Точный дифференциал

Тип бесконечно малого в исчислении

В многомерном исчислении дифференциальная или дифференциальная форма называется точной или совершенной ( точный дифференциал ), в отличие от неточного дифференциала , если она равна общему дифференциалу для некоторой дифференцируемой функции в ортогональной системе координат (следовательно, является многомерным дифференциалом). функция , переменные которой независимы , как и всегда ожидается при исчислении с несколькими переменными ). ${\displaystyle dQ}$  ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle Q}$

Точный дифференциал иногда также называют полным дифференциалом или полным дифференциалом , или, при изучении дифференциальной геометрии , его называют точной формой .

Интеграл от точного дифференциала по любому интегральному пути не зависит от пути , и этот факт используется для идентификации функций состояния в термодинамике .

Обзор

Определение

Даже если мы здесь работаем в трех измерениях, определения точных дифференциалов для других измерений структурно аналогичны трехмерному определению. В трех измерениях форма типа

${\displaystyle A(x,y,z)\,dx+B(x,y,z)\,dy+C(x,y,z)\,dz}$

называется дифференциальной формой . Эта форма называется точной на открытой области пространства, если существует некоторая дифференцируемая скалярная функция , определенная на такой, что ${\displaystyle D\subset \mathbb {R} ^{3}}$ ${\displaystyle Q=Q(x,y,z)}$ ${\displaystyle D}$

${\displaystyle dQ\equiv \left({\frac {\partial Q}{\partial x}}\right)_{y,z}\,dx+\left({\frac {\partial Q}{\partial y}}\right)_{x,z}\,dy+\left({\frac {\partial Q}{\partial z}}\right)_{x,y}\,dz,}$   ${\displaystyle dQ=A\,dx+B\,dy+C\,dz}$

повсюду , где – ортогональные координаты (например, декартовы , цилиндрические или сферические координаты ). Другими словами, в некоторой открытой области пространства дифференциальная форма является точным дифференциалом , если она равна общему дифференциалу дифференцируемой функции в ортогональной системе координат. ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle x,y,z}$

Примечание. В этом математическом выражении индексы вне круглых скобок указывают, какие переменные остаются постоянными во время дифференцирования. Из-за определения частной производной эти индексы не требуются, но они явно показаны здесь в качестве напоминания.

Интегральная независимость пути

Точный дифференциал для дифференцируемой скалярной функции , определенной в открытой области, равен , где – градиент , представляет скалярное произведение и – общий вектор дифференциального смещения, если используется ортогональная система координат. Если имеет класс дифференцируемости ( непрерывно дифференцируемый ), то по определению является консервативным векторным полем для соответствующего потенциала . Для трехмерных пространств можно использовать такие выражения, как и . ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle D\subset \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle dQ=\nabla Q\cdot d\mathbf {r} }$ ${\displaystyle \nabla Q}$ ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle \cdot }$ ${\displaystyle d\mathbf {r} }$ ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle C^{1}}$ ${\displaystyle \nabla Q}$ ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle d\mathbf {r} =(dx,dy,dz)}$ ${\displaystyle \nabla Q=({\frac {\partial Q}{\partial x}},{\frac {\partial Q}{\partial y}},{\frac {\partial Q}{\partial z}})}$

Теорема о градиенте гласит

${\displaystyle \int _{i}^{f}dQ=\int _{i}^{f}\nabla Q(\mathbf {r} )\cdot d\mathbf {r} =Q\left(f\right)-Q\left(i\right)}$

это не зависит от того, какой интегральный путь между заданными конечными точками пути и выбран. Таким образом, делается вывод, что интеграл точного дифференциала не зависит от выбора интегрального пути между заданными конечными точками пути (независимость от пути) . ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle f}$

Для трехмерных пространств, если определение в открытой области имеет класс дифференцируемости (что эквивалентно ) , то эта целостная независимость от пути также может быть доказана с помощью тождества векторного исчисления и теоремы Стокса . ${\displaystyle \nabla Q}$ ${\displaystyle D\subset \mathbb {R} ^{3}}$ ${\displaystyle C^{1}}$ ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle C^{2}}$ ${\displaystyle \nabla \times (\nabla Q)=\mathbf {0} }$

