Полиномиальное кольцо

В математике , особенно в области алгебры , кольцо полиномов или алгебра полиномов — это кольцо (которое также является коммутативной алгеброй ), образованное из множества многочленов от одной или нескольких неопределенных величин ( традиционно называемых также переменными ) с коэффициентами в другом кольце , часто поле .

Часто термин «кольцо многочленов» неявно относится к частному случаю кольца многочленов с одной неопределенностью над полем. Важность таких колец многочленов зависит от большого количества общих свойств, которые они имеют с кольцом целых чисел .

Кольца полиномов встречаются и часто являются фундаментальными во многих разделах математики, таких как теория чисел , коммутативная алгебра и алгебраическая геометрия . В теории колец для обобщения некоторых свойств колец полиномов были введены многие классы колец, такие как области уникальной факторизации , регулярные кольца , групповые кольца , кольца формальных степенных рядов , полиномы Оре , градуированные кольца .

Близким понятием является понятие кольца полиномиальных функций на векторном пространстве и, в более общем плане, кольца регулярных функций на алгебраическом многообразии .

Определение (одномерный случай)

Пусть $K$ — поле или (в более общем плане) коммутативное кольцо .

Кольцо многочленов в $X$ над $K$ , которое обозначается $K [X]$ , может быть определено несколькими эквивалентными способами. Один из них — определить $K [X]$ как набор выражений, называемых многочленами от $X$ , вида ^[1]

p=p_{0}+p_{1}X+p_{2}X^{2}+\cdots +p_{m-1}X^{m-1}+p_{m}X^{m},

где $p 0, p 1, \dots, pm$ , коэффициенты p , являются элементами $K$ , $pm$ $\neq$ $0$ $,$ если $m$ $> 0$ , а $X$ $,$ $X$ $2$ $,$ $\dots$ являются символами, которые рассматриваются как «степени» $X$ и следуйте обычным правилам возведения в степень : $X$ $0$ $= 1$ , $X$ $1$ $=$ $X$ и для любых неотрицательных целых чисел $k$ и $l$ . Символ $X$ называется неопределенной ^[2] или переменной. ^[3] (Термин «переменная» происходит из терминологии полиномиальных функций . Однако здесь $X$ не имеет никакого значения (кроме самого себя) и не может меняться, являясь константой в кольце полиномов.) $X^{k}\,X^{l}=X^{k+l}$

Два многочлена равны, когда соответствующие коэффициенты каждого $X k$ равны.

Можно думать, что кольцо $K [X]$ возникло из $K$ путем добавления одного нового элемента $X$ , внешнего по отношению к $K$ , коммутирующего со всеми элементами $K$ и не обладающего никакими другими специфическими свойствами. Это можно использовать для эквивалентного определения колец полиномов.

Кольцо многочленов в $X$ над $K$ снабжено сложением, умножением и скалярным умножением , которые делают его коммутативной алгеброй . Эти операции определяются в соответствии с обычными правилами манипулирования алгебраическими выражениями. В частности, если

p=p_{0}+p_{1}X+p_{2}X^{2}+\cdots +p_{m}X^{m},

q=q_{0}+q_{1}X+q_{2}X^{2}+\cdots +q_{n}X^{n},

затем

p+q=r_{0}+r_{1}X+r_{2}X^{2}+\cdots +r_{k}X^{k},

pq=s_{0}+s_{1}X+s_{2}X^{2}+\cdots +s_{l}X^{l},

где $k = max(m, n), l = m + n$ ,

r_{i}=p_{i}+q_{i}

s_{i}=p_{0}q_{i}+p_{1}q_{i-1}+\cdots +p_{i}q_{0}.

В этих формулах полиномы $p$ и $q$ расширяются путем добавления «фиктивных членов» с нулевыми коэффициентами, так что все $p i$ и $q i$ , которые появляются в формулах, определены. В частности, если $m < n$ , то $p i = 0$ для $m < i \leq n$ .

Скалярное умножение — это частный случай умножения, когда $p = p 0$ сводится к постоянному члену (члену, который не зависит от $X$ ); то есть

p_{0}\left(q_{0}+q_{1}X+\dots +q_{n}X^{n}\right)=p_{0}q_{0}+\left(p_{0}q_{1}\right)X+\cdots +\left(p_{0}q_{n}\right)X^{n}

Непосредственно проверяется, что эти три операции удовлетворяют аксиомам коммутативной алгебры над $K.$ Поэтому кольца полиномов также называют алгебрами полиномов .

Часто предпочтительнее другое эквивалентное определение, хотя и менее интуитивное, поскольку его легче сделать полностью строгим, которое состоит в определении многочлена как бесконечной последовательности $(p 0, p 1, p 2, \dots)$ элементов $K$ , имеющих свойство, заключающееся в том, что только конечное число элементов не равно нулю, или, что то же самое, последовательность, для которой существует некоторое $m$ , так что p _n = 0 для $n > m$ . В этом случае $p 0$ и $X$ рассматриваются как альтернативные обозначения для последовательностей $(p 0, 0, 0, \dots)$ и $(0, 1, 0, 0, \dots)$ соответственно. Непосредственное использование правил операций показывает, что выражение

p_{0}+p_{1}X+p_{2}X^{2}+\cdots +p_{m}X^{m}

тогда это альтернативное обозначение для последовательности

(п 0, п 1, п 2, \dots, п м, 0, 0, \dots)

Терминология

Позволять

p=p_{0}+p_{1}X+p_{2}X^{2}+\cdots +p_{m-1}X^{m-1}+p_{m}X^{m},

быть ненулевым многочленом с $p_{m}\neq 0$

Постоянный член p равен нулю в случае нулевого полинома $.$ $p_{0}.$

Степень p , обозначаемая $deg($ $p$ $),$ — это наибольшее $k такое$ $,$ что коэффициент при $X$ $k$ не равен нулю. ^[4] $m,$

Старший коэффициент p равен ^[5 $]$ $p_{m}.$

В частном случае нулевого многочлена, все коэффициенты которого равны нулю, старший коэффициент не определен, а степень по-разному оставлялась неопределенной, ^[6] определялась как $-1$ , ^[7] или определялась как $-\infty$ . ^[8]

Постоянный многочлен — это либо нулевой многочлен, либо многочлен нулевой степени.

