Геометрическое исчисление

Исчисление бесконечно малых величин на функциях, определенных в геометрической алгебре

В математике геометрическое исчисление расширяет геометрическую алгебру , включив в нее дифференцирование и интегрирование . Этот формализм является мощным и может быть показано, что он охватывает другие математические теории, включая векторное исчисление , дифференциальную геометрию и дифференциальные формы . ^[1]

Дифференциация

Пусть задана геометрическая алгебра, и пусть и — векторы , а — многовекторная -значная функция вектора. Производная по направлению вдоль at определяется как ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle a}$

${\displaystyle (\nabla _{b}F)(a)=\lim _{\epsilon \rightarrow 0}{\frac {F(a+\epsilon b)-F(a)}{\epsilon }},}$

при условии, что предел существует для всех , где предел берется за скаляр . Это похоже на обычное определение производной по направлению, но расширяет его до функций, которые не обязательно являются скалярными. ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle \epsilon }$

Затем выберите набор базисных векторов и рассмотрим операторы, обозначенные , которые выполняют производные по направлению в направлениях : ${\displaystyle \{e_{i}\}}$ ${\displaystyle \partial _{i}}$ ${\displaystyle e_{i}}$

${\displaystyle \partial _{i}:F\mapsto (x\mapsto (\nabla _{e_{i}}F)(x)).}$

Затем, используя обозначения суммирования Эйнштейна , рассмотрим оператор:

${\displaystyle e^{i}\partial _{i},}$

что значит

${\displaystyle F\mapsto e^{i}\partial _{i}F,}$

где геометрическое произведение применяется после производной по направлению. Более подробно:

${\displaystyle F\mapsto (x\mapsto e^{i}(\nabla _{e_{i}}F)(x)).}$

Этот оператор не зависит от выбора системы отсчета и, таким образом, может использоваться для определения того, что в геометрическом исчислении называется производной вектора :

${\displaystyle \nabla =e^{i}\partial _{i}.}$

Это похоже на обычное определение градиента , но оно также распространяется на функции, которые не обязательно являются скалярными.

Производная по направлению линейна относительно своего направления, то есть:

${\displaystyle \nabla _{\alpha a+\beta b}=\alpha \nabla _{a}+\beta \nabla _{b}.}$

Отсюда следует, что производная по направлению является скалярным произведением своего направления на векторную производную. Все, что нужно соблюдать, это то, что направление можно записать так, чтобы: ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle a=(a\cdot e^{i})e_{i}}$

${\displaystyle \nabla _{a}=\nabla _{(a\cdot e^{i})e_{i}}=(a\cdot e^{i})\nabla _{e_{i}}=a\cdot (e^{i}\nabla _{e_{i}})=a\cdot \nabla .}$

По этой причине часто отмечают . ${\displaystyle \nabla _{a}F(x)}$ ${\displaystyle a\cdot \nabla F(x)}$

Стандартный порядок действий для векторной производной таков: она действует только на функцию, ближайшую к ней непосредственно справа. Учитывая две функции и , то, например, имеем ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle G}$

${\displaystyle \nabla FG=(\nabla F)G.}$

Правило продукта

Хотя частная производная подчиняется правилу произведения , векторная производная лишь частично наследует это свойство. Рассмотрим две функции и : ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle G}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\nabla (FG)&=e^{i}\partial _{i}(FG)\\&=e^{i}((\partial _{i}F)G+F(\partial _{i}G))\\&=e^{i}(\partial _{i}F)G+e^{i}F(\partial _{i}G).\end{aligned}}}$

Поскольку геометрическое произведение вообще не коммутативно с , для продолжения нам нужны новые обозначения. Решение состоит в том, чтобы принять обозначение с точкой , в которой областью действия векторной производной с точкой является многовекторная функция, имеющая одну и ту же точку. В этом случае, если мы определим ${\displaystyle e^{i}F\neq Fe^{i}}$

