Частичная производная

Производная функции с несколькими переменными

В математике частная производная функции нескольких переменных — это ее производная по одной из этих переменных, при этом остальные считаются постоянными (в отличие от полной производной , в которой все переменные могут изменяться). Частные производные используются в векторном исчислении и дифференциальной геометрии .

Частная производная функции по переменной обозначается по-разному: ${\displaystyle f(x,y,\dots )}$ ${\displaystyle x}$

${\displaystyle f_{x}}$, , , , , , или . ${\displaystyle f'_{x}}$ ${\displaystyle \partial _{x}f}$ ${\displaystyle \ D_{x}f}$ ${\displaystyle D_{1}f}$ ${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial x}}f}$ ${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial x}}}$

Его можно рассматривать как скорость изменения функции в -направлении. ${\displaystyle x}$

Иногда для частная производная по обозначается как Поскольку частная производная обычно имеет те же аргументы, что и исходная функция, ее функциональная зависимость иногда явно обозначается с помощью обозначений, например: ${\displaystyle z=f(x,y,\ldots )}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle {\tfrac {\partial z}{\partial x}}.}$

$${\displaystyle f'_{x}(x,y,\ldots ),{\frac {\partial f}{\partial x}}(x,y,\ldots ).}$$

Символ, используемый для обозначения частных производных, — ∂ . Одно из первых известных применений этого символа в математике принадлежит маркизу де Кондорсе в 1770 году, ^[1] который использовал его для частных разностей . Современное обозначение частных производных было создано Адриеном-Мари Лежандром (1786), хотя позже он отказался от него; Карл Густав Якоб Якоби вновь ввел этот символ в 1841 году. ^[2]

Определение

Как и обычные производные, частная производная определяется как предел . Пусть U — открытое подмножество и функция . Частная производная f в точке по i -й переменной x _i определяется как ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle f:U\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbf {a} =(a_{1},\ldots ,a_{n})\in U}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial }{\partial x_{i}}}f(\mathbf {a} )&=\lim _{h\to 0}{\frac {f(a_{1},\ldots ,a_{i-1},a_{i}+h,a_{i+1}\,\ldots ,a_{n})\ -f(a_{1},\ldots ,a_{i},\dots ,a_{n})}{h}}\\&=\lim _{h\to 0}{\frac {f(\mathbf {a} +h\mathbf {e_{i}} )-f(\mathbf {a} )}{h}}\,.\end{aligned}}}$$

Где — единичный вектор i - й переменной x _i . Даже если все частные производные существуют в заданной точке a , функция не обязана быть там непрерывной . Однако, если все частные производные существуют в окрестности a и непрерывны там, то f полностью дифференцируема в этой окрестности, а полная производная непрерывна. В этом случае говорят, что f — функция класса C ¹ . Это можно использовать для обобщения векторных функций, , осторожно используя покомпонентный аргумент. ${\displaystyle \mathbf {e_{i}} }$ ${\displaystyle \partial f/\partial x_{i}(a)}$ ${\displaystyle f:U\to \mathbb {R} ^{m}}$

Частную производную можно рассматривать как другую функцию, определенную на U , и ее можно снова частично дифференцировать. Если направление производной не повторяется, она называется смешанной частной производной . Если все смешанные частные производные второго порядка непрерывны в точке (или на множестве), f называется функцией C ² в этой точке (или на этом множестве); в этом случае частные производные можно поменять местами по теореме Клеро : ${\textstyle {\frac {\partial f}{\partial x}}}$

$${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{i}\partial x_{j}}}={\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{j}\partial x_{i}}}.}$$

Обозначение

В следующих примерах пусть f будет функцией от x , y и z .