Ненулевой полином является моническим , если его старший коэффициент равен $1.$

Для данных двух многочленов $p$ и $q$ , если степень нулевого многочлена определена как единица, имеет $-\infty ,$

\deg(p+q)\leq \max(\deg(p),\deg(q)),

и над полем или, в более общем смысле, над областью целостности , ^[9]

\deg(pq)=\deg(p)+\deg(q).

Отсюда сразу следует, что если $K$ — область целостности, то и $K [X]$ тоже . ^[10]

Отсюда также следует, что если K $—$ область целостности, многочлен является единицей (то есть имеет мультипликативный обратный ) тогда и только тогда, когда он постоянен и является единицей в $K.$

Два многочлена связаны , если один из них является произведением другого на единицу.

В поле каждому ненулевому многочлену соответствует уникальный монический многочлен.

Учитывая два многочлена, $p$ и $q$ , говорят, что $p$ $делит$ q $,$ p $является$ делителем q или q $является$ кратным $p$ , если существует многочлен $r$ такой, что $q$ $=$ $pr$ .

Многочлен неприводим, если он не является произведением двух непостоянных многочленов или, что то же самое, если его делители либо являются постоянными многочленами, либо имеют одинаковую степень.

Полиномиальная оценка

Пусть $K —$ поле или, в более общем смысле, коммутативное кольцо , а $R$ — кольцо, содержащее $K.$ Для любого многочлена $P$ в $K [X]$ и любого элемента $a$ в $R$ замена $X$ на $a$ в $P$ определяет элемент $R$ , который обозначается $P (a)$ . Этот элемент получается путем проведения в $R$ после замены операций, указанных выражением многочлена. $Это$ вычисление называется оценкой P $при$ a . Например, если у нас есть

P=X^{2}-1,

у нас есть

{\begin{aligned}P(3)&=3^{2}-1=8,\\P(X^{2}+1)&=\left(X^{2}+1\right)^{2}-1=X^{4}+2X^{2}\end{aligned}}

(в первом примере $R = K$ , а во втором $R = K [X]$ ). Замена $X$ на себя приводит к

P=P(X),

объясняющее, почему предложения «Пусть $P$ — многочлен» и «Пусть $P (X)$ — многочлен» эквивалентны.

Полиномиальная функция, определенная полиномом $P,$ — это функция из $K$ в $K$ , которая определяется следующим образом: Если $K$ — бесконечное поле, два разных полинома определяют разные полиномиальные функции, но это свойство неверно для конечных полей. Например, если $K$ — поле с $q$ элементами, то полиномы $0$ и $X$ $q$ $-$ $X$ определяют нулевую функцию. $x\mapsto P(x).$

Для каждого $a$ в $R$ оценка в $a$ , то есть отображение, определяет гомоморфизм алгебры из $K$ $[$ $X$ $]$ в $R$ , который является уникальным гомоморфизмом из $K$ $[$ $X$ $]$ в $R$ , который фиксирует $K$ и отображает $X$ в $a$ . Другими словами, $K$ $[$ $X$ $]$ обладает следующим универсальным свойством : $P\mapsto P(a)$

Для каждого кольца $R$ , содержащего $K$ , и каждого элемента $a$ из $R$ существует единственный гомоморфизм алгебры из

K [X]

в $R$ , который фиксирует $K$ и отображает $X$ в $a$ .

Образ карты , то есть подмножества $R$ , полученного заменой $X$ на $a$ в элементах $K$ $[$ $X$ $]$ , обозначается $K$ $[$ $a$ $]$ . ^[11] Например, , где . $P\mapsto P(a)$ $\mathbb {Z} [{\sqrt {2}}]=\{P({\sqrt {2}})\mid P(x)\in \mathbb {Z} [X]\}=\mathbb {Z} \cup ({\sqrt {2}}\mathbb {Z} )$ ${\sqrt {2}}\mathbb {Z} =\{{\sqrt {2}}z\mid z\in \mathbb {Z} \}$

Что касается всех универсальных свойств, это определяет пару $(K [X], X)$ с точностью до единственного изоморфизма и, следовательно, может быть принято как определение $K [X]$ .

Одномерные полиномы над полем

Если $K$ является полем , кольцо многочленов $K [X]$ обладает многими свойствами, которые аналогичны свойствам кольца целых чисел . Большинство этих сходств являются результатом сходства между делением целых чисел в длинну и делением в длинну многочленов . $\mathbb {Z} .$

Большинство свойств $K [X]$ , перечисленных в этом разделе, не остаются верными, если $K$ не является полем или если рассматривать полиномы от нескольких неопределенных.

Как и целые числа, евклидово деление многочленов обладает свойством уникальности. То есть, учитывая два многочлена $a$ и $b \neq 0$ в $K [X]$ , существует единственная пара $(q, r)$ многочленов такая, что $a = bq + r$ , и либо $r = 0$ , либо $deg(r) < deg(б)$ . Это делает $K [X]$ евклидовой областью . Однако большинство других евклидовых областей (кроме целых чисел) не имеют ни свойства уникальности деления, ни простого алгоритма (например, деления в столбики) для вычисления евклидова деления.