${\displaystyle {\dot {\nabla }}F{\dot {G}}=e^{i}F(\partial _{i}G),}$

тогда правило произведения для векторной производной будет

${\displaystyle \nabla (FG)=\nabla FG+{\dot {\nabla }}F{\dot {G}}.}$

Внутренняя и внешняя производная

Пусть – мультивектор -степени. Тогда мы можем определить дополнительную пару операторов, внутреннюю и внешнюю производные, ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle r}$

${\displaystyle \nabla \cdot F=\langle \nabla F\rangle _{r-1}=e^{i}\cdot \partial _{i}F,}$

${\displaystyle \nabla \wedge F=\langle \nabla F\rangle _{r+1}=e^{i}\wedge \partial _{i}F.}$

В частности, если это класс 1 (векторная функция), то можно написать ${\displaystyle F}$

${\displaystyle \nabla F=\nabla \cdot F+\nabla \wedge F}$

и определим расхождение и завиток как

${\displaystyle \nabla \cdot F=\operatorname {div} F,}$

${\displaystyle \nabla \wedge F=I\,\operatorname {curl} F.}$

В отличие от векторной производной, ни оператор внутренней производной, ни оператор внешней производной не являются обратимыми.

Многовекторная производная

Производная по вектору, как обсуждалось выше, может быть обобщена до производной по общему мультивектору, называемой мультивекторной производной .

Пусть – многовекторная функция мультивектора. Производная по направлению по направлению , где и – мультивекторы, определяется как ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle A}$

${\displaystyle A*\partial _{X}F(X)=\lim _{\epsilon \to 0}{\frac {F(X+\epsilon A)-F(X)}{\epsilon }}\ ,}$

где скалярное произведение . С векторным базисом и соответствующим двойственным базисом многовекторная производная определяется через производную по направлению как ^[2] ${\displaystyle A*B=\langle AB\rangle }$ ${\displaystyle \{e_{i}\}}$ ${\displaystyle \{e^{i}\}}$

${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial X}}=\partial _{X}=\sum _{i<\dots <j}e^{i}\wedge \cdots \wedge e^{j}(e_{j}\wedge \cdots \wedge e_{i})*\partial _{X}\ .}$

Это уравнение просто выражается через компоненты взаимного базиса лезвий, как обсуждалось в разделе статьи « Геометрическая алгебра # Двойной базис» . ${\displaystyle \partial _{X}}$

Ключевое свойство многовекторной производной состоит в том, что

${\displaystyle \partial _{X}\langle XA\rangle =P_{X}(A)\ ,}$

где – проекция на оценки, содержащиеся в . ${\displaystyle P_{X}(A)}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle X}$

Многовекторная производная находит приложения в лагранжевой теории поля .

Интеграция

Пусть — набор базисных векторов, охватывающих -мерное векторное пространство. Из геометрической алгебры мы интерпретируем псевдоскаляр как знаковый объем -параллелоэдра , опирающийся на эти базисные векторы. Если базисные векторы ортонормированы , то это единичный псевдоскаляр. ${\displaystyle \{e_{1},\ldots ,e_{n}\}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle e_{1}\wedge e_{2}\wedge \cdots \wedge e_{n}}$ ${\displaystyle n}$

В более общем смысле мы можем ограничиться подмножеством базисных векторов, где , чтобы рассматривать длину, площадь или другой общий -объем подпространства в общем -мерном векторном пространстве. Обозначим эти выбранные базисные векторы через . Общий -объем -параллелотопа, опирающегося на эти базисные векторы, является мультивектором степени . ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle 1\leq k\leq n}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \{e_{i_{1}},\ldots ,e_{i_{k}}\}}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle e_{i_{1}}\wedge e_{i_{2}}\wedge \cdots \wedge e_{i_{k}}}$

