stringtranslate.com

Фрактал

Ковер Серпинского - бесконечный периметр и нулевая площадь
Мандельброт установлен на островах
Множество Мандельброта : его граница представляет собой фрактальную кривую с размерностью Хаусдорфа 2. (Обратите внимание, что цветные участки изображения на самом деле не являются частью множества Мандельброта, а основаны на том, насколько быстро расходится функция, которая его создает.)
Множество Мандельброта с 12 окружностями

Приближение к границе множества Мандельброта

В математике фрактал — это геометрическая форма, содержащая подробную структуру в произвольно малых масштабах, обычно имеющая фрактальную размерность, строго превышающую топологическую размерность . Многие фракталы кажутся похожими в различных масштабах, как показано в последовательных увеличениях множества Мандельброта . [1] [2] [3] [4] Это проявление похожих узоров во все более мелких масштабах называется самоподобием , также известным как расширяющаяся симметрия или развертывающаяся симметрия; если это воспроизведение точно такое же в каждом масштабе, как в губке Менгера , форма называется аффинной самоподобной. [5] Фрактальная геометрия лежит в математической ветви теории меры .

Одним из отличий фракталов от конечных геометрических фигур является их масштабирование . Удвоение длин сторон заполненного многоугольника умножает его площадь на четыре, что равно двум (отношение новой длины стороны к старой) в степени два (условная размерность заполненного многоугольника). Аналогично, если радиус заполненной сферы удваивается, ее объем увеличивается на восемь, что равно двум (отношение нового радиуса к старому) в степени три (условная размерность заполненной сферы). Однако, если все одномерные длины фрактала удваиваются, пространственное содержимое фрактала масштабируется в степени, которая не обязательно является целым числом и в целом больше его условной размерности. [1] Эта степень называется фрактальной размерностью геометрического объекта, чтобы отличать ее от условной размерности (которая формально называется топологической размерностью ). [6]

Аналитически многие фракталы нигде не дифференцируемы . [1] [4] Бесконечную фрактальную кривую можно представить как извилистую в пространстве, отличную от обычной линии – хотя она все еще топологически одномерна , ее фрактальная размерность указывает на то, что она локально заполняет пространство более эффективно, чем обычная линия. [1] [6]

Ковер Серпинского (до уровня 6), фрактал с топологической размерностью 1 и размерностью Хаусдорфа 1,893
Отрезок линии похож на свою собственную часть, но едва ли является фракталом.

Начиная с 17-го века с понятия рекурсии , фракталы прошли путь все более строгой математической обработки до изучения непрерывных , но не дифференцируемых функций в 19-м веке благодаря основополагающим работам Бернарда Больцано , Бернхарда Римана и Карла Вейерштрасса [ 7] и далее до появления слова фрактал в 20-м веке с последующим ростом интереса к фракталам и компьютерному моделированию в 20-м веке. [8] [9]

Среди математиков существуют разногласия по поводу того, как формально определить понятие фрактала. Сам Мандельброт резюмировал его как «красивый, чертовски сложный, все более полезный. Это фракталы». [10] Более формально, в 1982 году Мандельброт определил фрактал следующим образом: «Фрактал по определению — это множество, для которого размерность Хаусдорфа–Безиковича строго превышает топологическую размерность ». [11] Позже, посчитав это слишком ограничительным, он упростил и расширил определение до следующего: «Фрактал — это грубая или фрагментированная геометрическая форма , которая может быть разделена на части, каждая из которых (по крайней мере приблизительно) является уменьшенной копией целого». [1] Еще позже Мандельброт предложил «использовать фрактал без педантичного определения, использовать фрактальную размерность как общий термин, применимый ко всем вариантам». [12]

Математики сходятся во мнении, что теоретические фракталы — это бесконечно самоподобные повторяющиеся и детализированные математические конструкции, многие примеры которых были сформулированы и изучены. [1] [2] [3] Фракталы не ограничиваются геометрическими узорами, но также могут описывать процессы во времени. [5] [4] [13] [14] [15] [16] Фрактальные узоры с различной степенью самоподобия были отображены или изучены в визуальных, физических и звуковых средах [17] и обнаружены в природе, [18] [19] [20] [21] технологиях, [22] [23] [24] [25] искусстве, [26] [27] и архитектуре . [28] Фракталы имеют особое значение в области теории хаоса , поскольку они проявляются в геометрических изображениях большинства хаотических процессов (обычно либо как аттракторы, либо как границы между областями притяжения). [29]

Этимология

Термин «фрактал» был придуман математиком Бенуа Мандельбротом в 1975 году. [30] Мандельброт основал его на латинском frāctus , что означает «сломанный» или «раздробленный», и использовал его для расширения концепции теоретических дробных измерений на геометрические узоры в природе . [1] [31] [32]

Введение

Простое фрактальное дерево
Фрактальное «дерево» до одиннадцати итераций

Слово «фрактал» часто имеет разные коннотации для широкой публики, в отличие от математиков, которые, скорее всего, знакомы с фрактальным искусством , чем с математической концепцией. Математическую концепцию трудно определить формально, даже для математиков, но ключевые особенности можно понять, имея небольшой математический опыт.

Например, свойство «самоподобия» легко понять по аналогии с увеличением с помощью линзы или другого устройства, которое увеличивает цифровые изображения, чтобы обнаружить более тонкую, ранее невидимую новую структуру. Однако, если это сделать на фракталах, то не появится никаких новых деталей; ничего не изменится, и один и тот же узор будет повторяться снова и снова, или для некоторых фракталов почти один и тот же узор будет появляться снова и снова. Самоподобие само по себе не обязательно противоречит интуиции (например, люди размышляли о самоподобии неформально, например, в бесконечном регрессе в параллельных зеркалах или гомункуле , маленьком человечке внутри головы маленького человечка внутри головы ...). Отличие для фракталов в том, что воспроизведенный узор должен быть детализированным. [1] : 166, 18  [2] [31]

Эта идея детализации относится к другой особенности, которую можно понять без особого математического образования: например, наличие фрактальной размерности, большей, чем ее топологическая размерность, относится к тому, как фрактал масштабируется по сравнению с тем, как обычно воспринимаются геометрические фигуры . Например, прямая линия традиционно считается одномерной; если такую ​​фигуру разбить на части, каждая из которых имеет 1/3 длины исходной, то всегда будет три равных части. Сплошной квадрат считается двумерным; если такую ​​фигуру разбить на части, каждая из которых уменьшена в масштабе на коэффициент 1/3 в обоих измерениях, то всего будет 3 2 = 9 частей.

