных рядов, таких как эти, включает преобразование Фурье и обобщения, основанные на анализе Фурье. Во многих случаях временная область специально не используется на практике, например, когда дисперсионная призма используется для получения спектра света в спектрографе , или когда звук воспринимается через его воздействие на слуховые рецепторы внутреннего уха, каждый из которых чувствителен к определенной частоте. ${\displaystyle x(t)}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle E(t)}$

Однако эта статья концентрируется на ситуациях, в которых временной ряд известен (по крайней мере, в статистическом смысле) или напрямую измерен (например, с помощью микрофона, оцифрованного компьютером). Спектр мощности важен в статистической обработке сигналов и в статистическом изучении стохастических процессов , а также во многих других областях физики и техники . Обычно процесс является функцией времени, но можно аналогичным образом обсудить данные в пространственной области, разлагаемые в терминах пространственной частоты . ^[1]

Единицы

В физике сигнал может быть волной, например, электромагнитной волной , акустической волной или вибрацией механизма. Спектральная плотность мощности (СПМ) сигнала описывает мощность, присутствующую в сигнале, как функцию частоты на единицу частоты. Спектральная плотность мощности обычно выражается в единицах СИ ватт на герц (сокращенно Вт/Гц). [ ^2]

Например , когда сигнал определяется только напряжением , то нет уникальной мощности, связанной с указанной амплитудой. В этом случае «мощность» просто рассчитывается в терминах квадрата сигнала, поскольку она всегда будет пропорциональна фактической мощности, передаваемой этим сигналом в заданное сопротивление . Поэтому для PSD можно использовать единицы В ²  Гц ^{−1 .} Спектральная плотность энергии (ESD) будет иметь единицы В ²  с Гц ⁻¹ , поскольку энергия имеет единицы мощности, умноженные на время (например, ватт-час ). ^[3]

В общем случае единицы PSD будут отношением единиц дисперсии к единице частоты; так, например, ряд значений смещения (в метрах) с течением времени (в секундах) будет иметь PSD в единицах квадратных метров на герц, м ² /Гц. При анализе случайных колебаний для PSD ускорения часто используются единицы g ²  Гц ⁻¹ , где g обозначает перегрузку . ^[4]

Математически нет необходимости назначать физические измерения сигналу или независимой переменной. В последующем обсуждении значение x ( t ) останется неопределенным, но независимой переменной будет считаться время.

Односторонний против двустороннего

PSD может быть либо односторонней функцией только положительных частот, либо двусторонней функцией как положительных, так и отрицательных частот , но только с половиной амплитуды. Шумовые PSD обычно односторонние в инженерии и двусторонние в физике. ^[5]

Определение

Спектральная плотность энергии

Спектральная плотность энергии описывает, как энергия сигнала или временного ряда распределяется с частотой. Здесь термин энергия используется в обобщенном смысле обработки сигнала; ^[6] то есть энергия сигнала : ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle x(t)}$ $${\displaystyle E\triangleq \int _{-\infty }^{\infty }\left|x(t)\right|^{2}\ dt.}$$

Спектральная плотность энергии наиболее подходит для переходных процессов, то есть импульсных сигналов, имеющих конечную полную энергию. Конечной или нет, теорема Парсеваля (или теорема Планшереля) дает нам альтернативное выражение для энергии сигнала: ^[7] где: — значение преобразования Фурье на частоте (в Гц ). Теорема также верна в случаях дискретного времени. Поскольку интеграл в левой части — это энергия сигнала, значение можно интерпретировать как функцию плотности, умноженную на бесконечно малый частотный интервал, описывающую энергию, содержащуюся в сигнале на частоте в частотном интервале . $${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }|x(t)|^{2}\,dt=\int _{-\infty }^{\infty }\left|{\hat {x}}(f)\right|^{2}\,df,}$$ $${\displaystyle {\hat {x}}(f)\triangleq \int _{-\infty }^{\infty }e^{-i2\pi ft}x(t)\ dt}$$ ${\displaystyle x(t)}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \left|{\hat {x}}(f)\right|^{2}df}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f+df}$

Следовательно, спектральная плотность энергии определяется как: ^[8] ${\displaystyle x(t)}$

