Лемма Пуанкаре

В математике лемма Пуанкаре дает достаточное условие для того, чтобы замкнутая дифференциальная форма была точной (в то время как точная форма обязательно замкнута). А именно, она утверждает, что каждая замкнутая p -форма на открытом шаре в R ⁿ точна для p с 1 ≤ p ≤ n . ^[1] Лемма была введена Анри Пуанкаре в 1886 году. ^{[2] [3]}

Особенно в исчислении , лемма Пуанкаре также утверждает, что каждая замкнутая 1-форма на односвязном открытом подмножестве в является точной. ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

На языке когомологий лемма Пуанкаре утверждает, что k -я группа когомологий де Рама стягиваемого открытого подмножества многообразия M (например, ) обращается в нуль для . В частности, это означает, что комплекс де Рама даёт разрешение постоянного пучка на M . Сингулярные когомологии стягиваемого пространства обращаются в нуль в положительной степени, но лемма Пуанкаре из этого не следует , поскольку тот факт, что сингулярные когомологии многообразия могут быть вычислены как его когомологии де Рама, то есть теорема де Рама , опирается на лемму Пуанкаре. Однако это означает, что достаточно доказать лемму Пуанкаре для открытых шаров; версия для стягиваемых многообразий затем следует из топологического рассмотрения. ${\displaystyle M=\mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle k\geq 1}$ ${\displaystyle \mathbb {R} _{M}}$

Лемма Пуанкаре также является частным случаем гомотопической инвариантности когомологий де Рама ; на самом деле, лемму обычно устанавливают, показывая гомотопическую инвариантность или, по крайней мере, ее версию.

Доказательства

Стандартное доказательство леммы Пуанкаре использует формулу гомотопической инвариантности (см. доказательства ниже, а также Интеграция по волокнам#Пример ). ^{[4] [5] [6] [7]} Локальная форма оператора гомотопии описана в Edelen (2005), а связь леммы с формой Маурера-Картана объяснена в Sharpe (1997). ^{[8] [9]}

Прямое доказательство

Лемму Пуанкаре можно доказать посредством интегрирования по волокнам . ^{[10] [11]} (Этот подход является простым обобщением построения примитивной функции посредством интегрирования в исчислении.)

Мы докажем лемму для открытого подмножества , которое имеет форму звезды или конуса над ; т. е. если находится в , то находится в для . Этот случай, в частности, охватывает случай открытого шара, поскольку открытый шар можно считать центрированным в начале координат без потери общности. ${\displaystyle U\subset \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle [0,1]}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle tx}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle 0\leq t\leq 1}$

Хитрость заключается в том, чтобы рассмотреть дифференциальные формы на (мы используем для координаты на ). Сначала определим оператор (называемый интегрированием по волокнам ) для k -форм на с помощью ${\displaystyle U\times [0,1]\subset \mathbb {R} ^{n+1}}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle [0,1]}$ ${\displaystyle \pi _{*}}$ ${\displaystyle U\times [0,1]}$

${\displaystyle \pi _{*}\left(\sum _{i_{1}<\cdots <i_{k-1}}\alpha _{i}dt\wedge dx^{i}+\sum _{j_{1}<\cdots <j_{k}}\beta _{j}dx^{j}\right)=\sum _{i_{1}<\cdots <i_{k-1}}\left(\int _{0}^{1}\alpha _{i}(\cdot ,t)\,dt\right)\,dx^{i}}$

где , и аналогично для и . Теперь для , поскольку , используя дифференцирование под знаком интеграла , имеем: ${\displaystyle dx^{i}=dx_{i_{1}}\wedge \cdots \wedge dx_{i_{k}}}$ ${\displaystyle \alpha _{i}=\alpha _{i_{1},\dots ,i_{k}}}$ ${\displaystyle dx^{j}}$ ${\displaystyle \beta _{j}}$ ${\displaystyle \alpha =f\,dt\wedge dx^{i}}$ ${\displaystyle d\alpha =-\sum _{l}{\frac {\partial f}{\partial x_{l}}}dt\wedge dx_{l}\wedge dx^{i}}$

