Симметрия вторых производных

Математическая теорема

В математике симметрия вторых производных (также называемая равенством смешанных частных производных ) относится к возможности менять порядок взятия частных производных функции .

${\displaystyle f\left(x_{1},\,x_{2},\,\ldots ,\,x_{n}\right)}$

переменных без изменения результата при определенных условиях (см. ниже). Симметрия - это утверждение, что частные производные второго порядка удовлетворяют тождеству ${\displaystyle n}$

${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial x_{i}}}\left({\frac {\partial f}{\partial x_{j}}}\right)\ =\ {\frac {\partial }{\partial x_{j}}}\left({\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}\right)}$

так что они образуют симметричную матрицу , известную как матрица Гессе функции . Достаточные условия для выполнения указанной выше симметрии устанавливаются результатом, известным как теорема Шварца , теорема Клеро или теорема Юнга . ^{[1] [2]} ${\displaystyle n\times n}$

В контексте уравнений в частных производных это называется условием интегрируемости Шварца .

Формальные выражения симметрии

Символически симметрию можно выразить так:

${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial x}}\left({\frac {\partial f}{\partial y}}\right)\ =\ {\frac {\partial }{\partial y}}\left({\frac {\partial f}{\partial x}}\right)\qquad {\text{or}}\qquad {\frac {\partial ^{2}\!f}{\partial x\,\partial y}}\ =\ {\frac {\partial ^{2}\!f}{\partial y\,\partial x}}.}$

Другое обозначение:

${\displaystyle \partial _{x}\partial _{y}f=\partial _{y}\partial _{x}f\qquad {\text{or}}\qquad f_{yx}=f_{xy}.}$

С точки зрения композиции дифференциального оператора D _i , который принимает частную производную по x _i :

${\displaystyle D_{i}\circ D_{j}=D_{j}\circ D_{i}}$.

Из этого соотношения следует, что кольцо дифференциальных операторов с постоянными коэффициентами , порожденное Di _, коммутативно ; но это верно только для операторов над областью достаточно дифференцируемых функций. Легко проверить симметрию применительно к мономам , так что в _{качестве} области определения можно взять многочлены от xi . Фактически, гладкие функции — еще одна допустимая область применения.

История

Результат о равенстве смешанных частных производных при определенных условиях имеет долгую историю. Список неудачных предложенных доказательств начался с доказательства Эйлера , опубликованного в 1740 году ^[3], хотя уже в 1721 году Бернулли неявно предположил этот результат без формального обоснования. ^[4] Клеро также опубликовал предложенное доказательство в 1740 году, без каких-либо других попыток до конца 18 века. Начиная с этого момента, в течение 70 лет, был предложен ряд неполных доказательств. Доказательство Лагранжа (1797) было усовершенствовано Коши (1823), но предполагалось существование и непрерывность частных производных и . ^[5] Другие попытки были предприняты П. Бланше (1841 г.), Дюамелем (1856 г.), Штурмом (1857 г.), Шлёмильхом (1862 г.) и Бертраном (1864 г.). Наконец, в 1867 году Линделёф систематически проанализировал все ранее ошибочные доказательства и смог продемонстрировать конкретный контрпример, в котором смешанные производные не были равны. ^{[6] [7]} ${\displaystyle {\tfrac {\partial ^{2}f}{\partial x^{2}}}}$ ${\displaystyle {\tfrac {\partial ^{2}f}{\partial y^{2}}}}$

Шесть лет спустя Шварцу удалось дать первое строгое доказательство. ^{[8] Позже} Дини внес свой вклад, обнаружив более общие условия, чем у Шварца. В конце концов, в 1883 году Джордан нашел более чистую и более общую версию, которая до сих пор является доказательством, которое можно найти в большинстве учебников. Незначительные варианты более ранних доказательств были опубликованы Лораном (1885 г.), Пеано (1889 и 1893 гг.), Дж. Эдвардсом (1892 г.), П. Хаагом (1893 г.), Дж. К. Уиттемором (1898 г.), Виванти (1899 г.) и Пьерпонтом (1905 г.). Дальнейший прогресс был достигнут в 1907-1909 годах, когда Э. У. Хобсон и У. Янг нашли доказательства с более слабыми условиями, чем у Шварца и Дини. В 1918 году Каратеодори дал другое доказательство, основанное на интеграле Лебега . ^[7]

