В математике пространственная форма — это полное риманово многообразие M постоянной секционной кривизны K. Тремя наиболее фундаментальными примерами являются евклидово n -пространство , n -мерная сфера и гиперболическое пространство , хотя форма пространства не обязательно должна быть односвязной .
Теорема Киллинга-Хопфа римановой геометрии утверждает, что универсальное накрытие n -мерной пространственной формы с кривизной изометрично , гиперболическому пространству , с кривизной изометрично , евклидову n -пространству , а с кривизной изометрично , n- пространству. мерная сфера точек на расстоянии 1 от начала координат в .
Изменяя масштаб римановой метрики на , мы можем создать пространство постоянной кривизны для любого . Аналогично, изменяя масштаб римановой метрики на , мы можем создать пространство постоянной кривизны для любого . Таким образом, универсальное накрытие пространственной формы постоянной кривизны изометрично .
Это сводит задачу изучения пространственных форм к изучению дискретных групп , изометрии которых действуют собственно разрывно . Обратите внимание, что фундаментальная группа , , будет изоморфна . Группы, действующие таким образом, называются кристаллографическими группами . Группы, действующие таким образом на и, называются фуксовыми группами и клейновыми группами соответственно.
