В математике композиция функций — это операция ∘ , которая берет две функции f и g и создает функцию h = g ∘ f такую, что h ( x ) = g ( f ( x )) . В этой операции функция g применяется к результату применения функции f к x . То есть функции f : X → Y и g : Y → Z составлены так , чтобы дать функцию, которая отображает x в области X в g ( f ( x )) в кодомене Z . Интуитивно понятно, что если z — функция от y , а y — функция от x , то z — функция от x . Результирующая составная функция обозначается g ∘ f : X → Z и определяется как ( g ∘ f )( x ) = g ( f ( x )) для всех x в X . [номер 1]
Обозначение g ∘ f читается как « g из f », « g после f », « g в круге f », « g в круге f », « g около f », « g составлено с f », « g после f » , « f затем g », или « g на f », или «композиция g и f ». Интуитивно, составление функций — это процесс объединения, в котором выходные данные функции f подаются на входные данные функции g .
Композиция функций — это частный случай композиции отношений , иногда также обозначаемый . В результате все свойства композиции отношений справедливы для композиции функций, [1] например, свойство ассоциативности.
Композиция функций отличается от умножения функций (если она вообще определена) и имеет совершенно другие свойства; в частности, композиция функций не коммутативна . [2]
Композиция функций всегда ассоциативна — свойство, унаследованное от композиции отношений . [1] То есть, если f , g и h являются составными, то f ∘ ( g ∘ h ) = ( f ∘ g ) ∘ h . [3] Поскольку круглые скобки не меняют результат, они обычно опускаются.
В строгом смысле композиция g ∘ f имеет смысл только в том случае, если кодобласть f равна области определения g ; в более широком смысле достаточно, чтобы первое было несобственным подмножеством второго. [nb 2] Более того, часто бывает удобно неявно ограничить область определения f так, чтобы f производил только значения в области g . Например, композиция g ∘ f функций f : R → (−∞,+9] , определенная формулами f ( x ) = 9 − x 2 и g : [0,+∞) → R , определенная формулами, может быть определена на интервал [−3,+3 ] .
Говорят, что функции g и f коммутируют друг с другом, если g ∘ f = f ∘ g . Коммутативность — это особое свойство, достигаемое только определенными функциями и часто при особых обстоятельствах. Например, | х | + 3 = | х + 3 | только тогда, когда x ≥ 0 . На фото другой пример.
Композиция взаимно однозначных (инъективных) функций всегда взаимно однозначна. Точно так же композиция онто- (сюръективных) функций всегда есть онто-функции. Отсюда следует, что композиция двух биекций также является биекцией. Обратная функция композиции (считающаяся обратимой) обладает тем свойством, что ( f ∘ g ) −1 = g −1 ∘ f −1 . [4]
Производные композиций, включающих дифференцируемые функции, можно найти с помощью цепного правила . Высшие производные таких функций даются формулой Фаа ди Бруно . [3]
Предположим, что у вас есть две (или более) функции f : X → X , g : X → X, имеющие одну и ту же область определения и кодомен; их часто называют трансформациями . Тогда можно образовать составленные вместе цепочки преобразований, например f ∘ f ∘ g ∘ f . Такие цепи имеют алгебраическую структуру моноида , называемого моноидом преобразования или ( гораздо реже) композиционным моноидом . В общем, моноиды преобразований могут иметь чрезвычайно сложную структуру. Одним из ярких примеров является кривая де Рама . Множество всех функций f : X → X называется полной полугруппой преобразований [5] или симметричной полугруппой [6] на X . (Фактически можно определить две полугруппы в зависимости от того, как определить операцию полугруппы как левую или правую композицию функций. [7] ).
Если преобразования биективны (и, следовательно, обратимы), то множество всех возможных комбинаций этих функций образует группу преобразований ; и говорят, что группа порождается этими функциями. Фундаментальный результат теории групп, теорема Кэли , по сути, говорит, что любая группа на самом деле является просто подгруппой группы подстановок (с точностью до изоморфизма ). [8]
Набор всех биективных функций f : X → X (называемых перестановками ) образует группу относительно композиции функций. Это симметричная группа , которую также иногда называют композиционной группой .
В симметричной полугруппе (всех преобразований) также встречается более слабое, неединственное понятие инверсии (называемое псевдоинверсией), поскольку симметрическая полугруппа является регулярной полугруппой . [9]
Если Y ⊆ X , то f : X → Y может составлять само собой; иногда это обозначается как f 2 . То есть:
В более общем смысле, для любого натурального числа n ≥ 2 n - я функциональная степень может быть определена индуктивно как f n = f ∘ f n −1 = f n −1 ∘ f , обозначение, введенное Гансом Генрихом Бюрманом [ нужна ссылка ] [ 10] [11] и Джон Фредерик Уильям Гершель . [12] [10] [13] [11] Повторяющаяся композиция такой функции сама с собой называется итерированной функцией .
