Теорема о среднем значении

О существовании касательной к дуге, параллельной прямой, проходящей через ее концы

Для любой функции, непрерывной и дифференцируемой на интервале, существует такая, что секущая, соединяющая концы интервала , параллельна касательной в точке . ${\displaystyle [a,b]}$ ${\displaystyle (a,b)}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle (a,b)}$ ${\displaystyle [a,b]}$ ${\displaystyle c}$

В математике теорема о среднем значении (или теорема Лагранжа ) грубо утверждает, что для данной плоской дуги между двумя конечными точками существует по крайней мере одна точка, в которой касательная к дуге параллельна секущей, проходящей через ее конечные точки. Это один из наиболее важных результатов реального анализа . Эта теорема используется для доказательства утверждений о функции на отрезке , исходя из локальных гипотез о производных в точках отрезка.

Точнее, теорема утверждает, что если - непрерывная функция на замкнутом интервале и дифференцируемая на открытом интервале , то существует точка в такой, что касательная при параллельна секущей линии, проходящей через конечные точки и , то есть ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle [a,b]}$ ${\displaystyle (a,b)}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle (a,b)}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle {\big (}a,f(a){\big )}}$ ${\displaystyle {\big (}b,f(b){\big )}}$

${\displaystyle f'(c)={\frac {f(b)-f(a)}{b-a}}.}$

История

Частный случай этой теоремы для обратной интерполяции синуса был впервые описан Парамешварой ( 1380–1460) из Керальской школы астрономии и математики в Индии в его комментариях к Говиндасвами и Бхаскаре II . ^[1] Ограниченная форма теоремы была доказана Мишелем Роллем в 1691 году; Результатом стало то, что сейчас известно как теорема Ролля , и она была доказана только для полиномов, без использования методов исчисления. Теорема о среднем значении в ее современной форме была сформулирована и доказана Огюстеном Луи Коши в 1823 году. ^[2] С тех пор было доказано множество вариаций этой теоремы. ^{[3] [4]}

Официальное заявление

Функция достигает наклона секущего между и как производная в точке . ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle \xi \in (a,b)}$

Также возможно, что существует несколько касательных, параллельных секущей.

Пусть – непрерывная функция на отрезке и дифференцируемая на открытом отрезке , где . Тогда существуют такие , что ${\displaystyle f:[a,b]\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle [a,b]}$ ${\displaystyle (a,b)}$ ${\displaystyle a<b}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle (a,b)}$

${\displaystyle f'(c)={\frac {f(b)-f(a)}{b-a}}.}$

Теорема о среднем значении является обобщением теоремы Ролля , которая предполагает , что правая часть выше равна нулю. ${\displaystyle f(a)=f(b)}$

Теорема о среднем значении по-прежнему справедлива в несколько более общей ситуации. Нужно только предположить, что непрерывно на , и что для каждого в пределе ${\displaystyle f:[a,b]\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle [a,b]}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle (a,b)}$

${\displaystyle \lim _{h\to 0}{\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}}$

существует как конечное число или равно или . Если конечен, этот предел равен . Примером применения этой версии теоремы является отображение действительнозначной функции кубического корня , производная которой стремится к бесконечности в начале координат. ${\displaystyle \infty }$ ${\displaystyle -\infty }$ ${\displaystyle f'(x)}$ ${\displaystyle x\mapsto x^{1/3}}$

Как утверждается, теорема неверна, если дифференцируемая функция имеет комплексное, а не действительное значение. Например, определите для всех реальных . Затем ${\displaystyle f(x)=e^{xi}}$ ${\displaystyle x}$

${\displaystyle f(2\pi )-f(0)=0=0(2\pi -0)}$

в то время как для любого реального . ${\displaystyle f'(x)\neq 0}$ ${\displaystyle x}$

Эти формальные утверждения также известны как теорема Лагранжа о среднем значении . ^[5]

Доказательство

Выражение дает наклон линии, соединяющей точки и , которая является хордой графика , а также наклон касательной к кривой в точке . Таким образом, теорема о среднем значении гласит, что для любой хорды гладкой кривой мы можем найти точку на кривой, лежащую между конечными точками хорды, такую, что касательная кривой в этой точке параллельна хорде. Следующее доказательство иллюстрирует эту идею. ${\textstyle {\frac {f(b)-f(a)}{b-a}}}$ ${\displaystyle (a,f(a))}$ ${\displaystyle (b,f(b))}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f'(x)}$ ${\displaystyle (x,f(x))}$

Определите , где – константа. Поскольку непрерывно на и дифференцируемо на , то же самое верно и для . Теперь мы хотим выбрать такой, который удовлетворяет условиям теоремы Ролля . А именно ${\displaystyle g(x)=f(x)-rx}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle [a,b]}$ ${\displaystyle (a,b)}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle g}$

${\displaystyle {\begin{aligned}g(a)=g(b)&\iff f(a)-ra=f(b)-rb\\&\iff r(b-a)=f(b)-f(a)\\&\iff r={\frac {f(b)-f(a)}{b-a}}.\end{aligned}}}$