В более общем смысле мы можем рассмотреть новый набор векторов, пропорциональных базисным векторам, где каждый из них является компонентом, масштабирующим один из базисных векторов. Мы вольны выбирать настолько бесконечно малые компоненты, насколько пожелаем, при условии, что они остаются ненулевыми. Поскольку внешний продукт этих термов можно интерпретировать как -объем , естественным способом определения меры является ${\displaystyle \{x^{i_{1}}e_{i_{1}},\ldots ,x^{i_{k}}e_{i_{k}}\}}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle \{x^{i_{j}}\}}$ ${\displaystyle k}$

${\displaystyle {\begin{aligned}d^{k}X&=\left(dx^{i_{1}}e_{i_{1}}\right)\wedge \left(dx^{i_{2}}e_{i_{2}}\right)\wedge \cdots \wedge \left(dx^{i_{k}}e_{i_{k}}\right)\\&=\left(e_{i_{1}}\wedge e_{i_{2}}\wedge \cdots \wedge e_{i_{k}}\right)dx^{i_{1}}dx^{i_{2}}\cdots dx^{i_{k}}.\end{aligned}}}$

Таким образом, мера всегда пропорциональна единичному псевдоскаляру -мерного подпространства векторного пространства. Сравните риманову форму объема в теории дифференциальных форм. Интеграл берется по этой мере: ${\displaystyle k}$

${\displaystyle \int _{V}F(x)\,d^{k}X=\int _{V}F(x)\left(e_{i_{1}}\wedge e_{i_{2}}\wedge \cdots \wedge e_{i_{k}}\right)dx^{i_{1}}dx^{i_{2}}\cdots dx^{i_{k}}.}$

Более формально, рассмотрим некоторый направленный объем подпространства. Мы можем разделить этот объем на сумму симплексов . Пусть – координаты вершин. Каждой вершине мы присваиваем меру как среднюю меру симплексов, разделяющих эту вершину. Тогда интеграл от по этому объему получается в пределе более тонкого разбиения объема на более мелкие симплексы: ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle \{x_{i}\}}$ ${\displaystyle \Delta U_{i}(x)}$ ${\displaystyle F(x)}$ ${\displaystyle U(x)}$

${\displaystyle \int _{V}F\,dU=\lim _{n\rightarrow \infty }\sum _{i=1}^{n}F(x_{i})\,\Delta U_{i}(x_{i}).}$

Основная теорема геометрического исчисления

Причина определения векторной производной и интеграла, как указано выше, заключается в том, что они допускают сильное обобщение теоремы Стокса . Пусть — многовекторная функция от входа -сорта и общего положения , линейная по первому аргументу. Тогда основная теорема геометрического исчисления связывает интеграл от производной по объему с интегралом по его границе: ${\displaystyle {\mathsf {L}}(A;x)}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle V}$

${\displaystyle \int _{V}{\dot {\mathsf {L}}}\left({\dot {\nabla }}dX;x\right)=\oint _{\partial V}{\mathsf {L}}(dS;x).}$

В качестве примера рассмотрим векторную функцию и мультивектор ( )-степени . Мы находим это ${\displaystyle {\mathsf {L}}(A;x)=\langle F(x)AI^{-1}\rangle }$ ${\displaystyle F(x)}$ ${\displaystyle n-1}$ ${\displaystyle A}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\int _{V}{\dot {\mathsf {L}}}\left({\dot {\nabla }}dX;x\right)&=\int _{V}\langle {\dot {F}}(x){\dot {\nabla }}\,dX\,I^{-1}\rangle \\&=\int _{V}\langle {\dot {F}}(x){\dot {\nabla }}\,|dX|\rangle \\&=\int _{V}\nabla \cdot F(x)\,|dX|.\end{aligned}}}$

Так же,

${\displaystyle {\begin{aligned}\oint _{\partial V}{\mathsf {L}}(dS;x)&=\oint _{\partial V}\langle F(x)\,dS\,I^{-1}\rangle \\&=\oint _{\partial V}\langle F(x){\hat {n}}\,|dS|\rangle \\&=\oint _{\partial V}F(x)\cdot {\hat {n}}\,|dS|.\end{aligned}}}$