Примечание. Если f принимает свои значения в кольце (в частности, для действительного или комплексного f ), существует риск путаницы, поскольку f n может также обозначать n -кратное произведение f , например f 2 ( x ) знак равно ж ( Икс ) · ж ( Икс ) . [11] Для тригонометрических функций обычно подразумевают последнее, по крайней мере, для положительных показателей. [11] Например, в тригонометрии это верхнее индексное обозначение представляет собой стандартное возведение в степень при использовании с тригонометрическими функциями : sin 2 ( x ) = sin( x ) · sin( x ) . Однако для отрицательных показателей степени (особенно −1) это, тем не менее, обычно относится к обратной функции, например, tan −1 = arctan ≠ 1/tan .
В некоторых случаях, когда для данной функции f уравнение g ∘ g = f имеет единственное решение g , эту функцию можно определить как функциональный квадратный корень из f , а затем записать как g = f 1/2 .
В более общем смысле, когда g n = f имеет единственное решение для некоторого натурального числа n > 0 , тогда f m / n можно определить как g m .
При дополнительных ограничениях эту идею можно обобщить так, что количество итераций станет непрерывным параметром; в этом случае такая система называется потоком , заданным через решения уравнения Шредера . Итерационные функции и потоки естественным образом возникают при изучении фракталов и динамических систем .
Чтобы избежать двусмысленности, некоторые математики [ нужна ссылка ] предпочитают использовать ∘ для обозначения композиционного значения, записывая f ∘ n ( x ) для n -й итерации функции f ( x ) , как, например, f ∘3 ( x ) значение ж ( ж ( ж ( x ))) . С той же целью Бенджамин Пирс [14] [11] использовал f [ n ] ( x ) , тогда как вместо этого Альфред Прингшейм и Жюль Молк предложили n f ( x ) . [15] [11] [количество 3]
Многие математики, особенно в теории групп , опускают символ композиции, записывая gf вместо g ∘ f . [16]
В середине 20 века некоторые математики решили, что написание « g ∘ f » означает «сначала применить f , затем применить g » слишком запутанно, и решили изменить обозначения. Они пишут « xf » вместо « f ( x ) » и « ( xf ) g » вместо « g ( f ( x )) ». [17] В некоторых областях это может быть более естественным и казаться более простым, чем запись функций слева — например, в линейной алгебре , когда x — вектор-строка , а f и g обозначают матрицы , а композиция осуществляется путем умножения матриц . Эта альтернативная нотация называется постфиксной нотацией . Порядок важен, поскольку композиция функций не обязательно является коммутативной (например, умножение матриц). Последовательные преобразования, применяемые и составляющие вправо, согласуются с последовательностью чтения слева направо.
Математики, использующие постфиксную нотацию, могут писать « fg », что означает сначала применить f , а затем применить g , в соответствии с порядком появления символов в постфиксной нотации, что делает обозначение « fg » неоднозначным. Ученые-компьютерщики могут писать для этого « f ; g », [18] тем самым устраняя неоднозначность порядка композиции. Чтобы отличить левый оператор композиции от текстовой точки с запятой, в обозначении Z для обозначения левой композиции отношений используется символ ⨾ . [19] Поскольку все функции являются бинарными отношениями , правильно использовать [жирную] точку с запятой и для композиции функций ( более подробную информацию об этом обозначении см. в статье о композиции отношений ).
Учитывая функцию g , оператор композиции C g определяется как оператор , который отображает функции в функции следующим образом:
Композиционные операторы изучаются в области теории операторов .
Композиция функций в той или иной форме встречается во многих языках программирования .
Частичная композиция возможна для многомерных функций . Функция, возникающая при замене некоторого аргумента x i функции f функцией g , в некоторых контекстах компьютерной инженерии называется композицией f и g и обозначается f | х я = г
Когда g является простой константой b , композиция вырождается в (частичную) оценку, результат которой также известен как ограничение или кофактор . [20]
В общем, композиция многомерных функций может включать в себя несколько других функций в качестве аргументов, как в определении примитивно-рекурсивной функции . Учитывая f , n -арную функцию, и n m -арные функции g 1 , ..., g n , композиция f с g 1 , ..., g n , является m -арной функцией
Иногда это называют обобщенной композицией или суперпозицией f с g 1 , ... , g n . [21] Частичная композиция только с одним аргументом, упомянутая ранее, может быть реализована на основе этой более общей схемы, установив все функции аргумента, кроме одной, в качестве подходящим образом выбранных функций проекции . Здесь g 1 , ..., g n можно рассматривать как одну векторную/ кортежную функцию в этой обобщенной схеме, и в этом случае это в точности стандартное определение композиции функций. [22]
Набор финитарных операций на некотором базовом множестве X называется клоном , если он содержит все проекции и замкнут относительно обобщенной композиции. Обратите внимание, что клон обычно содержит операции различной сложности . [21] Понятие коммутации также находит интересное обобщение в многомерном случае; Говорят, что функция f арности n коммутирует с функцией g арности m , если f является гомоморфизмом, сохраняющим g , и наоборот, т. е.: [21]
Унарная операция всегда коммутирует сама с собой, но это не обязательно относится к бинарной операции (или операции более высокой арности). Бинарная операция (или более высокой арности), коммутирующая сама с собой, называется медиальной или энтропической . [21]
Композиция может быть обобщена на произвольные бинарные отношения . Если R ⊆ X × Y и S ⊆ Y × Z — два бинарных отношения, то их композиция R ∘ S — это отношение, определяемое как {( x , z ) ∈ X × Z : ∃ y ∈ Y . ( Икс , y ) ∈ р ∧ ( y , z ) ∈ S } . Рассматривая функцию как частный случай бинарного отношения (а именно функциональных отношений ), композиция функций удовлетворяет определению композиции отношений. Маленький кружок R ∘ S использовался для инфиксного обозначения композиции отношений , а также функций. Однако при использовании для представления композиции функций текстовая последовательность меняется на противоположную, чтобы соответствующим образом проиллюстрировать различные последовательности операций.