По теореме Ролля , поскольку дифференцируемо и , существует такой в ​​для которого , и из равенства следует , что ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle g(a)=g(b)}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle (a,b)}$ ${\displaystyle g'(c)=0}$ ${\displaystyle g(x)=f(x)-rx}$

${\displaystyle {\begin{aligned}&g'(x)=f'(x)-r\\&g'(c)=0\\&g'(c)=f'(c)-r=0\\&\Rightarrow f'(c)=r={\frac {f(b)-f(a)}{b-a}}\end{aligned}}}$

Подразумеваемое

Теорема 1: Предположим, что это непрерывная вещественная функция, определенная на произвольном интервале вещественной прямой. Если производная в каждой внутренней точке интервала существует и равна нулю, то внутри она постоянна . ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle f}$

Доказательство. Предположим, что производная в каждой внутренней точке интервала существует и равна нулю. Пусть – произвольный открытый интервал в . По теореме о среднем значении существует такая точка , что ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle (a,b)}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle (a,b)}$

${\displaystyle 0=f'(c)={\frac {f(b)-f(a)}{b-a}}.}$

Это подразумевает, что . Таким образом, является постоянным внутри и, следовательно, постоянным по непрерывности. (См. ниже многовариантную версию этого результата.) ${\displaystyle f(a)=f(b)}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle I}$

Примечания:

• На концах интервала необходима только непрерывность , а не дифференцируемость . Никакой гипотезы непрерывности не требуется формулировать, если - открытый интервал , поскольку существование производной в точке подразумевает непрерывность в этой точке. (См. раздел «Непрерывность и дифференцируемость артикльной производной ».) ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle I}$
• Дифференцируемость может быть релаксирована до односторонней дифференцируемости , доказательство приведено в статье о полудифференцируемости . ${\displaystyle f}$

Теорема 2: Если для всех в интервале области определения этих функций, то постоянна, т.е. где – константа на . ${\displaystyle f'(x)=g'(x)}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle (a,b)}$ ${\displaystyle f-g}$ ${\displaystyle f=g+c}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle (a,b)}$

Доказательство: Пусть , то на интервале , поэтому приведенная выше теорема 1 говорит, что это константа или . ${\displaystyle F(x)=f(x)-g(x)}$ ${\displaystyle F'(x)=f'(x)-g'(x)=0}$ ${\displaystyle (a,b)}$ ${\displaystyle F(x)=f(x)-g(x)}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle f=g+c}$

Теорема 3: Если - первообразная на интервале , то наиболее общая первообразная от on - это где - константа. ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle F(x)+c}$ ${\displaystyle c}$

Доказательство. Оно непосредственно следует из теоремы 2, приведенной выше.

Теорема Коши о среднем значении

Теорема Коши о среднем значении , также известная как расширенная теорема о среднем значении , ^[6] является обобщением теоремы о среднем значении. Он гласит: если функции и непрерывны на отрезке и дифференцируемы на открытом отрезке , то существуют такие , что ^[5] ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle [a,b]}$ ${\displaystyle (a,b)}$ ${\displaystyle c\in (a,b)}$

Геометрический смысл теоремы Коши.

${\displaystyle (f(b)-f(a))g'(c)=(g(b)-g(a))f'(c).}$

Конечно, если и , это эквивалентно: ${\displaystyle g(a)\neq g(b)}$ ${\displaystyle g'(c)\neq 0}$

${\displaystyle {\frac {f'(c)}{g'(c)}}={\frac {f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}}.}$

Геометрически это означает, что к графику кривой имеется некоторая касательная ^[7]

${\displaystyle {\begin{cases}[a,b]\to \mathbb {R} ^{2}\\t\mapsto (f(t),g(t))\end{cases}}}$

которая параллельна линии, определяемой точками и . Однако теорема Коши не утверждает существования такой касательной во всех случаях, когда и являются различными точками, поскольку она может выполняться только для некоторого значения с , другими словами, значения, при котором упомянутая кривая является стационарной ; в таких точках касательная к кривой, скорее всего, вообще не будет определена. Примером такой ситуации является кривая, заданная формулой ${\displaystyle (f(a),g(a))}$ ${\displaystyle (f(b),g(b))}$ ${\displaystyle (f(a),g(a))}$ ${\displaystyle (f(b),g(b))}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle f'(c)=g'(c)=0}$

${\displaystyle t\mapsto \left(t^{3},1-t^{2}\right),}$

которая на отрезке идет от точки до , но никогда не имеет горизонтальной касательной; однако у него есть стационарная точка (фактически точка возврата ) в точке . ${\displaystyle [-1,1]}$ ${\displaystyle (-1,0)}$ ${\displaystyle (1,0)}$ ${\displaystyle t=0}$

Теорему Коши о среднем значении можно использовать для доказательства правила Лопиталя . Теорема о среднем значении является частным случаем теоремы Коши о среднем значении, когда . ${\displaystyle g(t)=t}$

Доказательство теоремы Коши о среднем значении

Доказательство теоремы Коши о среднем значении основано на той же идее, что и доказательство теоремы о среднем значении.