Частные производные первого порядка:

$${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial x}}=f'_{x}=\partial _{x}f.}$$

Частные производные второго порядка:

$${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{2}}}=f''_{xx}=\partial _{xx}f=\partial _{x}^{2}f.}$$

Смешанные производные второго порядка :

$${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}f}{\partial y\,\partial x}}={\frac {\partial }{\partial y}}\left({\frac {\partial f}{\partial x}}\right)=(f'_{x})'_{y}=f''_{xy}=\partial _{yx}f=\partial _{y}\partial _{x}f.}$$

Частные и смешанные производные высшего порядка:

$${\displaystyle {\frac {\partial ^{i+j+k}f}{\partial x^{i}\partial y^{j}\partial z^{k}}}=f^{(i,j,k)}=\partial _{x}^{i}\partial _{y}^{j}\partial _{z}^{k}f.}$$

При работе с функциями нескольких переменных некоторые из этих переменных могут быть связаны друг с другом, поэтому может потребоваться явно указать, какие переменные остаются постоянными, чтобы избежать двусмысленности. В таких областях, как статистическая механика , частная производная f по x , удерживая y и z постоянными, часто выражается как

$${\displaystyle \left({\frac {\partial f}{\partial x}}\right)_{y,z}.}$$

Традиционно, для ясности и простоты записи, частная производная функция и значение функции в определенной точке объединяются путем включения аргументов функции, когда используется символ частной производной (обозначение Лейбница). Таким образом, выражение типа

$${\displaystyle {\frac {\partial f(x,y,z)}{\partial x}}}$$

используется для функции, в то время как

$${\displaystyle {\frac {\partial f(u,v,w)}{\partial u}}}$$

может быть использовано для значения функции в точке . Однако это соглашение нарушается, когда мы хотим оценить частную производную в точке типа . В таком случае оценка функции должна быть выражена громоздким образом как ${\displaystyle (x,y,z)=(u,v,w)}$ ${\displaystyle (x,y,z)=(17,u+v,v^{2})}$

$${\displaystyle {\frac {\partial f(x,y,z)}{\partial x}}(17,u+v,v^{2})}$$

или

$${\displaystyle \left.{\frac {\partial f(x,y,z)}{\partial x}}\right|_{(x,y,z)=(17,u+v,v^{2})}}$$

для использования обозначения Лейбница. Таким образом, в этих случаях может быть предпочтительнее использовать обозначение дифференциального оператора Эйлера с в качестве символа частной производной по i -й переменной. Например, можно было бы написать для примера, описанного выше, в то время как выражение представляет собой функцию частной производной по первой переменной. ^[3] ${\displaystyle D_{i}}$ ${\displaystyle D_{1}f(17,u+v,v^{2})}$ ${\displaystyle D_{1}f}$

Для частных производных более высокого порядка частная производная (функция) от по j -й переменной обозначается . То есть, , так что переменные перечислены в том порядке, в котором берутся производные, и, таким образом, в обратном порядке того, как обычно записывается композиция операторов. Конечно, теорема Клеро подразумевает, что до тех пор, пока выполняются сравнительно мягкие условия регулярности для f . ${\displaystyle D_{i}f}$ ${\displaystyle D_{j}(D_{i}f)=D_{i,j}f}$ ${\displaystyle D_{j}\circ D_{i}=D_{i,j}}$ ${\displaystyle D_{i,j}=D_{j,i}}$

Градиент

Важным примером функции нескольких переменных является случай скалярной функции на области в евклидовом пространстве (например, на или ). В этом случае f имеет частную производную по каждой переменной x _j . В точке a эти частные производные определяют вектор ${\displaystyle f(x_{1},\ldots ,x_{n})}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ ${\displaystyle \partial f/\partial x_{j}}$

$${\displaystyle \nabla f(a)=\left({\frac {\partial f}{\partial x_{1}}}(a),\ldots ,{\frac {\partial f}{\partial x_{n}}}(a)\right).}$$

Этот вектор называется градиентом f в точке a . Если f дифференцируема в каждой точке некоторой области, то градиент является векторнозначной функцией ∇ f , которая переводит точку a в вектор ∇ f ( a ) . Следовательно, градиент создает векторное поле .