Композиция определяется таким же образом для частичных функций , и теорема Кэли имеет аналог, называемый теоремой Вагнера-Престона . [23]
Категория множеств с функциями как морфизмами является прототипической категорией . Аксиомы категории фактически основаны на свойствах (а также определении) композиции функций. [24] Структуры, заданные композицией, аксиоматизируются и обобщаются в теории категорий с использованием концепции морфизма как теоретико-категорной замены функций. Обратный порядок композиции в формуле ( f ∘ g ) −1 = ( g −1 ∘ f −1 ) применяется для композиции отношений с использованием обратных отношений и, следовательно, в теории групп . Эти структуры образуют категории кинжала .
Символ композиции ∘ кодируется как U+2218 ∘ RING OPERATOR ( ∘, ∘ ); информацию о похожих символах Юникода см. в статье « Символ степени ». В TeX так написано .\circ
[…] §473. Повторные логарифмы […] Отметим здесь символику, использованную Прингсхаймом и Молком в их совместной статье в энциклопедии : « 2 log b a = log b (log b a ), …, k +1 log b a = log b ( k log b а )». [а] […] §533. Обозначения Джона Гершеля для обратных функций sin −1 x , tan −1 x и т. д. были опубликованы им в лондонском журнале Philosophical Transactions за 1813 год. Он говорит (стр. 10): «Эти обозначения потому . -1 e не следует понимать как 1/cos.e , а то, что обычно пишут так, как arc (cos.= e )». Он признает, что некоторые авторы используют cos. m A вместо (cos. A ) m , но он оправдывает свои собственные обозначения, указывая, что, поскольку d 2 x , Δ 3 x , Σ 2 x означают dd x , ΔΔΔ x , ΣΣ x , мы должны писать sin. 2 раза за грех. грех. х , лог. 3 х для журнала. бревно. бревно. Икс . Точно так же, как мы пишем d − n V=∫ n V, мы можем аналогично написать sin. −1 x = дуга (sin.= x ), лог. −1 x .=c x . Несколько лет спустя Гершель объяснил, что в 1813 году он использовал f n ( x ), f − n ( x ), sin. −1 x и т. д., «как он тогда впервые предположил. Однако в течение этих нескольких месяцев ему стала известна работа немецкого аналитика Бурмана , в которой то же самое объясняется значительно раньше. Однако он [Бурман], похоже, не заметил удобства применения этой идеи к обратным функциям tan −1и т. д., и при этом он, по-видимому, вообще не осведомлен об обратном исчислении функций, которое оно порождает». Гершель добавляет: «Симметрия этого обозначения и, прежде всего, новые и наиболее обширные взгляды, которые оно открывает на природу аналитических операций. кажется, допускают его универсальное принятие». [b] […] §535. Сохранение конкурирующих обозначений для обратной функции. — […] Использование обозначений Гершеля претерпело небольшие изменения в книгах Бенджамина Пирса , чтобы устранить главное возражение. им; Пирс писал: «cos [−1] x » , «log [−1] x ». [c] […] §537. Степени тригонометрических функций. — Для обозначения, скажем, использовались три основных обозначения квадрат греха x , а именно (sin x ) 2 , sin x 2 , sin 2 x . В настоящее время преобладающим обозначением является sin 2 x , хотя первое с наименьшей вероятностью будет неправильно истолковано. В случае sin 2 x два интерпретации напрашиваются сами собой: во-первых, sin x · sin x , во-вторых, [d] sin (sin x ). Поскольку функции последнего типа обычно не проявляются, опасность неправильной интерпретации гораздо меньше, чем в случае log 2 x , где log x · log x и log (log x ) часто встречаются в анализе. […] Обозначение sin n x для (sin x ) n широко использовалось и в настоящее время является преобладающим. […](xviii+367+1 страница, включая 1 страницу дополнений) (Примечание. ISBN и ссылка на перепечатку 2-го издания Cosimo, Inc., Нью-Йорк, США, 2013 г.)
{{cite book}}
: CS1 maint: location missing publisher (link)