Консервативное векторное поле

Вектор поля, являющегося градиентом некоторой функции

В векторном исчислении консервативное векторное поле — это векторное поле , которое является градиентом некоторой функции . ^[1] Консервативное векторное поле обладает тем свойством, что его линейный интеграл не зависит от пути; выбор пути между двумя точками не меняет значения линейного интеграла. Независимость от пути линейного интеграла эквивалентна консервативности векторного поля под линейным интегралом. Консервативное векторное поле также является безвихревым ; в трех измерениях это означает, что оно имеет исчезающий ротор . Безвихревое векторное поле обязательно консервативно при условии, что область односвязна .

Консервативные векторные поля естественным образом появляются в механике : это векторные поля, представляющие силы физических систем , в которых сохраняется энергия . ^[2] Для консервативной системы работа , совершаемая при движении по пути в конфигурационном пространстве, зависит только от конечных точек пути, поэтому можно определить потенциальную энергию , которая не зависит от фактического пройденного пути.

Неформальное обращение

В двух- и трехмерном пространстве существует неоднозначность в вычислении интеграла между двумя точками, поскольку между двумя точками существует бесконечно много путей — помимо прямой линии, образованной между двумя точками, можно выбрать криволинейный путь большей длины, как показано на рисунке. Поэтому, в общем случае, значение интеграла зависит от выбранного пути. Однако в частном случае консервативного векторного поля значение интеграла не зависит от выбранного пути, что можно рассматривать как крупномасштабное сокращение всех элементов, которые не имеют компонента вдоль прямой линии между двумя точками. Чтобы визуализировать это, представьте себе двух людей, взбирающихся на скалу; один решает взобраться на скалу, поднявшись вертикально, а второй решает пройти по извилистой тропе, которая длиннее высоты скалы, но лишь под небольшим углом к ​​горизонтали. Хотя два туриста выбрали разные маршруты, чтобы подняться на вершину скалы, наверху они оба получат одинаковое количество гравитационной потенциальной энергии. Это происходит потому, что гравитационное поле консервативно. ${\displaystyle d{R}}$

Изображение двух возможных путей интеграции. Зеленым цветом показан простейший возможный путь; синим цветом показана более запутанная кривая

Интуитивное объяснение

Литографическая печать М. К. Эшера «Восхождение и спуск» иллюстрирует неконсервативное векторное поле, которое невозможно представить как градиент переменной высоты над землей (гравитационный потенциал) при движении по лестнице. Силовое поле, испытываемое движущимся по лестнице, неконсервативно в том смысле, что можно вернуться в исходную точку, поднимаясь больше, чем спускаясь, и наоборот, что приводит к ненулевой работе, совершаемой гравитацией. На реальной лестнице высота над землей является скалярным потенциальным полем: нужно подняться ровно на столько же, на сколько спуститься, чтобы вернуться в то же самое место, и в этом случае работа, совершаемая гравитацией, равна нулю. Это предполагает независимость от пути работы, совершаемой на лестнице; эквивалентно, испытываемое силовое поле является консервативным (см. следующий раздел: Независимость от пути и консервативное векторное поле). Ситуация, изображенная на гравюре, невозможна.

Определение

Вектор поля , где — открытое подмножество , называется консервативным, если существует ( непрерывно дифференцируемое ) скалярное поле ^[3] на , такое, что ${\displaystyle \mathbf {v} :U\to \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle C^{1}}$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle U}$

$${\displaystyle \mathbf {v} =\nabla \varphi .}$$

Здесь обозначает градиент . Поскольку непрерывно дифференцируемо, является непрерывным. Когда уравнение выше выполняется, называется скалярным потенциалом для . ${\displaystyle \nabla \varphi }$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle \mathbf {v} }$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle \mathbf {v} }$

Основная теорема векторного исчисления утверждает, что при некоторых условиях регулярности любое векторное поле можно выразить в виде суммы консервативного векторного поля и соленоидального поля .