Теорема Шварца

В математическом анализе теорема Шварца (или теорема Клеро о равенстве смешанных частей ) ^[9] , названная в честь Алексиса Клеро и Германа Шварца , утверждает, что для функции , определенной на множестве , if является точкой такой, что некоторая окрестность содержится в и имеет непрерывные вторые частные производные в этой окрестности , то для всех i и j в ${\displaystyle f\colon \Omega \to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \Omega \subset \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \mathbf {p} \in \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \mathbf {p} }$ ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \mathbf {p} }$ ${\displaystyle \{1,2\ldots ,\,n\},}$

${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}}{\partial x_{i}\,\partial x_{j}}}f(\mathbf {p} )={\frac {\partial ^{2}}{\partial x_{j}\,\partial x_{i}}}f(\mathbf {p} ).}$

Частные производные этой функции коммутируют в этой точке.

Один простой способ установить эту теорему (в случае, когда , и , что легко влечет за собой общий результат) — применить теорему Грина к градиенту ${\displaystyle n=2}$ ${\displaystyle i=1}$ ${\displaystyle j=2}$ ${\displaystyle f.}$

Элементарное доказательство для функций на открытых подмножествах плоскости таково (простой редукцией общий случай теоремы Шварца легко сводится к плоскому случаю). ^[10] Пусть — дифференцируемая функция на открытом прямоугольнике , содержащем точку , и предположим, что она непрерывна с непрерывным и над Определить ${\displaystyle f(x,y)}$ ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle (a,b)}$ ${\displaystyle df}$ ${\displaystyle \partial _{x}\partial _{y}f}$ ${\displaystyle \partial _{y}\partial _{x}f}$ ${\displaystyle \Omega .}$

${\displaystyle {\begin{aligned}u\left(h,\,k\right)&=f\left(a+h,\,b+k\right)-f\left(a+h,\,b\right),\\v\left(h,\,k\right)&=f\left(a+h,\,b+k\right)-f\left(a,\,b+k\right),\\w\left(h,\,k\right)&=f\left(a+h,\,b+k\right)-f\left(a+h,\,b\right)-f\left(a,\,b+k\right)+f\left(a,\,b\right).\end{aligned}}}$

Эти функции определены для , где и содержится в ${\displaystyle \left|h\right|,\,\left|k\right|<\varepsilon }$ ${\displaystyle \varepsilon >0}$ ${\displaystyle \left[a-\varepsilon ,\,a+\varepsilon \right]\times \left[b-\varepsilon ,\,b+\varepsilon \right]}$ ${\displaystyle \Omega .}$

По теореме о среднем значении для фиксированного h и k , отличного от нуля, можно найти в открытом интервале с ${\displaystyle \theta ,\theta ',\phi ,\phi '}$ ${\displaystyle (0,1)}$

${\displaystyle {\begin{aligned}w\left(h,\,k\right)&=u\left(h,\,k\right)-u\left(0,\,k\right)=h\,\partial _{x}u\left(\theta h,\,k\right)\\&=h\,\left[\partial _{x}f\left(a+\theta h,\,b+k\right)-\partial _{x}f\left(a+\theta h,\,b\right)\right]\\&=hk\,\partial _{y}\partial _{x}f\left(a+\theta h,\,b+\theta ^{\prime }k\right)\\w\left(h,\,k\right)&=v\left(h,\,k\right)-v\left(h,\,0\right)=k\,\partial _{y}v\left(h,\,\phi k\right)\\&=k\left[\partial _{y}f\left(a+h,\,b+\phi k\right)-\partial _{y}f\left(a,\,b+\phi k\right)\right]\\&=hk\,\partial _{x}\partial _{y}f\left(a+\phi ^{\prime }h,\,b+\phi k\right).\end{aligned}}}$

Поскольку первое равенство ниже можно разделить на : ${\displaystyle h,\,k\neq 0}$ ${\displaystyle hk}$