Евклидово деление является основой алгоритма Евклида для многочленов , который вычисляет наибольший общий делитель полинома двух многочленов. Здесь «наибольший» означает «иметь максимальную степень» или, что то же самое, быть максимальным для предпорядка , определяемого этой степенью. Учитывая наибольший общий делитель двух многочленов, остальные наибольшие общие делители получаются путем умножения на ненулевую константу (то есть все наибольшие общие делители $a$ и $b$ связаны). В частности, два многочлена, которые оба не равны нулю, имеют уникальный наибольший общий делитель, который является однократным (старший коэффициент равен1 ).

Расширенный алгоритм Евклида позволяет вычислить (и доказать) тождество Безу . В случае $K [X]$ это можно сформулировать следующим образом. Для двух полиномов $p$ и $q$ соответствующих степеней $m$ и $n$ , если их унитарный наибольший общий делитель $g$ имеет степень $d$ , то существует единственная пара $(a, b)$ полиномов такая, что

ap+bq=g,

\deg(a)\leq n-d,\quad \deg(b)<m-d.

(Чтобы сделать это верным в предельном случае, когда $m = d$ или $n = d$ , необходимо определить как отрицательную степень нулевого многочлена. Более того, равенство может возникнуть только в том случае, если $p$ и $q$ связаны.) Свойство уникальности есть скорее специфичен для $K$ $[$ $X$ $]$ . В случае целых чисел то же самое свойство справедливо, если степени заменяются абсолютными значениями, но для обеспечения уникальности необходимо требовать $a$ $> 0$ . $\deg(a)=n-d$

Лемма Евклида применима к $K [X]$ . То есть, если $a$ делит $bc$ и взаимно просто с $b$ , то $a$ делит $c$ . Здесь взаимнопростое означает, что унитарный наибольший общий делитель равен1 . Доказательство: По гипотезе и тождеству Безу существуют $e$ , $p$ и $q$ такие, что $ae = bc$ и $1 = ap + bq$ . Так $c=c(ap+bq)=cap+aeq=a(cp+eq).$

Уникальное свойство факторизации следует из леммы Евклида. В случае целых чисел это основная теорема арифметики . В случае $K [X]$ это можно сформулировать так: каждый непостоянный многочлен может быть выражен уникальным образом как произведение константы и одного или нескольких неприводимых монических многочленов; это разложение уникально с точностью до порядка множителей. Другими словами, $K [X]$ является уникальной областью факторизации . Если $K$ — поле комплексных чисел, фундаментальная теорема алгебры утверждает, что одномерный многочлен неприводим тогда и только тогда, когда его степень равна единице. В этом случае уникальное свойство факторизации можно переформулировать следующим образом: каждый непостоянный одномерный многочлен над комплексными числами может быть выражен уникальным образом как произведение константы и одного или нескольких многочленов формы $X - r$ ; это разложение уникально с точностью до порядка множителей. Для каждого фактора $r$ является корнем многочлена, а количество вхождений фактора равно кратности соответствующего корня.

Вывод

(Формальная) производная многочлена

a_{0}+a_{1}X+a_{2}X^{2}+\cdots +a_{n}X^{n}

полином

a_{1}+2a_{2}X+\cdots +na_{n}X^{n-1}.

В случае полиномов с действительными или комплексными коэффициентами это стандартная производная . Приведенная выше формула определяет производную многочлена, даже если коэффициенты принадлежат кольцу, на котором не определено понятие предела . Производная делает кольцо многочленов дифференциальной алгеброй .

Существование производной является одним из основных свойств кольца полиномов, которое не является общим с целыми числами, и упрощает некоторые вычисления на кольце полиномов, чем на целых числах.

Бесквадратная факторизация

Интерполяция Лагранжа

Полиномиальное разложение

Факторизация

За исключением факторизации, все предыдущие свойства $K [X]$ эффективны , поскольку их доказательства, как показано выше, связаны с алгоритмами проверки свойства и вычисления многочленов, существование которых утверждается. Более того, эти алгоритмы эффективны, поскольку их вычислительная сложность является квадратичной функцией размера входных данных.

Совершенно иначе обстоит дело с факторизацией: доказательство единственной факторизации не дает никаких указаний на метод факторизации. Что касается целых чисел, то на классическом компьютере не существует известного алгоритма их факторизации за полиномиальное время . Это основа криптосистемы RSA , широко используемой для безопасной связи в Интернете.

В случае $K [X]$ коэффициенты и методы их вычисления сильно зависят от $K.$ Над комплексными числами все неприводимые множители (те, которые не могут быть далее факторизованы) имеют первую степень, тогда как над действительными числами существуют неприводимые многочлены степени 2, а над рациональными числами существуют неприводимые многочлены любой степени. степень. Например, многочлен неприводим по рациональным числам, факторизуется как по действительным числам, так и по комплексным числам. $X^{4}-2$ $(X-{\sqrt[{4}]{2}})(X+{\sqrt[{4}]{2}})(X^{2}+{\sqrt {2}})$ $(X-{\sqrt[{4}]{2}})(X+{\sqrt[{4}]{2}})(X-i{\sqrt[{4}]{2}})(X+i{\sqrt[{4}]{2}})$

Существование алгоритма факторизации зависит также от основного поля. В случае действительных или комплексных чисел теорема Абеля-Руффини показывает, что корни некоторых многочленов и, следовательно, неприводимые множители не могут быть вычислены точно. Следовательно, алгоритм факторизации может вычислять только приближения факторов. Для вычисления таких приближений были разработаны различные алгоритмы, см. Корневой поиск полиномов .

Существует пример поля $K$ такого, что существуют точные алгоритмы арифметических операций над $K$ , но не может существовать алгоритм определения того, является ли многочлен вида неприводимым или является произведением многочленов меньшей степени. ^[12] $X^{p}-a$

С другой стороны, над рациональными числами и над конечными полями ситуация лучше, чем при целочисленной факторизации , так как существуют алгоритмы факторизации , имеющие полиномиальную сложность . Они реализованы в большинстве систем компьютерной алгебры общего назначения .