${\displaystyle \pi _{*}(d\alpha )=-d(\pi _{*}\alpha )=\alpha _{1}-\alpha _{0}-d(\pi _{*}\alpha )}$

где обозначают ограничения на гиперплоскости и они равны нулю, поскольку там равен нулю. Если , то аналогичное вычисление дает ${\displaystyle \alpha _{0},\alpha _{1}}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle t=0,t=1}$ ${\displaystyle dt}$ ${\displaystyle \alpha =f\,dx^{j}}$

${\displaystyle \pi _{*}(d\alpha )=\alpha _{1}-\alpha _{0}-d(\pi _{*}\alpha )}$.

Таким образом, приведенная выше формула справедлива для любой -формы на . Наконец, пусть и затем положим . Тогда, с обозначением , получаем: для любой -формы на , ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle U\times [0,1]}$ ${\displaystyle h(x,t)=tx}$ ${\displaystyle J=\pi _{*}\circ h^{*}}$ ${\displaystyle h_{t}=h(\cdot ,t)}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle U}$

${\displaystyle h_{1}^{*}\omega -h_{0}^{*}\omega =Jd\omega +dJ\omega ,}$

формула, известная как формула гомотопии. Оператор называется оператором гомотопии (также называется цепной гомотопией ). Теперь, если замкнуто, . С другой стороны, и . Следовательно, ${\displaystyle J}$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle Jd\omega =0}$ ${\displaystyle h_{1}^{*}\omega =\omega }$ ${\displaystyle h_{0}^{*}\omega =0}$

${\displaystyle \omega =dJ\omega ,}$

что доказывает лемму Пуанкаре.

Это же доказательство фактически показывает лемму Пуанкаре для любого стягиваемого открытого подмножества U многообразия. Действительно, при заданном таком U мы имеем гомотопию с тождеством и точкой. Аппроксимируя такое , мы можем предположить, что на самом деле является гладким. Интеграция по слоям также определена для . Следовательно, тот же аргумент проходит. ${\displaystyle h_{t}}$ ${\displaystyle h_{1}=}$ ${\displaystyle h_{0}(U)=}$ ${\displaystyle h_{t}}$ ${\displaystyle h_{t}}$ ${\displaystyle \pi _{*}}$ ${\displaystyle \pi :U\times [0,1]\to U}$

Доказательство с использованием производных Ли

Магическая формула Картана для производных Ли может быть использована для краткого доказательства леммы Пуанкаре. Формула утверждает, что производная Ли вдоль векторного поля задается как: ^[12] ${\displaystyle \xi }$

${\displaystyle L_{\xi }=d\,i(\xi )+i(\xi )d}$

где обозначает внутреннее произведение ; т.е. . ${\displaystyle i(\xi )}$ ${\displaystyle i(\xi )\omega =\omega (\xi ,\cdot )}$

Пусть будет гладким семейством гладких отображений для некоторого открытого подмножества U из , таким, что определено для t в некотором замкнутом интервале I и является диффеоморфизмом для t внутри I . Пусть обозначают касательные векторы к кривой ; т.е. . Для фиксированного t внутри I , пусть . Тогда . Таким образом, по определению производной Ли, ${\displaystyle f_{t}:U\to U}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle f_{t}}$ ${\displaystyle f_{t}}$ ${\displaystyle \xi _{t}(x)}$ ${\displaystyle f_{t}(x)}$ ${\displaystyle {\frac {d}{dt}}f_{t}(x)=\xi _{t}(f_{t}(x))}$ ${\displaystyle g_{s}=f_{t+s}\circ f_{t}^{-1}}$ ${\displaystyle g_{0}=\operatorname {id} ,\,{\frac {d}{ds}}g_{s}|_{s=0}=\xi _{t}}$

${\displaystyle (L_{\xi _{t}}\omega )(f_{t}(x))={\frac {d}{ds}}g_{s}^{*}\omega (f_{t}(x))|_{s=0}={\frac {d}{ds}}f_{t+s}^{*}\omega (x)|_{s=0}={\frac {d}{dt}}f_{t}^{*}\omega (x)}$.