${\displaystyle \oint _{\partial \Sigma }\nabla Q\cdot d\mathbf {r} =\iint _{\Sigma }(\nabla \times \nabla Q)\cdot d\mathbf {a} =0}$

для просто замкнутого контура с гладкой ориентированной поверхностью в нем. Если открытая область представляет собой просто связное открытое пространство (грубо говоря, цельное открытое пространство без дыры внутри него), то любое безвихревое векторное поле (определяемое как векторное поле , ротор которого равен нулю, т. е. ) имеет независимость от пути благодаря Теорема Стокса, поэтому делается следующее утверждение; В односвязной открытой области любое векторное поле, обладающее свойством независимости от пути (поэтому оно является консервативным векторным полем), также должно быть безвихревым, и наоборот. Здесь показано равенство траекторной независимости и консервативных векторных полей . ${\displaystyle \partial \Sigma }$ ${\displaystyle \Sigma }$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle C^{1}}$ ${\displaystyle \mathbf {v} }$ ${\displaystyle \nabla \times \mathbf {v} =\mathbf {0} }$ ${\displaystyle C^{1}}$

Функция термодинамического состояния

В термодинамике , если быть точным, функция является функцией состояния системы: математической функцией , которая зависит исключительно от текущего состояния равновесия , а не от пути, пройденного для достижения этого состояния. Внутренняя энергия , энтропия , энтальпия , свободная энергия Гельмгольца и свободная энергия Гиббса являются функциями состояния . В общем случае ни работа , ни тепло не являются функциями состояния. (Примечание: обычно используется для обозначения тепла в физике. Не следует путать его с использованием ранее в этой статье в качестве параметра точного дифференциала.) ${\displaystyle dQ}$ ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle Q}$

Одно измерение

В одном измерении дифференциальная форма

${\displaystyle A(x)\,dx}$

является точным тогда и только тогда, когда имеет первообразную (но не обязательно одну в терминах элементарных функций). Если имеет первообразную и пусть будет первообразной so , то очевидно удовлетворяет условию точности. Если не имеет первообразной, то мы не можем написать с для дифференцируемой функции, поэтому это неточно. ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle {\frac {dQ}{dx}}=A}$ ${\displaystyle A(x)\,dx}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle dQ={\frac {dQ}{dx}}dx}$ ${\displaystyle A={\frac {dQ}{dx}}}$ ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle A(x)\,dx}$

Два и три измерения

В силу симметрии вторых производных для любой «хорошей» (непатологической ) функции имеем ${\displaystyle Q}$

${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}Q}{\partial x\,\partial y}}={\frac {\partial ^{2}Q}{\partial y\,\partial x}}.}$

Следовательно, в односвязной области R плоскости xy , где независимы, ^[1] дифференциальная форма ${\displaystyle x,y}$

${\displaystyle A(x,y)\,dx+B(x,y)\,dy}$

является точным дифференциалом тогда и только тогда, когда уравнение

${\displaystyle \left({\frac {\partial A}{\partial y}}\right)_{x}=\left({\frac {\partial B}{\partial x}}\right)_{y}}$

держит. Если это точный дифференциал так и , то это дифференцируемая (гладко непрерывная) функция вдоль и , поэтому . Если выполнено, то и являются дифференцируемыми (опять же гладко непрерывными) функциями вдоль и соответственно, и это только так. ${\displaystyle A={\frac {\partial Q}{\partial x}}}$ ${\displaystyle B={\frac {\partial Q}{\partial y}}}$ ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle \left({\frac {\partial A}{\partial y}}\right)_{x}={\frac {\partial ^{2}Q}{\partial y\partial x}}={\frac {\partial ^{2}Q}{\partial x\partial y}}=\left({\frac {\partial B}{\partial x}}\right)_{y}}$ ${\displaystyle \left({\frac {\partial A}{\partial y}}\right)_{x}=\left({\frac {\partial B}{\partial x}}\right)_{y}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \left({\frac {\partial A}{\partial y}}\right)_{x}={\frac {\partial ^{2}Q}{\partial y\partial x}}={\frac {\partial ^{2}Q}{\partial x\partial y}}=\left({\frac {\partial B}{\partial x}}\right)_{y}}$

Для трех измерений в односвязной области R системы координат xyz по аналогичной причине дифференциал