Минимальный полином

Если $θ$ — элемент ассоциативной K $-$ алгебры $L$ , полиномиальная оценка в $θ$ — это единственный гомоморфизм алгебры $φ$ из $K [X]$ в $L$ , который отображает $X$ в $θ$ и не влияет на элементы самого $K$ (это тождество карта на $К$ ). Он состоит из замены $X$ на $θ$ в каждом многочлене. То есть,

\varphi \left(a_{m}X^{m}+a_{m-1}X^{m-1}+\cdots +a_{1}X+a_{0}\right)=a_{m}\theta ^{m}+a_{m-1}\theta ^{m-1}+\cdots +a_{1}\theta +a_{0}.

Образом этого оценочного гомоморфизма является подалгебра, порожденная $θ$ , которая обязательно коммутативна. Если $φ$ инъективен, подалгебра, порожденная $θ$ , изоморфна $K [X]$ . В этом случае эту подалгебру часто обозначают $K [θ]$ . Неоднозначность обозначений обычно безвредна из-за изоморфизма.

Если гомоморфизм оценок не инъективен, это означает, что его ядро представляет собой ненулевой идеал , состоящий из всех многочленов, которые становятся нулевыми, когда $X$ заменяется на $θ$ . $Этот$ идеал состоит из всех кратных некоторого монического многочлена, который называется минимальным многочленом θ . Термин минимальный мотивирован тем, что его степень минимальна среди степеней элементов идеала.

Есть два основных случая, когда рассматриваются минимальные полиномы.

В теории поля и теории чисел элемент θ $поля$ расширения L $поля$ K $является$ алгебраическим над K $,$ если он является корнем некоторого многочлена с коэффициентами из $K.$ Таким образом, минимальный полином над $K$ от $θ$ является моническим многочленом минимальной степени, имеющим $θ$ в качестве корня. Поскольку $L$ — поле, этот минимальный полином обязательно неприводим над $K.$ Например, минимальный многочлен (как над действительными, так и над рациональными числами) комплексного числа $i$ равен . Круговые многочлены — это минимальные многочлены корней из единицы . $X^{2}+1$

В линейной алгебре квадратные матрицы размера n $\times n над$ K $образуют$ ассоциативную K $-алгебру$ конечной размерности (как векторное пространство). Следовательно, гомоморфизм оценок не может быть инъективным, и каждая матрица имеет минимальный полином (не обязательно неприводимый). По теореме Кэли-Гамильтона оценочный гомоморфизм отображает в ноль характеристический многочлен матрицы. Отсюда следует, что минимальный многочлен делит характеристический многочлен и, следовательно, степень минимального многочлена не превосходит $n$ .

Коэффициентное кольцо

В случае $K [X]$ факторкольцо по идеалу может быть построено, как и в общем случае, как набор классов эквивалентности . Однако, поскольку каждый класс эквивалентности содержит ровно один полином минимальной степени, часто оказывается более удобной другая конструкция.

Для полинома $p$ степени $d$ фактор -кольцо K $[$ $X$ $]$ по идеалу , порожденному $p$ , можно отождествить с векторным пространством многочленов степеней меньше $d$ , с «умножением по модулю $p »$ $как$ умножением, умножение по модулю $p$ , состоящее из остатка от деления на $p$ (обычного) произведения многочленов. Это факторкольцо по-разному обозначается как или просто $K[X]/pK[X],$ $K[X]/\langle p\rangle ,$ $K[X]/(p),$ $K[X]/p.$

Кольцо является полем тогда и только тогда, когда $p$ — неприводимый многочлен . Фактически, если $p$ неприводим, каждый ненулевой многочлен $q$ более низкой степени взаимно прост с $p$ , а тождество Безу позволяет вычислить $r$ и $s$ такие, что $sp$ $+$ $qr$ $= 1$ ; итак, $r$ является мультипликативным обратным числом $q$ по модулю $p$ . Обратно, если $p$ приводим, то существуют многочлены $a, b$ степеней ниже $deg($ $p$ $)$ такие, что $ab$ $=$ $p$ ; поэтому $a, b$ — ненулевые делители нуля по модулю $p$ и не могут быть обратимыми. $K[X]/(p)$

Например, стандартное определение поля комплексных чисел можно резюмировать, сказав, что это факторкольцо.

\mathbb {C} =\mathbb {R} [X]/(X^{2}+1),

и что образ $X$ в обозначается $i$ . Фактически, согласно приведенному выше описанию, это частное состоит из всех многочленов степени один от $i$ , которые имеют вид $a$ $+$ $bi$ , с $a$ и $b$ в Остаток евклидова деления, который необходим для умножения двух элементов факторкольца получается заменой $i$ $2$ на $-1$ в их произведении в виде многочленов (это в точности обычное определение произведения комплексных чисел). $\mathbb {C}$ $\mathbb {R} .$

Пусть $θ$ — алгебраический элемент в $K$ -алгебре $A.$ Под алгебраическим подразумевается, что $θ$ имеет минимальный многочлен $p$ . Первая теорема об изоморфизме колец утверждает, что гомоморфизм замены индуцирует изоморфизм на образ $K$ $[$ $θ$ $]$ гомоморфизма замены. В частности, если $A$ является простым расширением K, $порожденным$ θ $,$ это позволяет идентифицировать $A$ , и эта идентификация широко используется в теории алгебраических чисел . $K[X]/(p)$ $K[X]/(p).$