Независимость от траектории и консервативное векторное поле

Независимость пути

Линейный интеграл векторного поля называется независимым от пути, если он зависит только от двух конечных точек пути интеграла, независимо от того, какой путь между ними выбран: ^[4] ${\displaystyle \mathbf {v} }$ $${\displaystyle \int _{P_{1}}\mathbf {v} \cdot d\mathbf {r} =\int _{P_{2}}\mathbf {v} \cdot d\mathbf {r} }$$

для любой пары целочисленных путей и между заданной парой конечных точек пути в . ${\displaystyle P_{1}}$ ${\displaystyle P_{2}}$ ${\displaystyle U}$

Независимость пути также эквивалентно выражается как

$${\displaystyle \int _{P_{c}}\mathbf {v} \cdot d\mathbf {r} =0}$$для любого кусочно-гладкого замкнутого пути в котором две конечные точки совпадают. Два выражения эквивалентны, поскольку любой замкнутый путь может быть создан двумя путями; от конечной точки до другой конечной точки и от до , так что где является обратным и последнее равенство выполняется из-за независимости пути ${\displaystyle P_{c}}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle P_{c}}$ ${\displaystyle P_{1}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle P_{2}}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle A}$ $${\displaystyle \int _{P_{c}}\mathbf {v} \cdot d\mathbf {r} =\int _{P_{1}}\mathbf {v} \cdot d\mathbf {r} +\int _{P_{2}}\mathbf {v} \cdot d\mathbf {r} =\int _{P_{1}}\mathbf {v} \cdot d\mathbf {r} -\int _{-P_{2}}\mathbf {v} \cdot d\mathbf {r} =0}$$ ${\displaystyle -P_{2}}$ ${\displaystyle P_{2}}$ ${\textstyle \displaystyle \int _{P_{1}}\mathbf {v} \cdot d\mathbf {r} =\int _{-P_{2}}\mathbf {v} \cdot d\mathbf {r} .}$

Консервативное векторное поле

Ключевым свойством консервативного векторного поля является то, что его интеграл вдоль пути зависит только от конечных точек этого пути, а не от конкретного выбранного маршрута. Другими словами, если это консервативное векторное поле, то его линейный интеграл не зависит от пути. Предположим, что для некоторого ( непрерывно дифференцируемого ) скалярного поля ^[3] над как открытого подмножества (также является консервативным векторным полем, которое непрерывно) и является дифференцируемым путем (т. е. его можно параметризовать дифференцируемой функцией ) в с начальной точкой и конечной точкой . Тогда теорема о градиенте (также называемая фундаментальной теоремой исчисления для линейных интегралов ) утверждает, что ${\displaystyle \mathbf {v} }$ ${\displaystyle \mathbf {v} =\nabla \varphi }$ ${\displaystyle C^{1}}$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \mathbf {v} }$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ $${\displaystyle \int _{P}\mathbf {v} \cdot d{\mathbf {r} }=\varphi (B)-\varphi (A).}$$

Это справедливо как следствие определения линейного интеграла , цепного правила и второй фундаментальной теоремы исчисления . в линейном интеграле есть точный дифференциал для ортогональной системы координат (например, декартовых , цилиндрических или сферических координат ). Поскольку теорема о градиенте применима для дифференцируемого пути, независимость пути консервативного векторного поля над кусочно-дифференциальными кривыми также доказывается доказательством для дифференцируемого компонента кривой. ^[5] ${\displaystyle \mathbf {v} \cdot d\mathbf {r} =\nabla {\varphi }\cdot d\mathbf {r} }$

До сих пор было доказано, что консервативное векторное поле является линейно-интегральным и независимым от пути. Наоборот, если непрерывное векторное поле является (линейно-интегральным) и независимым от пути, то оно является консервативным векторным полем , поэтому выполняется следующее двуусловное утверждение: ^[4] ${\displaystyle \mathbf {v} }$ ${\displaystyle \mathbf {v} }$

Для непрерывного векторного поля , где — открытое подмножество , оно является консервативным тогда и только тогда, когда его линейный интеграл вдоль пути в не зависит от пути, что означает, что линейный интеграл зависит только от обеих конечных точек пути независимо от того, какой путь между ними выбран. ${\displaystyle \mathbf {v} :U\to \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle U}$

Доказательство этого обратного утверждения следующее.

Пути линейного интеграла используются для доказательства следующего утверждения: если линейный интеграл векторного поля не зависит от пути, то векторное поле является консервативным векторным полем.