То есть,

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}f_{t}^{*}\omega =f_{t}^{*}L_{\xi _{t}}\omega .}$

Предположим . Тогда, интегрируя обе части вышеприведенного уравнения, а затем используя формулу Картана и дифференцирование под знаком интеграла , получаем: для , ${\displaystyle I=[0,1]}$ ${\displaystyle 0<t_{0}<t_{1}<1}$

${\displaystyle f_{t_{1}}^{*}\omega -f_{t_{0}}^{*}\omega =d\int _{t_{0}}^{t_{1}}f_{t}^{*}i(\xi _{t})\omega \,dt+\int _{t_{0}}^{t_{1}}f_{t}^{*}i(\xi _{t})d\omega \,dt}$

где интегрирование означает интегрирование каждого коэффициента в дифференциальной форме. Полагая , тогда имеем: ${\displaystyle t_{0},t_{1}\to 0,1}$

${\displaystyle f_{1}^{*}\omega -f_{0}^{*}\omega =dJ\omega +Jd\omega }$

с обозначением ${\displaystyle J\omega =\int _{0}^{1}f_{t}^{*}i(\xi _{t})\omega \,dt.}$

Теперь предположим, что есть открытый шар с центром ; тогда мы можем взять . Тогда приведенная выше формула становится: ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle x_{0}}$ ${\displaystyle f_{t}(x)=t(x-x_{0})+x_{0}}$

${\displaystyle \omega =dJ\omega +Jd\omega }$,

что доказывает лемму Пуанкаре, когда замкнуто. ${\displaystyle \omega }$

Доказательство в двумерном случае

В двух измерениях лемма Пуанкаре может быть доказана непосредственно для замкнутых 1-форм и 2-форм следующим образом. ^[13]

Если ω = p dx + q dy — замкнутая 1-форма на ( a , b ) × ( c , d ) , то p _y = q _x . Если ω = df , то p = f _x и q = f _y . Положим

${\displaystyle g(x,y)=\int _{a}^{x}p(t,y)\,dt,}$

так что g _x = p . Тогда h = f − g должно удовлетворять h _x = 0 и h _y = q − g _y . Правая часть здесь не зависит от x , поскольку ее частная производная по x равна 0. Так что

${\displaystyle h(x,y)=\int _{c}^{y}q(a,s)\,ds-g(a,y)=\int _{c}^{y}q(a,s)\,ds,}$

и, следовательно,

${\displaystyle f(x,y)=\int _{a}^{x}p(t,y)\,dt+\int _{c}^{y}q(a,s)\,ds.}$

Аналогично, если Ω = r dx ∧ dy, то Ω = d ( a dx + b dy ) с b _x − a _y = r . Таким образом, решение дается как a = 0 и

${\displaystyle b(x,y)=\int _{a}^{x}r(t,y)\,dt.}$

Импликация для когомологий де Рама

По определению k -я группа когомологий де Рама открытого подмножества U многообразия M определяется как фактор-векторное пространство ${\displaystyle \operatorname {H} _{dR}^{k}(U)}$

${\displaystyle \operatorname {H} _{dR}^{k}(U)=\{{\textrm {closed}}\,k{\text{-forms}}\,{\textrm {on}}\,U\}/\{{\textrm {exact}}\,k{\text{-forms}}\,{\textrm {on}}\,U\}.}$

Следовательно, вывод леммы Пуанкаре именно такой для . Теперь дифференциальные формы определяют коцепной комплекс, называемый комплексом де Рама: ${\displaystyle \operatorname {H} _{dR}^{k}(U)=0}$ ${\displaystyle k\geq 1}$

${\displaystyle \Omega ^{*}:0\to \Omega ^{0}{\overset {d^{0}}{\to }}\Omega ^{1}{\overset {d^{1}}{\to }}\cdots \to \Omega ^{n}\to 0}$

где n = размерность M и обозначает пучок дифференциальных k -форм; т. е. состоит из k -форм на U для каждого открытого подмножества U из M. Затем это приводит к комплексу (расширенному комплексу) ${\displaystyle \Omega ^{k}}$ ${\displaystyle \Omega ^{k}(U)}$