${\displaystyle {\begin{aligned}hk\,\partial _{y}\partial _{x}f\left(a+\theta h,\,b+\theta ^{\prime }k\right)&=hk\,\partial _{x}\partial _{y}f\left(a+\phi ^{\prime }h,\,b+\phi k\right),\\\partial _{y}\partial _{x}f\left(a+\theta h,\,b+\theta ^{\prime }k\right)&=\partial _{x}\partial _{y}f\left(a+\phi ^{\prime }h,\,b+\phi k\right).\end{aligned}}}$

Стремясь к нулю в последнем равенстве, из предположений о непрерывности и теперь следует, что ${\displaystyle h,\,k}$ ${\displaystyle \partial _{y}\partial _{x}f}$ ${\displaystyle \partial _{x}\partial _{y}f}$

${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}}{\partial x\partial y}}f\left(a,\,b\right)={\frac {\partial ^{2}}{\partial y\partial x}}f\left(a,\,b\right).}$

Это описание представляет собой простой классический метод, который можно найти во многих учебниках, например, у Беркилла, Апостола и Рудина. ^{[10] [11] [12]}

Хотя приведенный выше вывод является элементарным, этот подход также можно рассматривать с более концептуальной точки зрения, чтобы результат стал более очевидным. ^{[13] [14] [15] [16] [17]} Действительно, разностные операторы коммутируют и стремятся к 0, с аналогичным утверждением для операторов второго порядка. ^[a] Здесь для вектора на плоскости и вектора направления или разностный оператор определяется выражением ${\displaystyle \Delta _{x}^{t},\,\,\Delta _{y}^{t}}$ ${\displaystyle \Delta _{x}^{t}f,\,\,\Delta _{y}^{t}f}$ ${\displaystyle \partial _{x}f,\,\,\partial _{y}f}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle {\tbinom {1}{0}}}$ ${\displaystyle {\tbinom {0}{1}}}$

${\displaystyle \Delta _{u}^{t}f(z)={f(z+tu)-f(z) \over t}.}$

По основной теореме исчисления для функций на отрезке с ${\displaystyle C^{1}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle (a,b)\subset I}$

${\displaystyle \int _{a}^{b}f^{\prime }(x)\,dx=f(b)-f(a).}$

Следовательно

${\displaystyle |f(b)-f(a)|\leq (b-a)\,\sup _{c\in (a,b)}|f^{\prime }(c)|}$.

Это обобщенная версия теоремы о среднем значении . Напомним, что элементарное обсуждение максимумов и минимумов вещественнозначных функций подразумевает, что если функция непрерывна на и дифференцируема на , то существует точка в такой, что ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle [a,b]}$ ${\displaystyle (a,b)}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle (a,b)}$

${\displaystyle {f(b)-f(a) \over b-a}=f^{\prime }(c).}$

Для вектор-функций с конечномерным нормированным пространством аналога приведенного выше равенства не существует, более того, оно неверно. Но поскольку , приведенное выше неравенство является полезной заменой. Более того, использование спаривания двойственного с его двойственной нормой приводит к следующему неравенству: ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle \inf f^{\prime }\leq f^{\prime }(c)\leq \sup f^{\prime }}$ ${\displaystyle V}$

${\displaystyle \|f(b)-f(a)\|\leq (b-a)\,\sup _{c\in (a,b)}\|f^{\prime }(c)\|}$.

Эти версии теоремы о среднем обсуждаются у Рудина, Хёрмандера и других авторов. ^{[19] [20]}

Для функции на открытом множестве на плоскости определите и . Кроме того, для набора ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle C^{2}}$ ${\displaystyle D_{1}=\partial _{x}}$ ${\displaystyle D_{2}=\partial _{y}}$ ${\displaystyle t\neq 0}$

${\displaystyle \Delta _{1}^{t}f(x,y)=[f(x+t,y)-f(x,y)]/t,\,\,\,\,\,\,\Delta _{2}^{t}f(x,y)=[f(x,y+t)-f(x,y)]/t}$.