• Предполагать . Определим , где фиксируется так, что , а именно ${\displaystyle g(a)\neq g(b)}$ ${\displaystyle h(x)=f(x)-rg(x)}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle h(a)=h(b)}$

  ${\displaystyle {\begin{aligned}h(a)=h(b)&\iff f(a)-rg(a)=f(b)-rg(b)\\&\iff r(g(b)-g(a))=f(b)-f(a)\\&\iff r={\frac {f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}}.\end{aligned}}}$

  Поскольку и непрерывны на и дифференцируемы на , то же самое верно и для . В целом удовлетворяет условиям теоремы Ролля : следовательно, существует такое, для которого . Теперь, используя определение, мы имеем: ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle [a,b]}$ ${\displaystyle (a,b)}$ ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle (a,b)}$ ${\displaystyle h'(c)=0}$ ${\displaystyle h}$

  ${\displaystyle 0=h'(c)=f'(c)-rg'(c)=f'(c)-\left({\frac {f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}}\right)g'(c).}$

  Поэтому:

  ${\displaystyle f'(c)={\frac {f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}}g'(c),}$

  что подразумевает результат. ^[5]
• Если , то, применяя к , теорему Ролля , следует, что существует в для которого . Используя этот выбор , теорема Коши о среднем значении (тривиально) выполняется. ${\displaystyle g(a)=g(b)}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle (a,b)}$ ${\displaystyle g'(c)=0}$ ${\displaystyle c}$

Обобщение для определителей

Предположим, что и — дифференцируемые функции, непрерывные на . Определять ${\displaystyle f,g,}$ ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle (a,b)}$ ${\displaystyle [a,b]}$

${\displaystyle D(x)={\begin{vmatrix}f(x)&g(x)&h(x)\\f(a)&g(a)&h(a)\\f(b)&g(b)&h(b)\end{vmatrix}}}$

Существует такое, что . ${\displaystyle c\in (a,b)}$ ${\displaystyle D'(c)=0}$

Заметить, что

${\displaystyle D'(x)={\begin{vmatrix}f'(x)&g'(x)&h'(x)\\f(a)&g(a)&h(a)\\f(b)&g(b)&h(b)\end{vmatrix}}}$

и если мы поместим , мы получим теорему Коши о среднем значении . Если мы поместим и получим теорему Лагранжа о среднем значении . ${\displaystyle h(x)=1}$ ${\displaystyle h(x)=1}$ ${\displaystyle g(x)=x}$

Доказательство обобщения довольно простое: каждый из и являются определителями с двумя одинаковыми строками, следовательно . Из теоремы Ролля следует, что существует такое, что . ${\displaystyle D(a)}$ ${\displaystyle D(b)}$ ${\displaystyle D(a)=D(b)=0}$ ${\displaystyle c\in (a,b)}$ ${\displaystyle D'(c)=0}$

Теорема о среднем значении для нескольких переменных

Теорема о среднем значении обобщается на вещественные функции многих переменных. Хитрость заключается в том, чтобы использовать параметризацию для создания реальной функции одной переменной, а затем применить теорему об одной переменной.

Пусть – открытое подмножество , и пусть – дифференцируемая функция. Зафиксируйте точки , отрезок между которыми лежит в , и определите . Поскольку это дифференцируемая функция по одной переменной, теорема о среднем значении дает: ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle f:G\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle x,y\in G}$ ${\displaystyle x,y}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle g(t)=f{\big (}(1-t)x+ty{\big )}}$ ${\displaystyle g}$

${\displaystyle g(1)-g(0)=g'(c)}$

для некоторых от 0 до 1. Но поскольку и , при явном вычислении имеем: ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle g(1)=f(y)}$ ${\displaystyle g(0)=f(x)}$ ${\displaystyle g'(c)}$

${\displaystyle f(y)-f(x)=\nabla f{\big (}(1-c)x+cy{\big )}\cdot (y-x)}$

где обозначает градиент и скалярное произведение . Это точный аналог теоремы об одной переменной (в том случае, если это теорема об одной переменной). По неравенству Коши–Шварца уравнение дает оценку: ${\displaystyle \nabla }$ ${\displaystyle \cdot }$ ${\displaystyle n=1}$

${\displaystyle {\Bigl |}f(y)-f(x){\Bigr |}\leq {\Bigl |}\nabla f{\big (}(1-c)x+cy{\big )}{\Bigr |}\ {\Bigl |}y-x{\Bigr |}.}$

В частности, когда частные производные ограничены, функция липшицева непрерывна (и, следовательно, равномерно непрерывна ). ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f}$