Функция и автокорреляция образуют пару преобразований Фурье, результат также известен как теорема Винера–Хинчина (см. также Периодограмма ). ${\displaystyle {\bar {S}}_{xx}(f)}$ ${\displaystyle x(t)}$

В качестве физического примера того, как можно измерить спектральную плотность энергии сигнала, предположим, что представляет собой потенциал (в вольтах ) электрического импульса, распространяющегося по линии передачи с сопротивлением , и предположим, что линия заканчивается согласованным резистором (так что вся энергия импульса подается на резистор и ничего не отражается обратно). По закону Ома мощность, подаваемая на резистор в момент времени, равна , поэтому полная энергия находится путем интегрирования по времени по длительности импульса. Чтобы найти значение спектральной плотности энергии на частоте , можно вставить между линией передачи и резистором полосовой фильтр , который пропускает только узкий диапазон частот ( скажем, ) вблизи интересующей частоты, а затем измерить полную энергию, рассеиваемую на резисторе. Тогда значение спектральной плотности энергии на оценивается как . В этом примере, поскольку мощность имеет единицы измерения V ² Ω ⁻¹ , энергия имеет единицы измерения V ²  s Ω ⁻¹  = J , и, следовательно, оценка спектральной плотности энергии имеет единицы измерения J Hz ⁻¹ , как и требуется. Во многих ситуациях часто забывают шаг деления на , так что спектральная плотность энергии вместо этого имеет единицы измерения V ²  Hz ⁻¹ . ${\displaystyle V(t)}$ ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle V(t)^{2}/Z}$ ${\displaystyle V(t)^{2}/Z}$ ${\displaystyle {\bar {S}}_{xx}(f)}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \Delta f}$ ${\displaystyle E(f)}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle E(f)/\Delta f}$ ${\displaystyle V(t)^{2}/Z}$ ${\displaystyle E(f)}$ ${\displaystyle E(f)/\Delta f}$ ${\displaystyle Z}$

Это определение обобщается простым образом на дискретный сигнал со счетно бесконечным числом значений , например, на сигнал, дискретизированный в дискретные моменты времени : где — дискретное преобразование Фурье для   Интервал дискретизации необходим для сохранения правильных физических единиц и для обеспечения того, чтобы мы восстанавливали непрерывный случай в пределе.   Но в математических науках интервал часто устанавливается равным 1, что упрощает результаты за счет общности. (см. также нормализованную частоту ) ${\displaystyle x_{n}}$ ${\displaystyle t_{n}=t_{0}+(n\,\Delta t)}$ $${\displaystyle {\bar {S}}_{xx}(f)=\lim _{N\to \infty }(\Delta t)^{2}\underbrace {\left|\sum _{n=-N}^{N}x_{n}e^{-i2\pi fn\,\Delta t}\right|^{2}} _{\left|{\hat {x}}_{d}(f)\right|^{2}},}$$ ${\displaystyle {\hat {x}}_{d}(f)}$ ${\displaystyle x_{n}.}$ ${\displaystyle \Delta t}$ ${\displaystyle \Delta t\to 0.}$

Спектральная плотность мощности

Спектр мощности измеренной анизотропии температуры космического микроволнового фонового излучения в угловом масштабе. Сплошная линия — теоретическая модель, для сравнения.

Приведенное выше определение спектральной плотности энергии подходит для переходных процессов (импульсных сигналов), энергия которых сосредоточена вокруг одного временного окна; тогда преобразования Фурье сигналов, как правило, существуют. Для непрерывных сигналов во всем времени, нужно скорее определить спектральную плотность мощности (СПМ), которая существует для стационарных процессов ; это описывает, как мощность сигнала или временного ряда распределяется по частоте, как в простом примере, приведенном ранее. Здесь мощность может быть фактической физической мощностью или, чаще всего, для удобства с абстрактными сигналами, просто идентифицируется с квадратом значения сигнала. Например, статистики изучают дисперсию функции во времени (или по другой независимой переменной), и, используя аналогию с электрическими сигналами (среди других физических процессов), принято называть ее спектром мощности, даже когда нет вовлеченной физической мощности. Если бы кто-то создал физический источник напряжения , который следовал бы и прикладывал его к клеммам резистора сопротивлением один Ом , то действительно мгновенная мощность, рассеиваемая в этом резисторе, была бы выражена в ваттах . ${\displaystyle x(t)}$ ${\displaystyle x(t)}$ ${\displaystyle x^{2}(t)}$