${\displaystyle dQ=A(x,y,z)\,dx+B(x,y,z)\,dy+C(x,y,z)\,dz}$

является точным дифференциалом тогда и только тогда, когда между функциями A , B и C существуют соотношения

${\displaystyle \left({\frac {\partial A}{\partial y}}\right)_{x,z}\!\!\!=\left({\frac {\partial B}{\partial x}}\right)_{y,z}}$;  ; ${\displaystyle \left({\frac {\partial A}{\partial z}}\right)_{x,y}\!\!\!=\left({\frac {\partial C}{\partial x}}\right)_{y,z}}$  ${\displaystyle \left({\frac {\partial B}{\partial z}}\right)_{x,y}\!\!\!=\left({\frac {\partial C}{\partial y}}\right)_{x,z}.}$

Эти условия эквивалентны следующему предложению: Если G — график этой векторной функции, то для всех касательных векторов X , Y поверхности G тогда s ( X , Y  ) = 0 с s — симплектической формой .

Эти условия, которые легко обобщить, возникают из-за независимости порядка дифференцирования при вычислении вторых производных. Итак, чтобы дифференциал dQ , то есть функция четырех переменных, был точным дифференциалом, необходимо удовлетворить шесть условий ( комбинацию ). ${\displaystyle C(4,2)=6}$

Частные дифференциальные отношения

Если дифференцируемая функция является взаимно однозначной (инъективной) для каждой независимой переменной, например, является взаимно однозначной для фиксированного числа, в то время как она не обязательно является взаимно однозначной для , то существуют следующие полные дифференциалы , потому что каждый независимая переменная является дифференцируемой функцией для других переменных, например, . ${\displaystyle z(x,y)}$ ${\displaystyle z(x,y)}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle (x,y)}$ ${\displaystyle x(y,z)}$

${\displaystyle dx={\left({\frac {\partial x}{\partial y}}\right)}_{z}\,dy+{\left({\frac {\partial x}{\partial z}}\right)}_{y}\,dz}$

${\displaystyle dz={\left({\frac {\partial z}{\partial x}}\right)}_{y}\,dx+{\left({\frac {\partial z}{\partial y}}\right)}_{x}\,dy.}$

Подставив первое уравнение во второе и переставив, получим

${\displaystyle dz={\left({\frac {\partial z}{\partial x}}\right)}_{y}\left[{\left({\frac {\partial x}{\partial y}}\right)}_{z}dy+{\left({\frac {\partial x}{\partial z}}\right)}_{y}dz\right]+{\left({\frac {\partial z}{\partial y}}\right)}_{x}dy,}$

${\displaystyle dz=\left[{\left({\frac {\partial z}{\partial x}}\right)}_{y}{\left({\frac {\partial x}{\partial y}}\right)}_{z}+{\left({\frac {\partial z}{\partial y}}\right)}_{x}\right]dy+{\left({\frac {\partial z}{\partial x}}\right)}_{y}{\left({\frac {\partial x}{\partial z}}\right)}_{y}dz,}$

${\displaystyle \left[1-{\left({\frac {\partial z}{\partial x}}\right)}_{y}{\left({\frac {\partial x}{\partial z}}\right)}_{y}\right]dz=\left[{\left({\frac {\partial z}{\partial x}}\right)}_{y}{\left({\frac {\partial x}{\partial y}}\right)}_{z}+{\left({\frac {\partial z}{\partial y}}\right)}_{x}\right]dy.}$

Поскольку и являются независимыми переменными, их можно выбирать без ограничений. Чтобы это последнее уравнение в целом выполнялось, члены в квадратных скобках должны быть равны нулю. ^[2] Левая скобка, равная нулю, приводит к отношению взаимности, а правая скобка, равная нулю, соответствует циклическому отношению, как показано ниже. ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle dy}$ ${\displaystyle dz}$

Отношение взаимности

Установив первый член в скобках равным нулю, получим

${\displaystyle {\left({\frac {\partial z}{\partial x}}\right)}_{y}{\left({\frac {\partial x}{\partial z}}\right)}_{y}=1.}$

Небольшая перестановка дает отношение взаимности,

${\displaystyle {\left({\frac {\partial z}{\partial x}}\right)}_{y}={\frac {1}{{\left({\frac {\partial x}{\partial z}}\right)}_{y}}}.}$

Есть еще две перестановки предыдущего вывода, которые дают в общей сложности три отношения взаимности между , и . ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle z}$