Модули

Структурная теорема для конечно порожденных модулей в области главных идеалов применима к K [ X ], когда K — поле. Это означает, что каждый конечно порожденный модуль над K [ X ] может быть разложен в прямую сумму свободного модуля и конечного числа модулей вида , где P — неприводимый многочлен над K , а k — положительное целое число. $K[X]/\left\langle P^{k}\right\rangle$

Определение (многомерный случай)

Учитывая $n$ символов , называемых неопределенными , моном (также называемый степенным произведением ) $X_{1},\dots ,X_{n},$

X_{1}^{\alpha _{1}}\cdots X_{n}^{\alpha _{n}}

является формальным произведением этих неопределенных, возможно, возведенным в неотрицательную степень. Как обычно, показатели степени, равные единице, и множители с нулевым показателем степени можно опустить. В частности, $X_{1}^{0}\cdots X_{n}^{0}=1.$

Набор показателей $α = ($ α $1$ $,$ $\dots,$ $α$ n $)$ называется вектором $мультистепени$ или показателя монома. Для менее громоздких обозначений используется сокращение

X^{\alpha }=X_{1}^{\alpha _{1}}\cdots X_{n}^{\alpha _{n}}

часто используется. Степень монома $X$ $α$ , часто обозначаемая $deg$ $α$ или $|$ $α$ $|$ , представляет собой сумму его показателей:

\deg \alpha =\sum _{i=1}^{n}\alpha _{i}.

Полином от этих неопределенных с коэффициентами в поле $K$ или, в более общем смысле, в кольце , представляет собой конечную линейную комбинацию мономов.

p=\sum _{\alpha }p_{\alpha }X^{\alpha }

с коэффициентами в $K$ . Степень ненулевого многочлена равна максимальной из степеней его мономов с ненулевыми коэффициентами .

Таким образом , множество полиномов в обозначенном представляет собой векторное пространство (или свободный модуль , если $K$ - кольцо), которое имеет мономы в качестве основы. $X_{1},\dots ,X_{n},$ $K[X_{1},\dots ,X_{n}],$

$K[X_{1},\dots ,X_{n}]$ естественно снабжено (см. ниже) умножением, которое образует кольцо , а ассоциативная алгебра над $К$ , называемая кольцом многочленов от $n$ , неопределенна над $К$ (определенный артикль отражает , что оно однозначно определено с точностью до имени и порядка неопределенности.Если кольцо $K$ коммутативно , то оно также является коммутативным кольцом. $K[X_{1},\dots ,X_{n}]$

Операции в K [ X1 , ... , Xn ]

Сложение и скалярное умножение многочленов относятся к векторному пространству или свободному модулю, снабженному определенным базисом (здесь базисом мономов). Явно, пусть где $I$ и $J$ — конечные множества векторов экспоненты. $p=\sum _{\alpha \in I}p_{\alpha }X^{\alpha },\quad q=\sum _{\beta \in J}q_{\beta }X^{\beta },$

Скалярное умножение $p$ на скаляр равно $c\in K$

cp=\sum _{\alpha \in I}cp_{\alpha }X^{\alpha }.

Сложение $p$ и $q$ равно

p+q=\sum _{\alpha \in I\cup J}(p_{\alpha }+q_{\alpha })X^{\alpha },

где if и if Кроме того, если для некоторого имеется соответствующий нулевой член, удаляется из результата. $p_{\alpha }=0$ $\alpha \not \in I,$ $q_{\beta }=0$ $\beta \not \in J.$ $p_{\alpha }+q_{\alpha }=0$ $\alpha \in I\cap J,$

Умножение

pq=\sum _{\gamma \in I+J}\left(\sum _{\alpha ,\beta \mid \alpha +\beta =\gamma }p_{\alpha }q_{\beta }\right)X^{\gamma },

где - набор сумм одного вектора экспоненты в $I$ и другого в $J$ (обычная сумма векторов). В частности, произведение двух мономов представляет собой моном, вектор показателя которого представляет собой сумму векторов показателей множителей. $I+J$

Проверка аксиом ассоциативной алгебры проста.

Полиномиальное выражение

Полиномиальное выражение — это выражение , построенное с помощью скаляров (элементов $K$ ), неопределенных чисел и операторов сложения, умножения и возведения в степень до неотрицательных целых степеней.

Поскольку все эти операции определены в полиномиальном выражении, оно представляет собой полином, который является элементом. Определение многочлена как линейной комбинации мономов представляет собой особое полиномиальное выражение, которое часто называют канонической формой , нормальной формой или расширенной формой. полинома. Учитывая полиномиальное выражение, можно вычислить расширенную форму представленного многочлена, разложив с помощью закона распределения все продукты, которые имеют сумму среди своих факторов, а затем используя коммутативность (за исключением произведения двух скаляров) и ассоциативность для преобразования члены полученной суммы разложить на произведения скаляра и монома; тогда можно получить каноническую форму, перегруппировав подобные члены . $K[X_{1},\dots ,X_{n}]$ $K[X_{1},\dots ,X_{n}].$

Различие между полиномиальным выражением и полиномом, который оно представляет, появилось относительно недавно и в основном мотивировано развитием компьютерной алгебры , где, например, проверка того, представляют ли два полиномиальных выражения один и тот же полином, может быть нетривиальным вычислением.