В качестве применения вышесказанного мы доказываем, что это константа, если открытое подмножество связно и каждая частная производная равна 0. Выберите некоторую точку и пусть . Мы хотим показать каждому . Для этого пусть . Тогда E замкнуто и непусто. Оно тоже открыто: для каждого , ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle x_{0}\in G}$ ${\displaystyle g(x)=f(x)-f(x_{0})}$ ${\displaystyle g(x)=0}$ ${\displaystyle x\in G}$ ${\displaystyle E=\{x\in G:g(x)=0\}}$ ${\displaystyle x\in E}$

${\displaystyle {\Big |}g(y){\Big |}={\Big |}g(y)-g(x){\Big |}\leq (0){\Big |}y-x{\Big |}=0}$

для каждого в некоторой окрестности . (Здесь важно, чтобы и были достаточно близки друг к другу.) Поскольку связно, заключаем . ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle E=G}$

Приведенные выше аргументы сделаны без координат; следовательно, они обобщаются на случай, когда – подмножество банахова пространства. ${\displaystyle G}$

Теорема о среднем значении для вектор-функций

Точного аналога теоремы о среднем значении для вектор-функций не существует (см. ниже). Однако существует неравенство, которое можно применить ко многим из тех же ситуаций, к которым теорема о среднем значении применима в одномерном случае: ^[8]

Теорема  .  Для непрерывной вектор-функции, дифференцируемой по , существует число такое, что ${\displaystyle \mathbf {f} :[a,b]\to \mathbb {R} ^{k}}$ ${\displaystyle (a,b)}$ ${\displaystyle c\in (a,b)}$

${\displaystyle |\mathbf {f} (b)-\mathbf {f} (a)|\leq (b-a)\left|\mathbf {f} '(c)\right|}$.

Теорема следует из теоремы о среднем значении. Действительно, возьмите . Тогда имеет действительное значение и, следовательно, по теореме о среднем значении, ${\displaystyle \varphi (t)=({\textbf {f}}(b)-{\textbf {f}}(a))\cdot {\textbf {f}}(t)}$ ${\displaystyle \varphi }$

${\displaystyle \varphi (b)-\varphi (a)=\varphi '(c)(b-a)}$

для некоторых . Теперь, и Следовательно, используя неравенство Коши – Шварца из приведенного выше уравнения, мы получаем: ${\displaystyle c\in (a,b)}$ ${\displaystyle \varphi (b)-\varphi (a)=|{\textbf {f}}(b)-{\textbf {f}}(a)|^{2}}$ ${\displaystyle \varphi '(c)=({\textbf {f}}(b)-{\textbf {f}}(a))\cdot {\textbf {f}}'(c).}$

${\displaystyle |{\textbf {f}}(b)-{\textbf {f}}(a)|^{2}\leq |{\textbf {f}}(b)-{\textbf {f}}(a)||{\textbf {f}}'(c)|(b-a).}$

Если , то теорема тривиальна (любое c работает). В противном случае деление обеих частей на дает теорему. ${\displaystyle {\textbf {f}}(b)={\textbf {f}}(a)}$ ${\displaystyle |{\textbf {f}}(b)-{\textbf {f}}(a)|}$ ${\displaystyle \square }$

Жан Дьедонне в своем классическом трактате «Основы современного анализа» отбрасывает теорему о среднем значении и заменяет ее неравенством среднего значения (которое приведено ниже), поскольку доказательство не является конструктивным и невозможно найти среднее значение, а в приложениях нужно только неравенство среднего значения. Серж Ланг в «Анализ I» использует теорему о среднем значении в интегральной форме как мгновенный рефлекс, но такое использование требует непрерывности производной. Если использовать интеграл Хенстока-Курцвейла, можно получить теорему о среднем значении в интегральной форме без дополнительного предположения, что производная должна быть непрерывной, поскольку каждая производная интегрируема по Хенстоку-Курцвейлю.

Причина, по которой не существует аналога равенства средних значений, заключается в следующем: если ^f :  U → R m ^— дифференцируемая функция (где U ⊂ R ⁿ открыта) и если x + th , x , h ∈ Rn , t ∈ [0, 1] — рассматриваемый отрезок линии (лежащий внутри U ), то можно применить описанную выше процедуру параметризации к каждой из компонентных функций f _i ( i = 1, …, m ) функции f (в ​​приведенном выше наборе обозначений у = х + час ). При этом на отрезке линии находятся точки x + t _i h , удовлетворяющие условиям

${\displaystyle f_{i}(x+h)-f_{i}(x)=\nabla f_{i}(x+t_{i}h)\cdot h.}$

Но, как правило, на отрезке не будет ни одной точки x + t * h , удовлетворяющей

${\displaystyle f_{i}(x+h)-f_{i}(x)=\nabla f_{i}(x+t^{*}h)\cdot h.}$

для всех я одновременно . Например, определите:

${\displaystyle {\begin{cases}f:[0,2\pi ]\to \mathbb {R} ^{2}\\f(x)=(\cos(x),\sin(x))\end{cases}}}$

