В геометрии гиперплоскость — это обобщение двумерной плоскости в трехмерном пространстве на математические пространства произвольной размерности . Как и плоскость в пространстве, гиперплоскость — это плоская гиперповерхность , подпространство, размерность которого на единицу меньше размера окружающего пространства . Двумя низкомерными примерами гиперплоскостей являются одномерные линии на плоскости и нульмерные точки на прямой.
Чаще всего окружающее пространство представляет собой n -мерное евклидово пространство , и в этом случае гиперплоскости представляют собой ( n -1) -мерные плоскости , каждая из которых разделяет пространство на два полупространства . [1] Отражение через гиперплоскость — это своего рода движение ( геометрическое преобразование, сохраняющее расстояние между точками), и группа всех движений генерируется отражениями . Выпуклый многогранник — это пересечение полупространств.
В неевклидовой геометрии окружающее пространство может быть n -мерной сферой или гиперболическим пространством или, в более общем смысле, псевдоримановой пространственной формой , а гиперплоскости — это гиперповерхности, состоящие из всех геодезических, проходящих через точку, перпендикулярную определенной нормали . геодезический.
В других типах окружающих пространств некоторые свойства евклидова пространства больше не актуальны. Например, в аффинном пространстве нет понятия расстояния, поэтому нет отражений или движений. В неориентируемом пространстве, таком как эллиптическое пространство или проективное пространство , нет понятия полуплоскостей. В наибольшей общности понятие гиперплоскости имеет смысл в любом математическом пространстве, в котором определено понятие размерности подпространства .
Разница в размерности между подпространством и окружающим его пространством известна как его коразмерность . Гиперплоскость имеет коразмерность 1 .
В геометрии гиперплоскость n - мерного пространства V — это подпространство размерности n - 1 или, что то же самое, коразмерности 1 в V. Пространство V может быть евклидовым пространством или, в более общем смысле, аффинным пространством , векторным пространством или проективным пространством , и понятие гиперплоскости меняется соответственно, поскольку определение подпространства различается в этих условиях; однако во всех случаях любая гиперплоскость может быть задана в координатах как решение одного (из-за ограничения «коразмерности 1») алгебраического уравнения степени 1.
Если V — векторное пространство, различают «векторные гиперплоскости» (которые являются линейными подпространствами и, следовательно, должны проходить через начало координат) и «аффинные гиперплоскости» (которые не обязательно проходят через начало координат; их можно получить путем перевода вектора гиперплоскость). Гиперплоскость в евклидовом пространстве разделяет это пространство на два полупространства и определяет отражение , которое фиксирует гиперплоскость и меняет местами эти два полупространства.
Определены несколько конкретных типов гиперплоскостей со свойствами, которые хорошо подходят для конкретных целей. Некоторые из этих специализаций описаны здесь.
Аффинная гиперплоскость — это аффинное подпространство коразмерности 1 в аффинном пространстве . В декартовых координатах такая гиперплоскость может быть описана одним линейным уравнением следующего вида (где хотя бы один из s не равен нулю и является произвольной константой):
В случае действительного аффинного пространства, другими словами, когда координаты являются действительными числами, это аффинное пространство разделяет пространство на два полупространства, которые являются связными компонентами дополнения гиперплоскости и задаются неравенствами
и
Например, точка — это гиперплоскость в одномерном пространстве, линия — это гиперплоскость в двухмерном пространстве, а плоскость — это гиперплоскость в трехмерном пространстве. Линия в трехмерном пространстве не является гиперплоскостью и не разделяет пространство на две части (дополнение такой линии связно).
Любая гиперплоскость евклидова пространства имеет ровно два единичных вектора нормали: . В частности, если мы рассмотрим оснащение обычным скалярным произведением ( скалярным произведением ), то можно определить аффинное подпространство с нормальным вектором и сдвигом начала координат как набор всех таких, что .
Аффинные гиперплоскости используются для определения границ решений во многих алгоритмах машинного обучения , таких как деревья решений линейной комбинации (наклонные) и перцептроны .
В векторном пространстве векторная гиперплоскость — это подпространство коразмерности 1, которое может быть смещено от начала координат только на вектор, и в этом случае оно называется плоскостью . Такая гиперплоскость является решением одного линейного уравнения .
Проективные гиперплоскости используются в проективной геометрии . Проективное подпространство — это набор точек, обладающий свойством, что для любых двух точек набора все точки на линии, определяемой этими двумя точками, содержатся в наборе. [2] Проективную геометрию можно рассматривать как аффинную геометрию с добавленными точками схода (точками на бесконечности). Аффинная гиперплоскость вместе с соответствующими точками на бесконечности образует проективную гиперплоскость. Одним из особых случаев проективной гиперплоскости является бесконечная или идеальная гиперплоскость , которая определяется набором всех точек, находящихся на бесконечности.
В проективном пространстве гиперплоскость не делит пространство на две части; скорее, для разделения точек и разделения пространства требуются две гиперплоскости. Причина этого в том, что пространство по сути «заворачивается», так что обе стороны одинокой гиперплоскости соединены друг с другом.
В выпуклой геометрии два непересекающихся выпуклых множества в n-мерном евклидовом пространстве разделены гиперплоскостью, этот результат называется теоремой разделения гиперплоскостей .
В машинном обучении гиперплоскости являются ключевым инструментом для создания машин опорных векторов для таких задач, как компьютерное зрение и обработка естественного языка .
Точка данных и ее прогнозируемое значение с помощью линейной модели представляют собой гиперплоскость.
Двугранный угол между двумя непараллельными гиперплоскостями евклидова пространства — это угол между соответствующими векторами нормалей . Продуктом преобразований в двух гиперплоскостях является вращение , осью которого является подпространство коразмерности 2, полученное пересечением гиперплоскостей, и угол которого в два раза больше угла между гиперплоскостями.
Гиперплоскость H называется «опорной» гиперплоскостью многогранника P, если P содержится в одном из двух замкнутых полупространств, ограниченных H и . [3] Пересечение P и H определяется как «грань» многогранника. Теория многогранников и размерность граней анализируются путем рассмотрения этих пересечений с участием гиперплоскостей.