Категориальная характеристика

Если $K$ — коммутативное кольцо, то кольцо полиномов $K [X 1, \dots, X n]$ обладает следующим универсальным свойством : для каждой коммутативной $K$ -алгебры $A$ и каждого $n$ - кортежа $(x 1, \dots, x n)$ элементов из $A$ существует единственный гомоморфизм алгебры из $K [X 1, \dots, X n]$ в $A$ , который отображает каждый в соответствующий. Этот гомоморфизм является оценочным гомоморфизмом , который состоит в замене на в каждом многочлене. $X_{i}$ $x_{i}.$ $X_{i}$ $x_{i}$

Как и в случае любого универсального свойства, это характеризует пару с точностью до единственного изоморфизма . $(K[X_{1},\dots ,X_{n}],(X_{1},\dots ,X_{n}))$

Это также можно интерпретировать в терминах сопряженных функторов . Точнее, пусть $SET$ и $ALG —$ категории множеств и коммутативных $K$ -алгебр соответственно (здесь и далее морфизмы определяются тривиально). Существует забывчивый функтор , который отображает алгебры в их базовые множества. С другой стороны, карта определяет функтор в другом направлении. (Если $X$ бесконечно, $K$ $[$ $X$ $]$ — это множество всех полиномов от конечного числа элементов $X.$ ) $\mathrm {F} :\mathrm {ALG} \to \mathrm {SET}$ $X\mapsto K[X]$ $\mathrm {POL} :\mathrm {SET} \to \mathrm {ALG}$

Универсальное свойство кольца многочленов означает, что $F$ и $POL$ — сопряженные функторы . То есть существует биекция

\operatorname {Hom} _{\mathrm {SET} }(X,\operatorname {F} (A))\cong \operatorname {Hom} _{\mathrm {ALG} }(K[X],A).

Это можно выразить также, говоря, что кольца многочленов являются свободными коммутативными алгебрами , поскольку они являются свободными объектами в категории коммутативных алгебр. Точно так же кольцо полиномов с целыми коэффициентами является свободным коммутативным кольцом над своим набором переменных, поскольку коммутативные кольца и коммутативные алгебры над целыми числами — это одно и то же.

Градуированная структура

Одномерное над кольцом и многомерное

Полином в можно рассматривать как одномерный многочлен от неопределенного по кольцу путем перегруппировки членов, которые содержат одну и ту же степень , то есть, используя тождество $K[X_{1},\ldots ,X_{n}]$ $X_{n}$ $K[X_{1},\ldots ,X_{n-1}],$ $X_{n},$

\sum _{(\alpha _{1},\ldots ,\alpha _{n})\in I}c_{\alpha _{1},\ldots ,\alpha _{n}}X_{1}^{\alpha _{1}}\cdots X_{n}^{\alpha _{n}}=\sum _{i}\left(\sum _{(\alpha _{1},\ldots ,\alpha _{n-1})\mid (\alpha _{1},\ldots ,\alpha _{n-1},i)\in I}c_{\alpha _{1},\ldots ,\alpha _{n-1}}X_{1}^{\alpha _{1}}\cdots X_{n-1}^{\alpha _{n-1}}\right)X_{n}^{i},

что является следствием дистрибутивности и ассоциативности кольцевых операций.

Это означает, что существует изоморфизм алгебр

K[X_{1},\ldots ,X_{n}]\cong (K[X_{1},\ldots ,X_{n-1}])[X_{n}]

которое отображает каждое неопределенное в себя. (Этот изоморфизм часто записывают как равенство, которое оправдывается тем фактом, что кольца многочленов определены с точностью до единственного изоморфизма .)

Другими словами, кольцо многомерных многочленов можно рассматривать как одномерный многочлен над меньшим кольцом многочленов. Это обычно используется для доказательства свойств колец многомерных полиномов путем индукции по числу неопределенных.

Основные такие свойства перечислены ниже.

Свойства, переходящие от R к R [ X ]

В этом разделе $R$ — коммутативное кольцо, $K$ — поле, $X$ обозначает одну неопределённую величину и, как обычно, — кольцо целых чисел. Вот список основных свойств кольца, которые остаются верными при переходе от $R$ к $R$ $[$ $X$ $]$ . $\mathbb {Z}$

Если R — область целостности , то то же самое справедливо и для R [ X ] (поскольку старший коэффициент произведения многочленов является, если не нулем, произведением старших коэффициентов сомножителей).
- В частности, и являются целыми доменами. $K[X_{1},\ldots ,X_{n}]$ $\mathbb {Z} [X_{1},\ldots ,X_{n}]$
Если R — уникальная область факторизации , то то же самое справедливо и для R [ X ] . Это следует из леммы Гаусса и уникального свойства факторизации, где L - поле частных R . $L[X],$
- В частности, и являются уникальными областями факторизации. $K[X_{1},\ldots ,X_{n}]$ $\mathbb {Z} [X_{1},\ldots ,X_{n}]$
Если R — нётерово кольцо , то то же самое справедливо и для R [ X ] .
- В частности, и – нётеровы кольца; это основная теорема Гильберта . $K[X_{1},\ldots ,X_{n}]$ $\mathbb {Z} [X_{1},\ldots ,X_{n}]$
Если R — нетерово кольцо, то где « » обозначает размерность Крулля . $\dim R[X]=1+\dim R,$ $\dim$
- В частности, и $\dim K[X_{1},\ldots ,X_{n}]=n$ $\dim \mathbb {Z} [X_{1},\ldots ,X_{n}]=n+1.$
Если R — регулярное кольцо , то то же самое справедливо и для R [ X ] ; в этом случае имеется
$\operatorname {gl} \,\dim R[X]=\dim R[X]=1+\operatorname {gl} \,\dim R=1+\dim R,$
где " " обозначает глобальное измерение . $\operatorname {gl} \,\dim$
- В частности, и являются регулярными кольцами, и Последнее равенство представляет собой теорему о сизигиях Гильберта . $K[X_{1},\ldots ,X_{n}]$ $\mathbb {Z} [X_{1},\ldots ,X_{n}]$ $\operatorname {gl} \,\dim \mathbb {Z} [X_{1},\ldots ,X_{n}]=n+1,$ $\operatorname {gl} \,\dim K[X_{1},\ldots ,X_{n}]=n.$

Несколько неопределенных над полем

Кольца многочленов от нескольких переменных над полем являются фундаментальными в теории инвариантов и алгебраической геометрии . Некоторые из их свойств, например описанные выше, можно свести к случаю одной неопределенности, но это не всегда так. В частности, из-за геометрических приложений многие интересные свойства должны быть инвариантными относительно аффинных или проективных преобразований неопределенных. Это часто подразумевает, что нельзя выбрать одно из неопределенных для повторения неопределенного.

