В математике проблема Суслина — это вопрос о полностью упорядоченных множествах, поставленный Михаилом Яковлевичем Суслиным (1920) и опубликованный посмертно. Было показано, что он независим от стандартной аксиоматической системы теории множеств, известной как ZFC ; Соловей и Тенненбаум (1971) показали, что утверждение не может быть ни доказано, ни опровергнуто из этих аксиом, предполагая, что ZF непротиворечива.
(Иногда Suslin также пишется с французской транслитерацией как Souslin , от кириллического Суслин .)
Un ансамбль ordonné (lineairement) без пробелов и пробелов и tel que tout ансамбль de ses Intervals (contenant plus qu'un élement) n'empiétant pas les uns sur les autres est au plus dénumerable, est-il nécessairement un continue linéaire (ordinaire) ?
Является ли (линейно) упорядоченное множество без скачков и пробелов таким, что каждый набор его интервалов (содержащих более одного элемента), не перекрывающихся друг с другом, является не более чем счетным, обязательно (обычным) линейным континуумом?
Оригинальная формулировка проблемы Суслина (Суслин 1920)
Задача Суслина звучит так: дано непустое полностью упорядоченное множество R с четырьмя свойствами
обязательно ли R по порядку изоморфна действительной прямой R ?
Если требование для условия счетной цепи заменить требованием, чтобы R содержал счетное плотное подмножество (т.е. R является сепарабельным пространством ), то ответ действительно будет положительным: любое такое множество R обязательно порядково изоморфно R (доказано Кантором ).
Условие для топологического пространства , при котором любая совокупность непустых непересекающихся открытых множеств является не более чем счетной, называется свойством Суслина .
Любое полностью упорядоченное множество, не изоморфное R , но удовлетворяющее свойствам 1–4, известно как линия Суслина . Гипотеза Суслина утверждает, что линий Суслина не существует: что каждый счетно-цепной-условный плотный полный линейный порядок без конечных точек изоморфен действительной линии. Эквивалентное утверждение состоит в том, что каждое дерево высоты ω 1 имеет либо ветвь длины ω 1 , либо антицепь мощности ℵ 1 .
Обобщенная гипотеза Суслина утверждает, что для любого бесконечного регулярного кардинала κ каждое дерево высоты κ имеет либо ветвь длины κ , либо антицепь мощности κ. Существование линий Суслина эквивалентно существованию деревьев Суслина и алгебр Суслина .
Гипотеза Суслина независима от ZFC. Jech (1967) и Tennenbaum (1968) независимо друг от друга использовали методы принуждения для построения моделей ZFC, в которых существуют линии Суслина. Позднее Йенсен доказал, что линии Суслина существуют, если предполагается алмазный принцип , следствие аксиомы конструктивности V = L. (Результат Йенсена оказался неожиданным, поскольку ранее предполагалось, что V = L подразумевает, что линий Суслина не существует, на том основании, что V = L подразумевает, что существует «мало» множеств.) С другой стороны, Solovay & Tennenbaum (1971) использовали принуждение для построения модели ZFC без линий Суслина; точнее, они показали, что аксиома Мартина плюс отрицание гипотезы континуума влекут гипотезу Суслина.
Гипотеза Суслина также независима как от обобщенной гипотезы континуума (доказанной Рональдом Дженсеном ), так и от отрицания гипотезы континуума . Неизвестно, согласуется ли обобщенная гипотеза Суслина с обобщенной гипотезой континуума; однако, поскольку комбинация подразумевает отрицание квадратного принципа в сингулярном сильном предельном кардинале — фактически, во всех сингулярных кардиналах и всех регулярных последующих кардиналах — это подразумевает, что аксиома определенности выполняется в L(R) и, как полагают, подразумевает существование внутренней модели со сверхсильным кардиналом .