Тогда , но и никогда не равны нулю одновременно, поскольку диапазоны превышают . ${\displaystyle f(2\pi )-f(0)=\mathbf {0} \in \mathbb {R} ^{2}}$ ${\displaystyle f_{1}'(x)=-\sin(x)}$ ${\displaystyle f_{2}'(x)=\cos(x)}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \left[0,2\pi \right]}$

Из приведенной выше теоремы следует следующее:

Неравенство среднего значения  —  ^[9] Для непрерывной функции , если дифференцируема по , то ${\displaystyle {\textbf {f}}:[a,b]\to \mathbb {R} ^{k}}$ ${\displaystyle {\textbf {f}}}$ ${\displaystyle (a,b)}$

${\displaystyle |{\textbf {f}}(b)-{\textbf {f}}(a)|\leq (b-a)\sup _{(a,b)}|{\textbf {f}}'|}$.

В действительности, приведенное выше утверждение достаточно для многих приложений и может быть непосредственно доказано следующим образом. (Для удобства чтения мы напишем for .) Первое предположение тоже дифференцируемо . Если неограничено на , доказывать нечего. Таким образом, предположим . Пусть это какое-то действительное число. Позволять ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle {\textbf {f}}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle f'}$ ${\displaystyle (a,b)}$ ${\displaystyle \sup _{(a,b)}|f'|<\infty }$ ${\displaystyle M>\sup _{(a,b)}|f'|}$

${\displaystyle E=\{0\leq t\leq 1\mid |f(a+t(b-a))-f(a)|\leq Mt(b-a)\}.}$

Мы хотим показать . В силу непрерывности множество замкнуто. Он также непуст, как и в нем. Следовательно, множество имеет самый большой элемент . Если , то и мы закончили. Итак, предположим иначе. Для , ${\displaystyle 1\in E}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle s=1}$ ${\displaystyle 1\in E}$ ${\displaystyle 1>t>s}$

${\displaystyle {\begin{aligned}&|f(a+t(b-a))-f(a)|\\&\leq |f(a+t(b-a))-f(a+s(b-a))-f'(a+s(b-a))(t-s)(b-a)|+|f'(a+s(b-a))|(t-s)(b-a)\\&+|f(a+s(b-a))-f(a)|.\end{aligned}}}$

Пусть будет так, что . По дифференцируемости at (примечание может быть 0), если достаточно близко к , первый член равен . Второй термин . Третий термин . Следовательно, суммируя оценки, получаем: , противоречие с максимальностью . Следовательно, и это означает: ${\displaystyle \epsilon >0}$ ${\displaystyle M-\epsilon >\sup _{(a,b)}|f'|}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle a+s(b-a)}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle \leq \epsilon (t-s)(b-a)}$ ${\displaystyle \leq (M-\epsilon )(t-s)(b-a)}$ ${\displaystyle \leq Ms(b-a)}$ ${\displaystyle |f(a+t(b-a))-f(a)|\leq tM|b-a|}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle 1=s\in M}$

${\displaystyle |f(b)-f(a)|\leq M(b-a).}$

Поскольку это произвольно, отсюда следует утверждение. Наконец, если не дифференцируемо в , пусть и применим первый случай к ограничению в , что дает нам: ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle a'\in (a,b)}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle [a',b]}$

${\displaystyle |f(b)-f(a')|\leq (b-a')\sup _{(a,b)}|f'|}$

с . Сдача завершает доказательство. ${\displaystyle (a',b)\subset (a,b)}$ ${\displaystyle a'\to a}$ ${\displaystyle \square }$

Некоторые применения неравенства среднего значения для получения основных результатов в исчислении см. также в разделе «Исчисление в евклидовом пространстве#Основные понятия» .

Определенный тип обобщения теоремы о среднем значении на вектор-функции получается следующим образом: пусть f — непрерывно дифференцируемая вещественнозначная функция, определенная на открытом интервале I , и пусть x , а также x + h — точки I . Теорема о среднем значении для одной переменной говорит нам, что существует некоторое t * между 0 и 1 такое, что

${\displaystyle f(x+h)-f(x)=f'(x+t^{*}h)\cdot h.}$

С другой стороны, согласно фундаментальной теореме исчисления с последующей заменой переменных, мы имеем:

${\displaystyle f(x+h)-f(x)=\int _{x}^{x+h}f'(u)\,du=\left(\int _{0}^{1}f'(x+th)\,dt\right)\cdot h.}$

Таким образом, значение f' ( x + t * h ) в конкретной точке t * было заменено средним значением

${\displaystyle \int _{0}^{1}f'(x+th)\,dt.}$

Эту последнюю версию можно обобщить на векторные функции:

Утверждение  .  Пусть U ⊂ Rn открыто, ^f :  U → R m ^{непрерывно} дифференцируемо и векторы x ∈ U , h ∈ Rn такие ^, что отрезок x + th , 0 ⩽ t ⩽ 1 остается в U . Тогда у нас есть:

${\displaystyle f(x+h)-f(x)=\left(\int _{0}^{1}Df(x+th)\,dt\right)\cdot h,}$

где Df обозначает матрицу Якоби функции f , а интеграл от матрицы следует понимать покомпонентно.