Циклическое отношение

Циклическое отношение также известно как циклическое правило или правило тройного произведения . Положив второе слагаемое в скобках равным нулю, получим

${\displaystyle {\left({\frac {\partial z}{\partial x}}\right)}_{y}{\left({\frac {\partial x}{\partial y}}\right)}_{z}=-{\left({\frac {\partial z}{\partial y}}\right)}_{x}.}$

Использование отношения взаимности для этого уравнения и переупорядочение дает циклическое соотношение ( правило тройного произведения ), ${\displaystyle {\tfrac {\partial z}{\partial y}}}$

${\displaystyle {\left({\frac {\partial x}{\partial y}}\right)}_{z}{\left({\frac {\partial y}{\partial z}}\right)}_{x}{\left({\frac {\partial z}{\partial x}}\right)}_{y}=-1.}$

Если вместо этого использовать отношения взаимности для и с последующей перестановкой, то получается стандартная форма неявного дифференцирования : ${\displaystyle {\tfrac {\partial x}{\partial y}}}$ ${\displaystyle {\tfrac {\partial y}{\partial z}}}$

${\displaystyle {\left({\frac {\partial y}{\partial x}}\right)}_{z}=-{\frac {{\left({\frac {\partial z}{\partial x}}\right)}_{y}}{{\left({\frac {\partial z}{\partial y}}\right)}_{x}}}.}$

Некоторые полезные уравнения, полученные из точных дифференциалов в двух измерениях

(См. также термодинамические уравнения Бриджмена для использования точных дифференциалов в теории термодинамических уравнений )

Предположим, у нас есть пять функций состояния и . Предположим, что пространство состояний двумерно и любые из пяти величин дифференцируемы. Тогда по цепному правилу ${\displaystyle z,x,y,u}$ ${\displaystyle v}$

но и по цепному правилу:

и

так что (подставив (2) и (3) в (1)):

откуда следует (путем сравнения (4) с (1)):

Ввод (5) дает: ${\displaystyle v=y}$

Ввод (5) дает: ${\displaystyle u=y}$

Включение и в (7) дает: ${\displaystyle u=y}$ ${\displaystyle v=z}$

использование ( дает правило тройного произведения : ${\displaystyle \partial a/\partial b)_{c}=1/(\partial b/\partial a)_{c}}$

Смотрите также

• Закрытые и точные дифференциальные формы для лечения более высокого уровня.
• Дифференциал (математика)
• Неточный дифференциал
• Интегрирующий коэффициент для решения неточных дифференциальных уравнений путем придания им точности
• Точное дифференциальное уравнение

Рекомендации

1. Если пара независимых переменных является (локально обратимой) функцией зависимых переменных , все, что необходимо для выполнения следующей теоремы, - это заменить частные производные по или на частные производные по и по с участием их якобианских компонентов. То есть: является точным дифференциалом тогда и только тогда, когда: ${\displaystyle (x,y)}$ ${\displaystyle (u,v)}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle A(u,v)du+B(u,v)dv,}$ ${\displaystyle {\frac {\partial A}{\partial u}}{\frac {\partial u}{\partial y}}+{\frac {\partial A}{\partial v}}{\frac {\partial v}{\partial y}}={\frac {\partial B}{\partial u}}{\frac {\partial u}{\partial x}}+{\frac {\partial B}{\partial v}}{\frac {\partial v}{\partial x}}.}$
2. Ченгель, Юнус А.; Болес, Майкл А.; Каноглу, Мехмет (2019) [1989]. «Термодинамика отношений собственности». Термодинамика - инженерный подход (9-е изд.). Нью-Йорк: Образование Макгроу-Хилл. стр. 647–648. ISBN 978-1-259-82267-4.

• Перро, П. (1998). Термодинамика от А до Я. Нью-Йорк: Издательство Оксфордского университета.
• Деннис Г. Зилл (14 мая 2008 г.). Первый курс дифференциальных уравнений. Cengage Обучение. ISBN 978-0-495-10824-5.

Внешние ссылки

• Неточный дифференциал – из Wolfram MathWorld
• Точные и неточные дифференциалы – Университет Аризоны
• Точные и неточные дифференциалы – Техасский университет
• Точный дифференциал – из Wolfram MathWorld