Тогда для открытого множества обобщенную теорему о среднем значении можно применить дважды: ${\displaystyle (x_{0},y_{0})}$

${\displaystyle \left|\Delta _{1}^{t}\Delta _{2}^{t}f(x_{0},y_{0})-D_{1}D_{2}f(x_{0},y_{0})\right|\leq \sup _{0\leq s\leq 1}\left|\Delta _{1}^{t}D_{2}f(x_{0},y_{0}+ts)-D_{1}D_{2}f(x_{0},y_{0})\right|\leq \sup _{0\leq r,s\leq 1}\left|D_{1}D_{2}f(x_{0}+tr,y_{0}+ts)-D_{1}D_{2}f(x_{0},y_{0})\right|.}$

Таким образом , стремится к 0. Тот же аргумент показывает, что стремится к . Следовательно, поскольку разностные операторы коммутируют, то же самое делают и операторы в частных производных и , как утверждается. ^{[21] [22] [23] [24] [25]} ${\displaystyle \Delta _{1}^{t}\Delta _{2}^{t}f(x_{0},y_{0})}$ ${\displaystyle D_{1}D_{2}f(x_{0},y_{0})}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle \Delta _{2}^{t}\Delta _{1}^{t}f(x_{0},y_{0})}$ ${\displaystyle D_{2}D_{1}f(x_{0},y_{0})}$ ${\displaystyle D_{1}}$ ${\displaystyle D_{2}}$

Замечание. По двум применениям классической теоремы о среднем значении:

${\displaystyle \Delta _{1}^{t}\Delta _{2}^{t}f(x_{0},y_{0})=D_{1}D_{2}f(x_{0}+t\theta ,y_{0}+t\theta ^{\prime })}$

для некоторых и в . Таким образом, первое элементарное доказательство можно переинтерпретировать с помощью разностных операторов. И наоборот, вместо использования обобщенной теоремы о среднем значении во втором доказательстве можно использовать классическую теорему о среднем значении. ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle \theta ^{\prime }}$ ${\displaystyle (0,1)}$

Доказательство теоремы Клеро с помощью повторных интегралов.

Свойства повторных интегралов Римана непрерывной функции F на компактном прямоугольнике [ a , b ] × [ c , d ] легко устанавливаются. ^[26] Из равномерной непрерывности F немедленно следует, что функции и непрерывны. ^[27] Отсюда следует, что ${\displaystyle g(x)=\int _{c}^{d}F(x,y)\,dy}$ ${\displaystyle h(y)=\int _{a}^{b}F(x,y)\,dx}$

${\displaystyle \int _{a}^{b}\int _{c}^{d}F(x,y)\,dy\,dx=\int _{c}^{d}\int _{a}^{b}F(x,y)\,dx\,dy}$;

более того, очевидно, что повторный интеграл положителен, если F положителен. ^[28] Приведенное выше равенство представляет собой простой случай теоремы Фубини , не включающий в себя теорию меры . Титчмарш (1939) доказывает это простым способом, используя аппроксимирующие суммы Римана , соответствующие подразделениям прямоугольника на меньшие прямоугольники.

Чтобы доказать теорему Клеро, предположим, _что f — дифференцируемая функция на открытом множестве U , _для которой смешанные вторые частные производные fyx и fxy существуют и непрерывны. Дважды используя фундаментальную теорему исчисления ,

${\displaystyle \int _{c}^{d}\int _{a}^{b}f_{yx}(x,y)\,dx\,dy=\int _{c}^{d}f_{y}(b,y)-f_{y}(a,y)\,dy=f(b,d)-f(a,d)-f(b,c)+f(a,c).}$

Сходным образом

${\displaystyle \int _{a}^{b}\int _{c}^{d}f_{xy}(x,y)\,dy\,dx=\int _{a}^{b}f_{x}(x,d)-f_{x}(x,c)\,dx=f(b,d)-f(a,d)-f(b,c)+f(a,c).}$

Таким образом, два повторных интеграла равны. С другой стороны, поскольку f _xy ( x , y ) является непрерывным, второй повторный интеграл может быть выполнен путем сначала интегрирования по x , а затем по y . Но тогда повторный интеграл от f _yx − f _xy на [ a , b ] × [ c , d ] должен обратиться в нуль. Однако если повторный интеграл непрерывной функции F обращается в нуль для всех прямоугольников, то F должен быть тождественно нулю; в противном случае F или − F были бы строго положительными в некоторой точке и, следовательно, по непрерывности на прямоугольнике, что невозможно. Следовательно, f _yx − f _xy должно быть тождественно равно нулю, так что f _yx = f _xy всюду. ^{[29] [30] [31] [32] [33]}