Теорема Безу , Nullstellensatz Гильберта и гипотеза Якобиана являются одними из наиболее известных свойств, характерных для многомерных многочленов над полем.

Nullstellensatz Гильберта

Nullstellensatz (по-немецки «теорема о нулевом локусе») — теорема, впервые доказанная Дэвидом Гильбертом , которая распространяет на многомерный случай некоторые аспекты фундаментальной теоремы алгебры . Он является основой алгебраической геометрии , поскольку устанавливает прочную связь между алгебраическими свойствами и геометрическими свойствами алгебраических многообразий , которые представляют собой (грубо говоря) множество точек, определяемых неявными полиномиальными уравнениями . $K[X_{1},\ldots ,X_{n}]$

Nullstellensatz имеет три основные версии, каждая из которых является следствием любой другой. Две из этих версий приведены ниже. По поводу третьей версии читатель отсылается к основной статье о Nullstellensatz.

Первая версия обобщает тот факт, что ненулевой одномерный многочлен имеет комплексный ноль тогда и только тогда, когда он не является константой. Утверждение таково: множество многочленов $S$ in имеет общий нуль в алгебраически замкнутом поле , содержащем $K$ , тогда и только тогда, когда $K[X_{1},\ldots ,X_{n}]$ $1$ не принадлежит идеалу, порожденному S $,$ то есть, если $1$ не является линейной комбинацией элементов из $S$ с полиномиальными коэффициентами .

Вторая версия обобщает тот факт, что неприводимым одномерным многочленам над комплексными числами соответствует многочлен вида. Утверждение таково: если $K$ алгебраически замкнуто, то максимальные идеалы имеют вид $X-\alpha .$ $K[X_{1},\ldots ,X_{n}]$ $\langle X_{1}-\alpha _{1},\ldots ,X_{n}-\alpha _{n}\rangle .$

Теорема Безу

Теорему Безу можно рассматривать как многомерное обобщение версии фундаментальной теоремы алгебры , которая утверждает, что одномерный многочлен степени $n$ имеет $n$ комплексных корней, если их считать с учетом их кратностей.

В случае двумерных многочленов он утверждает, что два многочлена степеней $d$ и $e$ от двух переменных, которые не имеют общих факторов положительной степени, имеют ровно $de$ общих нулей в алгебраически замкнутом поле , содержащем коэффициенты, если нули считаются с помощью их кратность и включать нули на бесконечности .

Чтобы сформулировать общий случай и не рассматривать «нуль на бесконечности» как особые нули, удобно работать с однородными многочленами и рассматривать нули в проективном пространстве . В этом контексте проективный нуль однородного многочлена с точностью до масштабирования представляет собой $($ $n$ $+ 1)$ - набор элементов $K$ , отличный от $(0, \dots, 0)$ и такой, что . Здесь «с точностью до масштабирования» означает, что и считаются одним и тем же нулем для любого ненулевого. Другими словами, ноль — это набор однородных координат точки в проективном пространстве размерности $n$ . $P(X_{0},\ldots ,X_{n})$ $(x_{0},\ldots ,x_{n})$ $P(x_{0},\ldots ,x_{n})=0$ $(x_{0},\ldots ,x_{n})$ $(\lambda x_{0},\ldots ,\lambda x_{n})$ $\lambda \in K.$

$Тогда теорема$ Безу гласит: для данных $n$ однородных многочленов степеней от $n$ $+ 1$ неопределенного, которые имеют только конечное число общих проективных нулей в алгебраически замкнутом расширении K , сумма кратностей этих нулей равна произведению $d_{1},\ldots ,d_{n}$ $d_{1}\cdots d_{n}.$

Якобианская гипотеза

Обобщения

Кольца полиномов можно обобщить множеством способов, включая кольца полиномов с обобщенными показателями, кольца степенных рядов, кольца некоммутативных полиномов , кольца косых полиномов и полиномиальные установки .

Бесконечно много переменных

Одним из небольших обобщений колец полиномов является допущение бесконечного числа неопределенных. Каждый моном по-прежнему включает в себя только конечное число неопределенных (так что его степень остается конечной), и каждый многочлен по-прежнему представляет собой (конечную) линейную комбинацию мономов. Таким образом, любой отдельный многочлен включает только конечное число неопределенных, и любое конечное вычисление, включающее многочлены, остается внутри некоторого подкольца многочленов от конечного числа неопределенных. Это обобщение обладает тем же свойством, что и обычные кольца полиномов: быть свободной коммутативной алгеброй , с той лишь разницей, что это свободный объект над бесконечным множеством.

Можно также рассмотреть строго большее кольцо, определив в качестве обобщенного многочлена бесконечную (или конечную) формальную сумму мономов ограниченной степени. Это кольцо больше обычного кольца полиномов, так как включает в себя бесконечные суммы переменных. Однако оно меньше кольца степенных рядов от бесконечного числа переменных . Такое кольцо используется для построения кольца симметрических функций над бесконечным множеством.