Мы видим, что для обычных самоподобных объектов n-мерность означает, что когда она разбивается на части, каждая из которых уменьшается на коэффициент масштабирования 1/ r , то в общей сложности получается r n частей. Теперь рассмотрим кривую Коха . Ее можно разбить на четыре подкопии, каждая из которых уменьшается на коэффициент масштабирования 1/3. Поэтому, строго по аналогии, мы можем рассматривать «размерность» кривой Коха как уникальное действительное число D , которое удовлетворяет 3 D = 4. Это число называется фрактальной размерностью кривой Коха; это не традиционно воспринимаемая размерность кривой. В общем, ключевым свойством фракталов является то, что фрактальная размерность отличается от традиционно понимаемой размерности (формально называемой топологической размерностью).

3D компьютерный фрактал

Это также приводит к пониманию третьей особенности, что фракталы как математические уравнения «нигде не дифференцируемы ». В конкретном смысле это означает, что фракталы нельзя измерить традиционными способами. [1] [4] [33] Чтобы уточнить, при попытке найти длину волнистой нефрактальной кривой можно найти прямые сегменты какого-либо измерительного инструмента, достаточно малые, чтобы положить их конец к концу над волнами, где части могли бы стать достаточно малыми, чтобы считаться соответствующими кривой обычным способом измерения рулеткой . Но при измерении бесконечно «волнистой» фрактальной кривой, такой как снежинка Коха, никогда не найти достаточно маленький прямой сегмент, чтобы соответствовать кривой, потому что зубчатый узор всегда будет появляться снова, в произвольно малых масштабах, по сути, вытягивая немного больше рулетки в общую измеренную длину каждый раз, когда кто-то пытается подогнать ее все плотнее и плотнее к кривой. В результате требуется бесконечная лента, чтобы идеально покрыть всю кривую, т. е. снежинка имеет бесконечный периметр. [1]

История

Снежинка Коха — это фрактал, который начинается с равностороннего треугольника, а затем заменяет среднюю треть каждого отрезка парой отрезков, которые образуют равносторонний выступ.
Канторов (троичный) набор

История фракталов прослеживает путь от преимущественно теоретических исследований до современных приложений в компьютерной графике , при этом несколько известных людей внесли свой вклад в канонические фрактальные формы на этом пути. [8] [9] Распространенной темой в традиционной африканской архитектуре является использование фрактального масштабирования, при котором небольшие части структуры, как правило, выглядят похожими на более крупные части, например, круглая деревня, состоящая из круглых домов. [34] По словам Пиковера , математика, лежащая в основе фракталов, начала формироваться в 17 веке, когда математик и философ Готфрид Лейбниц размышлял о рекурсивном самоподобии (хотя он совершил ошибку, думая, что только прямая линия была самоподобной в этом смысле). [35]

В своих трудах Лейбниц использовал термин «дробные показатели», но сетовал, что «Геометрия» еще не знала о них. [1] : 405  Действительно, согласно различным историческим свидетельствам, после этого момента лишь немногие математики брались за эти вопросы, а работа тех, кто это делал, оставалась неясной в основном из-за сопротивления таким незнакомым новым концепциям, которые иногда назывались математическими «монстрами». [33] [8] [9] Таким образом, только через два столетия 18 июля 1872 года Карл Вейерштрасс представил в Королевской Прусской академии наук первое определение функции с графиком , который сегодня считался бы фракталом, обладающим неинтуитивным свойством быть всюду непрерывным, но нигде не дифференцируемым . [8] : 7  [9]

Кроме того, разность частных становится произвольно большой по мере увеличения индекса суммирования. [36] Вскоре после этого, в 1883 году, Георг Кантор , посещавший лекции Вейерштрасса, [9] опубликовал примеры подмножеств действительной прямой, известных как множества Кантора , которые обладали необычными свойствами и теперь считаются фракталами. [8] : 11–24  Также в последней части того же столетия Феликс Клейн и Анри Пуанкаре ввели категорию фракталов, которые стали называться «самообратными» фракталами. [1] : 166 

Множество Жюлиа , фрактал, связанный с множеством Мандельброта.
Салфетку Серпинского можно получить с помощью фрактального дерева.

Одна из следующих вех наступила в 1904 году, когда Хельге фон Кох , расширяя идеи Пуанкаре и недовольный абстрактным и аналитическим определением Вейерштрасса, дал более геометрическое определение, включающее нарисованные от руки изображения похожей функции, которая теперь называется снежинкой Коха . [8] : 25  [9] Другая веха наступила десятилетие спустя, в 1915 году, когда Вацлав Серпинский построил свой знаменитый треугольник, а затем, годом позже, свой ковер . К 1918 году два французских математика, Пьер Фату и Гастон Жюлиа , хотя и работали независимо, по сути одновременно пришли к результатам, описывающим то, что сейчас рассматривается как фрактальное поведение, связанное с отображением комплексных чисел и итеративных функций, и приведшим к дальнейшим идеям об аттракторах и репеллерах (т. е. точках, которые притягивают или отталкивают другие точки), которые стали очень важными в изучении фракталов. [4] [8] [9]

Вскоре после того, как эта работа была представлена, в марте 1918 года Феликс Хаусдорф расширил определение «измерения», что существенно повлияло на эволюцию определения фракталов, допустив, чтобы множества имели нецелые измерения. [9] Идея самоподобных кривых была развита Полем Леви , который в своей статье 1938 года « Плоские или пространственные кривые и поверхности, состоящие из частей, подобных целому» описал новую фрактальную кривую — кривую Леви C. [примечания 1 ]

Странный аттрактор , демонстрирующий мультифрактальное масштабирование
Треугольный фрактал с равномерным центром масс
2x 120 градусов рекурсивный IFS

Различные исследователи постулировали, что без помощи современной компьютерной графики ранние исследователи были ограничены тем, что они могли изобразить в ручных рисунках, поэтому у них не было средств визуализировать красоту и оценить некоторые из следствий многих из открытых ими узоров (например, множество Жюлиа можно было визуализировать только через несколько итераций в виде очень простых рисунков). [1] : 179  [33] [9] Однако это изменилось в 1960-х годах, когда Бенуа Мандельброт начал писать о самоподобии в таких статьях, как « Какова длина побережья Британии? Статистическое самоподобие и дробное измерение» , [37] [38] , которые основывались на более ранней работе Льюиса Фрая Ричардсона .

