В проективной геометрии гомография — это изоморфизм проективных пространств , индуцированный изоморфизмом векторных пространств, из которых выводятся проективные пространства. [1] Это биекция , которая отображает прямые в прямые, и, таким образом, коллинеация . В общем случае некоторые коллинеации не являются гомографиями, но основная теорема проективной геометрии утверждает, что это не так в случае действительных проективных пространств размерности не менее двух. Синонимы включают проективность , проективное преобразование и проективную коллинеацию .
Исторически гомографии (и проективные пространства) были введены для изучения перспективы и проекций в евклидовой геометрии , и термин гомография , который этимологически примерно означает «подобный рисунок», датируется этим временем. В конце 19-го века были введены формальные определения проективных пространств, которые расширили евклидовы и аффинные пространства путем добавления новых точек, называемых точками на бесконечности . Термин «проективное преобразование» возник в этих абстрактных конструкциях. Эти конструкции делятся на два класса, которые, как было показано, эквивалентны. Проективное пространство может быть построено как множество линий векторного пространства над заданным полем (вышеуказанное определение основано на этой версии); эта конструкция облегчает определение проективных координат и позволяет использовать инструменты линейной алгебры для изучения гомографии. Альтернативный подход состоит в определении проективного пространства через набор аксиом, которые явно не включают в себя какое-либо поле ( геометрия инцидентности , см. также синтетическую геометрию ); В этом контексте коллинеации определить проще, чем омографии, а омографии определяются как особые коллинеации, поэтому их называют «проективными коллинеациями».
Для простоты, если не указано иное, проективные пространства, рассматриваемые в этой статье, предполагаются определенными над (коммутативным) полем . Эквивалентно теорема Паппуса о шестиугольнике и теорема Дезарга предполагаются верными. Большая часть результатов остается верной или может быть обобщена на проективные геометрии, для которых эти теоремы не верны.
Исторически концепция гомографии была введена для понимания, объяснения и изучения визуальной перспективы и, в частности, разницы во внешнем виде двух плоских объектов, рассматриваемых с разных точек зрения.
В трехмерном евклидовом пространстве центральная проекция из точки O (центра) на плоскость P , не содержащую O, — это отображение, отправляющее точку A в пересечение (если оно существует) прямой OA и плоскости P. Проекция не определена, если точка A принадлежит плоскости, проходящей через O и параллельной P. Понятие проективного пространства первоначально было введено путем расширения евклидова пространства, то есть путем добавления к нему бесконечно удаленных точек , чтобы определить проекцию для каждой точки, кроме O.
Если взять другую плоскость Q , не содержащую O , то ограничение на Q указанной выше проекции называется перспективностью .
С этими определениями перспективность является только частичной функцией , но она становится биекцией, если расширена до проективных пространств. Поэтому это понятие обычно определяется для проективных пространств. Понятие также легко обобщается на проективные пространства любой размерности, над любым полем , следующим образом:
Для двух проективных пространств P и Q размерности n перспективность — это биекция из P в Q , которая может быть получена путем вложения P и Q в проективное пространство R размерности n + 1 и ограничения P центральной проекцией на Q.
Если f — перспективность из P в Q , а g — перспективность из Q в P с другим центром, то g ⋅ f — гомография из P в себя, которая называется центральной коллинеацией , когда размерность P не менее двух. (См. § Центральные коллинеации ниже и Перспектива § Перспективные коллинеации .)
Первоначально гомография определялась как композиция конечного числа перспектив. [2] Частью фундаментальной теоремы проективной геометрии (см. ниже) является то, что это определение совпадает с более алгебраическим определением, изложенным во введении и подробно изложенным ниже.
Проективное пространство P( V ) размерности n над полем K может быть определено как множество прямых, проходящих через начало координат в K -векторном пространстве V размерности n + 1. Если базис V зафиксирован, точка V может быть представлена точкой ( x 0 , ..., x n ) из K n +1 . Точка P( V ), будучи прямой в V , может быть, таким образом, представлена координатами любой ненулевой точки этой прямой, которые, таким образом, называются однородными координатами проективной точки.