${\displaystyle \mathbf {v} }$— непрерывное векторное поле, чей линейный интеграл не зависит от пути. Затем давайте создадим функцию, определенную как по произвольному пути между выбранной начальной точкой и произвольной точкой . Поскольку она не зависит от пути, она зависит только от и независимо от того, какой путь между этими точками выбран. ${\displaystyle \varphi }$ $${\displaystyle \varphi (x,y)=\int _{a,b}^{x,y}\mathbf {v} \cdot d{\mathbf {r} }}$$ ${\displaystyle (a,b)}$ ${\displaystyle (x,y)}$ ${\displaystyle (a,b)}$ ${\displaystyle (x,y)}$

Давайте выберем путь, показанный слева на правом рисунке, где используется двумерная декартова система координат . Второй сегмент этого пути параллелен оси , поэтому нет никаких изменений вдоль оси. Линейный интеграл вдоль этого пути равен По независимости пути его частная производная по (для того, чтобы иметь частные производные, должна быть непрерывной.) равна , так как и независимы друг от друга. Давайте выразим как, где и являются единичными векторами вдоль осей и соответственно, тогда, так как , где последнее равенство взято из второй фундаментальной теоремы исчисления . ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ $${\displaystyle \int _{a,b}^{x,y}\mathbf {v} \cdot d{\mathbf {r} }=\int _{a,b}^{x_{1},y}\mathbf {v} \cdot d{\mathbf {r} }+\int _{x_{1},y}^{x,y}\mathbf {v} \cdot d{\mathbf {r} }.}$$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle \mathbf {v} }$ $${\displaystyle {\frac {\partial \varphi }{\partial x}}={\frac {\partial }{\partial x}}\int _{a,b}^{x,y}\mathbf {v} \cdot d{\mathbf {r} }={\frac {\partial }{\partial x}}\int _{a,b}^{x_{1},y}\mathbf {v} \cdot d{\mathbf {r} }+{\frac {\partial }{\partial x}}\int _{x_{1},y}^{x,y}\mathbf {v} \cdot d{\mathbf {r} }=0+{\frac {\partial }{\partial x}}\int _{x_{1},y}^{x,y}\mathbf {v} \cdot d{\mathbf {r} }}$$ ${\displaystyle x_{1}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \mathbf {v} }$ ${\displaystyle {\displaystyle \mathbf {v} }=P(x,y)\mathbf {i} +Q(x,y)\mathbf {j} }$ ${\displaystyle \mathbf {i} }$ ${\displaystyle \mathbf {j} }$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle d\mathbf {r} =dx\mathbf {i} +dy\mathbf {j} }$ $${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial x}}\varphi (x,y)={\frac {\partial }{\partial x}}\int _{x_{1},y}^{x,y}\mathbf {v} \cdot d\mathbf {r} ={\frac {\partial }{\partial x}}\int _{x_{1},y}^{x,y}P(t,y)dt=P(x,y)}$$

Аналогичный подход для линейного интегрального пути, показанного справа на правом рисунке, приводит к так что доказано для 2-мерной декартовой системы координат . Этот метод доказательства может быть напрямую расширен до более многомерной ортогональной системы координат (например, 3-мерной сферической системы координат ), так что обратное утверждение доказано. Другое доказательство находится здесь как обратная теорема о градиенте. ${\textstyle {\frac {\partial }{\partial y}}\varphi (x,y)=Q(x,y)}$ $${\displaystyle \mathbf {v} =P(x,y)\mathbf {i} +Q(x,y)\mathbf {j} ={\frac {\partial \varphi }{\partial x}}\mathbf {i} +{\frac {\partial \varphi }{\partial y}}\mathbf {j} =\nabla \varphi }$$

Безвихревые векторные поля

Вышеуказанное векторное поле, определенное на , т. е. с удалением всех координат на оси (то есть не является односвязным пространством), имеет нулевой ротор в и, таким образом, является безвихревым. Однако оно не является консервативным и не имеет независимости от пути. ${\displaystyle \mathbf {v} =\left(-{\frac {y}{x^{2}+y^{2}}},{\frac {x}{x^{2}+y^{2}}},0\right)}$ ${\displaystyle U=\mathbb {R} ^{3}\setminus \{(0,0,z)\mid z\in \mathbb {R} \}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle U}$

Пусть (3-мерное пространство), и пусть будет ( непрерывно дифференцируемым ) векторным полем с открытым подмножеством . Тогда называется безвихревым, если его ротор находится всюду в , т.е. если ${\displaystyle n=3}$ ${\displaystyle \mathbf {v} :U\to \mathbb {R} ^{3}}$ ${\displaystyle C^{1}}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \mathbf {v} }$ ${\displaystyle \mathbf {0} }$ ${\displaystyle U}$ $${\displaystyle \nabla \times \mathbf {v} \equiv \mathbf {0} .}$$

По этой причине такие векторные поля иногда называют векторными полями без завитков или векторными полями без завитков. Их также называют продольными векторными полями .

