Закон всемирного тяготения Ньютона

Классическое утверждение о гравитации как силе

Закон всемирного тяготения Ньютона гласит, что каждая частица притягивает каждую другую частицу во Вселенной с силой , пропорциональной произведению их масс и обратно пропорциональной квадрату расстояния между их центрами. Разделенные объекты притягиваются и притягиваются так, как если бы вся их масса была сосредоточена в их центрах . Публикация закона стала известна как « первое великое объединение », поскольку она ознаменовала объединение ранее описанных явлений гравитации на Земле с известными астрономическими поведениями. ^{[1] [2] [3]}

Это общий физический закон, выведенный из эмпирических наблюдений с помощью того, что Исаак Ньютон называл индуктивным рассуждением . ^[4] Он является частью классической механики и был сформулирован в работе Ньютона Philosophiæ Naturalis Principia Mathematica (« Начала »), впервые опубликованной 5 июля 1687 года.

Уравнение всемирного тяготения, таким образом, принимает вид:

$${\displaystyle F=G{\frac {m_{1}m_{2}}{r^{2}}},}$$

где F — гравитационная сила, действующая между двумя объектами, m ₁ и m ₂ — массы объектов, r — расстояние между центрами их масс , а G — гравитационная постоянная .

Первой проверкой закона тяготения Ньютона между массами в лабораторных условиях стал эксперимент Кавендиша, проведенный британским ученым Генри Кавендишем в 1798 году. ^[5] Он состоялся через 111 лет после публикации «Начал» Ньютона и примерно через 71 год после его смерти.

Закон тяготения Ньютона напоминает закон Кулона об электрических силах, который используется для расчета величины электрической силы, возникающей между двумя заряженными телами. Оба закона являются законами обратных квадратов , где сила обратно пропорциональна квадрату расстояния между телами. Закон Кулона использует заряд вместо массы и другую константу.

Закон Ньютона был позже заменен общей теорией относительности Альберта Эйнштейна , но универсальность гравитационной постоянной осталась нетронутой, и закон по-прежнему продолжает использоваться как превосходное приближение эффектов гравитации в большинстве приложений. Относительность требуется только тогда, когда требуется чрезвычайная точность или когда имеешь дело с очень сильными гравитационными полями, например, теми, которые обнаруживаются вблизи чрезвычайно массивных и плотных объектов, или на малых расстояниях (например, орбита Меркурия вокруг Солнца).

История

Около 1600 года начал укореняться научный метод . Рене Декарт начал с более фундаментальных взглядов, развивая идеи материи и действия независимо от теологии. Галилео Галилей писал об экспериментальных измерениях падающих и катящихся объектов. Законы планетарного движения Иоганна Кеплера обобщили астрономические наблюдения Тихо Браге . ^{[6] : 132}

Около 1666 года Исаак Ньютон развил идею о том, что законы Кеплера должны также применяться к орбите Луны вокруг Земли, а затем ко всем объектам на Земле. Анализ требовал предположения, что сила тяготения действовала так, как будто вся масса Земли была сосредоточена в ее центре, что на тот момент было недоказанной гипотезой. Его расчеты времени обращения Луны по орбите находились в пределах 16% от известного значения. К 1680 году новые значения диаметра Земли улучшили его время обращения до 1,6%, но, что еще важнее, Ньютон нашел доказательство своей более ранней гипотезы. ^{[7] : 201}

В 1687 году Ньютон опубликовал свои «Начала» , в которых объединил свои законы движения с новым математическим анализом для объяснения эмпирических результатов Кеплера. ^{[6] : 134} Его объяснение было в форме закона всемирного тяготения: любые два тела притягиваются силой, пропорциональной их массе и обратно пропорциональной квадрату их расстояния. ^{[8] : 28} Первоначальная формула Ньютона была:

$${\displaystyle {\rm {Force\,of\,gravity}}\propto {\frac {\rm {mass\,of\,object\,1\,\times \,mass\,of\,object\,2}}{\rm {distance\,from\,centers^{2}}}}}$$