Средняя мощность сигнала за все время, таким образом, определяется следующим средним значением по времени, где период сосредоточен вокруг некоторого произвольного времени : ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle x(t)}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle t=t_{0}}$ $${\displaystyle P=\lim _{T\to \infty }{\frac {1}{T}}\int _{t_{0}-T/2}^{t_{0}+T/2}\left|x(t)\right|^{2}\,dt}$$

Однако, ради работы с последующей математикой, удобнее иметь дело с временными ограничениями в самом сигнале, а не с временными ограничениями в границах интеграла. Таким образом, у нас есть альтернативное представление средней мощности, где и есть единица в пределах произвольного периода и ноль в других местах. Очевидно, что в случаях, когда приведенное выше выражение для P не равно нулю, интеграл должен неограниченно расти, поскольку T неограниченно растет. Вот почему мы не можем использовать энергию сигнала, которая является этим расходящимся интегралом, в таких случаях. ${\displaystyle x_{T}(t)=x(t)w_{T}(t)}$ ${\displaystyle w_{T}(t)}$ $${\displaystyle P=\lim _{T\to \infty }{\frac {1}{T}}\int _{-\infty }^{\infty }\left|x_{T}(t)\right|^{2}\,dt.}$$

При анализе частотного содержания сигнала можно было бы вычислить обычное преобразование Фурье ; однако для многих интересующих нас сигналов преобразование Фурье формально не существует. ^{[nb 1]} Независимо от этого, теорема Парсеваля говорит нам, что мы можем переписать среднюю мощность следующим образом. ${\displaystyle x(t)}$ ${\displaystyle {\hat {x}}(f)}$ $${\displaystyle P=\lim _{T\to \infty }{\frac {1}{T}}\int _{-\infty }^{\infty }|{\hat {x}}_{T}(f)|^{2}\,df}$$

Тогда спектральная плотность мощности определяется просто как подынтегральное выражение выше. ^{[9] [10]}

Отсюда, в силу теоремы о свертке , мы также можем рассматривать как преобразование Фурье временной свертки и , где * представляет комплексное сопряжение. Учитывая, что и делая, , имеем: где теорема о свертке была использована при переходе от 3 -й к 4-й строке. ${\displaystyle |{\hat {x}}_{T}(f)|^{2}}$ ${\displaystyle x_{T}^{*}(-t)}$ ${\displaystyle x_{T}(t)}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}{\mathcal {F}}\left\{x_{T}^{*}(-t)\right\}&=\int _{-\infty }^{\infty }x_{T}^{*}(-t)e^{-i2\pi ft}dt\\&=\int _{-\infty }^{\infty }x_{T}^{*}(t)e^{i2\pi ft}dt\\&=\int _{-\infty }^{\infty }x_{T}^{*}(t)[e^{-i2\pi ft}]^{*}dt\\&=\left[\int _{-\infty }^{\infty }x_{T}(t)e^{-i2\pi ft}dt\right]^{*}\\&=\left[{\mathcal {F}}\left\{x_{T}(t)\right\}\right]^{*}\\&=\left[{\hat {x}}_{T}(f)\right]^{*}\end{aligned}}}$$ ${\displaystyle u(t)=x_{T}^{*}(-t)}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}\left|{\hat {x}}_{T}(f)\right|^{2}&=[{\hat {x}}_{T}(f)]^{*}\cdot {\hat {x}}_{T}(f)\\&={\mathcal {F}}\left\{x_{T}^{*}(-t)\right\}\cdot {\mathcal {F}}\left\{x_{T}(t)\right\}\\&={\mathcal {F}}\left\{u(t)\right\}\cdot {\mathcal {F}}\left\{x_{T}(t)\right\}\\&={\mathcal {F}}\left\{u(t)\mathbin {\mathbf {*} } x_{T}(t)\right\}\\&=\int _{-\infty }^{\infty }\left[\int _{-\infty }^{\infty }u(\tau -t)x_{T}(t)dt\right]e^{-i2\pi f\tau }d\tau \\&=\int _{-\infty }^{\infty }\left[\int _{-\infty }^{\infty }x_{T}^{*}(t-\tau )x_{T}(t)dt\right]e^{-i2\pi f\tau }\ d\tau ,\end{aligned}}}$$