${\displaystyle 0\to \mathbb {R} _{M}{\overset {\epsilon }{\to }}\Omega ^{0}{\overset {d^{0}}{\to }}\Omega ^{1}{\overset {d^{1}}{\to }}\cdots \to \Omega ^{n}\to 0}$

где — постоянный пучок со значениями в ; т. е. это пучок локально постоянных вещественных функций и включение. ${\displaystyle \mathbb {R} _{M}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \epsilon }$

Ядро равно , поскольку гладкие функции с нулевыми производными локально постоянны. Кроме того, последовательность пучков точна тогда и только тогда, когда она такова локально. Таким образом, лемма Пуанкаре утверждает, что остальная часть последовательности также точна (поскольку многообразие локально диффеоморфно открытому подмножеству , а затем каждая точка имеет открытый шар в качестве окрестности). На языке гомологической алгебры это означает, что комплекс де Рама определяет разрешение постоянного пучка . Это затем влечет теорему де Рама ; т. е. когомологии де Рама многообразия совпадают с его сингулярными когомологиями (короче говоря, потому что сингулярные когомологии можно рассматривать как когомологии пучка.) ${\displaystyle d^{0}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} _{M}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} _{M}}$

Зная теорему де Рама, заключение леммы Пуанкаре может быть получено чисто топологически. Например, оно подразумевает версию леммы Пуанкаре для стягиваемых или односвязных открытых множеств (см. § Односвязный случай).

Просто связанный случай

Особенно в исчислении , лемма Пуанкаре формулируется для односвязного открытого подмножества . В этом случае лемма утверждает, что каждая замкнутая 1-форма на U точна. Эту версию можно увидеть с помощью алгебраической топологии следующим образом. Рациональная теорема Гуревича (или, скорее, ее вещественный аналог) утверждает, что поскольку U односвязно. Поскольку является полем, k -я когомология является двойственным векторным пространством k -й гомологии . В частности, По теореме де Рама (которая следует из леммы Пуанкаре для открытых шаров), совпадает с первой группой когомологий де Рама (см. § Следствие для когомологий де Рама). Следовательно, каждая замкнутая 1-форма на U точна. ${\displaystyle U\subset \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \operatorname {H} _{1}(U;\mathbb {R} )=0}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \operatorname {H} ^{k}(U;\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle \operatorname {H} _{k}(U;\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle \operatorname {H} ^{1}(U;\mathbb {R} )=0.}$ ${\displaystyle \operatorname {H} ^{1}(U;\mathbb {R} )}$

Лемма Пуанкаре с компактным носителем

Существует версия леммы Пуанкаре для компактных дифференциальных форм: ^[14]

Лемма  —  Если — замкнутая -форма с компактным носителем на и если , то существует -форма с компактным носителем на такая, что . ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle p<n}$ ${\displaystyle (p-1)}$ ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle d\psi =\omega }$

Обратный ход вдоль правильного отображения сохраняет компактные опоры; таким образом, применяется то же доказательство, что и обычное. ^[15]

Аналог сложной геометрии

На комплексных многообразиях использование операторов Дольбо и для комплексных дифференциальных форм , которые уточняют внешнюю производную по формуле , приводит к понятию -замкнутых и -точных дифференциальных форм. Результат локальной точности для таких замкнутых форм известен как лемма Дольбо–Гротендика (или -лемма Пуанкаре); см. § О полиномиальных дифференциальных формах. Важно отметить, что геометрия области, на которой -замкнутая дифференциальная форма является -точной, более ограничена, чем для леммы Пуанкаре, поскольку доказательство леммы Дольбо–Гротендика справедливо для полидиска (произведения дисков в комплексной плоскости, на котором может быть применена многомерная интегральная формула Коши ) и существуют контрпримеры к лемме даже для стягиваемых областей. ^{[Примечание 1]} -лемма Пуанкаре справедлива в более общем виде для псевдовыпуклых областей . ^[16] ${\displaystyle \partial }$ ${\displaystyle {\bar {\partial }}}$ ${\displaystyle d=\partial +{\bar {\partial }}}$ ${\displaystyle {\bar {\partial }}}$ ${\displaystyle {\bar {\partial }}}$ ${\displaystyle {\bar {\partial }}}$ ${\displaystyle {\bar {\partial }}}$ ${\displaystyle {\bar {\partial }}}$ ${\displaystyle {\bar {\partial }}}$