В 1975 году [31] Мандельброт закрепил сотни лет мысли и математического развития, создав слово «фрактал» и проиллюстрировав свое математическое определение поразительными визуализациями, созданными с помощью компьютера. Эти изображения, такие как его каноническое множество Мандельброта , захватили воображение людей; многие из них были основаны на рекурсии, что привело к популярному значению термина «фрактал». [39] [33] [8] [35]

В 1980 году Лорен Карпентер выступил с докладом на конференции SIGGRAPH , где представил свое программное обеспечение для создания и визуализации фрактально созданных ландшафтов. [40]

Определение и характеристики

Одно из часто цитируемых описаний, которое Мандельброт опубликовал для описания геометрических фракталов, это «грубая или фрагментированная геометрическая форма , которая может быть разделена на части, каждая из которых (по крайней мере приблизительно) является уменьшенной копией целого»; [1] это, как правило, полезно, но ограничено. Авторы расходятся во мнениях относительно точного определения фрактала , но большинство обычно подробно останавливаются на основных идеях самоподобия и необычных отношениях фракталов с пространством, в которое они встроены. [1] [5] [2] [4] [41]

Один из согласованных моментов заключается в том, что фрактальные узоры характеризуются фрактальными размерностями , но в то время как эти числа количественно характеризуют сложность (т. е. изменение деталей с изменением масштаба), они не описывают однозначно и не определяют детали того, как построить конкретные фрактальные узоры. [42] В 1975 году, когда Мандельброт придумал слово «фрактал», он сделал это для обозначения объекта, размерность Хаусдорфа-Безиковича которого больше его топологической размерности . [31] Однако это требование не выполняется кривыми, заполняющими пространство , такими как кривая Гильберта . [примечания 2]

Из-за трудностей, связанных с поиском единого определения для фракталов, некоторые утверждают, что фракталы вообще не должны быть строго определены. Согласно Фалконеру , фракталы должны быть охарактеризованы только в целом гештальтом следующих признаков; [2]

  • Точное самоподобие: идентичность во всех масштабах, например, снежинка Коха.
  • Квазисамоподобие: аппроксимирует один и тот же рисунок в разных масштабах; может содержать уменьшенные копии всего фрактала в искаженных и вырожденных формах; например, спутники множества Мандельброта являются аппроксимациями всего множества, но не точными копиями.
  • Статистическое самоподобие: повторяет шаблон стохастически, поэтому числовые или статистические меры сохраняются при любых масштабах; например, случайно сгенерированные фракталы, такие как хорошо известный пример береговой линии Британии, для которого нельзя было бы ожидать найти сегмент, масштабированный и повторяющийся так же точно, как повторяющаяся единица, определяющая фракталы, такие как снежинка Коха. [4]
  • Качественное самоподобие: как во временном ряду [13]
  • Мультифрактальное масштабирование: характеризуется более чем одним фрактальным измерением или правилом масштабирования.

Как группа, эти критерии формируют руководящие принципы для исключения определенных случаев, таких как те, которые могут быть самоподобными без наличия других типично фрактальных признаков. Прямая линия, например, самоподобна, но не фрактальна, поскольку в ней отсутствуют детали, и ее легко описать на евклидовом языке без необходимости рекурсии. [1] [4]

Распространенные методы создания фракталов

Самоподобный паттерн ветвления, смоделированный in silico с использованием принципов L-систем [21]

Изображения фракталов могут быть созданы программами генерации фракталов . Из-за эффекта бабочки небольшое изменение одной переменной может иметь непредсказуемый результат.

Фрактал, полученный с помощью правила конечного подразделения для чередующейся связи

Приложения

Моделированные фракталы

Фрактальные узоры были широко смоделированы, хотя и в диапазоне масштабов, а не бесконечно, из-за практических ограничений физического времени и пространства. Модели могут имитировать теоретические фракталы или природные явления с фрактальными характеристиками. Выходными данными процесса моделирования могут быть высокохудожественные визуализации, выходные данные для исследования или эталонные показатели для фрактального анализа . Некоторые конкретные приложения фракталов в технологиях перечислены в другом месте. Изображения и другие выходные данные моделирования обычно называются «фракталами», даже если они не имеют строго фрактальных характеристик, например, когда можно увеличить область фрактального изображения, которая не проявляет никаких фрактальных свойств. Кроме того, они могут включать вычислительные или отображаемые артефакты , которые не являются характеристиками истинных фракталов.

Смоделированные фракталы могут быть звуками, [17] цифровыми изображениями, электрохимическими узорами, циркадными ритмами , [49] и т. д. Фрактальные узоры были реконструированы в физическом 3-мерном пространстве [24] : 10  и виртуально, часто называемом моделированием « in silico ». [46] Модели фракталов обычно создаются с использованием программного обеспечения для генерации фракталов , которое реализует методы, подобные описанным выше. [4] [13] [24] В качестве одного из примеров, деревья, папоротники, клетки нервной системы, [21] кровеносная и легочная сосудистая система, [46] и другие разветвленные узоры в природе могут быть смоделированы на компьютере с использованием рекурсивных алгоритмов и методов L-систем . [21]

Рекурсивная природа некоторых моделей очевидна в некоторых примерах — ветка дерева или ветвь папоротника — это миниатюрная копия целого: не идентичная, но похожая по своей природе. Аналогично случайные фракталы использовались для описания/создания многих крайне нерегулярных объектов реального мира, таких как береговые линии и горы. Ограничением моделирования фракталов является то, что сходство фрактальной модели с природным явлением не доказывает, что моделируемое явление сформировано процессом, аналогичным алгоритмам моделирования.

Природные явления с фрактальными характеристиками

Приблизительные фракталы, обнаруженные в природе, демонстрируют самоподобие в расширенных, но конечных диапазонах масштабов. Например, связь между фракталами и листьями в настоящее время используется для определения того, сколько углерода содержится в деревьях. [50] Известные явления, имеющие фрактальные характеристики, включают:

Фракталы в клеточной биологии

Фракталы часто появляются в сфере живых организмов, где они возникают посредством процессов ветвления и других сложных структурных образований. Ян Вонг и его коллеги показали, что мигрирующие клетки могут образовывать фракталы посредством кластеризации и ветвления . [72] Нервные клетки функционируют посредством процессов на поверхности клеток, с явлениями, которые усиливаются за счет значительного увеличения отношения поверхности к объему. В результате нервные клетки часто образуют фрактальные структуры. [73] Эти процессы имеют решающее значение в клеточной физиологии и различных патологиях . [74]

Также обнаружено, что множественные субклеточные структуры собираются во фракталы. Диего Крапф показал, что посредством процессов ветвления актиновые нити в клетках человека собираются во фрактальные узоры. [75] Аналогичным образом Маттиас Вайс показал, что эндоплазматический ретикулум демонстрирует фрактальные особенности. [76] В настоящее время считается, что фракталы повсеместно распространены в клеточной биологии, от белков до органелл и целых клеток.