Таким образом, мы восстанавливаем теорему о расходимости ,

${\displaystyle \int _{V}\nabla \cdot F(x)\,|dX|=\oint _{\partial V}F(x)\cdot {\hat {n}}\,|dS|.}$

Ковариантная производная

Достаточно гладкая -поверхность в -мерном пространстве называется многообразием . К каждой точке многообразия мы можем прикрепить -лопатку , касающуюся многообразия. Локально действует как псевдоскаляр -мерного пространства. Эта лопасть определяет проекцию векторов на многообразие: ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle k}$

${\displaystyle {\mathcal {P}}_{B}(A)=(A\cdot B^{-1})B.}$

Так же, как векторная производная определяется по всему -мерному пространству, мы можем захотеть определить внутреннюю производную , локально определенную на многообразии: ${\displaystyle \nabla }$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \partial }$

${\displaystyle \partial F={\mathcal {P}}_{B}(\nabla )F.}$

(Примечание: правая часть вышесказанного не может лежать в касательном пространстве к многообразию. Следовательно, это не то же самое , что и , которое обязательно лежит в касательном пространстве.) ${\displaystyle {\mathcal {P}}_{B}(\nabla F)}$

Если вектор является касательным к многообразию, то действительно и векторная производная, и внутренняя производная дают одну и ту же производную по направлению: ${\displaystyle a}$

${\displaystyle a\cdot \partial F=a\cdot \nabla F.}$

Хотя эта операция совершенно допустима, она не всегда полезна, поскольку сама по себе не обязательно находится на многообразии. Поэтому мы определяем ковариантную производную как вынужденную проекцию внутренней производной обратно на многообразие: ${\displaystyle \partial F}$

${\displaystyle a\cdot DF={\mathcal {P}}_{B}(a\cdot \partial F)={\mathcal {P}}_{B}(a\cdot {\mathcal {P}}_{B}(\nabla )F).}$

Поскольку любой общий мультивектор можно выразить как сумму проекции и отклонения, в этом случае

${\displaystyle a\cdot \partial F={\mathcal {P}}_{B}(a\cdot \partial F)+{\mathcal {P}}_{B}^{\perp }(a\cdot \partial F),}$

мы вводим новую функцию — тензор формы , которая удовлетворяет условию ${\displaystyle {\mathsf {S}}(a)}$

${\displaystyle F\times {\mathsf {S}}(a)={\mathcal {P}}_{B}^{\perp }(a\cdot \partial F),}$

где - произведение коммутатора . В локальном базисе координат, охватывающем касательную поверхность, тензор формы определяется выражением ${\displaystyle \times }$ ${\displaystyle \{e_{i}\}}$

${\displaystyle {\mathsf {S}}(a)=e^{i}\wedge {\mathcal {P}}_{B}^{\perp }(a\cdot \partial e_{i}).}$

Важно отметить, что на общем многообразии ковариантная производная не коммутирует. В частности, коммутатор связан с тензором формы соотношением

${\displaystyle [a\cdot D,\,b\cdot D]F=-({\mathsf {S}}(a)\times {\mathsf {S}}(b))\times F.}$

Очевидно, что этот термин представляет интерес. Однако она, как и внутренняя производная, не обязательно находится на многообразии. Следовательно, мы можем определить тензор Римана как проекцию обратно на многообразие: ${\displaystyle {\mathsf {S}}(a)\times {\mathsf {S}}(b)}$

${\displaystyle {\mathsf {R}}(a\wedge b)=-{\mathcal {P}}_{B}({\mathsf {S}}(a)\times {\mathsf {S}}(b)).}$

Наконец, если имеет степень , то мы можем определить внутренние и внешние ковариантные производные как ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle r}$

${\displaystyle D\cdot F=\langle DF\rangle _{r-1},}$

${\displaystyle D\wedge F=\langle DF\rangle _{r+1},}$

то же самое и для внутренней производной.