Тождество векторного исчисления состоит в том, что для любого ( непрерывно дифференцируемого с точностью до второй производной ) скалярного поля на имеем ${\displaystyle C^{2}}$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle U}$ $${\displaystyle \nabla \times (\nabla \varphi )\equiv \mathbf {0} .}$$

Следовательно, каждое консервативное векторное поле в является также безвихревым векторным полем в ${\displaystyle C^{1}}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle U}$ . Этот результат можно легко доказать, выразив в декартовой системе координат теоремой Шварца (также называемой теоремой Клеро о равенстве смешанных парциальных чисел). ${\displaystyle \nabla \times (\nabla \varphi )}$

При условии, что — односвязное открытое пространство (грубо говоря, цельное открытое пространство без отверстия внутри), обратное утверждение также верно: каждое безвихревое векторное поле в односвязном открытом пространстве является консервативным векторным полем в . ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle C^{1}}$ ${\displaystyle U}$

Вышеуказанное утверждение неверно в общем случае, если не является односвязным. Пусть будет с удалением всех координат на оси (то есть не является односвязным пространством), т.е. Теперь определим векторное поле на с помощью ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle U=\mathbb {R} ^{3}\setminus \{(0,0,z)\mid z\in \mathbb {R} \}}$ ${\displaystyle \mathbf {v} }$ ${\displaystyle U}$ $${\displaystyle \mathbf {v} (x,y,z)~{\stackrel {\text{def}}{=}}~\left(-{\frac {y}{x^{2}+y^{2}}},{\frac {x}{x^{2}+y^{2}}},0\right).}$$

Тогда имеет нулевой ротор всюду в ( при всюду в ), т.е. является безвихревым. Однако циркуляция вокруг единичной окружности в -плоскости равна ; в полярных координатах , , поэтому интеграл по единичной окружности равен ${\displaystyle \mathbf {v} }$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle \nabla \times \mathbf {v} \equiv \mathbf {0} }$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle \mathbf {v} }$ ${\displaystyle \mathbf {v} }$ ${\displaystyle xy}$ ${\displaystyle 2\pi }$ ${\displaystyle \mathbf {v} =\mathbf {e} _{\phi }/r}$ $${\displaystyle \oint _{C}\mathbf {v} \cdot \mathbf {e} _{\phi }~d{\phi }=2\pi .}$$

Следовательно, не обладает свойством независимости от пути, обсуждавшимся выше, и поэтому не является консервативным, даже если, поскольку определено , не является односвязным открытым пространством. ${\displaystyle \mathbf {v} }$ ${\displaystyle \nabla \times \mathbf {v} \equiv \mathbf {0} }$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle \mathbf {v} }$

Скажем еще раз, в односвязной открытой области безвихревое векторное поле имеет свойство независимости от пути (и, следовательно , консервативное). Это можно доказать напрямую, используя теорему Стокса , для любой гладкой ориентированной поверхности , граница которой является простым замкнутым путем . Итак, делается вывод, что в односвязной открытой области любое векторное поле, которое имеет свойство независимости от пути (и, следовательно, является консервативным векторным полем), также должно быть безвихревым и наоборот. ${\displaystyle \mathbf {v} }$ ${\displaystyle \mathbf {v} }$ $${\displaystyle \oint _{P_{c}}\mathbf {v} \cdot d\mathbf {r} =\iint _{A}(\nabla \times \mathbf {v} )\cdot d\mathbf {a} =0}$$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle P_{c}}$ ${\displaystyle C^{1}}$

Абстракция

Более абстрактно, при наличии римановой метрики векторные поля соответствуют дифференциальным -формам ${\displaystyle 1}$ . Консервативные векторные поля соответствуют точным -формам , то есть формам, которые являются внешней производной функции (скалярного поля) на . Безвихревые векторные поля соответствуют замкнутым -формам , то есть -формам таким, что . Так как , любая точная форма замкнута, то любое консервативное векторное поле является безвихревым. И наоборот, все замкнутые -формы являются точными, если является односвязным . ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle d\phi }$ ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle d\omega =0}$ ${\displaystyle d^{2}=0}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle U}$

Вихревость

Завихренность векторного поля можно определить следующим образом : ${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}}$ $${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}~{\stackrel {\text{def}}{=}}~\nabla \times \mathbf {v} .}$$

Завихренность безвихревого поля везде равна нулю. ^[6] Теорема Кельвина о циркуляции утверждает, что жидкость, которая является безвихревой в невязком потоке, останется безвихревой. Этот результат можно вывести из уравнения переноса вихреобразования , полученного путем взятия ротора уравнений Навье–Стокса .