Достаточность дважды-дифференцируемости

Более слабое условие, чем непрерывность вторых частных производных (которое подразумевается последним), которого достаточно для обеспечения симметрии, состоит в том, что все частные производные сами по себе дифференцируемы . ^[34] Другое усиление теоремы, в котором утверждается существование перестановочного смешанного частичного, было предложено Пеано в короткой заметке 1890 года о Mathesis :

Если определено на открытом множестве ; и существуют повсюду на ; непрерывен в , и если существует в окрестности , то существует в и . ${\displaystyle f:E\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle E\subset \mathbb {R} ^{2}}$ ${\displaystyle \partial _{1}f(x,\,y)}$ ${\displaystyle \partial _{2,1}f(x,\,y)}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle \partial _{2,1}f}$ ${\displaystyle \left(x_{0},\,y_{0}\right)\in E}$ ${\displaystyle \partial _{2}f(x,\,y_{0})}$ ${\displaystyle x=x_{0}}$ ${\displaystyle \partial _{1,2}f}$ ${\displaystyle \left(x_{0},\,y_{0}\right)}$ ${\displaystyle \partial _{1,2}f\left(x_{0},\,y_{0}\right)=\partial _{2,1}f\left(x_{0},\,y_{0}\right)}$^[35]

Формулировка теории распределения

Теория распределений (обобщенных функций) устраняет аналитические проблемы с симметрией. Производную интегрируемой функции всегда можно определить как распределение, а симметрия смешанных частных производных всегда соблюдается как равенство распределений. Использование формального интегрирования по частям для определения дифференциации распределений возвращает вопрос симметрии к пробным функциям , которые являются гладкими и заведомо удовлетворяют этой симметрии. Более подробно (где f — распределение, записанное в виде оператора над пробными функциями, а φ — пробная функция),

${\displaystyle \left(D_{1}D_{2}f\right)[\phi ]=-\left(D_{2}f\right)\left[D_{1}\phi \right]=f\left[D_{2}D_{1}\phi \right]=f\left[D_{1}D_{2}\phi \right]=-\left(D_{1}f\right)\left[D_{2}\phi \right]=\left(D_{2}D_{1}f\right)[\phi ].}$

Другой подход, определяющий преобразование Фурье функции, заключается в том, чтобы отметить, что при таких преобразованиях частные производные становятся операторами умножения, коммутация которых гораздо более очевидна. ^[а]

Требование непрерывности

Симметрия может быть нарушена, если функция не имеет дифференцируемых частных производных, что возможно, если не выполняется теорема Клеро (вторые частные производные не являются непрерывными ).

Функция f ( x ,  y ), как показано в уравнении ( 1 ), не имеет симметричных вторых производных в начале.

Примером несимметрии является функция (по Пеано ) ^{[36] [37]}

Это можно визуализировать с помощью полярной формы ; он всюду непрерывен, но его производные в точке (0, 0) не могут быть вычислены алгебраически. Скорее, предел разностных коэффициентов показывает, что , поэтому график имеет горизонтальную касательную плоскость в точке (0, 0) , а частные производные существуют и всюду непрерывны. Однако вторые частные производные не являются непрерывными в точке (0, 0) , и симметрия нарушается. Фактически, по оси x производная по y равна , и так: ${\displaystyle f(r\cos(\theta ),r\sin(\theta ))={\frac {r^{2}\sin(4\theta )}{4}}}$ ${\displaystyle f_{x}(0,0)=f_{y}(0,0)=0}$ ${\displaystyle z=f(x,y)}$ ${\displaystyle f_{x},f_{y}}$ ${\displaystyle f_{y}(x,0)=x}$

${\displaystyle f_{yx}(0,0)=\lim _{\varepsilon \to 0}{\frac {f_{y}(\varepsilon ,0)-f_{y}(0,0)}{\varepsilon }}=1.}$

Напротив, вдоль оси Y расположена производная x , и т.д. То есть в точке (0, 0) , хотя смешанные частные производные действительно существуют, и в любой другой точке симметрия сохраняется. ${\displaystyle f_{x}(0,y)=-y}$ ${\displaystyle f_{xy}(0,0)=-1}$ ${\displaystyle f_{yx}\neq f_{xy}}$

Вышеуказанную функцию, записанную в цилиндрической системе координат, можно выразить как

${\displaystyle f(r,\,\theta )={\frac {r^{2}\sin {4\theta }}{4}},}$

показывая, что функция колеблется четыре раза при одиночном обходе произвольно малого цикла, содержащего начало координат. Следовательно, интуитивно локальное поведение функции в точке (0, 0) не может быть описано как квадратичная форма, и, таким образом, матрица Гессе не может быть симметричной.