Теперь, если мы разделим временную свертку, указанную выше, на период и возьмем предел как , она станет функцией автокорреляции неоконированного сигнала , которая обозначается как , при условии, что является эргодической , что верно в большинстве, но не во всех, практических случаях. ^{[примечание 2]} ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle T\rightarrow \infty }$ ${\displaystyle x(t)}$ ${\displaystyle R_{xx}(\tau )}$ ${\displaystyle x(t)}$ $${\displaystyle \lim _{T\to \infty }{\frac {1}{T}}\left|{\hat {x}}_{T}(f)\right|^{2}=\int _{-\infty }^{\infty }\left[\lim _{T\to \infty }{\frac {1}{T}}\int _{-\infty }^{\infty }x_{T}^{*}(t-\tau )x_{T}(t)dt\right]e^{-i2\pi f\tau }\ d\tau =\int _{-\infty }^{\infty }R_{xx}(\tau )e^{-i2\pi f\tau }d\tau }$$

Отсюда мы видим, снова предполагая эргодичность , что спектральная плотность мощности может быть найдена как преобразование Фурье автокорреляционной функции ( теорема Винера–Хинчина ). ^[11] ${\displaystyle x(t)}$

Многие авторы используют это равенство для фактического определения спектральной плотности мощности. ^[12]

Мощность сигнала в заданной полосе частот , где , можно вычислить путем интегрирования по частоте. Поскольку , равное количество мощности может быть отнесено к положительным и отрицательным полосам частот, что учитывает фактор 2 в следующей форме (такие тривиальные факторы зависят от используемых соглашений): В более общем смысле, аналогичные методы могут использоваться для оценки изменяющейся во времени спектральной плотности. В этом случае временной интервал конечен, а не стремится к бесконечности. Это приводит к снижению спектрального покрытия и разрешения, поскольку частоты меньше не дискретизируются, а результаты на частотах, которые не являются целым кратным , не являются независимыми. При использовании только одного такого временного ряда оцененный спектр мощности будет очень «шумным»; однако это можно смягчить, если можно оценить ожидаемое значение (в приведенном выше уравнении) с использованием большого (или бесконечного) числа краткосрочных спектров, соответствующих статистическим ансамблям реализаций , оцененных в течение указанного временного окна. ${\displaystyle [f_{1},f_{2}]}$ ${\displaystyle 0<f_{1}<f_{2}}$ ${\displaystyle S_{xx}(-f)=S_{xx}(f)}$ $${\displaystyle P_{\textsf {bandlimited}}=2\int _{f_{1}}^{f_{2}}S_{xx}(f)\,df}$$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle 1/T}$ ${\displaystyle 1/T}$ ${\displaystyle x(t)}$

Как и в случае со спектральной плотностью энергии, определение спектральной плотности мощности можно обобщить для дискретных временных переменных . Как и прежде, мы можем рассмотреть окно с сигналом, дискретизированным в дискретные моменты времени для общего периода измерения . Обратите внимание, что единая оценка PSD может быть получена с помощью конечного числа выборок. Как и прежде, фактическая PSD достигается, когда (и, таким образом , ) приближается к бесконечности, и формально применяется ожидаемое значение. В реальном приложении обычно усредняют PSD конечного измерения по многим испытаниям, чтобы получить более точную оценку теоретической PSD физического процесса, лежащего в основе отдельных измерений. Эту вычисленную PSD иногда называют периодограммой . Эта периодограмма сходится к истинной PSD, когда число оценок, а также интервал времени усреднения приближаются к бесконечности. ^[13] ${\displaystyle x_{n}}$ ${\displaystyle -N\leq n\leq N}$ ${\displaystyle t_{n}=t_{0}+(n\,\Delta t)}$ ${\displaystyle T=(2N+1)\,\Delta t}$ $${\displaystyle S_{xx}(f)=\lim _{N\to \infty }{\frac {(\Delta t)^{2}}{T}}\left|\sum _{n=-N}^{N}x_{n}e^{-i2\pi fn\,\Delta t}\right|^{2}}$$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle T}$

Если оба сигнала обладают спектральными плотностями мощности, то аналогичным образом можно рассчитать и взаимную спектральную плотность; как СПМ связана с автокорреляцией, так и взаимная спектральная плотность связана с взаимной корреляцией .