Для двух проективных пространств P( V ) и P( W ) одинаковой размерности гомография — это отображение из P( V ) в P( W ), которое индуцируется изоморфизмом векторных пространств f : V → W . Такой изоморфизм индуцирует биекцию из P( V ) в P( W ) из-за линейности f . Два таких изоморфизма, f и g , определяют одну и ту же гомографию тогда и только тогда, когда существует ненулевой элемент a из K такой, что g = af .
Это можно записать в терминах однородных координат следующим образом: Гомография φ может быть определена невырожденной ( n +1) × ( n +1) матрицей [ a i , j ], называемой матрицей гомографии . Эта матрица определена с точностью до умножения на ненулевой элемент K . Однородные координаты [ x 0 : ... : x n ] точки и координаты [ y 0 : ... : y n ] ее образа относительно φ связаны соотношением
Когда проективные пространства определяются путем добавления точек на бесконечности к аффинным пространствам (проективное пополнение), предыдущие формулы в аффинных координатах принимают вид
что обобщает выражение гомографической функции следующего раздела. Это определяет только частичную функцию между аффинными пространствами, которая определена только вне гиперплоскости , где знаменатель равен нулю.
Проективную прямую над полем K можно отождествить с объединением K и точки, называемой «точкой на бесконечности» и обозначаемой ∞ (см. Проективная прямая ). При таком представлении проективной прямой гомографии являются отображениями
которые называются гомографическими функциями или дробно-линейными преобразованиями .
В случае комплексной проективной прямой , которую можно отождествить со сферой Римана , гомографии называются преобразованиями Мёбиуса . Они соответствуют в точности тем биекциям сферы Римана, которые сохраняют ориентацию и являются конформными. [3]
При изучении коллинеаций случай проективных прямых является особым из-за малой размерности. Когда прямая рассматривается как изолированное проективное пространство, любая перестановка точек проективной прямой является коллинеацией, [4] поскольку каждый набор точек коллинеарен. Однако, если проективная прямая вложена в проективное пространство более высокой размерности, геометрическая структура этого пространства может быть использована для наложения геометрической структуры на прямую. Таким образом, в синтетической геометрии рассматриваемые гомографии и коллинеации проективной прямой являются теми, которые получены ограничениями на линию коллинеаций и гомографий пространств более высокой размерности. Это означает, что основная теорема проективной геометрии (см. ниже) остается справедливой в одномерной обстановке. Гомография проективной прямой также может быть правильно определена, настаивая на том, что отображение сохраняет перекрестные отношения . [5]
Проективный фрейм или проективный базис проективного пространства размерности n — это упорядоченный набор из n + 2 точек, такой, что ни одна гиперплоскость не содержит n + 1 из них. Проективный фрейм иногда называют симплексом , [6] хотя симплекс в пространстве размерности n имеет не более n + 1 вершин.
В этом разделе рассматриваются проективные пространства над коммутативным полем K , хотя большинство результатов можно обобщить на проективные пространства над телом .
Пусть P ( V ) — проективное пространство размерности n , где V — K -векторное пространство размерности n + 1 , а p : V ∖ {0} → P ( V ) — каноническая проекция, которая отображает ненулевой вектор в векторную прямую, его содержащую.
Для каждого фрейма P ( V ) существует базис e 0 , ..., e n фрейма V такой, что фрейм есть ( p ( e 0 ), ..., p ( e n ), p ( e 0 + ... + e n )) , и этот базис единствен с точностью до умножения всех его элементов на один и тот же ненулевой элемент K . Обратно, если e 0 , ..., e n является базисом V , то ( p ( e 0 ), ..., p ( e n ), p ( e 0 + ... + e n )) является фреймом P ( V )
Из этого следует, что при наличии двух фреймов существует ровно одна гомография, отображающая первый на второй. В частности, единственной гомографией, фиксирующей точки фрейма, является тождественное отображение . Этот результат гораздо сложнее в синтетической геометрии (где проективные пространства определяются через аксиомы). Иногда его называют первой фундаментальной теоремой проективной геометрии . [7]
Каждый кадр ( p ( e0 ),..., p ( en ) , p ( e0 +...+ en ) ) позволяет определить проективные координаты , также известные как однородные координаты : каждая точка может быть записана как p ( v ) ; проективные координаты p ( v ) на этом кадре являются координатами v на базе ( e0 ,..., en ) . Нетрудно проверить, что изменение ei и v , без изменения кадра или p ( v ), приводит к умножению проективных координат на один и тот же ненулевой элемент K.