В общем, обмен ограничивающими операциями не требует коммутации . Учитывая две переменные вблизи (0, 0) и два предельных процесса на

${\displaystyle f(h,\,k)-f(h,\,0)-f(0,\,k)+f(0,\,0)}$

соответствующее сначала сделать h → 0, а затем сначала сделать k → 0. Это может иметь значение, если учитывать члены первого порядка, которые применяются первыми. Это приводит к построению патологических примеров, в которых вторые производные несимметричны. Примеры такого рода относятся к теории реального анализа , где значение функции имеет значение поточечно. Если рассматривать его как распределение, значения второй частной производной можно изменить в произвольном наборе точек, если он имеет меру Лебега 0. Поскольку в примере гессиан симметричен везде, кроме (0, 0) , противоречия с тот факт, что гессиан, рассматриваемый как распределение Шварца , симметричен.

В теории лжи

Считайте, что дифференциальные операторы первого порядка D _i являются инфинитезимальными операторами в евклидовом пространстве . То есть D _i в некотором смысле генерирует однопараметрическую группу перемещений, параллельных оси x _i . Эти группы коммутируют друг с другом, и, следовательно, бесконечно малые генераторы тоже коммутируют; скобка Лжи

[ D _я , D _j ] знак равно 0

является отражением этого свойства. Другими словами, производная Ли одной координаты по другой равна нулю.

Приложение к дифференциальным формам

Теорема Клеро-Шварца является ключевым фактом, необходимым для доказательства того, что для каждой (или по крайней мере дважды дифференцируемой) дифференциальной формы вторая внешняя производная равна нулю: . Это означает, что каждая дифференцируемая точная форма (т. е. такая, что для некоторой формы ) замкнута (т. е. ), поскольку . ^[38] ${\displaystyle C^{\infty }}$ ${\displaystyle \omega \in \Omega ^{k}(M)}$ ${\displaystyle d^{2}\omega :=d(d\omega )=0}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \alpha =d\omega }$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle d\alpha =0}$ ${\displaystyle d\alpha =d(d\omega )=0}$

В середине 18 в. теория дифференциальных форм была впервые изучена в простейшем случае 1-форм на плоскости, т. е . где и – функции на плоскости. Изучение 1-форм и дифференциалов функций началось с работ Клеро в 1739 и 1740 годах. На этом этапе его исследования интерпретировались как способы решения обыкновенных дифференциальных уравнений . Формально Клеро показал, что 1-форма на открытом прямоугольнике замкнута, т . е. имеет форму для некоторой функции в круге. Решение для можно записать по интегральной формуле Коши ${\displaystyle A\,dx+B\,dy}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle \omega =A\,dx+B\,dy}$ ${\displaystyle d\omega =0}$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle df}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f}$

${\displaystyle f(x,y)=\int _{x_{0}}^{x}A(x,y)\,dx+\int _{y_{0}}^{y}B(x,y)\,dy;}$

в то время как если закрытое свойство является тождественным . (В современном языке это один из вариантов леммы Пуанкаре .) ^[39] ${\displaystyle \omega =df}$ ${\displaystyle d\omega =0}$ ${\displaystyle \partial _{x}\partial _{y}f=\partial _{y}\partial _{x}f}$

Примечания

1. Их также можно перефразировать в терминах действия операторов на функции Шварца на плоскости. При преобразовании Фурье операторы разности и дифференциала являются просто операторами умножения. ^[18]