Свойства спектральной плотности мощности

Некоторые свойства PSD включают в себя: ^[14]

• Спектр мощности всегда действителен и неотрицателен, а спектр действительного процесса также является четной функцией частоты: . ${\displaystyle S_{xx}(-f)=S_{xx}(f)}$
• Для непрерывного стохастического процесса x(t) автокорреляционная функция R _xx ( t ) может быть восстановлена ​​из ее спектра мощности S _xx (f) с помощью обратного преобразования Фурье
• Используя теорему Парсеваля , можно вычислить дисперсию (среднюю мощность) процесса, проинтегрировав спектр мощности по всем частотам: $${\displaystyle P=\operatorname {Var} (x)=\int _{-\infty }^{\infty }\!S_{xx}(f)\,df}$$
• Для реального процесса x ( t ) со спектральной плотностью мощности можно вычислить интегрированный спектр или спектральное распределение мощности , которое определяет среднюю полосу мощности, содержащуюся в частотах от DC до f, используя: ^[15] Обратите внимание, что предыдущее выражение для полной мощности (дисперсии сигнала) является частным случаем, когда  f → ∞ . ${\displaystyle S_{xx}(f)}$ ${\displaystyle F(f)}$ $${\displaystyle F(f)=2\int _{0}^{f}S_{xx}(f')\,df'.}$$

Спектральная плотность перекрестной мощности

При наличии двух сигналов и , каждый из которых обладает спектральными плотностями мощности и , можно определить перекрестную спектральную плотность мощности ( CPSD ) или перекрестную спектральную плотность ( CSD ). Для начала рассмотрим среднюю мощность такого объединенного сигнала. ${\displaystyle x(t)}$ ${\displaystyle y(t)}$ ${\displaystyle S_{xx}(f)}$ ${\displaystyle S_{yy}(f)}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}P&=\lim _{T\to \infty }{\frac {1}{T}}\int _{-\infty }^{\infty }\left[x_{T}(t)+y_{T}(t)\right]^{*}\left[x_{T}(t)+y_{T}(t)\right]dt\\&=\lim _{T\to \infty }{\frac {1}{T}}\int _{-\infty }^{\infty }|x_{T}(t)|^{2}+x_{T}^{*}(t)y_{T}(t)+y_{T}^{*}(t)x_{T}(t)+|y_{T}(t)|^{2}dt\\\end{aligned}}}$$

Используя те же обозначения и методы, которые использовались для вывода спектральной плотности мощности, мы используем теорему Парсеваля и получаем , где, опять же, вклады и уже понятны. Обратите внимание, что , поэтому полный вклад в перекрестную мощность, как правило, равен удвоенной действительной части любого отдельного CPSD . Как и прежде, отсюда мы переформулируем эти произведения как преобразование Фурье временной свертки, которое при делении на период и доведении до предела становится преобразованием Фурье функции взаимной корреляции . ^[16] где — взаимная корреляция с , а — взаимная корреляция с . В свете этого PSD рассматривается как особый случай CSD для . Если и — действительные сигналы (например, напряжение или ток), их преобразования Фурье и обычно ограничены положительными частотами по соглашению. Следовательно, при типичной обработке сигналов полное CPSD — это всего лишь одно из CPSD , масштабированное в два раза. $${\displaystyle {\begin{aligned}S_{xy}(f)&=\lim _{T\to \infty }{\frac {1}{T}}\left[{\hat {x}}_{T}^{*}(f){\hat {y}}_{T}(f)\right]&S_{yx}(f)&=\lim _{T\to \infty }{\frac {1}{T}}\left[{\hat {y}}_{T}^{*}(f){\hat {x}}_{T}(f)\right]\end{aligned}}}$$ ${\displaystyle S_{xx}(f)}$ ${\displaystyle S_{yy}(f)}$ ${\displaystyle S_{xy}^{*}(f)=S_{yx}(f)}$ ${\displaystyle T\to \infty }$ $${\displaystyle {\begin{aligned}S_{xy}(f)&=\int _{-\infty }^{\infty }\left[\lim _{T\to \infty }{\frac {1}{T}}\int _{-\infty }^{\infty }x_{T}^{*}(t-\tau )y_{T}(t)dt\right]e^{-i2\pi f\tau }d\tau =\int _{-\infty }^{\infty }R_{xy}(\tau )e^{-i2\pi f\tau }d\tau \\S_{yx}(f)&=\int _{-\infty }^{\infty }\left[\lim _{T\to \infty }{\frac {1}{T}}\int _{-\infty }^{\infty }y_{T}^{*}(t-\tau )x_{T}(t)dt\right]e^{-i2\pi f\tau }d\tau =\int _{-\infty }^{\infty }R_{yx}(\tau )e^{-i2\pi f\tau }d\tau ,\end{aligned}}}$$ ${\displaystyle R_{xy}(\tau )}$ ${\displaystyle x(t)}$ ${\displaystyle y(t)}$ ${\displaystyle R_{yx}(\tau )}$ ${\displaystyle y(t)}$ ${\displaystyle x(t)}$ ${\displaystyle x(t)=y(t)}$ ${\displaystyle x(t)}$ ${\displaystyle y(t)}$ ${\displaystyle {\hat {x}}(f)}$ ${\displaystyle {\hat {y}}(f)}$ $${\displaystyle \operatorname {CPSD} _{\text{Full}}=2S_{xy}(f)=2S_{yx}(f)}$$