Проективное пространство P n ( K ) = P ( K n +1 ) имеет канонический фрейм , состоящий из образа p канонического базиса K n +1 (состоящего из элементов, имеющих только один ненулевой элемент, равный 1), и (1, 1, ..., 1) . На этой основе однородные координаты p ( v ) являются просто элементами (коэффициентами) кортежа v . Если дано другое проективное пространство P ( V ) той же размерности и его фрейм F , то существует одна и только одна гомография h , отображающая F на канонический фрейм P n ( K ) . Проективные координаты точки a на фрейме F являются однородными координатами h ( a ) на каноническом фрейме P n ( K ) .
В разделах выше гомографии были определены через линейную алгебру. В синтетической геометрии они традиционно определяются как композиция одной или нескольких специальных гомографий, называемых центральными коллинеациями . Частью фундаментальной теоремы проективной геометрии является то, что эти два определения эквивалентны.
В проективном пространстве P размерности n ≥ 2 коллинеация P является биекцией из P на P , которая отображает прямые на прямые. Центральная коллинеация (традиционно они назывались перспективностями [8], но этот термин может сбивать с толку, имея другое значение; см. Перспективность ) является биекцией α из P в P , такой, что существует гиперплоскость H (называемая осью α ) , которая фиксирована поточечно α (то есть α ( X ) = X для всех точек X в H ), и точка O (называемая центром α ), которая фиксирована полинейно α (любая прямая, проходящая через O , отображается в себя α , но не обязательно поточечно). [9] Существует два типа центральных коллинеаций. Элации являются центральными коллинеациями, в которых центр инцидентен оси, а гомологии являются такими, в которых центр не инцидентен оси. Центральная коллинеация однозначно определяется своим центром, своей осью и образом α ( P ) любой заданной точки P , которая отличается от центра O и не принадлежит оси. (Образ α ( Q ) любой другой точки Q является пересечением прямой, определяемой O и Q , и прямой, проходящей через α ( P ) и пересечением с осью прямой, определяемой P и Q .)
Центральная коллинеация — это гомография, определяемая матрицей (n+1) × (n+1), которая имеет собственное пространство размерности n . Это гомология, если матрица имеет другое собственное значение и, следовательно, диагонализируема . Это элация, если все собственные значения равны и матрица не диагонализируема.
Геометрический вид центральной коллинеации проще всего увидеть на проективной плоскости. Для данной центральной коллинеации α рассмотрим прямую ℓ, которая не проходит через центр O , и ее образ относительно α , ℓ ′ = α (ℓ) . Полагая R = ℓ ∩ ℓ ′ , ось α — это некоторая прямая M, проходящая через R . Образ любой точки A из ℓ относительно α — это пересечение OA с ℓ ′ . Образ B ′ точки B , которая не принадлежит ℓ, можно построить следующим образом: пусть S = AB ∩ M , тогда B ′ = SA ′ ∩ OB .
Композиция двух центральных коллинеаций, хотя и является в общем случае гомографией, не является центральной коллинеацией. Фактически, каждая гомография является композицией конечного числа центральных коллинеаций. В синтетической геометрии это свойство, являющееся частью фундаментальной теории проективной геометрии, принимается за определение гомографий. [10]
Помимо гомографий существуют коллинеации. В частности, любой полевой автоморфизм σ поля F индуцирует коллинеацию любого проективного пространства над F , применяя σ ко всем однородным координатам (над проективной рамкой) точки. Эти коллинеации называются автоморфными коллинеациями .
Основная теорема проективной геометрии состоит из трех следующих теорем.
Если проективные пространства определяются посредством аксиом ( синтетическая геометрия ), то третья часть — это просто определение. С другой стороны, если проективные пространства определяются посредством линейной алгебры , то первая часть — это простое следствие определений. Поэтому доказательство первой части в синтетической геометрии и доказательство третьей части в терминах линейной алгебры — оба являются фундаментальными шагами доказательства эквивалентности двух способов определения проективных пространств.