В творческих работах

С 1999 года многочисленные научные группы провели фрактальный анализ более 50 картин, созданных Джексоном Поллоком путем заливки краски непосредственно на горизонтальные холсты. [77] [78] [79]

Недавно фрактальный анализ был использован для достижения 93% успеха в различении настоящих Поллоков от поддельных. [80] Когнитивные нейробиологи показали, что фракталы Поллока вызывают такое же снижение стресса у наблюдателей, как и фракталы, созданные компьютером, и фракталы природы. [81]

Декалькомания — техника, используемая такими художниками, как Макс Эрнст , — позволяет создавать фрактальные узоры. [82] Она заключается в том, что краску вдавливают между двумя поверхностями и раздвигают их.

Кибернетик Рон Эглаш предположил, что фрактальная геометрия и математика распространены в африканском искусстве , играх, гадании , торговле и архитектуре. Круглые дома появляются в кругах кругов, прямоугольные дома в прямоугольниках прямоугольников и так далее. Такие масштабные узоры можно также найти в африканских тканях, скульптуре и даже прическах «корни». [27] [83] Хокки Ситунгкир также предположил схожие свойства в индонезийском традиционном искусстве, батике и орнаментах, найденных в традиционных домах. [84] [85]

Этноматематик Рон Эглаш обсудил планировку города Бенин , используя фракталы в качестве основы не только в самом городе и деревнях, но даже в комнатах домов. Он прокомментировал, что «Когда европейцы впервые приехали в Африку, они посчитали архитектуру очень неорганизованной и, следовательно, примитивной. Им никогда не приходило в голову, что африканцы могли использовать форму математики, которую они еще даже не открыли». [86]

В интервью 1996 года Майклу Сильверблатту Дэвид Фостер Уоллес объяснил, что структура первого черновика « Бесконечной шутки», который он передал своему редактору Майклу Питчу, была вдохновлена ​​фракталами, в частности треугольником Серпинского (он же салфетка Серпинского), но отредактированный роман «больше похож на перекошенную салфетку Серпинского» [26] .

Некоторые работы голландского художника М. К. Эшера , такие как «Предел круга III» , содержат фигуры, повторяющиеся до бесконечности и становящиеся все меньше и меньше по мере приближения к краям, в узоре, который всегда будет выглядеть одинаково при увеличении.

Эстетика и психологические эффекты дизайна на основе фракталов: [87] Широко распространенные в природе фрактальные узоры обладают самоподобными компонентами, которые повторяются в различных масштабах размера. На восприятие среды, созданной человеком, можно повлиять, включив эти естественные узоры. Предыдущая работа продемонстрировала последовательные тенденции в предпочтениях и оценках сложности фрактальных узоров. Однако была собрана ограниченная информация о влиянии других визуальных суждений. Здесь мы рассматриваем эстетический и перцептивный опыт фрактальных дизайнов «глобального леса», уже установленных в созданных человеком пространствах, и демонстрируем, как компоненты фрактальных узоров связаны с положительным психологическим опытом, который может быть использован для повышения благополучия жителей. Эти дизайны представляют собой составные фрактальные узоры, состоящие из отдельных фрактальных «семен деревьев», которые объединяются, чтобы создать «глобальный фрактальный лес». Локальные узоры «семена деревьев», глобальная конфигурация местоположений семян деревьев и общие результирующие узоры «глобального леса» имеют фрактальные качества. Эти проекты охватывают несколько сред, но все они предназначены для снижения стресса у обитателей, не отвлекая от функции и общего дизайна пространства. В этой серии исследований мы сначала устанавливаем расходящиеся отношения между различными визуальными атрибутами, при этом сложность узора, предпочтение и рейтинги вовлеченности увеличиваются с ростом фрактальной сложности по сравнению с рейтингами освежения и релаксации, которые остаются неизменными или уменьшаются с ростом сложности. Затем мы определяем, что локальные составляющие фрактальные узоры («семена деревьев») способствуют восприятию общего фрактального дизайна, и рассматриваем, как сбалансировать эстетические и психологические эффекты (такие как индивидуальный опыт воспринимаемого вовлечения и релаксации) в инсталляциях фрактального дизайна. Этот набор исследований демонстрирует, что фрактальное предпочтение обусловлено балансом между повышенным возбуждением (желанием вовлеченности и сложности) и сниженным напряжением (желанием расслабления или освежения). Инсталляции этих составных моделей «глобального леса» средней и высокой сложности, состоящих из компонентов «дерево-семя», уравновешивают эти контрастные потребности и могут служить практической реализацией биофильных моделей в созданной человеком среде для повышения благополучия жителей.

Физиологические реакции

Люди, по-видимому, особенно хорошо приспособлены к обработке фрактальных узоров с фрактальной размерностью от 1,3 до 1,5. [88] Когда люди видят фрактальные узоры с фрактальной размерностью от 1,3 до 1,5, это, как правило, снижает физиологический стресс. [89] [90]

Применение в технологиях

Смотрите также

Примечания

  1. ^ Оригинальная статья, Леви, Поль (1938). «Плоскости Курбов или мешки и поверхности, составленные из партий, похожих на все». Журнал Политехнической школы : 227–247, 249–291., переведено в Эдгаре, страницы 181–239.
  2. ^ Отображение кривой Гильберта не является гомеоморфизмом , поэтому оно не сохраняет топологическую размерность. Топологическая размерность и размерность Хаусдорфа образа отображения Гильберта в R 2 равны 2. Однако следует отметить, что топологическая размерность графика отображения Гильберта (множество в R 3 ) равна 1.