Для дискретных сигналов x _n и y _n соотношение между кросс-спектральной плотностью и кросс-ковариацией имеет вид $${\displaystyle S_{xy}(f)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }R_{xy}(\tau _{n})e^{-i2\pi f\tau _{n}}\,\Delta \tau }$$

Оценка

Целью оценки спектральной плотности является оценка спектральной плотности случайного сигнала из последовательности временных выборок. В зависимости от того, что известно о сигнале, методы оценки могут включать параметрические или непараметрические подходы и могут быть основаны на анализе во временной или частотной области. Например, распространенный параметрический метод включает в себя подгонку наблюдений к авторегрессионной модели . Распространенным непараметрическим методом является периодограмма .

Спектральная плотность обычно оценивается с помощью методов преобразования Фурье (например, метода Уэлча ), но могут использоваться и другие методы, например, метод максимальной энтропии .

Связанные концепции

• Спектральный центроид сигнала — это средняя точка его функции спектральной плотности, т.е. частота, которая делит распределение на две равные части.
• Спектральная граничная частота ( SEF ), обычно выражаемая как «SEF x », представляет собой частоту, ниже которой находится x процентов от общей мощности данного сигнала; как правило, x находится в диапазоне от 75 до 95. Это более популярная мера, используемая в мониторинге ЭЭГ , в этом случае SEF по-разному использовалась для оценки глубины анестезии и стадий сна . ^{[17] [18]}
• Спектральная огибающая — это огибающая кривой спектральной плотности. Она описывает одну точку во времени (одно окно, если быть точным). Например, при дистанционном зондировании с использованием спектрометра спектральная огибающая объекта является границей его спектральных свойств, определяемых диапазоном уровней яркости в каждой из интересующих спектральных полос .
• Спектральная плотность является функцией частоты, а не функцией времени. Однако спектральная плотность небольшого окна более длинного сигнала может быть рассчитана и построена в зависимости от времени, связанного с окном. Такой график называется спектрограммой . Это основа ряда методов спектрального анализа, таких как кратковременное преобразование Фурье и вейвлеты .
• «Спектр» обычно означает спектральную плотность мощности, как обсуждалось выше, которая отображает распределение содержимого сигнала по частоте. Для передаточных функций (например, диаграмма Боде , чирп ) полная частотная характеристика может быть представлена ​​в виде двух частей: мощность в зависимости от частоты и фаза в зависимости от частоты — фазовая спектральная плотность , фазовый спектр или спектральная фаза . Реже эти две части могут быть действительной и мнимой частями передаточной функции. Это не следует путать с частотной характеристикой передаточной функции, которая также включает фазу (или, что эквивалентно, действительную и мнимую часть) как функцию частоты. Импульсная характеристика во временной области, как правило, не может быть однозначно восстановлена ​​только из спектральной плотности мощности без фазовой части. Хотя это также пары преобразований Фурье, симметрия (как для автокорреляции ) отсутствует, заставляя преобразование Фурье быть действительным. См. Ультракороткий импульс#Спектральная фаза , фазовый шум , групповая задержка . ${\displaystyle h(t)}$
• Иногда встречается амплитудная спектральная плотность ( ASD ), которая является квадратным корнем из PSD; ASD сигнала напряжения имеет единицы измерения В Гц ^−1/2 . ^[19] Это полезно, когда форма спектра довольно постоянна, поскольку изменения в ASD тогда будут пропорциональны изменениям в самом уровне напряжения сигнала. Но математически предпочтительнее использовать PSD, поскольку только в этом случае площадь под кривой имеет смысл с точки зрения фактической мощности по всем частотам или по указанной полосе пропускания.