1. «Теорема Юнга» (PDF) . Калифорнийский университет в Беркли. Архивировано из оригинала (PDF) 18 мая 2006 г. Проверено 2 января 2015 г.
2. Аллен 1964, стр. 300–305.
3. Эйлер 1740.
4. Sandifer 2007, стр. 142–147, сноска: Comm. акад. наук. Имп. Петрополь. 7 (1734/1735) 1740 , 174–189, 180–183; Опера Омния , 1.22, 34-56..
5. Мингуцци 2015.
6. Линделеф 1867.
7. Хиггинс 1940.
8. Шварц 1873.
9. Джеймс 1966, с.  ^{[ нужна страница ]} .
10. Беркилл 1962, стр. 154–155.
11. Апостол 1965.
12. Рудин 1976.
13. Hörmander 2015, стр. 7, 11. Этот сокращенный отчет, возможно, самый короткий.
14. Дьедонне 1960, стр. 179–180.
15. Годемент 1998b, стр. 287–289.
16. Ланг 1969, стр. 108–111.
17. Картан 1971, стр. 64–67.
18. Хёрмандер 2015, Глава VII.
19. Хёрмандер 2015, с. 6.
20. Рудин 1976, с.  ^{[ нужна страница ]} .
21. Хёрмандер 2015, с. 11.
22. Дьедонне 1960.
23. Годемент 1998а.
24. Ланг 1969.
25. Картан 1971.
26. Титчмарш 1939, с.  ^{[ нужна страница ]} .
27. Титчмарш 1939, стр. 23–25.
28. Титчмарш 1939, стр. 49–50.
29. Спивак 1965, с. 61.
30. МакГрат 2014.
31. Аксой и Мартелли 2002.
32. Экслер 2020, стр. 142–143.
33. Маршалл, Дональд Э., Теоремы Фубини и Клеро (PDF) , Вашингтонский университет
34. Хаббард и Хаббард 2015, стр. 732–733.
35. Рудин 1976, стр. 235–236.
36. Хобсон 1921, стр. 403–404.
37. Апостол 1974, стр. 358–359.
38. Вт 2010.
39. Кац 1981.