где символ означает «пропорционален». Чтобы превратить это в равностороннюю формулу или уравнение, нужен был множитель или константа, которые давали бы правильную силу тяжести независимо от значения масс или расстояния между ними (гравитационная постоянная). Ньютону нужна была бы точная мера этой константы, чтобы доказать свой закон обратных квадратов. Когда Ньютон представил Книгу 1 неопубликованного текста в апреле 1686 года Королевскому обществу , Роберт Гук заявил, что Ньютон получил закон обратных квадратов от него, что в конечном итоге было необоснованным обвинением. ^{[7] : 204} ${\displaystyle \propto }$

«Причины, доселе неизвестные» Ньютона

Хотя Ньютон смог сформулировать свой закон тяготения в своем монументальном труде, он был глубоко неудобен с понятием «действия на расстоянии», которое подразумевали его уравнения. В 1692 году в своем третьем письме Бентли он писал: «То, что одно тело может действовать на другое на расстоянии через вакуум без посредничества чего-либо еще, посредством чего их действие и сила могут передаваться друг от друга, является для меня таким большим абсурдом, что, я полагаю, ни один человек, обладающий компетентной способностью мыслить в философских вопросах, никогда не сможет в него впасть».

Он никогда, по его словам, «не указывал причину этой силы». Во всех других случаях он использовал явление движения для объяснения происхождения различных сил, действующих на тела, но в случае гравитации он не смог экспериментально определить движение, которое производит силу гравитации (хотя он изобрел две механические гипотезы в 1675 и 1717 годах). Более того, он отказался даже предложить гипотезу относительно причины этой силы на том основании, что это противоречит здравой науке. Он сетовал, что «философы до сих пор тщетно пытались искать природу» в поисках источника силы тяготения, поскольку он был убежден «по многим причинам», что существуют «до сих пор неизвестные причины», которые являются основополагающими для всех «явлений природы». Эти фундаментальные явления все еще изучаются, и, хотя гипотез предостаточно, окончательный ответ еще не найден. А в «Общей схолии» Ньютона 1713 года во втором издании « Начал» : «Я до сих пор не смог открыть причину этих свойств гравитации из явлений и не выдвигаю никаких гипотез ... Достаточно того, что гравитация действительно существует и действует в соответствии с законами, которые я объяснил, и что она в изобилии служит для объяснения всех движений небесных тел». ^[9]

Современная форма

На современном языке закон гласит следующее:

График ошибок, показывающий экспериментальные значения для G.

Принимая единицы СИ , F измеряется в ньютонах (Н), m ₁ и m ₂ в килограммах (кг), r в метрах (м), а постоянная G равна6,674 30 (15) × 10−11  м3 ^{⋅кг −1} ⋅с ⁻² . ^[11] Значение постоянной G было впервые точно определено по результатам эксперимента Кавендиша, проведенного ^{британским} ученым Генри Кавендишем в 1798 году, хотя сам Кавендиш не вычислил численное значение для G . ^{[5] Этот эксперимент был также первой проверкой теории тяготения Ньютона между массами в лабораторных условиях. Он состоялся через 111 лет после публикации} «Начал» Ньютона и через 71 год после смерти Ньютона, поэтому ни одно из вычислений Ньютона не могло использовать значение G ; вместо этого он мог только вычислить силу относительно другой силы.

Тела с пространственной протяженностью

Напряженность гравитационного поля внутри Земли

Гравитационное поле вблизи поверхности Земли – показано, как объект ускоряется по направлению к поверхности.

Если рассматриваемые тела имеют пространственную протяженность (в отличие от точечных масс), то гравитационная сила между ними вычисляется путем суммирования вкладов воображаемых точечных масс, составляющих тела. В пределе, когда составляющие точечные массы становятся «бесконечно малыми», это влечет за собой интегрирование силы (в векторной форме, см. ниже) по протяженностям двух тел .