Ссылки

  1. ^ abcdefghijklmnop Мандельброт, Бенуа Б. (1983). Фрактальная геометрия природы. Macmillan. ISBN 978-0-7167-1186-5.
  2. ^ abcde Фальконер, Кеннет (2003). Фрактальная геометрия: математические основы и приложения . John Wiley & Sons. xxv. ISBN 978-0-470-84862-3.
  3. ^ ab Briggs, John (1992). Фракталы: Модели хаоса . Лондон: Thames and Hudson. стр. 148. ISBN 978-0-500-27693-8.
  4. ^ abcdefghij Вичек, Тамаш (1992). Явления фрактального роста . Сингапур/Нью-Джерси: World Scientific. стр. 31, 139–146. ISBN 978-981-02-0668-0.
  5. ^ abc Гуйе, Жан-Франсуа (1996). Физика и фрактальные структуры . Париж/Нью-Йорк: Masson Springer. ISBN 978-0-387-94153-0.
  6. ^ abc Мандельброт, Бенуа Б. (2004). Фракталы и хаос . Берлин: Шпрингер. п. 38. ISBN 978-0-387-20158-0. Фрактальное множество — это множество, для которого фрактальная (Хаусдорфа-Безиковича) размерность строго превышает топологическую размерность.
  7. ^ Segal, SL (июнь 1978 г.). «Пример Римана непрерывной «недифференцируемой» функции продолжился». The Mathematical Intelligencer . 1 (2): 81–82. doi :10.1007/BF03023065. S2CID  120037858.
  8. ^ abcdefgh Эдгар, Джеральд (2004). Классика о фракталах . Боулдер, Колорадо: Westview Press. ISBN 978-0-8133-4153-8.
  9. ^ abcdefghi Троше, Холли (2009). "История фрактальной геометрии". MacTutor History of Mathematics . Архивировано из оригинала 12 марта 2012 г.
  10. ^ Мандельброт, Бенуа (8 июля 2013 г.). «24/7 Лекция о фракталах». Премия Шнобеля 2006 г. Невероятные исследования. Архивировано из оригинала 11 декабря 2021 г.
  11. ^ Мандельброт, BB: Фрактальная геометрия природы. WH Freeman and Company, Нью-Йорк (1982); стр. 15.
  12. ^ Эдгар, Джеральд (2007). Мера, топология и фрактальная геометрия. Springer Science & Business Media. стр. 7. ISBN 978-0-387-74749-1.
  13. ^ abc Питерс, Эдгар (1996). Хаос и порядок на рынках капитала: новый взгляд на циклы, цены и волатильность рынка . Нью-Йорк: Wiley. ISBN 978-0-471-13938-6.
  14. ^ Крапивский, ПЛ; Бен-Наим, Э. (1994). «Мультимасштабирование в стохастических фракталах». Physics Letters A. 196 ( 3–4): 168. Bibcode :1994PhLA..196..168K. doi :10.1016/0375-9601(94)91220-3.
  15. ^ Хассан, МК; Роджерс, ГДж (1995). «Модели фрагментации и стохастические фракталы». Physics Letters A. 208 ( 1–2): 95. Bibcode : 1995PhLA..208...95H. doi : 10.1016/0375-9601(95)00727-k.
  16. ^ Хассан, МК; Павел, НИ; Пандит, РК; Куртс, Дж. (2014). «Диадическое множество Кантора и его кинетический и стохастический аналог». Хаос, солитоны и фракталы . 60 : 31–39. arXiv : 1401.0249 . Bibcode : 2014CSF....60...31H. doi : 10.1016/j.chaos.2013.12.010. S2CID  14494072.
  17. ^ ab Brothers, Harlan J. (2007). «Структурное масштабирование в сюите для виолончели № 3 Баха». Фракталы . 15 (1): 89–95. doi :10.1142/S0218348X0700337X.
  18. ^ ab Tan, Can Ozan; Cohen, Michael A.; Eckberg, Dwain L.; Taylor, J. Andrew (2009). «Фрактальные свойства изменчивости периода человеческого сердца: физиологические и методологические последствия». Журнал физиологии . 587 (15): 3929–41. doi :10.1113/jphysiol.2009.169219. PMC 2746620. PMID  19528254 . 
  19. ^ ab Liu, Jing Z.; Zhang, Lu D.; Yue, Guang H. (2003). «Фрактальная размерность человеческог о мозжечка, измеренная с помощью магнитно-резонансной томографии». Biophysical Journal . 85 (6): 4041–4046. Bibcode :2003BpJ....85.4041L. doi :10.1016/S0006-3495(03)74817-6. PMC 1303704 . PMID  14645092. 
  20. ^ ab Karperien, Audrey L.; Jelinek, Herbert F.; Buchan, Alastair M. (2008). «Анализ формы микроглии с помощью подсчета ячеек при шизофрении, болезни Альцгеймера и аффективном расстройстве». Fractals . 16 (2): 103. doi :10.1142/S0218348X08003880.
  21. ^ abcde Jelinek, Herbert F.; Karperien, Audrey; Cornforth, David; Cesar, Roberto; Leandro, Jorge de Jesus Gomes (2002). "MicroMod-an L-systems approach to neural modelling". В Sarker, Ruhul (ред.). Труды семинара: Шестой австралийско-японский совместный семинар по интеллектуальным и эволюционным системам, University House, ANU. Университет Нового Южного Уэльса. ISBN 978-0-7317-0505-4. OCLC  224846454 . Получено 3 февраля 2012 г. . Место проведения: Канберра, Австралия
  22. ^ ab Hu, Shougeng; Cheng, Qiuming; Wang, Le; Xie, Shuyun (2012). «Мультифрактальная характеристика цены на городскую жилую землю в пространстве и времени». Прикладная география . 34 : 161–170. Bibcode : 2012AppGe..34..161H. doi : 10.1016/j.apgeog.2011.10.016.
  23. ^ ab Karperien, Audrey; Jelinek, Herbert F.; Leandro, Jorge de Jesus Gomes; Soares, João VB; Cesar Jr, Roberto M.; Luckie, Alan (2008). «Автоматизированное обнаружение пролиферативной ретинопатии в клинической практике». Клиническая офтальмология . 2 (1): 109–122. doi : 10.2147/OPTH.S1579 . PMC 2698675. PMID  19668394 . 
  24. ^ abcd Лоса, Габриэле А.; Нонненмахер, Тео Ф. (2005). Фракталы в биологии и медицине. Springer. ISBN 978-3-7643-7172-2.