Рекомендации

• Аксой, А.; Мартелли, М. (2002), «Смешанные частные производные и теорема Фубини», College Mathematics Journal of MAA , 33 (2): 126–130, doi : 10.1080/07468342.2002.11921930, S2CID  124561972
• Аллен, RGD (1964). Математический анализ для экономистов. Нью-Йорк: Пресса Святого Мартина. ISBN 9781443725224.
• Апостол, Том М. (1965), Математический анализ: современный подход к углубленному исчислению , Лондон: Addison-Wesley, OCLC  901554874
• Апостол, Том М. (1974), Математический анализ , Аддисон-Уэсли, ISBN 9780201002881
• Экслер, Шелдон (2020), Измерение, интеграция и реальный анализ , Тексты для выпускников по математике, том. 282, Спрингер, ISBN 9783030331436
• Бурбаки, Николя (1952), «Глава III: Меры по компактным пространствам мест», Elements de mathématique, Livre VI: Integration (на французском языке), Hermann et Cie
• Беркилл, Дж. К. (1962), Первый курс математического анализа , издательство Кембриджского университета , ISBN 9780521294683(переиздано в 1978 г.)
• Картан, Анри (1971), Calcul Differentiel (на французском языке), Герман , ISBN 9780395120330
• Клеро, AC (1739), «Общие исследования по интегральному исчислению», Mémoires de l'Académie Royale des Sciences : 425–436.
• Клеро, AC (1740), «Sur l'интеграция или построение дифференциальных уравнений первого порядка», Mémoires de l'Académie Royale des Sciences , 2 : 293–323
• Дьедонне, Ж. (1937), «Sur les fonctions continue numérique définies dans une produit de deux espaces Compacts», Comptes Rendus de l'Académie des Sciences de Paris , 205 : 593–595
• Дьедонне, Ж. (1960), Основы современного анализа , Чистая и прикладная математика, том. 10, Академическое издательство, ISBN 9780122155505
• Дьедонне, Ж. (1976), Трактат об анализе. Том. II. , Чистая и прикладная математика, вып. 10-II, перевод И.Г. Макдональда , Academic Press, ISBN 9780122155024
• Эйлер, Леонард (1740). «De Infinitis Curvis Eiusdem Generis seu Methodus Inveniendi aequationes pro Infinitis Curvis Eiusdem Generis» [О бесконечных (многих) однотипных кривых, то есть метод нахождения уравнений для бесконечного (многого) однотипных кривых. Commentarii Academiae Scientiarum Petropolitanae (на латыни). 7 : 174–189, 180–183 – через Архив Эйлера, поддерживаемый Тихоокеанским университетом.
• Гилки, Питер; Пак, ЧонХён; Васкес-Лоренцо, Рамон (2015), Аспекты дифференциальной геометрии I , Обобщающие лекции по математике и статистике, том. 15, Морган и Клейпул, ISBN 9781627056632
• Годеман, Роджер (1998a), Математический анализ I, Спрингер
• Годеман, Роджер (1998b), Математический анализ II, Springer
• Хиггинс, Томас Джеймс (1940). «Заметка об истории смешанных частных производных». Скрипта Математика . 7 : 59–62. Архивировано из оригинала 19 апреля 2017 г. Проверено 19 апреля 2017 г.
• Хобсон, Э.В. (1921), Теория функций действительной переменной и теория рядов Фурье. Том. I. , Издательство Кембриджского университета
• Хёрмандер, Ларс (2015), Анализ линейных дифференциальных операторов с частными производными I: Теория распределения и анализ Фурье , Классика математики (2-е изд.), Springer, ISBN 9783642614972
• Хаббард, Джон ; Хаббард, Барбара (2015). Векторное исчисление, линейная алгебра и дифференциальные формы (5-е изд.). Матричные издания. ISBN 9780971576681.
• Джеймс, RC (1966). Продвинутое исчисление. Бельмонт, Калифорния: Уодсворт.
• Джордан, Камилла (1893), Курс анализа политехнической школы. Том I. Calcul différentiel (Les Grands Classiques Gauthier-Villars) , Éditions Jacques Gaba]
• Кац, Виктор Дж. (1981), «История дифференциальных форм от Клеро до Пуанкаре», Historia Mathematica , 8 (2): 161–188, doi : 10.1016/0315-0860(81)90027-6
• Ланг, Серж (1969), Реальный анализ , Аддисон-Уэсли , ISBN 0201041790
• Линделеф, Л.Л. (1867), «Замечания о различиях в манипуляциях по формуле d2 z/dx dy = d2 z/dy dx», Acta Societatis Scientiarum Fennicae , 8 : 205–213
• Лумис, Линн Х. (1953), Введение в абстрактный гармонический анализ , Д. Ван Ностранд, hdl : 2027/uc1.b4250788
• МакГрат, Питер Дж. (2014), «Еще одно доказательство теоремы Клеро», Amer. Математика. Monthly , 121 (2): 165–166, doi : 10.4169/amer.math.monthly.121.02.165, S2CID  12698408
• Мингуцци, Э. (2015). «Равенство смешанных частных производных при условиях слабой дифференцируемости». Обмен реальным анализом . 40 : 81–98. arXiv : 1309.5841 . doi : 10.14321/realanalexch.40.1.0081. S2CID  119315951.
• Нахбин, Леопольдо (1965), Элементы теории приближения , Notas de Matemática, vol. 33, Рио-де-Жанейро: Fascículo publicado pelo Instituto de Matematica Pura e Aplicada do Conselho Nacional de Pesquisas
• Рудин, Уолтер (1976), Принципы математического анализа, Международная серия по чистой и прикладной математике, McGraw-Hill, ISBN 0-07-054235-Х
• Сандифер, К. Эдвард (2007), «Смешанные частные производные равны», Ранняя математика Леонарда Эйлера, Том. 1 , Американская математическая ассоциация, ISBN 9780883855591
• Шварц, HA (1873), «Коммуникация», Archives des Sciences Physiques et Naturelles , 48 : 38–44.
• Спивак, Майкл (1965), Исчисление на многообразиях. Современный подход к классическим теоремам продвинутого исчисления , В.А. Бенджамин.
• Тао, Теренс (2006), Анализ II (PDF) , Тексты и материалы для чтения по математике, том. 38, Книжное агентство Индостан, номер домена : 10.1007/978-981-10-1804-6, ISBN. 8185931631
• Титчмарш, EC (1939), Теория функций (2-е изд.), Oxford University Press
• Ту, Лоринг В. (2010), Введение в многообразия (2-е изд.), Нью-Йорк: Springer, ISBN 978-1-4419-7399-3

дальнейшее чтение

• «Частная производная», Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]