Приложения

Любой сигнал, который может быть представлен как переменная, которая изменяется во времени, имеет соответствующий частотный спектр. Это включает в себя знакомые сущности, такие как видимый свет (воспринимаемый как цвет ), музыкальные ноты (воспринимаемые как высота тона ), радио/телевидение (определяемые их частотой или иногда длиной волны ) и даже регулярное вращение Земли. Когда эти сигналы рассматриваются в форме частотного спектра, раскрываются определенные аспекты полученных сигналов или основных процессов, их производящих. В некоторых случаях частотный спектр может включать в себя отчетливый пик, соответствующий компоненту синусоидальной волны . И, кроме того, могут быть пики, соответствующие гармоникам основного пика, указывающие на периодический сигнал, который не является просто синусоидальным. Или непрерывный спектр может показывать узкие частотные интервалы, которые сильно усилены, соответствующие резонансам, или частотные интервалы, содержащие почти нулевую мощность, как это было бы с помощью режекторного фильтра .

Электротехника

Спектрограмма радиосигнала FM-диапазона с частотой по горизонтальной оси и временем, увеличивающимся вверх по вертикальной оси.

Концепция и использование спектра мощности сигнала являются фундаментальными в электротехнике , особенно в электронных системах связи , включая радиосвязь , радары и связанные с ними системы, а также технологию пассивного дистанционного зондирования . Электронные приборы, называемые анализаторами спектра, используются для наблюдения и измерения спектров мощности сигналов.

Анализатор спектра измеряет величину кратковременного преобразования Фурье (STFT) входного сигнала. Если анализируемый сигнал можно считать стационарным процессом, STFT является хорошей сглаженной оценкой его спектральной плотности мощности.

Космология

Первичные флуктуации , изменения плотности в ранней Вселенной, количественно определяются спектром мощности, который показывает мощность изменений как функцию пространственного масштаба.

Смотрите также

• Биспектр
• Яркостная температура
• Цвета шума
• Спектральный анализ методом наименьших квадратов
• Спектральная плотность шума
• Оценка спектральной плотности
• Спектральная эффективность
• Спектральная утечка
• Спектральное распределение мощности
• Вероятность уменьшения
• Функция окна

Примечания

1. Некоторые авторы, например, (Risken & Frank 1996, стр. 30) все еще используют ненормализованное преобразование Фурье формальным способом для формулирования определения спектральной плотности мощности , где — дельта-функция Дирака . Такие формальные утверждения иногда могут быть полезны для руководства интуицией, но всегда должны использоваться с максимальной осторожностью. $${\displaystyle \langle {\hat {x}}(\omega ){\hat {x}}^{\ast }(\omega ')\rangle =2\pi f(\omega )\delta (\omega -\omega '),}$$ ${\displaystyle \delta (\omega -\omega ')}$
2. Теорема Винера–Хинчина придает смысл этой формуле для любого стационарного процесса в широком смысле при более слабых гипотезах: не обязательно быть абсолютно интегрируемым, достаточно лишь существовать. Но интеграл больше не может интерпретироваться как обычно. Формула также имеет смысл, если интерпретировать ее как включающую распределения (в смысле Лорана Шварца , а не в смысле статистической кумулятивной функции распределения ) вместо функций. Если является непрерывным, теорему Бохнера можно использовать для доказательства того, что ее преобразование Фурье существует как положительная мера , функция распределения которой равна F (но не обязательно как функция и не обязательно обладающая плотностью вероятности). ${\displaystyle R_{xx}}$ ${\displaystyle R_{xx}}$