Так как каждая гомография имеет обратное отображение , а композиция двух гомографий — обратное отображение, гомографии данного проективного пространства образуют группу . Например, группа Мёбиуса является группой гомографии любой комплексной проективной прямой.
Поскольку все проективные пространства одной и той же размерности над одним и тем же полем изоморфны, то же самое верно и для их групп гомографии. Поэтому они рассматриваются как одна группа, действующая на нескольких пространствах, и в обозначении появляются только размерность и поле, а не конкретное проективное пространство.
Группы гомографий, также называемые проективными линейными группами , обозначаются PGL( n + 1, F ) при действии на проективном пространстве размерности n над полем F. Приведенное выше определение гомографий показывает, что PGL( n + 1, F ) может быть отождествлена с факторгруппой GL( n + 1, F ) / F × I , где GL( n + 1, F ) — общая линейная группа обратимых матриц , а F × I — группа произведений на ненулевой элемент F единичной матрицы размера ( n + 1) × ( n + 1) .
Когда F — поле Галуа GF( q ), то группа гомографии записывается как PGL( n , q ) . Например, PGL(2, 7) действует на восемь точек проективной прямой над конечным полем GF(7), тогда как PGL(2, 4) , которая изоморфна знакопеременной группе A 5 , является группой гомографии проективной прямой с пятью точками. [12]
Группа гомографии PGL( n + 1, F ) является подгруппой группы коллинеаций PΓL( n + 1, F ) коллинеаций проективного пространства размерности n . Когда точки и прямые проективного пространства рассматриваются как блочная конструкция , блоки которой являются множествами точек, содержащихся в прямой, группу коллинеаций принято называть группой автоморфизмов конструкции .
Двойное отношение четырех коллинеарных точек является инвариантом относительно гомографии, которая является основополагающей для изучения гомографии прямых.
Три различные точки a , b и c на проективной прямой над полем F образуют проективную рамку этой прямой. Следовательно, существует единственная гомография h этой прямой на F ∪ {∞} , которая отображает a в ∞ , b в 0 и c в 1. Если задана четвертая точка на той же прямой, то перекрестное отношение четырех точек a , b , c и d , обозначаемое [ a , b ; c , d ] , является элементом h ( d ) из F ∪ {∞} . Другими словами, если d имеет однородные координаты [ k : 1] над проективной рамкой ( a , b , c ) , то [ a , b ; c , d ] = k . [13]
Предположим, что A — кольцо , а U — его группа единиц . Гомографии действуют на проективной прямой над A , обозначаемой P( A ), состоящей из точек U [ a, b ] с проективными координатами . Гомографии на P( A ) описываются матричными отображениями
Когда A — коммутативное кольцо , гомография может быть записана
но в противном случае дробно-линейное преобразование рассматривается как эквивалентность:
Группа гомографии кольца целых чисел Z является модулярной группой PSL(2, Z ) . Кольцевые гомографии использовались в кватернионном анализе и с дуальными кватернионами для облегчения теории винтов . Конформная группа пространства-времени может быть представлена гомографиями, где A — композиционная алгебра бикватернионов . [14]
Гомография является периодической , когда кольцо равно Z / n Z ( целые числа по модулю n ), с тех пор Артур Кэли заинтересовался периодичностью, когда он вычислял итерации в 1879 году. [15] В своем обзоре подхода грубой силы к периодичности гомографии Х. С. М. Коксетер дал следующий анализ:
Гомографии ассоциативных композиционных алгебр в Wikibooks
Медиа, связанные с омографией на Wikimedia Commons
![{\displaystyle U[z,1]{\begin{pmatrix}a&c\\b&d\end{pmatrix}}=U[za+b,\ zc+d].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/75b784aabce6dc47e30def79076c7e799542cd69)
![{\displaystyle U[za+b,\ zc+d]\thicksim U[(zc+d)^{- 1}(za+b),\ 1].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c3575d4cca0aa4c496636974d41cd598229a9647)