Распространенным злоупотреблением обозначениями является определение оператора del ( ∇ ) следующим образом в трехмерном евклидовом пространстве с единичными векторами : ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ ${\displaystyle {\hat {\mathbf {i} }},{\hat {\mathbf {j} }},{\hat {\mathbf {k} }}}$

$${\displaystyle \nabla =\left[{\frac {\partial }{\partial x}}\right]{\hat {\mathbf {i} }}+\left[{\frac {\partial }{\partial y}}\right]{\hat {\mathbf {j} }}+\left[{\frac {\partial }{\partial z}}\right]{\hat {\mathbf {k} }}}$$

Или, в более общем случае, для n -мерного евклидова пространства с координатами и единичными векторами : ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{n}}$ ${\displaystyle {\hat {\mathbf {e} }}_{1},\ldots ,{\hat {\mathbf {e} }}_{n}}$

$${\displaystyle \nabla =\sum _{j=1}^{n}\left[{\frac {\partial }{\partial x_{j}}}\right]{\hat {\mathbf {e} }}_{j}=\left[{\frac {\partial }{\partial x_{1}}}\right]{\hat {\mathbf {e} }}_{1}+\left[{\frac {\partial }{\partial x_{2}}}\right]{\hat {\mathbf {e} }}_{2}+\dots +\left[{\frac {\partial }{\partial x_{n}}}\right]{\hat {\mathbf {e} }}_{n}}$$

Направленная производная

Контурный график , показывающий вектор градиента черным цветом, а единичный вектор, масштабированный производной по направлению в оранжевом цвете. Вектор градиента длиннее, поскольку градиент указывает в направлении наибольшей скорости роста функции. ${\displaystyle f(x,y)=x^{2}+y^{2}}$ ${\displaystyle \mathbf {u} }$ ${\displaystyle \mathbf {u} }$

Направленная производная скалярной функции вдоль вектора — это функция, определяемая пределом [ ^4] $${\displaystyle f(\mathbf {x} )=f(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})}$$ $${\displaystyle \mathbf {v} =(v_{1},\ldots ,v_{n})}$$ ${\displaystyle \nabla _{\mathbf {v} }{f}}$ $${\displaystyle \nabla _{\mathbf {v} }{f}(\mathbf {x} )=\lim _{h\to 0}{\frac {f(\mathbf {x} +h\mathbf {v} )-f(\mathbf {x} )}{h}}.}$$

Это определение справедливо в широком диапазоне контекстов, например, когда норма вектора (и, следовательно, единичного вектора) не определена. ^[5]

Пример

Предположим, что f — функция более чем одной переменной. Например,

$${\displaystyle z=f(x,y)=x^{2}+xy+y^{2}.}$$

График этой функции определяет поверхность в евклидовом пространстве . К каждой точке этой поверхности можно провести бесконечное число касательных линий . Частичное дифференцирование — это процесс выбора одной из этих линий и нахождения ее наклона . Обычно наибольший интерес представляют линии, параллельные плоскости xz , и линии, параллельные плоскости yz (которые получаются при сохранении постоянной либо y , либо x соответственно).

Чтобы найти наклон касательной к функции в точке P (1, 1) и параллельной плоскости xz , мы рассматриваем y как константу. График и эта плоскость показаны справа. Ниже мы видим, как функция выглядит на плоскости y = 1. Находя производную уравнения, предполагая, что y является константой, мы находим, что наклон f в точке ( x , y ) равен:

$${\displaystyle {\frac {\partial z}{\partial x}}=2x+y.}$$

Итак, в точке (1, 1) при подстановке наклон равен 3. Следовательно,

$${\displaystyle {\frac {\partial z}{\partial x}}=3}$$

в точке (1, 1) . То есть частная производная z по x в точке (1, 1) равна 3 , как показано на графике.