Таким образом, можно показать, что объект со сферически симметричным распределением массы оказывает такое же гравитационное притяжение на внешние тела, как если бы вся масса объекта была сосредоточена в точке в его центре. ^[10] (Это, как правило, не верно для несферически симметричных тел.)

Для точек внутри сферически симметричного распределения материи теорема Ньютона об оболочках может быть использована для нахождения силы тяготения. Теорема показывает, как различные части распределения масс влияют на силу тяготения, измеренную в точке, расположенной на расстоянии r ₀ от центра распределения масс: ^[12]

• Часть массы, расположенная на радиусах r < r _0, вызывает такую ​​же силу на радиусе r ₀ , как если бы вся масса, заключенная в сфере радиусом r _{0 ,} была сосредоточена в центре распределения массы (как отмечено выше).
• Часть массы, расположенная на радиусах r > r _0, не оказывает никакой чистой гравитационной силы на радиусе r ₀ от центра. То есть, отдельные гравитационные силы, оказываемые на точку на радиусе r ₀ элементами массы вне радиуса r _0, компенсируют друг друга.

Вследствие этого, например, в оболочке однородной толщины и плотности нигде внутри полой сферы не возникает никакого чистого гравитационного ускорения.

Векторная форма

Гравитационное поле, окружающее Землю с макроскопической точки зрения.

Закон всемирного тяготения Ньютона можно записать в виде векторного уравнения, учитывающего направление силы тяготения, а также ее величину. В этой формуле величины, выделенные жирным шрифтом, представляют векторы.

$${\displaystyle \mathbf {F} _{21}=-G{m_{1}m_{2} \over {|\mathbf {r} _{21}|}^{2}}{\hat {\mathbf {r} }}_{21}=-G{m_{1}m_{2} \over {|\mathbf {r} _{21}|}^{3}}\mathbf {r} _{21}}$$где

• F ₂₁ — сила, действующая на тело 2 со стороны тела 1,
• G — гравитационная постоянная ,
• m ₁ и m ₂ — соответственно массы тел 1 и 2,
• r ₂₁ = r ₂ − r ₁ — вектор смещения между телами 1 и 2, а
• ${\displaystyle {\hat {\mathbf {r} }}_{21}\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ {\frac {\mathbf {r_{2}-r_{1}} }{|\mathbf {r_{2}-r_{1}} |}}}$единичный вектор от тела 1 к телу 2. ^[13]

Видно, что векторная форма уравнения та же, что и скалярная форма, приведенная ранее, за исключением того, что F теперь является векторной величиной, а правая часть умножается на соответствующий единичный вектор. Также видно, что F ₁₂ = − F ₂₁ .

Гравитационное поле

Гравитационное поле — это векторное поле , описывающее гравитационную силу, которая будет приложена к объекту в любой заданной точке пространства на единицу массы. Фактически она равна гравитационному ускорению в этой точке.

Это обобщение векторной формы, которое становится особенно полезным, если задействовано более двух объектов (например, ракета между Землей и Луной). Для двух объектов (например, объект 2 — ракета, объект 1 — Земля) мы просто пишем r вместо r ₁₂ и m вместо m ₂ и определяем гравитационное поле g ( r ) как:

$${\displaystyle \mathbf {g} (\mathbf {r} )=-G{m_{1} \over {{\vert \mathbf {r} \vert }^{2}}}\,\mathbf {\hat {r}} }$$так что мы можем написать:

$${\displaystyle \mathbf {F} (\mathbf {r} )=m\mathbf {g} (\mathbf {r} ).}$$

Эта формулировка зависит от объектов, вызывающих поле. Поле имеет единицы ускорения; в СИ это м/с ² .