Обобщенные показатели

Простое обобщение изменяет только набор, из которого извлекаются показатели степени переменной. Формулы сложения и умножения имеют смысл, если можно складывать показатели степени: X ⁱ ⋅ X ^j = X ^{i + j} . Множество, для которого сложение имеет смысл (замкнуто и ассоциативно), называется моноидом . Набору функций от моноида N до кольца R , которые отличны от нуля только в конечном числе мест, можно придать структуру кольца, известного как R [ N ], кольца моноида N с коэффициентами из R. Сложение определяется покомпонентно, так что если c = a + b , то c n ₌ a n ₊ b n _для каждого n из N. Умножение определяется как произведение Коши, так что если c = a ⋅ b , то для каждого n в N c _n является суммой всех a _i b _j , где i , j варьируются по всем парам элементов N , которые составляют сумму к н .

Когда N коммутативно, удобно обозначить функцию a в R [ N ] как формальную сумму:

\sum _{n\in N}a_{n}X^{n}

и тогда формулы сложения и умножения знакомы:

\left(\sum _{n\in N}a_{n}X^{n}\right)+\left(\sum _{n\in N}b_{n}X^{n}\right)=\sum _{n\in N}\left(a_{n}+b_{n}\right)X^{n}

\left(\sum _{n\in N}a_{n}X^{n}\right)\cdot \left(\sum _{n\in N}b_{n}X^{n}\right)=\sum _{n\in N}\left(\sum _{i+j=n}a_{i}b_{j}\right)X^{n}

где последняя сумма берется по всем i , j в N , сумма которых равна n .

Некоторые авторы, такие как (Lang 2002, II, §3), заходят так далеко, что берут это определение моноида в качестве отправной точки, а обычные многочлены с одной переменной являются особым случаем, когда N является моноидом неотрицательных целых чисел. Полиномы от нескольких переменных просто принимают N как прямое произведение нескольких копий моноида неотрицательных целых чисел.

Несколько интересных примеров колец и групп можно получить, взяв N за аддитивный моноид неотрицательных рациональных чисел (Осборн 2000, §4.4) . См. также серию Пюизо .

Силовая серия

Степенные ряды обобщают выбор показателя степени в другом направлении, допуская бесконечное количество ненулевых членов. Это требует различных гипотез о моноиде N , используемом для показателей, чтобы гарантировать, что суммы в произведении Коши являются конечными суммами. Альтернативно, топологию можно разместить на кольце, а затем ограничиться сходящимися бесконечными суммами. Для стандартного выбора N , неотрицательных целых чисел, проблем не возникает, и кольцо формальных степенных рядов определяется как набор функций из N в кольцо R с покомпонентным сложением и умножением, заданным методом Коши. продукт. Кольцо степенных рядов также можно рассматривать как пополнение кольца многочленов относительно идеала, порожденного $x$ .

Некоммутативные полиномиальные кольца

Для колец многочленов более чем одной переменной произведения X ⋅ Y и Y ⋅ X просто определяются как равные. Более общее понятие кольца многочленов получается, когда сохраняется различие между этими двумя формальными произведениями. Формально кольцо многочленов от n некоммутирующих переменных с коэффициентами в кольце R — это кольцо моноидов R [ N ], где моноид N — это свободный моноид на n буквах, также известный как множество всех строк в алфавите из n символов. , с умножением, заданным конкатенацией. Ни коэффициенты, ни переменные не должны коммутировать между собой, но коэффициенты и переменные коммутируют друг с другом.

Подобно тому, как кольцо многочленов от n переменных с коэффициентами из коммутативного кольца R является свободной коммутативной R -алгеброй ранга n , кольцо некоммутативных многочленов от n переменных с коэффициентами из коммутативного кольца R является свободной ассоциативной R -алгеброй с единицей на n генераторов, что некоммутативно при n > 1.

Дифференциальные и косополиномиальные кольца

Другими обобщениями многочленов являются дифференциальные и косополиномиальные кольца.

Кольцо дифференциальных полиномов — это кольцо дифференциальных операторов , образованное из кольца R и дифференцирования δ кольца R в R . Этот вывод работает с R и будет обозначаться X , если рассматривать его как оператор. Элементы R также действуют на R путем умножения. Композиция операторов обозначается как обычное умножение. Отсюда следует, что соотношение δ ( ab ) = aδ ( b ) + δ ( a ) b можно переписать как

X\cdot a=a\cdot X+\delta (a).

Это соотношение может быть расширено для определения косого умножения между двумя многочленами из X с коэффициентами из R , что делает их некоммутативным кольцом .

Стандартный пример, называемый алгеброй Вейля , принимает R в качестве (обычного) кольца многочленов k [ Y ], а δ в качестве стандартной полиномиальной производной . Взяв a = Y в приведенном выше соотношении , получаем каноническое коммутационное соотношение X ⋅ Y − Y ⋅ X = 1. Расширение этого отношения за счет ассоциативности и дистрибутивности позволяет явно построить алгебру Вейля . (Лам 2001, §1, ex1.9). ${\tfrac {\partial }{\partial Y}}$

Кольцо косых полиномов определяется аналогично для кольца R и кольцевого эндоморфизма f кольца R путем расширения умножения из отношения X ⋅ r = f ( r )⋅ X для создания ассоциативного умножения, которое распределяется по стандартному сложению. В более общем смысле, учитывая гомоморфизм F моноида N натуральных чисел в кольцо эндоморфизмов R , формула X ⁿ ⋅ r = F ( n )( r )⋅ X ⁿ позволяет построить кольцо косых полиномов. (Lam 2001, §1, ex 1.11) Кольца косых полиномов тесно связаны с алгебрами скрещенных произведений .

Полиномиальные установки

Определение кольца многочленов можно обобщить, ослабив требование, чтобы алгебраическая структура R была полем или кольцом , до требования, чтобы R было только полуполем или оборудованием ; результирующая полиномиальная структура/расширение R [ X ] является полиномиальной оснасткой . Например, набор всех многомерных многочленов с натуральными коэффициентами представляет собой полиномиальную установку.