Функцию f можно интерпретировать как семейство функций одной переменной, индексированных другими переменными:

$${\displaystyle f(x,y)=f_{y}(x)=x^{2}+xy+y^{2}.}$$

Другими словами, каждое значение y определяет функцию, обозначаемую f _y , которая является функцией одной переменной x . ^[6] То есть,

$${\displaystyle f_{y}(x)=x^{2}+xy+y^{2}.}$$

В этом разделе нижний индекс f _y обозначает функцию, зависящую от фиксированного значения y , а не частную производную.

После выбора значения y , скажем, a , f ( x , y ) определяет функцию f _a , которая описывает кривую x ² + ax + a ² на плоскости xz :

$${\displaystyle f_{a}(x)=x^{2}+ax+a^{2}.}$$

В этом выражении a — константа , а не переменная , поэтому f _a — функция только одной действительной переменной, то есть x . Следовательно, применяется определение производной для функции одной переменной:

$${\displaystyle f_{a}'(x)=2x+a.}$$

Вышеуказанная процедура может быть выполнена для любого выбора a . Объединение производных в функцию дает функцию, которая описывает изменение f в направлении x :

$${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial x}}(x,y)=2x+y.}$$

Это частная производная f по x . Здесь ' ∂ ' — округленная 'd', называемая символом частной производной ; чтобы отличить ее от буквы 'd', ' ∂ ' иногда произносится как «частная».

Частные производные высшего порядка

Частные производные второго и более высокого порядка определяются аналогично производным более высокого порядка одномерных функций. Для функции «собственная» вторая частная производная по x — это просто частная производная частной производной (обе по x ): ^{[7] : 316–318} ${\displaystyle f(x,y,...)}$

$${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{2}}}\equiv \partial {\frac {\partial f/\partial x}{\partial x}}\equiv {\frac {\partial f_{x}}{\partial x}}\equiv f_{xx}.}$$

Перекрестная частная производная по x и y получается путем взятия частной производной f по x , а затем взятия частной производной результата по y , чтобы получить

$${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}f}{\partial y\,\partial x}}\equiv \partial {\frac {\partial f/\partial x}{\partial y}}\equiv {\frac {\partial f_{x}}{\partial y}}\equiv f_{xy}.}$$

Теорема Шварца утверждает, что если вторые производные непрерывны, то выражение для перекрестной частной производной не зависит от того, по какой переменной частная производная берется первой, а по какой — второй. То есть,

$${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}f}{\partial x\,\partial y}}={\frac {\partial ^{2}f}{\partial y\,\partial x}}}$$

или эквивалентно ${\displaystyle f_{yx}=f_{xy}.}$

Собственные и перекрестные частные производные появляются в матрице Гессе , которая используется в условиях второго порядка в задачах оптимизации . Частные производные более высокого порядка могут быть получены путем последовательного дифференцирования

Антипроизводный аналог

Существует концепция частных производных, аналогичная первообразным для обычных производных. При наличии частной производной она позволяет частично восстановить исходную функцию.

Рассмотрим пример

$${\displaystyle {\frac {\partial z}{\partial x}}=2x+y.}$$

Так называемый частичный интеграл можно взять по x (рассматривая y как константу, аналогично частному дифференцированию):

$${\displaystyle z=\int {\frac {\partial z}{\partial x}}\,dx=x^{2}+xy+g(y).}$$

Здесь константа интегрирования больше не является константой, а является функцией всех переменных исходной функции, кроме x . Причина этого в том, что все остальные переменные рассматриваются как константы при взятии частной производной, поэтому любая функция, которая не включает x, исчезнет при взятии частной производной, и мы должны учитывать это, когда берем первообразную. Самый общий способ представить это — сделать так, чтобы константа представляла неизвестную функцию всех остальных переменных.

Таким образом, набор функций , где g — любая одноаргументная функция, представляет собой весь набор функций от переменных x , y , которые могли бы дать частную производную по x . ${\displaystyle x^{2}+xy+g(y)}$ ${\displaystyle 2x+y}$

Если известны все частные производные функции (например, с градиентом ) , то первообразные можно сопоставить с помощью описанного выше процесса, чтобы восстановить исходную функцию с точностью до константы. Однако, в отличие от случая с одной переменной, не каждый набор функций может быть набором всех (первых) частных производных одной функции. Другими словами, не каждое векторное поле является консервативным .