Гравитационные поля также консервативны ; то есть работа, совершаемая гравитацией из одного положения в другое, не зависит от пути. Это приводит к тому, что существует поле гравитационного потенциала V ( r ) такое, что

$${\displaystyle \mathbf {g} (\mathbf {r} )=-\nabla V(\mathbf {r} ).}$$

Если m ₁ — точечная масса или масса сферы с однородным распределением массы, то силовое поле g ( r ) вне сферы изотропно, т. е. зависит только от расстояния r от центра сферы. В этом случае

$${\displaystyle V(r)=-G{\frac {m_{1}}{r}}.}$$

Согласно закону Гаусса , поле в симметричном теле можно найти с помощью математического уравнения:

${\displaystyle \partial V}$ ${\displaystyle \mathbf {g(r)} \cdot d\mathbf {A} =-4\pi GM_{\text{enc}},}$

где — замкнутая поверхность, — масса, заключенная в этой поверхности. ${\displaystyle \partial V}$ ${\displaystyle M_{\text{enc}}}$

Следовательно, для полой сферы радиусом и полной массой , ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle M}$

$${\displaystyle |\mathbf {g(r)} |={\begin{cases}0,&{\text{if }}r<R\\\\{\dfrac {GM}{r^{2}}},&{\text{if }}r\geq R\end{cases}}}$$

Для однородной сплошной сферы радиусом и полной массой , ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle M}$

$${\displaystyle |\mathbf {g(r)} |={\begin{cases}{\dfrac {GMr}{R^{3}}},&{\text{if }}r<R\\\\{\dfrac {GM}{r^{2}}},&{\text{if }}r\geq R\end{cases}}}$$

Ограничения

Описание гравитации Ньютоном достаточно точно для многих практических целей и поэтому широко используется. Отклонения от него малы, когда безразмерные величины и обе намного меньше единицы, где — гравитационный потенциал , — скорость изучаемых объектов, — скорость света в вакууме. ^[14] Например, ньютоновская гравитация дает точное описание системы Земля/Солнце, поскольку ${\displaystyle \phi /c^{2}}$ ${\displaystyle (v/c)^{2}}$ ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle c}$

$${\displaystyle {\frac {\phi }{c^{2}}}={\frac {GM_{\mathrm {sun} }}{r_{\mathrm {orbit} }c^{2}}}\sim 10^{-8},\quad \left({\frac {v_{\mathrm {Earth} }}{c}}\right)^{2}=\left({\frac {2\pi r_{\mathrm {orbit} }}{(1\ \mathrm {yr} )c}}\right)^{2}\sim 10^{-8},}$$

где - радиус орбиты Земли вокруг Солнца. ${\displaystyle r_{\text{orbit}}}$

В ситуациях, когда любой из безразмерных параметров велик, для описания системы необходимо использовать общую теорию относительности . Общая теория относительности сводится к ньютоновской гравитации в пределе малого потенциала и малых скоростей, поэтому закон тяготения Ньютона часто называют пределом малой гравитации общей теории относительности.

Наблюдения, противоречащие формуле Ньютона

• Теория Ньютона не полностью объясняет прецессию перигелия орбит планет, особенно Меркурия, которая была обнаружена намного позже жизни Ньютона. ^[15] Существует расхождение в 43 угловые секунды за столетие между расчетами Ньютона, которые возникают только из-за гравитационного притяжения других планет, и наблюдаемой прецессией, сделанной с помощью современных телескопов в 19 веке.
• Предсказываемое угловое отклонение световых лучей под действием гравитации (рассматриваемых как частицы, движущиеся с ожидаемой скоростью), рассчитанное с использованием теории Ньютона, составляет лишь половину отклонения, наблюдаемого астрономами. ^{[ необходима ссылка ]} Расчеты с использованием общей теории относительности гораздо лучше согласуются с астрономическими наблюдениями.
• В спиральных галактиках вращение звезд вокруг их центров, по-видимому, сильно нарушает как закон всемирного тяготения Ньютона, так и общую теорию относительности. Однако астрофизики объясняют это примечательное явление, предполагая наличие большого количества темной материи .