Для двумерного поля вихрь действует как мера локального вращения элементов жидкости. Вихрь ничего не говорит о глобальном поведении жидкости. Возможно, что жидкость, движущаяся по прямой, имеет вихрь, а жидкость, движущаяся по окружности, может быть безвихревой.

Консервативные силы

Примеры потенциальных и градиентных полей в физике:

•  Скалярные поля, скалярные потенциалы:
  • V _G , гравитационный потенциал
  • W _pot , (гравитационная или электростатическая) потенциальная энергия
  • V _C , кулоновский потенциал
•  Векторные поля, градиентные поля:
  • а _G , ускорение свободного падения
  • F , (гравитационная или электростатическая) сила
  • E , напряженность электрического поля

Если векторное поле, связанное с силой, является консервативным, то говорят, что сила является консервативной . ${\displaystyle \mathbf {F} }$

Наиболее яркими примерами консервативных сил являются гравитационная сила (связанная с гравитационным полем) и электрическая сила (связанная с электростатическим полем). Согласно закону тяготения Ньютона , гравитационная сила, действующая на массу из-за массы , расположенной на расстоянии от , подчиняется уравнению ${\displaystyle \mathbf {F} _{G}}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle m}$

$${\displaystyle \mathbf {F} _{G}=-{\frac {GmM}{r^{2}}}{\hat {\mathbf {r} }},}$$

где - гравитационная постоянная , а - единичный вектор, направленный от к . Сила тяжести является консервативной, поскольку , где ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle {\hat {\mathbf {r} }}}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle \mathbf {F} _{G}=-\nabla \Phi _{G}}$

$${\displaystyle \Phi _{G}~{\stackrel {\text{def}}{=}}-{\frac {GmM}{r}}}$$

есть гравитационная потенциальная энергия . Другими словами, гравитационное поле, связанное с гравитационной силой , есть градиент гравитационного потенциала, связанного с гравитационной потенциальной энергией . Можно показать, что любое векторное поле вида является консервативным, при условии, что является интегрируемым. ${\displaystyle {\frac {\mathbf {F} _{G}}{m}}}$ ${\displaystyle \mathbf {F} _{G}}$ ${\displaystyle {\frac {\Phi _{G}}{m}}}$ ${\displaystyle \Phi _{G}}$ ${\displaystyle \mathbf {F} =F(r){\hat {\mathbf {r} }}}$ ${\displaystyle F(r)}$

Для консервативных сил независимость от пути можно интерпретировать так, что работа, совершаемая при движении из одной точки в другую, не зависит от выбранного пути движения (зависит только от точек и ), а работа, совершаемая при движении по простому замкнутому контуру, равна : ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle 0}$

$${\displaystyle W=\oint _{C}\mathbf {F} \cdot d{\mathbf {r} }=0.}$$

Полная энергия частицы, движущейся под действием консервативных сил, сохраняется в том смысле, что потеря потенциальной энергии преобразуется в равное количество кинетической энергии, или наоборот.

Смотрите также

• векторное поле Бельтрами
• Консервативная сила
• Консервативная система
• Комплексное пластинчатое векторное поле
• Разложение Гельмгольца
• Лапласово векторное поле
• Продольные и поперечные векторные поля
• Соленоидальное векторное поле

Ссылки

1. Марсден, Джерролд ; Тромба, Энтони (2003). Вектор исчисления (Пятое изд.). WHFreedman and Company. С. 550–561.
2. Джордж Б. Арфкен и Ханс Дж. Вебер, Математические методы для физиков , 6-е издание, Elsevier Academic Press (2005)
3. Для того, чтобы быть независимым от пути, не обязательно непрерывно дифференцируемо, достаточно условия дифференцируемости, поскольку теорема о градиенте , которая доказывает независимость от пути , не требует быть непрерывно дифференцируемым. Должна быть причина для определения консервативных векторных полей, требующая быть непрерывно дифференцируемыми . ${\displaystyle \mathbf {v} =\nabla \varphi }$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle \nabla \varphi }$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle \varphi }$
4. Stewart, James (2015). "16.3 Основная теорема о линейных интегралах"". Calculus (8-е изд.). Cengage Learning. стр. 1127–1134. ISBN 978-1-285-74062-1.
5. Необходимо проверить, существуют ли точные дифференциалы также для неортогональных систем координат.
6. Липманн, Х. В .; Рошко, А. (1993) [1957], Элементы газовой динамики , Courier Dover Publications, ISBN 0-486-41963-0, стр. 194–196.

Дальнейшее чтение

• Ачесон, DJ (1990). Элементарная гидродинамика . Oxford University Press. ISBN 0198596790.