  25. ^ abc Vannucchi, Paola; Leoni, Lorenzo (2007). «Структурная характеристика деколлемент Коста-Рики: доказательства сейсмически-индуцированной пульсации жидкости». Earth and Planetary Science Letters . 262 (3–4): 413. Bibcode : 2007E&PSL.262..413V. doi : 10.1016/j.epsl.2007.07.056. hdl : 2158/257208 . S2CID  128467785.
  26. ^ ab Wallace, David Foster (4 августа 2006 г.). "Bookworm on KCRW". Kcrw.com. Архивировано из оригинала 11 ноября 2010 г. Получено 17 октября 2010 г.
  27. ^ ab Eglash, Ron (1999). «Африканские фракталы: современные вычисления и местный дизайн». New Brunswick: Rutgers University Press. Архивировано из оригинала 3 января 2018 г. Получено 17 октября 2010 г.
  28. ^ ab Оствальд, Майкл Дж. и Воган, Жозефина (2016) Фрактальное измерение архитектуры Бирхаузер, Базель. doi : 10.1007/978-3-319-32426-5.
  29. ^ Барангер, Майкл. «Хаос, сложность и энтропия: лекция по физике для нефизиков» (PDF) .
  30. ^ Бенуа Мандельброт, Фракталы Объектов , 1975, с. 4
  31. ^ abcd Albers, Donald J.; Alexanderson, Gerald L. (2008). "Бенуа Мандельброт: своими словами". Математические люди: профили и интервью . Wellesley, MA: AK Peters. стр. 214. ISBN 978-1-56881-340-0.
  32. ^ "fractal" . Оксфордский словарь английского языка (Электронная правка). Oxford University Press . (Требуется подписка или членство в участвующем учреждении.)
  33. ^ abcd Гордон, Найджел (2000). Введение во фрактальную геометрию. Duxford: Icon. стр. 71. ISBN 978-1-84046-123-7.
  34. ^ Эглаш, Рон (1999). Африканские фракталы, современные вычисления и дизайн коренных народов . Издательство Ратгерского университета. ISBN 978-0-8135-2613-3.
  35. ^ ab Pickover, Clifford A. (2009). The Math Book: From Pythagoras to the 57th Dimension, 250 Milestones in the History of Mathematics. Sterling. стр. 310. ISBN 978-1-4027-5796-9.
  36. ^ "Фрактальная геометрия". www-history.mcs.st-and.ac.uk . Получено 11 апреля 2017 г. .
  37. ^ Mandelbrot, B. (1967). «How Long Is the Coast of Britain?». Science . 156 (3775): 636–638. Bibcode :1967Sci...156..636M. doi :10.1126/science.156.3775.636. PMID  17837158. S2CID  15662830. Архивировано из оригинала 19 октября 2021 г. Получено 31 октября 2020 г.
  38. ↑ Бэтти, Майкл (4 апреля 1985 г.). «Фракталы – геометрия между измерениями». New Scientist . 105 (1450): 31.
  39. ^ Расс, Джон С. (1994). Фрактальные поверхности. Т. 1. Springer. стр. 1. ISBN 978-0-306-44702-0. Получено 5 февраля 2011 г. .
  40. ^ "Vol Libre, потрясающий фильм CG 1980 года". kottke.org . 29 июля 2009 г. Получено 12 февраля 2023 г.
  41. ^ Эдгар, Джеральд (2008). Мера, топология и фрактальная геометрия . Нью-Йорк: Springer-Verlag. С. 1. ISBN 978-0-387-74748-4.
  42. ^ Карпериен, Одри (2004). Определение морфологии микроглии: форма, функция и фрактальная размерность . Университет Чарльза Стерта. doi :10.13140/2.1.2815.9048.
  43. ^ Спенсер, Джон; Томас, Майкл SC; Макклелланд, Джеймс Л. (2009). К единой теории развития: переосмысление теории коннекционизма и динамических систем . Оксфорд/Нью-Йорк: Oxford University Press. ISBN 978-0-19-530059-8.
  44. ^ Фрейм, Ангус (3 августа 1998 г.). «Системы итерированных функций». В Pickover, Clifford A. (ред.). Хаос и фракталы: компьютерное графическое путешествие: десятилетняя компиляция передовых исследований. Elsevier. С. 349–351. ISBN 978-0-444-50002-1. Получено 4 февраля 2012 г. .
  45. ^ "Haferman Carpet". WolframAlpha . Получено 18 октября 2012 г. .
  46. ^ abcd Hahn, Horst K.; Georg, Manfred; Peitgen, Heinz-Otto (2005). «Фрактальные аспекты трехмерной сосудистой конструктивной оптимизации». В Losa, Gabriele A.; Nonnenmacher, Theo F. (ред.). Фракталы в биологии и медицине. Springer. стр. 55–66. ISBN 978-3-7643-7172-2.
  47. ^ JW Cannon, WJ Floyd, WR Parry. Правила конечного подразделения . Конформная геометрия и динамика, т. 5 (2001), стр. 153–196.
  48. ^ Карбоне, Алессандра; Громов, Михаил; Прусинкевич, Прземыслав (2000). Формирование паттернов в биологии, зрении и динамике. World Scientific. ISBN 978-981-02-3792-9.
  49. ^ Фатхаллах-Шейх, Хассан М. (2011). «Фрактальное измерение циркадных часов дрозофилы». Фракталы . 19 (4): 423–430. doi :10.1142/S0218348X11005476.
  50. ^ "Охота на скрытое измерение". Nova . PBS. WPMB-Maryland. 28 октября 2008 г.
  51. ^ Садег, Саназ (2017). «Плазматическая мембрана разделена на отсеки самоподобной кортикальной актиновой сетью». Physical Review X . 7 (1): 011031. arXiv : 1702.03997 . Bibcode :2017PhRvX...7a1031S. doi :10.1103/PhysRevX.7.011031. PMC 5500227 . PMID  28690919. 
  52. ^ Фальконер, Кеннет (2013). Фракталы, очень краткое введение . Oxford University Press.
  53. ^ Лавджой, Шон (1982). «Отношение площади к периметру для дождевых и облачных областей». Science . 216 (4542): 185–187. Bibcode :1982Sci...216..185L. doi :10.1126/science.216.4542.185. PMID  17736252. S2CID  32255821.