Решение Эйнштейна

Первые два конфликта с наблюдениями выше были объяснены общей теорией относительности Эйнштейна , в которой гравитация является проявлением искривленного пространства-времени, а не обусловлена ​​силой, распространяющейся между телами. В теории Эйнштейна энергия и импульс искажают пространство-время в своей окрестности, а другие частицы движутся по траекториям, определяемым геометрией пространства-времени. Это позволило описать движения света и массы, которые согласуются со всеми доступными наблюдениями. В общей теории относительности гравитационная сила является фиктивной силой, возникающей из-за кривизны пространства-времени , поскольку гравитационное ускорение тела при свободном падении обусловлено тем, что его мировая линия является геодезической линии пространства -времени .

Расширения

В последние годы поиски необратных квадратичных членов в законе гравитации проводились с помощью нейтронной интерферометрии . ^[16]

Решения

Задача двух тел была полностью решена, как и ограниченная задача трех тел . ^[17]

Проблема n тел — это древняя, классическая проблема ^[18] предсказания индивидуальных движений группы небесных объектов, взаимодействующих друг с другом гравитационно . Решение этой проблемы — со времен греков и далее — было мотивировано желанием понять движения Солнца , планет и видимых звезд . Классическую проблему можно неформально сформулировать так: учитывая квазиустойчивые орбитальные свойства ( мгновенное положение, скорость и время ) ^[19] группы небесных тел, предсказать их взаимодействующие силы; и, следовательно, предсказать их истинные орбитальные движения для всех будущих времен . ^[20]

В 20 веке понимание динамики шаровых скоплений звездных систем также стало важной проблемой n -тел. Проблема n -тел в общей теории относительности значительно сложнее для решения.

Смотрите также

• Физический портал

• Парадокс Бентли  – Космологический парадокс, связанный с гравитацией.
• Закон Гаусса для гравитации  – Переформулировка закона всемирного тяготения Ньютона
• Рамки Джордана и Эйнштейна  – различные соглашения для метрического тензора в теории дилатона, связанного с гравитациейPages displaying wikidata descriptions as a fallback
• Орбита Кеплера  – небесная орбита, траектория которой представляет собой коническое сечение в плоскости орбиты.
• Пушечное ядро ​​Ньютона  – Мысленный эксперимент о гравитации
• Законы движения Ньютона  – Законы физики о силе и движении
• Социальная гравитация  – Социальная теория
• Статические силы и обмен виртуальными частицами  – Физическое взаимодействие в постклассической физике