Используя как лемму Пуанкаре, так и лемму -Пуанкаре, можно доказать уточненную локальную лемму -Пуанкаре , которая справедлива в областях, на которых применимы обе вышеупомянутые леммы. Эта лемма утверждает, что -замкнутые комплексные дифференциальные формы на самом деле локально -точны (а не просто или -точны, как следует из приведенных выше лемм). ${\displaystyle {\bar {\partial }}}$ ${\displaystyle \partial {\bar {\partial }}}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle \partial {\bar {\partial }}}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle {\bar {\partial }}}$

Относительная лемма Пуанкаре

Относительная лемма Пуанкаре обобщает лемму Пуанкаре с точки на подмногообразие (или некоторое более общее локально замкнутое подмножество ). Она гласит: пусть V — подмногообразие многообразия M , а U — трубчатая окрестность V . Если — замкнутая k -форма на U , k ≥ 1 , которая обращается в нуль на V , то существует ( k -1)-форма на U такая, что и обращается в нуль на V . ^[17] ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle \eta }$ ${\displaystyle d\eta =\sigma }$ ${\displaystyle \eta }$

Относительная лемма Пуанкаре может быть доказана тем же способом, что и исходная лемма Пуанкаре. Действительно, поскольку U — трубчатая окрестность, существует гладкий сильный деформационный ретракт из U в V ; т. е. существует гладкая гомотопия из проекции в тождество, такое что — тождество на V . Тогда мы имеем формулу гомотопии на U : ${\displaystyle h_{t}:U\to U}$ ${\displaystyle U\to V}$ ${\displaystyle h_{t}}$

${\displaystyle h_{1}^{*}-h_{0}^{*}=dJ+Jd}$

где — гомотопический оператор, заданный либо производными Ли , либо интегрированием по волокнам . Теперь, и поэтому . Поскольку и , получаем ; возьмем . То, что обращается в нуль на V , следует из определения J и факта . (Таким образом, доказательство фактически проходит, если U не является трубчатой ​​окрестностью, но если U деформационно втягивается в V с гомотопией относительно V .) ${\displaystyle J}$ ${\displaystyle h_{0}(U)\subset V}$ ${\displaystyle h_{0}^{*}\sigma =0}$ ${\displaystyle d\sigma =0}$ ${\displaystyle h_{1}^{*}\sigma =\sigma }$ ${\displaystyle \sigma =dJ\sigma }$ ${\displaystyle \eta =J\sigma }$ ${\displaystyle \eta }$ ${\displaystyle h_{t}(V)\subset V}$ ${\displaystyle \square }$

О полиномиальных дифференциальных формах

В нулевой характеристике для полиномиальных дифференциальных форм справедлива следующая лемма Пуанкаре . ^[18]

Пусть k — поле нулевой характеристики, кольцо многочленов и векторное пространство с базисом, записанным как . Тогда пусть — p -я внешняя степень над . Тогда последовательность векторных пространств ${\displaystyle R=k[x_{1},\dots ,x_{n}]}$ ${\displaystyle \Omega ^{1}}$ ${\displaystyle dx_{1},\dots ,dx_{n}}$ ${\displaystyle \Omega ^{p}=\wedge ^{p}\Omega ^{1}}$ ${\displaystyle \Omega ^{1}}$ ${\displaystyle R}$

${\displaystyle 0\to k\to \Omega ^{0}{\overset {d}{\to }}\Omega ^{1}{\overset {d}{\to }}\cdots \to 0}$

является точным, где дифференциал определяется обычным способом; т.е. линейность и ${\displaystyle d}$