Доказательство. Обозначим через f ₁ , …, f _m компоненты f и определим:

${\displaystyle {\begin{cases}g_{i}:[0,1]\to \mathbb {R} \\g_{i}(t)=f_{i}(x+th)\end{cases}}}$

Тогда у нас есть

${\displaystyle {\begin{aligned}f_{i}(x+h)-f_{i}(x)&=g_{i}(1)-g_{i}(0)=\int _{0}^{1}g_{i}'(t)\,dt\\&=\int _{0}^{1}\left(\sum _{j=1}^{n}{\frac {\partial f_{i}}{\partial x_{j}}}(x+th)h_{j}\right)dt=\sum _{j=1}^{n}\left(\int _{0}^{1}{\frac {\partial f_{i}}{\partial x_{j}}}(x+th)\,dt\right)h_{j}.\end{aligned}}}$

Утверждение следует из того, что Df — матрица, состоящая из компонент . ${\displaystyle {\tfrac {\partial f_{i}}{\partial x_{j}}}}$ ${\displaystyle \square }$

Тогда неравенство среднего значения может быть получено как следствие приведенного выше предложения (хотя в предположении, что производные непрерывны). ^[10]

Случаи, когда теорему нельзя применить

Оба условия теоремы о среднем значении необходимы:

1. ${\displaystyle {\boldsymbol {f(x)}}}$дифференцируема по ${\displaystyle {\boldsymbol {(a,b)}}}$
2. ${\displaystyle {\boldsymbol {f(x)}}}$постоянно включен ${\displaystyle {\boldsymbol {[a,b]}}}$

Если одно из вышеуказанных условий не удовлетворено, теорема о среднем значении вообще недействительна и поэтому не может быть применена.

Функция дифференцируема на открытом интервале a,b

Необходимость первого условия можно увидеть на контрпримере, где функция на [-1,1] не дифференцируема. ${\displaystyle f(x)=|x|}$

Функция непрерывна на отрезке a,b

Необходимость второго условия можно увидеть на контрпримере, где функция ${\displaystyle f(x)={\begin{cases}1,&{\text{at }}x=0\\0,&{\text{if }}x\in (0,1]\end{cases}}}$

${\displaystyle f(x)}$удовлетворяет критерию 1, поскольку ${\displaystyle f'(x)=0}$ ${\displaystyle (0,1)}$

Но не критерий 2, так как и для всех таковых не существует ${\displaystyle {\frac {f(1)-f(0)}{1-0}}=-1}$ ${\displaystyle -1\neq 0=f'(x)}$ ${\displaystyle x\in (0,1)}$ ${\displaystyle c}$

Теоремы о среднем значении для определенных интегралов

Первая теорема о среднем для определенных интегралов

Геометрически: интерпретируя f(c) как высоту прямоугольника и b – a как ширину, этот прямоугольник имеет ту же площадь, что и область под кривой от a до b ^[11]

Пусть f  : [ a , b ] → R — непрерывная функция. Тогда существует c в ( a , b ) такой, что

${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx=f(c)(b-a).}$

Поскольку среднее значение f на [ a , b ] определяется как

${\displaystyle {\frac {1}{b-a}}\int _{a}^{b}f(x)\,dx,}$

мы можем интерпретировать вывод, как f достигает своего среднего значения в некотором c в ( a , b ). ^[12]

В общем случае, если f  : [ a , b ] → R непрерывно и g — интегрируемая функция, не меняющая знак на [ a , b ], то существует c в ( a , b ) такой, что

${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)g(x)\,dx=f(c)\int _{a}^{b}g(x)\,dx.}$

Доказательство того, что существует некоторый c в [ a , b ] [13]

Предположим, что f  : [ a , b ] → R непрерывна и g — неотрицательная интегрируемая функция на [ a , b ]. По теореме о крайнем значении существуют m и M такие, что для каждого x в [ a , b ] и . Поскольку g неотрицательно, ${\displaystyle m\leq f(x)\leq M}$ ${\displaystyle f[a,b]=[m,M]}$

${\displaystyle m\int _{a}^{b}g(x)\,dx\leq \int _{a}^{b}f(x)g(x)\,dx\leq M\int _{a}^{b}g(x)\,dx.}$

Теперь позвольте

${\displaystyle I=\int _{a}^{b}g(x)\,dx.}$

Если , мы закончили, так как ${\displaystyle I=0}$

${\displaystyle 0\leq \int _{a}^{b}f(x)g(x)\,dx\leq 0}$

означает

${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)g(x)\,dx=0,}$

поэтому для любого c в ( a , b ),

${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)g(x)\,dx=f(c)I=0.}$

Если я ≠ 0, то

${\displaystyle m\leq {\frac {1}{I}}\int _{a}^{b}f(x)g(x)\,dx\leq M.}$

По теореме о промежуточном значении f достигает каждого значения интервала [ m , M ], поэтому для некоторого c в [ a , b ]

${\displaystyle f(c)={\frac {1}{I}}\int _{a}^{b}f(x)g(x)\,dx,}$

то есть,

${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)g(x)\,dx=f(c)\int _{a}^{b}g(x)\,dx.}$

Наконец, если g отрицательно на [ a , b ], то

${\displaystyle M\int _{a}^{b}g(x)\,dx\leq \int _{a}^{b}f(x)g(x)\,dx\leq m\int _{a}^{b}g(x)\,dx,}$

и мы все равно получаем тот же результат, что и выше.