Приложения

Геометрия

Объем конуса зависит от высоты и радиуса

Объем V конуса зависит от высоты конуса h и его радиуса r по формуле

$${\displaystyle V(r,h)={\frac {\pi r^{2}h}{3}}.}$$

Частная производная V по r равна

$${\displaystyle {\frac {\partial V}{\partial r}}={\frac {2\pi rh}{3}},}$$

что представляет собой скорость, с которой изменяется объем конуса, если его радиус изменяется, а его высота остается постоянной. Частная производная по h равна , что представляет собой скорость, с которой изменяется объем, если его высота изменяется, а его радиус сохраняется постоянным. ${\textstyle {\frac {1}{3}}\pi r^{2}}$

Напротив, полная производная V по r и h соответственно равна

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {dV}{dr}}&=\overbrace {\frac {2\pi rh}{3}} ^{\frac {\partial V}{\partial r}}+\overbrace {\frac {\pi r^{2}}{3}} ^{\frac {\partial V}{\partial h}}{\frac {dh}{dr}}\,,\\{\frac {dV}{dh}}&=\overbrace {\frac {\pi r^{2}}{3}} ^{\frac {\partial V}{\partial h}}+\overbrace {\frac {2\pi rh}{3}} ^{\frac {\partial V}{\partial r}}{\frac {dr}{dh}}\,.\end{aligned}}}$$

Разница между полной и частной производной заключается в устранении косвенных зависимостей между переменными в частных производных.

Если (по какой-то произвольной причине) пропорции конуса должны оставаться прежними, а высота и радиус находятся в фиксированном соотношении k ,

$${\displaystyle k={\frac {h}{r}}={\frac {dh}{dr}}.}$$

Это дает полную производную по r ,

$${\displaystyle {\frac {dV}{dr}}={\frac {2\pi rh}{3}}+{\frac {\pi r^{2}}{3}}k\,,}$$

что упрощается до

$${\displaystyle {\frac {dV}{dr}}=k\pi r^{2},}$$

Аналогично, полная производная по h равна

$${\displaystyle {\frac {dV}{dh}}=\pi r^{2}.}$$

Полная производная по r и h объема , рассматриваемая как скалярная функция этих двух переменных, задается вектором градиента

$${\displaystyle \nabla V=\left({\frac {\partial V}{\partial r}},{\frac {\partial V}{\partial h}}\right)=\left({\frac {2}{3}}\pi rh,{\frac {1}{3}}\pi r^{2}\right).}$$

Оптимизация

Частные производные появляются в любой задаче оптимизации , основанной на исчислении, с более чем одной переменной выбора. Например, в экономике фирма может захотеть максимизировать прибыль π( x , y ) относительно выбора количеств x и y двух различных типов продукции. Условия первого порядка для этой оптимизации: π _x = 0 = π _y . Поскольку обе частные производные π _x и π _y обычно сами являются функциями обоих аргументов x и y , эти два условия первого порядка образуют систему из двух уравнений с двумя неизвестными .

Термодинамика, квантовая механика и математическая физика

Частные производные появляются в термодинамических уравнениях, таких как уравнение Гиббса-Дюгема , в квантовой механике, как в волновом уравнении Шредингера , а также в других уравнениях математической физики . Переменные, которые здесь остаются постоянными в частных производных, могут быть отношениями простых переменных, таких как мольные доли x _i в следующем примере, включающем энергии Гиббса в системе тройной смеси:

$${\displaystyle {\bar {G_{2}}}=G+(1-x_{2})\left({\frac {\partial G}{\partial x_{2}}}\right)_{\frac {x_{1}}{x_{3}}}}$$

Выразите мольные доли компонента как функции мольных долей других компонентов и бинарных мольных соотношений:

${\textstyle {\begin{aligned}x_{1}&={\frac {1-x_{2}}{1+{\frac {x_{3}}{x_{1}}}}}\\x_{3}&={\frac {1-x_{2}}{1+{\frac {x_{1}}{x_{3}}}}}\end{aligned}}}$

Дифференциальные коэффициенты могут быть сформированы при постоянных соотношениях, подобных приведенным выше:

$${\displaystyle {\begin{aligned}\left({\frac {\partial x_{1}}{\partial x_{2}}}\right)_{\frac {x_{1}}{x_{3}}}&=-{\frac {x_{1}}{1-x_{2}}}\\\left({\frac {\partial x_{3}}{\partial x_{2}}}\right)_{\frac {x_{1}}{x_{3}}}&=-{\frac {x_{3}}{1-x_{2}}}\end{aligned}}}$$

Соотношения мольных долей X, Y, Z можно записать для тройных и многокомпонентных систем:

$${\displaystyle {\begin{aligned}X&={\frac {x_{3}}{x_{1}+x_{3}}}\\Y&={\frac {x_{3}}{x_{2}+x_{3}}}\\Z&={\frac {x_{2}}{x_{1}+x_{2}}}\end{aligned}}}$$

который можно использовать для решения уравнений в частных производных, таких как:

$${\displaystyle \left({\frac {\partial \mu _{2}}{\partial n_{1}}}\right)_{n_{2},n_{3}}=\left({\frac {\partial \mu _{1}}{\partial n_{2}}}\right)_{n_{1},n_{3}}}$$

Это равенство можно переставить так, чтобы на одной стороне было дифференциальное отношение мольных долей.

Изменение размера изображения

Частичные производные являются ключом к алгоритмам изменения размера изображения с учетом цели. Широко известные как вырезание швов , эти алгоритмы требуют, чтобы каждому пикселю изображения была назначена числовая «энергия» для описания их несходства с ортогональными соседними пикселями. Затем алгоритм постепенно удаляет строки или столбцы с наименьшей энергией. Формула, установленная для определения энергии пикселя (величины градиента в пикселе), в значительной степени зависит от конструкций частных производных.

Экономика

Частные производные играют важную роль в экономике , в которой большинство функций, описывающих экономическое поведение, предполагают, что поведение зависит от более чем одной переменной. Например, функция общественного потребления может описывать сумму, потраченную на потребительские товары, как зависящую как от дохода, так и от богатства; предельная склонность к потреблению тогда является частной производной функции потребления по отношению к доходу.

Смотрите также

• оператор Даламбера
• Правило цепочки
• Керл (математика)
• Дивергенция
• Внешняя производная
• Повторный интеграл
• Матрица Якоби и определитель
• оператор Лапласа
• Многовариантное исчисление
• Симметрия вторых производных
• Правило тройного произведения , также известное как правило циклической цепи.

Примечания

1. Каджори, Флориан (1952), История математических обозначений, т. 2 (3-е изд.), 596
2. Миллер, Джефф (б.д.). «Самые ранние применения символов исчисления». В O'Connor, John J.; Robertson, Edmund F. (ред.). Архив истории математики MacTutor . Университет Сент-Эндрюс . Получено 15 июня 2023 г.
3. Спивак, М. (1965). Исчисление на многообразиях. Нью-Йорк: WA Benjamin. стр. 44. ISBN 9780805390216.
4. Р. Вреде; М. Р. Шпигель (2010). Advanced Calculus (3-е изд.). Серия Schaum's Outline. ISBN 978-0-07-162366-7.
5. Применимость распространяется на функции над пространствами без метрики и на дифференцируемые многообразия , такие как в общей теории относительности .
6. Это также можно выразить как сопряженность между конструкциями пространства произведений и пространства функций .
7. Чан, Альфа С. (1984). Фундаментальные методы математической экономики (3-е изд.). McGraw-Hill.

Внешние ссылки

• «Частная производная», Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994]
• Частные производные в MathWorld