${\displaystyle d(f\,dx_{i_{i}}\wedge \cdots \wedge dx_{i_{p}})=\sum _{j}{\frac {\partial f}{dx_{j}}}dx_{j}\wedge dx_{i_{i}}\wedge \cdots \wedge dx_{i_{p}}.}$

Эта версия леммы рассматривается с помощью аргумента, похожего на исчисление. Сначала отметим, что , очевидно. Таким образом, нам нужно проверить точность только в . Пусть будет -формой. Тогда мы запишем ${\displaystyle \ker(d:R\to \Omega ^{1})=k}$ ${\displaystyle p>0}$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle p}$

${\displaystyle \omega =\omega _{0}\wedge dx_{1}+\omega _{1}}$

где ' не содержат . Определим интеграл в по линейности и ${\displaystyle \omega _{i}}$ ${\displaystyle dx_{1}}$ ${\displaystyle x_{1}}$

${\displaystyle \int x_{1}^{r}\,dx_{1}={\frac {x_{1}^{r+1}}{r+1}},}$

что хорошо определено предположением char zero. Тогда пусть

${\displaystyle \eta =\int \omega _{0}\,dx_{1}}$

где интегрирование применяется к каждому коэффициенту в . Очевидно, что фундаментальная теорема исчисления справедлива в нашей формальной постановке, и поэтому мы получаем: ${\displaystyle \omega _{0}}$

${\displaystyle d\eta =\omega _{0}\wedge \,dx_{1}+\sigma }$

где не включает . Следовательно, не включает . Заменив на , мы можем предположить, что не включает . Из предположения легко следует, что каждый коэффициент в независим от ; т. е. является полиномиальной дифференциальной формой от переменных . Следовательно, мы закончили по индукции. ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle dx_{1}}$ ${\displaystyle \omega -d\eta }$ ${\displaystyle dx_{1}}$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle \omega -d\eta }$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle dx_{1}}$ ${\displaystyle d\omega =0}$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle x_{1}}$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle x_{2},\dots ,x_{n}}$ ${\displaystyle \square }$

Замечание: При том же доказательстве те же результаты справедливы, когда есть кольцо формальных степенных рядов или кольцо ростков голоморфных функций . ^[19] Соответствующим образом модифицированное доказательство также показывает лемму Пуанкаре; а именно, использование основной теоремы исчисления заменяется интегральной формулой Коши . ^[20] ${\displaystyle R=k[\![x_{1},\dots ,x_{n}]\!]}$ ${\displaystyle {\bar {\partial }}}$

О сингулярных пространствах

Лемма Пуанкаре обычно неверна для сингулярных пространств. Например, если рассматривать алгебраические дифференциальные формы на комплексном алгебраическом многообразии (в топологии Зарисского), лемма неверна для этих дифференциальных форм. ^[21] Один из способов решения этой проблемы — использовать формальные формы , и полученные алгебраические когомологии де Рама могут вычислить сингулярную когомологию. ^[22]

Однако варианты леммы, вероятно, все еще справедливы для некоторых сингулярных пространств (точная формулировка и доказательство зависят от определений таких пространств и негладких дифференциальных форм на них). Например, Концевич и Сойбельман утверждают, что лемма справедлива для определенных вариантов различных форм (называемых PA-формами) на их кусочно-алгебраических пространствах . ^[23]

Гомотопическая инвариантность не выполняется для когомологий пересечения ; в частности, лемма Пуанкаре не выполняется для таких когомологий.

Сноска

1. Контрпримеры для стягиваемых областей, имеющих неисчезающие первые когомологии Дольбо, см. в посте https://mathoverflow.net/a/59554.