  54. ^ Кэннон, Джеймс У.; Флойд, Уильям Дж.; Перри, Уолтер Р. (2000). «Рост кристаллов, биологический рост клеток и геометрия». В Carbone, Алессандра; Громов, Михаил; Прусинкевич, Прземыслав (ред.). Формирование паттернов в биологии, зрении и динамике . World Scientific. стр. 65–82. ISBN 978-981-02-3792-9.
  55. ^ Сингх, Чамкор; Мацца, Марко (2019), «Электрификация гранулярных газов приводит к ограниченному фрактальному росту», Scientific Reports , 9 (1), Nature Publishing Group: 9049, arXiv : 1812.06073 , Bibcode : 2019NatSR...9.9049S, doi : 10.1038/s41598-019-45447-x , PMC 6588598 , PMID  31227758 
  56. ^ Sornette, Didier (2004). Критические явления в естественных науках: хаос, фракталы, самоорганизация и беспорядок: концепции и инструменты . Springer. С. 128–140. ISBN 978-3-540-40754-6.
  57. ^ ab Sweet, D.; Ott, E.; Yorke, JA (1999), "Сложная топология в хаотическом рассеянии: лабораторное наблюдение", Nature , 399 (6734): 315, Bibcode : 1999Natur.399..315S, doi : 10.1038/20573, S2CID  4361904
  58. ^ D. Seekell; B. Cael; E. Lindmark; P. Byström (2021). "Фрактальное масштабное соотношение для речных заливов в озера". Geophysical Research Letters . 48 (9): e2021GL093366. Bibcode : 2021GeoRL..4893366S. doi : 10.1029/2021GL093366. ISSN  0094-8276. S2CID  235508504.
  59. ^ D. Seekell; ML Pace; LJ Tranvik; C. Verpoorter (2013). "Фрактальный подход к распределению размеров озер" (PDF) . Geophysical Research Letters . 40 (3): 517–521. Bibcode :2013GeoRL..40..517S. doi :10.1002/grl.50139. S2CID  14482711.
  60. ^ BB Cael; DA Seekell (2016). «Распределение размеров озер Земли». Scientific Reports . 6 : 29633. Bibcode : 2016NatSR...629633C. doi : 10.1038/srep29633. PMC 4937396. PMID  27388607 . 
  61. ^ Эддисон, Пол С. (1997). Фракталы и хаос: иллюстрированный курс. CRC Press. С. 44–46. ISBN 978-0-7503-0400-9. Получено 5 февраля 2011 г. .
  62. ^ Энрайт, Мэтью Б.; Лейтнер, Дэвид М. (27 января 2005 г.). «Массовая фрактальная размерность и компактность белков». Physical Review E. 71 ( 1): 011912. Bibcode : 2005PhRvE..71a1912E. doi : 10.1103/PhysRevE.71.011912. PMID  15697635.
  63. ^ Takeda, T; Ishikawa, A; Ohtomo, K; Kobayashi, Y; Matsuoka, T (февраль 1992 г.). «Фрактальная размерность дендритного дерева мозжечковых клеток Пуркинье во время онто- и филогенетического развития». Neurosci Research . 13 (1): 19–31. doi :10.1016/0168-0102(92)90031-7. PMID  1314350. S2CID  4158401.
  64. ^ Такаясу, Х. (1990). Фракталы в физических науках. Манчестер: Manchester University Press. стр. 36. ISBN 978-0-7190-3434-3.
  65. ^ Jun, Li; Ostoja-Starzewski, Martin (1 апреля 2015 г.). «Края колец Сатурна фрактальны». SpringerPlus . 4, 158: 158. doi : 10.1186/s40064-015-0926-6 . PMC 4392038 . PMID  25883885. 
  66. ^ Тарботон, Дэвид Дж; Брас, Рафаэль Л; Родригес-Итурбе, Игнасио (1988). «Фрактальная природа речных сетей». Исследования водных ресурсов . 24 (8): 1317. Бибкод : 1988WRR....24.1317T. дои : 10.1029/WR024i008p01317.
  67. ^ Мейер, Ив; Рок, Сильви (1993). Прогресс в вейвлет-анализе и приложениях: труды Международной конференции «Вейвлеты и приложения», Тулуза, Франция – июнь 1992 г. Atlantica Séguier Frontières. стр. 25. ISBN 978-2-86332-130-0. Получено 5 февраля 2011 г. .
  68. ^ Ожован М.И., Дмитриев И.Е., Батюхнова О.Г. Фрактальная структура пор глинистого грунта // Атомная энергия, 1993, № 74, с. 241–243.
  69. ^ Шринивасан, KR; Менево, C. (1986). «Фрактальные грани турбулентности». Журнал механики жидкости . 173 : 357–386. Bibcode : 1986JFM...173..357S. doi : 10.1017/S0022112086001209. S2CID  55578215.
  70. ^ de Silva, CM; Philip, J.; Chauhan, K.; Meneveau, C.; Marusic, I. (2013). «Многомасштабная геометрия и масштабирование интерфейса турбулентности и нетурбулентности в пограничных слоях с высоким числом Рейнольдса». Phys. Rev. Lett . 111 (6039): 192–196. Bibcode :2011Sci...333..192A. doi :10.1126/science.1203223. PMID  21737736. S2CID  22560587.
  71. ^ Мандельброт, Бенуа Б. (1978). «Фрактальная геометрия деревьев и других природных явлений». Геометрическая вероятность и биологические структуры: 200-летие Бюффона: Труды двухсотлетнего симпозиума Бюффона по геометрической вероятности, анализу изображений, математической стереологии и их значимости для определения биологических структур : 235–249.
  72. ^ Леггетт, Сьюзан Э.; Неронха, Закари Дж.; Бхаскар, Дхананджай; Сим, Джи Юн; Пердикари, Теодора Мирто; Вонг, Ян И. (27 августа 2019 г.). «Ограниченная подвижностью агрегация эпителиальных клеток молочной железы в фракталоподобные кластеры». Труды Национальной академии наук . 116 (35): 17298–17306. Bibcode : 2019PNAS..11617298L. doi : 10.1073/pnas.1905958116 . ISSN  0027-8424. PMC 6717304. PMID 31413194  . 
  73. ^ Jelinek, Herbert F; Fernandez, Eduardo (июнь 1998). «Нейроны и фракталы: насколько надежны и полезны вычисления фрактальных размерностей?». Journal of Neuroscience Methods . 81 (1–2): 9–18. doi :10.1016/S0165-0270(98)00021-1. PMID  9696304. S2CID  3811866.