Связь с дифференциальной геометрией

На многообразии локально мы можем назначить касательную поверхность, натянутую набором базисных векторов . Мы можем связать компоненты метрического тензора , символы Кристоффеля и тензор кривизны Римана следующим образом: ${\displaystyle \{e_{i}\}}$

${\displaystyle g_{ij}=e_{i}\cdot e_{j},}$

${\displaystyle \Gamma _{ij}^{k}=(e_{i}\cdot De_{j})\cdot e^{k},}$

${\displaystyle R_{ijkl}=({\mathsf {R}}(e_{i}\wedge e_{j})\cdot e_{k})\cdot e_{l}.}$

Эти отношения включают теорию дифференциальной геометрии в геометрическое исчисление.

Отношение к дифференциальным формам

В локальной системе координат ( ) дифференциалы координат , ... образуют базовый набор одноформ в координатной карте . Учитывая мультииндекс с for , мы можем определить -form ${\displaystyle x^{1},\ldots ,x^{n}}$ ${\displaystyle dx^{1}}$ ${\displaystyle dx^{n}}$ ${\displaystyle I=(i_{1},\ldots ,i_{k})}$ ${\displaystyle 1\leq i_{p}\leq n}$ ${\displaystyle 1\leq p\leq k}$ ${\displaystyle k}$

${\displaystyle \omega =f_{I}\,dx^{I}=f_{i_{1}i_{2}\cdots i_{k}}\,dx^{i_{1}}\wedge dx^{i_{2}}\wedge \cdots \wedge dx^{i_{k}}.}$

В качестве альтернативы мы можем ввести мультивектор -сорта как ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle A}$

${\displaystyle A=f_{i_{1}i_{2}\cdots i_{k}}e^{i_{1}}\wedge e^{i_{2}}\wedge \cdots \wedge e^{i_{k}}}$

и мера

${\displaystyle {\begin{aligned}d^{k}X&=\left(dx^{i_{1}}e_{i_{1}}\right)\wedge \left(dx^{i_{2}}e_{i_{2}}\right)\wedge \cdots \wedge \left(dx^{i_{k}}e_{i_{k}}\right)\\&=\left(e_{i_{1}}\wedge e_{i_{2}}\wedge \cdots \wedge e_{i_{k}}\right)dx^{i_{1}}dx^{i_{2}}\cdots dx^{i_{k}}.\end{aligned}}}$

Помимо тонкой разницы в значении внешнего произведения по отношению к дифференциальным формам и внешнего произведения по отношению к векторам (в первом случае приращения являются ковекторами, тогда как во втором они представляют собой скаляры), мы видим соответствия дифференциальной формы

${\displaystyle \omega \cong A^{\dagger }\cdot d^{k}X=A\cdot \left(d^{k}X\right)^{\dagger },}$

его производная

${\displaystyle d\omega \cong (D\wedge A)^{\dagger }\cdot d^{k+1}X=(D\wedge A)\cdot \left(d^{k+1}X\right)^{\dagger },}$

и его двойник Ходжа

${\displaystyle \star \omega \cong (I^{-1}A)^{\dagger }\cdot d^{k}X,}$

внедрить теорию дифференциальных форм в геометрическое исчисление.

История

Ниже приводится диаграмма, обобщающая историю геометрического исчисления.

История геометрического исчисления.

Ссылки и дальнейшее чтение

1. Дэвид Хестенс , Гаррет Собчик: от алгебры Клиффорда до геометрического исчисления, единого языка математики и физики (Дордрехт/Бостон: G.Reidel Publ.Co., 1984, ISBN  90-277-2561-6 )
2. Доран, Крис; Ласенби, Энтони (2007). Геометрическая алгебра для физиков . Издательство Кембриджского университета. п. 395. ИСБН 978-0-521-71595-9.

• Макдональд, Алан (2012). Векторное и геометрическое исчисление. Чарльстон: CreateSpace. ISBN 9781480132450. ОКЛК  829395829.