КЭД

Вторая теорема о среднем для определенных интегралов

Существуют различные несколько отличающиеся друг от друга теоремы, называемые второй теоремой о среднем значении для определенных интегралов . Распространенная версия выглядит следующим образом:

Если - положительная монотонно убывающая функция и является интегрируемой функцией, то существует число x в ( a , b ] такое, что ${\displaystyle G:[a,b]\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \varphi :[a,b]\to \mathbb {R} }$

${\displaystyle \int _{a}^{b}G(t)\varphi (t)\,dt=G(a^{+})\int _{a}^{x}\varphi (t)\,dt.}$

Здесь обозначается , существование которого следует из условий. Обратите внимание, что очень важно, чтобы интервал ( a , b ] содержал b . Вариантом, не имеющим этого требования, является: ^[14] ${\displaystyle G(a^{+})}$ ${\textstyle {\lim _{x\to a^{+}}G(x)}}$

Если - монотонная (не обязательно убывающая и положительная) функция и является интегрируемой функцией, то существует число x в ( a , b ) такое, что ${\displaystyle G:[a,b]\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \varphi :[a,b]\to \mathbb {R} }$

${\displaystyle \int _{a}^{b}G(t)\varphi (t)\,dt=G(a^{+})\int _{a}^{x}\varphi (t)\,dt+G(b^{-})\int _{x}^{b}\varphi (t)\,dt.}$

Теорема о среднем значении для интегрирования не работает для векторных функций.

Если функция возвращает многомерный вектор, то MVT для интегрирования неверен, даже если область определения также многомерна. ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$

Например, рассмотрим следующую двумерную функцию, определенную в -мерном кубе: ${\displaystyle n}$

${\displaystyle {\begin{cases}G:[0,2\pi ]^{n}\to \mathbb {R} ^{2}\\G(x_{1},\dots ,x_{n})=\left(\sin(x_{1}+\cdots +x_{n}),\cos(x_{1}+\cdots +x_{n})\right)\end{cases}}}$

Тогда по симметрии легко увидеть, что среднее значение по его области определения равно (0,0): ${\displaystyle G}$

${\displaystyle \int _{[0,2\pi ]^{n}}G(x_{1},\dots ,x_{n})dx_{1}\cdots dx_{n}=(0,0)}$

Однако нет точки в которой , потому что везде. ${\displaystyle G=(0,0)}$ ${\displaystyle |G|=1}$

Вероятностный аналог теоремы о среднем значении

Пусть X и Y — неотрицательные случайные величины такие, что E[ X ] < E[ Y ] < ∞ и (т. е. X меньше Y в обычном стохастическом порядке ). Тогда существует абсолютно непрерывная неотрицательная случайная величина Z , имеющая функцию плотности вероятности ${\displaystyle X\leq _{st}Y}$

${\displaystyle f_{Z}(x)={\Pr(Y>x)-\Pr(X>x) \over {\rm {E}}[Y]-{\rm {E}}[X]}\,,\qquad x\geqslant 0.}$

Пусть g — измеримая и дифференцируемая функция такая, что E[ g ( X )], E[ g ( Y )] < ∞, и пусть ее производная g′ измерима и интегрируема по Риману на интервале [ x , y ] для всех y ≥ x ≥ 0. Тогда E[ g′ ( Z )] конечно и ^[15]

${\displaystyle {\rm {E}}[g(Y)]-{\rm {E}}[g(X)]={\rm {E}}[g'(Z)]\,[{\rm {E}}(Y)-{\rm {E}}(X)].}$

Теорема о среднем значении в комплексных переменных

Как отмечалось выше, теорема не справедлива для дифференцируемых комплекснозначных функций. Вместо этого формулируется такое обобщение теоремы: ^[16]

Пусть f  : Ω → C — голоморфная функция на открытом выпуклом множестве Ω, и пусть a и b — различные точки в Ω. Тогда существуют точки u , v внутри отрезка от a до b такие, что

${\displaystyle \operatorname {Re} (f'(u))=\operatorname {Re} \left({\frac {f(b)-f(a)}{b-a}}\right),}$

${\displaystyle \operatorname {Im} (f'(v))=\operatorname {Im} \left({\frac {f(b)-f(a)}{b-a}}\right).}$

Где Re() — действительная часть, а Im() — мнимая часть комплексной функции.