Примечания

1. Уорнер 1983, стр. 155–156.
2. Силиберто, Чиро (2013). «Анри Пуанкаре и алгебраическая геометрия». Буква Математика . 1 (1–2): 23–31. дои : 10.1007/s40329-013-0003-3 . S2CID  122614329.
3. Пуанкаре, Х. (1886). «Sur les Résidus des Integrales Double». Comptes rendus hebdomadaires des séances de l'Académie des Sciences . 102 : 202–204.
4. Ли (2012), Ту (2011) и Ботт и Ту (1982).
5. Ли, Джон М. (2012). Введение в гладкие многообразия (2-е изд.). Нью-Йорк: Springer. ISBN 978-1-4419-9982-5. OCLC  808682771.
6. Ту, Лоринг В. (2011). Введение в многообразия (2-е изд.). Нью-Йорк: Springer. ISBN 978-1-4419-7400-6. OCLC  682907530.
7. Ботт, Рауль; Ту, Лоринг В. (1982). Дифференциальные формы в алгебраической топологии. Graduate Texts in Mathematics. Том 82. Нью-Йорк, Нью-Йорк: Springer New York. doi :10.1007/978-1-4757-3951-0. ISBN 978-1-4419-2815-3.
8. Эделен, Доминик ГБ (2005). Прикладное внешнее исчисление (ред.). Минеола, Нью-Йорк: Dover Publications. ISBN 0-486-43871-6. OCLC  56347718.
9. Шарп, Р. В. (1997). Дифференциальная геометрия: обобщение Картаном программы Клейна в Эрлангене. Нью-Йорк: Springer. ISBN 0-387-94732-9. OCLC  34356972.
10. Конлон 2001, § 8.3.
11. https://www.math.brown.edu/reschwar/M114/notes7.pdf
12. Уорнер 1983, стр. 69–72.
13. Напье и Рамачандран 2011, стр. 443–444
14. Конлон 2001, Следствие 8.3.17.
15. Конлон 2001, Упражнение 8.3.19.
16. Aeppli, A. (1965). «О структуре когомологий многообразий Штейна». Труды конференции по комплексному анализу . С. 58–70. doi :10.1007/978-3-642-48016-4_7. ISBN 978-3-642-48018-8.
17. Domitrz, W.; Janeczko, S.; Zhitomirskii, M. (2004). "Относительная лемма Пуанкаре, стягиваемость, квазиоднородность и векторные поля, касающиеся особого многообразия § 2. Относительная лемма Пуанкаре и стягиваемость". Illinois Journal of Mathematics . 48 (3). doi : 10.1215/IJM/1258131054 . S2CID  51762845.
18. Хартсхорн 1975, Гл. II., Предложение 7.1.
19. Хартсхорн 1975, Гл. II., Замечание после предложения 7.1.
20. Теорема 2.3.3. в Hörmander, Lars (1990) [1966], Введение в комплексный анализ нескольких переменных (3-е изд.), Северная Голландия, ISBN 978-1-493-30273-4
21. Иллюзия 2012, § 1.
22. Хартсхорн 1975, Гл. IV., Теорема 1.1.
23. Концевич, Максим; Сойбельман, Ян (2000). «Деформации алгебр над операдами и гипотеза Делиня». Conférence Moshé Flato 1999: Quantization, Deformations, and Symmetries I. pp. 255–307. arXiv : math/0001151 . ISBN 9780792365402.

Ссылки

• Хартшорн, Робин (1975). «О когомологиях де Рама алгебраических многообразий». Публикации Mathématiques de l'Institut des Hautes Études Scientifiques . 45 (1): 6–99. дои : 10.1007/BF02684298. ISSN  1618-1913.
• Иллюзи, Люк (2012), Вокруг леммы Пуанкаре, по Бейлинсону (PDF) (тезисы)
• Напье, Терренс; Рамачандран, Мохан (2011), Введение в римановы поверхности , Биркхойзер, ISBN 978-0-8176-4693-6
• Конлон, Лоуренс (2001). Дифференцируемые многообразия (2-е изд.). Springer. doi :10.1007/978-0-8176-4767-4. ISBN 978-0-8176-4766-7.
• Уорнер, Фрэнк В. (1983), Основы дифференцируемых многообразий и групп Ли , Graduate Texts in Mathematics, т. 94, Springer, ISBN 0-387-90894-3

Дальнейшее чтение

• «Лемма Пуанкаре», ncatlab.org
• https://mathoverflow.net/questions/287385/p-adic-poincaré-lemma