Ссылки

1. Фриц Рорлих (25 августа 1989 г.). От парадокса к реальности: наши основные концепции физического мира. Cambridge University Press. стр. 28 и далее. ISBN 978-0-521-37605-1.
2. Майнцер, Клаус (2 декабря 2013 г.). Симметрии природы: Справочник по философии природы и науки. Вальтер де Грютер. стр. 8 и далее. ISBN 978-3-11-088693-1.
3. «Физика: фундаментальные силы и синтез теории». Encyclopedia.com .
4. Исаак Ньютон: «В [экспериментальной] философии частные положения выводятся из явлений, а затем обобщаются посредством индукции»: Principia , книга 3, General Scholium , на стр. 392 во 2-м томе английского перевода Эндрю Мотта, опубликованного в 1729 году.
5. Ходжес, Лоран. «Эксперимент Мичелла–Кавендиша». Университет штата Индиана.
6. Hesse, Mary B. (2005). Силы и поля: концепция действия на расстоянии в истории физики . Минеола, Нью-Йорк: Довер. ISBN 978-0-486-44240-2.
7. Feather, Norman (1959). Введение в физику массы, длины и времени . Издательство Эдинбургского университета.
8. Уиттекер, Эдмунд Т. (1989). История теорий эфира и электричества. 1: Классические теории (переизданное издание). Нью-Йорк: Довер. ISBN 978-0-486-26126-3.
9. Уэстфолл, Ричард С. (1978). Конструкция современной науки: механизмы и механика . Издательство Кембриджского университета.
10. Предложение 75, Теорема 35: стр. 956 – I.Bernard Cohen и Anne Whitman, переводчики: Isaac Newton , The Principia : Mathematical Principles of Natural Philosophy . Предшествовало A Guide to Newton's Principia , I.Bernard Cohen. University of California Press 1999 ISBN 0-520-08816-6 ISBN 0-520-08817-4   
11. "2022 CODATA Value: Ньютоновская постоянная тяготения". Справочник NIST по константам, единицам и неопределенности . NIST . Май 2024. Получено 2024-05-18 .
12. "Вращательное сплющивание". farside.ph.utexas.edu .
13. Векторная разность r ₂ − r ₁ указывает от объекта 1 к объекту 2. См. рис. 11–6. из Фейнмановских лекций по физике, том I, уравнение (9.19) из Фейнмановских лекций по физике, том I и евклидов вектор#Сложение и вычитание
14. Мизнер, Чарльз В .; Торн, Кип С.; Уилер , Джон Арчибальд (1973). Гравитация . Нью-Йорк: WH Freeman and Company. стр. 1049. ISBN 978-0-7167-0344-0.
15. Макс Борн (1924), Теория относительности Эйнштейна (издание Дувра 1962 года, страница 348 содержит таблицу, документирующую наблюдаемые и вычисленные значения прецессии перигелия Меркурия, Венеры и Земли.)
16. Грин, Джеффри Л.; Гудков, Владимир (2007). "Метод нейтронной интерферометрии для обеспечения улучшенных ограничений на неньютоновскую гравитацию в нанометровом масштабе". Physical Review C. 75 ( 1): 015501. arXiv : hep-ph/0608346 . Bibcode : 2007PhRvC..75a5501G. doi : 10.1103/PhysRevC.75.015501. S2CID  39665455.
17. Общее классическое решение в терминах первых интегралов, как известно, невозможно. Точное теоретическое решение для произвольного n может быть приближено с помощью ряда Тейлора , но на практике такой бесконечный ряд должен быть усечен, давая в лучшем случае только приближенное решение; и этот подход теперь устарел. Кроме того, задачу n тел можно решить с помощью численного интегрирования , но они также являются приближенными решениями; и снова устарели. См. книгу Сверре Дж. Аарсета Gravitational N -body Simulations, указанную в списке литературы.
18. Лейманис и Минорски: Нас интересует Лейманис, который первым обсуждает некоторую историю о задаче n тел, особенно двадцатилетний подход комплексных переменных г-жи Ковалевской ~1868–1888 гг., неудача; Раздел 1: Динамика твердых тел и математическая внешняя баллистика (Глава 1, Движение твердого тела вокруг неподвижной точки ( Уравнения Эйлера и Пуассона ); Глава 2, Математическая внешняя баллистика ), хороший предшественник задачи n тел; Раздел 2: Небесная механика (Глава 1, Униформизация задачи трех тел (Ограниченная задача трех тел); Глава 2, Захват в задаче трех тел ; Глава 3, Обобщенная задача n тел ).
19. Квазистационарные нагрузки относятся к мгновенным инерционным нагрузкам, создаваемым мгновенными угловыми скоростями и ускорениями, а также поступательными ускорениями (9 переменных). Это как если бы кто-то сделал фотографию, которая также зафиксировала мгновенное положение и свойства движения. Напротив, стационарное состояние относится к состоянию системы, инвариантному ко времени; в противном случае первые производные и все высшие производные равны нулю.
20. Р. М. Розенберг формулирует проблему n тел аналогичным образом (см. Ссылки): «Каждая частица в системе из конечного числа частиц подвергается ньютоновскому гравитационному притяжению со стороны всех других частиц и никаким другим силам. Если начальное состояние системы задано, как будут двигаться частицы?» Розенберг, как и все остальные, не понял, что необходимо сначала определить силы , прежде чем можно будет определить движения.

Внешние ссылки

• Медиа, связанные с законом всемирного тяготения Ньютона на Wikimedia Commons
• Падение пера и молота на Луну на YouTube
• Закон всемирного тяготения Ньютона Javascript калькулятор