Смотрите также

• Метод Ньюмарка-бета
• Теорема о среднем значении (разделенные разности)
• Принцип гоночной трассы
• Столарский средний

Примечания

1. Джей Джей О'Коннор и Э. Ф. Робертсон (2000). Парамешвара, MacTutor Архив истории математики .
2. Адам Бесеньей. «Историческое развитие теоремы о среднем значении» (PDF) .
3. Лозада-Круз, Германия (02.10.2020). «Некоторые варианты теоремы Коши о среднем значении». Международный журнал математического образования в области науки и технологий . 51 (7): 1155–1163. Бибкод : 2020IJMES..51.1155L. дои : 10.1080/0020739X.2019.1703150. ISSN  0020-739X. S2CID  213335491.
4. Саху, Прасанна. (1998). Теоремы о среднем и функциональные уравнения. Ридель, Т. (Томас), 1962-. Сингапур: World Scientific. ISBN 981-02-3544-5. ОСЛК  40951137.
5. Реальный анализ Киршны: (Общий). Кришна Пракашан Медиа.
6. В., Вайсштейн, Эрик. «Расширенная теорема о среднем значении». mathworld.wolfram.com . Проверено 8 октября 2018 г.{{cite web}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link)
7. "Теорема Коши о среднем значении" . Математика24 . Проверено 8 октября 2018 г.
8. Рудин, Уолтер (1976). Принципы математического анализа (3-е изд.). Нью-Йорк: МакГроу-Хилл. п. 113. ИСБН 978-0-07-054235-8.Теорема 5.19.
9. Хёрмандер, 2015, Теорема 1.1.1. и сделать замечание после него.

10. Лемма  .  Пусть v  : [ a , b ] → Rm — непрерывная функция, определенная на интервале [ a , b ] ^⊂ R. Тогда у нас есть

    ${\displaystyle \left\|\int _{a}^{b}v(t)\,dt\right\|\leq \int _{a}^{b}\|v(t)\|\,dt.}$

    Доказательство. Пусть u в R ^m обозначает значение интеграла

    ${\displaystyle u:=\int _{a}^{b}v(t)\,dt.}$

    Теперь мы имеем (используя неравенство Коши – Шварца ):

    ${\displaystyle \|u\|^{2}=\langle u,u\rangle =\left\langle \int _{a}^{b}v(t)\,dt,u\right\rangle =\int _{a}^{b}\langle v(t),u\rangle \,dt\leq \int _{a}^{b}\|v(t)\|\cdot \|u\|\,dt=\|u\|\int _{a}^{b}\|v(t)\|\,dt}$

    Теперь сокращение нормы u с обоих концов дает нам желаемое неравенство.

    Неравенство среднего значения  .  Если норма Df ( x + th ) ограничена некоторой константой M для t в [0, 1] , то

    ${\displaystyle \|f(x+h)-f(x)\|\leq M\|h\|.}$

    Доказательство.

    ${\displaystyle \|f(x+h)-f(x)\|=\left\|\int _{0}^{1}(Df(x+th)\cdot h)\,dt\right\|\leq \int _{0}^{1}\|Df(x+th)\|\cdot \|h\|\,dt\leq M\|h\|.}$

11. «Математические слова: теорема о среднем значении для интегралов» . www.mathwords.com .
12. Майкл Коменец (2002). Исчисление: Элементы . Всемирная научная. п. 159. ИСБН 978-981-02-4904-5.
13. Редакционное примечание: доказательство необходимо изменить, чтобы показать, что в ( a , b ) есть c .
14. Хобсон, EW (1909). «О второй теореме интегрального исчисления о среднем». Учеб. Лондонская математика. Соц. С2–7 (1): 14–23. Бибкод : 1909PLMS...27...14H. дои : 10.1112/plms/s2-7.1.14. МР  1575669.
15. Ди Крещенцо, А. (1999). «Вероятностный аналог теоремы о среднем значении и ее приложения к теории надежности». Дж. Прил. Вероятно. 36 (3): 706–719. дои : 10.1239/яп/1032374628. JSTOR  3215435. S2CID  250351233.
16. 1 Дж.-Кл. Эвард, Ф. Джафари, Комплексная теорема Ролля, American Mathematical Monthly, Vol. 99, выпуск 9 (ноябрь 1992 г.), стр. 858–861.

Рекомендации

• Хёрмандер, Ларс (2015), Анализ линейных дифференциальных операторов с частными производными I: Теория распределения и анализ Фурье , Классика математики (2-е изд.), Springer, ISBN 9783642614972

Внешние ссылки

• «Теорема Коши», Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]
• PlanetMath: теорема о среднем значении
• Вайсштейн, Эрик В. «Теорема о среднем значении». Математический мир .
• Вайсштейн, Эрик В. «Теорема Коши о среднем значении». Математический мир .
• «Теорема о среднем значении: интуиция, лежащая в основе теоремы о среднем значении» в Академии Хана