1. P Stoica & R Moses (2005). «Спектральный анализ сигналов» (PDF) .
2. Марал 2004.
3. Нортон и Карчуб 2003.
4. Биролини 2007, стр. 83.
5. Paschotta, Rüdiger. "Power Spectral Density". rp-photonics.com . Архивировано из оригинала 2024-04-15 . Получено 2024-06-26 .
6. Оппенгейм и Вергезе, 2016, с. 12.
7. Штейн 2000, стр. 108, 115.
8. Оппенгейм и Вергезе, 2016, с. 14.
9. Оппенгейм и Вергезе, 2016, стр. 422–423.
10. Миллер и Чайлдерс 2012, стр. 429–431.
11. Миллер и Чайлдерс 2012, стр. 433.
12. Деннис Уорд Рикер (2003). Обработка эхо-сигнала. Springer. ISBN 978-1-4020-7395-3.
13. Браун и Хванг 1997.
14. Миллер и Чайлдерс 2012, стр. 431.
15. Дэвенпорт и Рут 1987.
16. Уильям Д. Пенни (2009). «Курс обработки сигналов, глава 7».
17. Иранманеш и Родригес-Вильегас 2017.
18. Имтиас и Родригес-Вильегас 2014.
19. Майкл Серна и Одри Ф. Харви (2000). «Основы анализа и измерения сигналов на основе БПФ» (PDF) .

Ссылки

• Биролини, Алессандро (2007). Надежность техники . Берлин; Нью-Йорк: Springer Science & Business Media. ISBN 978-3-540-49388-4.
• Браун, Роберт Гровер; Хванг, Патрик YC (1997). Введение в случайные сигналы и прикладную фильтрацию Калмана с упражнениями и решениями Matlab . Нью-Йорк: Wiley-Liss. ISBN 978-0-471-12839-7.
• Дэвенпорт, Уилбур Б. (младший); Рут, Уильям Л. (1987). Введение в теорию случайных сигналов и шума . Нью-Йорк: Wiley-IEEE Press. ISBN 978-0-87942-235-6.
• Имтиаз, Сайед Анас; Родригес-Вильегас, Эстер (2014). «Алгоритм с низкими вычислительными затратами для обнаружения быстрого сна с использованием одноканальной ЭЭГ». Annals of Biomedical Engineering . 42 (11): 2344–59. doi : 10.1007/s10439-014-1085-6. PMC  4204008. PMID  25113231.
• Iranmanesh, Saam; Rodriguez-Villegas, Esther (2017). «Система обнаружения веретена сна сверхнизкого энергопотребления на чипе». Труды IEEE по биомедицинским схемам и системам . 11 (4): 858–866. doi : 10.1109/TBCAS.2017.2690908. hdl : 10044/1/46059 . PMID  28541914. S2CID  206608057.
• Марал, Джерард (2004). VSAT Networks . Западный Сассекс, Англия; Хобокен, Нью-Джерси: Wiley. ISBN 978-0-470-86684-9.
• Миллер, Скотт; Чайлдерс, Дональд (2012). Вероятность и случайные процессы . Бостон, Массачусетс: Academic Press. ISBN 978-0-12-386981-4. OCLC  696092052.
• Нортон, М. П.; Карчуб, Д. Г. (2003). Основы анализа шума и вибрации для инженеров . Кембридж: Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-49913-2.
• Оппенгейм, Алан В.; Вергезе, Джордж К. (2016). Сигналы, системы и вывод . Бостон: Pearson. ISBN 978-0-13-394328-3.
• Рискен, Ханнес; Фрэнк, Тилль (1996). Уравнение Фоккера-Планка . Нью-Йорк: Springer Science & Business Media. ISBN 978-3-540-61530-9.
• Штейн, Джонатан Ю. (2000). Цифровая обработка сигналов . Нью-Йорк Вайнхайм: Wiley-Interscience. ISBN 978-0-471-29546-4.

Внешние ссылки

• Спектральная плотность мощности скрипты Matlab