  74. ^ Кросс, Саймон С. (1997). «Фракталы в патологии». Журнал патологии . 182 (1): 1–8. doi : 10.1002/(SICI)1096-9896(199705)182:1<1::AID-PATH808>3.0.CO;2-B . ISSN  1096-9896. PMID  9227334. S2CID  23274235.
  75. ^ Садег, Саназ; Хиггинс, Дженни Л.; Маннион, Патрик К.; Тамкун, Майкл М.; Крапф, Диего (9 марта 2017 г.). «Плазматическая мембрана разделена на отсеки самоподобной кортикальной актиновой сетью». Physical Review X . 7 (1): 011031. Bibcode :2017PhRvX...7a1031S. doi :10.1103/PhysRevX.7.011031. ISSN  2160-3308. PMC 5500227 . PMID  28690919. 
  76. ^ Шпекнер, Константин; Штадлер, Лоренц; Вайс, Маттиас (9 июля 2018 г.). «Аномальная динамика сети эндоплазматического ретикулума». Physical Review E . 98 (1): 012406. Bibcode :2018PhRvE..98a2406S. doi :10.1103/PhysRevE.98.012406. ISSN  2470-0045. PMID  30110830. S2CID  52010780.
  77. ^ Тейлор, РП; и др. (1999). «Фрактальный анализ капельных картин Поллока». Nature . 399 (6735): 422. Bibcode :1999Natur.399..422T. doi : 10.1038/20833 . S2CID  204993516.
  78. ^ Тейлор, RP; и др. (2006). «Фрактальный анализ: переосмысление картин Поллока (ответ)». Nature . 444 (7119): E10–11. Bibcode :2006Natur.444E..10T. doi :10.1038/nature05399. S2CID  31353634.
  79. ^ Ли, С.; Олсен, С.; Гуч, Б. (2007). «Моделирование и анализ картин Джексона Поллока». Журнал математики и искусств . 1 (2): 73–83. CiteSeerX 10.1.1.141.7470 . doi :10.1080/17513470701451253. S2CID  8529592. 
  80. ^ Шамар, Л. (2015). «Что делает поллок поллоком: подход с использованием машинного зрения» (PDF) . Международный журнал искусств и технологий . 8 : 1–10. CiteSeerX 10.1.1.647.365 . doi :10.1504/IJART.2015.067389. Архивировано из оригинала (PDF) 25 октября 2017 г. . Получено 24 октября 2017 г. . 
  81. ^ Тейлор, RP; Спехар, B.; Ван Донкелар, P.; Хагерхолл, CM (2011). «Перцептивные и физиологические реакции на фракталы Джексона Поллока». Frontiers in Human Neuroscience . 5 : 1–13. doi : 10.3389/fnhum.2011.00060 . PMC 3124832. PMID  21734876 . 
  82. ↑ Фрейм, Майкл; и Мандельброт, Бенуа Б.; Панорама фракталов и их применение. Архивировано 23 декабря 2007 г. на Wayback Machine.
  83. ^ Нельсон, Брин (23 февраля 2000 г.). «Сложная математика, лежащая в основе дизайна африканских деревень / Фрактальные узоры используют повторение в больших и малых масштабах». SFGATE . Получено 12 февраля 2023 г.
  84. ^ Ситунгкир, Хокки; Дахлан, Ролан (2009). Физика батика: реализация творческих решений, фрактал пада батик, секара вычислений . Джакарта: Грамедиа Пустака Утама. ISBN 978-979-22-4484-7 
  85. ^ Рулистия, Новиа Д. (6 октября 2015 г.). «Приложение отображает историю батика нации». The Jakarta Post . Получено 25 сентября 2016 г.
  86. ^ Кутонин, Мавуна (18 марта 2016 г.). «История городов № 5: Бенин-Сити, могущественная средневековая столица, ныне затерянная без следа». Получено 2 апреля 2018 г.
  87. ^ Роблес, Келли Э.; Робертс, Мишель; Виенгхам, Кэтрин; Смит, Джулиан Х.; Роуленд, Конор; Мослехи, Саба; Штадлобер, Сабрина; Лесяк, Анастасия; Лесяк, Мартин; Тейлор, Ричард П.; Спехар, Бранка; Серено, Маргарет Э. (2021). «Эстетика и психологические эффекты фрактального дизайна». Frontiers in Psychology . 12. doi : 10.3389/fpsyg.2021.699962 . ISSN 1664-1078  . PMC 8416160. PMID  34484047 . 
  88. ^ Тейлор, Ричард П. (2016). «Фрактальная беглость: тесная связь между мозгом и обработкой фрактальных стимулов». В Ди Иева, Антонио (ред.). Фрактальная геометрия мозга . Серия Springer по вычислительной нейронауке. Springer. стр. 485–496. ISBN 978-1-4939-3995-4.
  89. ^ Тейлор, Ричард П. (2006). «Снижение физиологического стресса с помощью фрактального искусства и архитектуры». Leonardo . 39 (3): 245–251. doi :10.1162/leon.2006.39.3.245. S2CID  8495221.
  90. ^ Для дальнейшего обсуждения этого эффекта см. Taylor, Richard P.; Spehar, Branka; Donkelaar, Paul Van; Hagerhall, Caroline M. (2011). "Perceptual and Physiological Responses to Jackson Pollock's Fractals". Frontiers in Human Neuroscience . 5 : 60. doi : 10.3389/fnhum.2011.00060 . PMC 3124832 . PMID  21734876. 
  91. ^ Хольфельд, Роберт Г.; Коэн, Натан (1999). «Самоподобие и геометрические требования для независимости частот в антеннах». Фракталы . 7 (1): 79–84. doi :10.1142/S0218348X99000098.
  92. ^ Райнер, Ричард; Вальтерайт, Патрик; Бенхелифа, Фуад; Мюллер, Стефан; Вальхер, Герберт; Вагнер, Сандрин; Куэй, Рюдигер; Шлехтвег, Михаэль; Амбахер, Оливер; Амбахер, О. (2012). "Фрактальные структуры для низкоомных транзисторов большой площади AlGaN/GaN". 2012 24-й Международный симпозиум по силовым полупроводниковым приборам и ИС . С. 341–344. doi :10.1109/ISPSD.2012.6229091. ISBN 978-1-4577-1596-9. S2CID  43053855.
  93. ^ Zhiwei Huang; Yunho Hwang; Vikrant Aute; Reinhard Radermacher (2016). "Обзор фрактальных теплообменников" (PDF) Международная конференция по охлаждению и кондиционированию воздуха . Статья 1725{{cite web}}: CS1 maint: постскриптум ( ссылка )
  94. ^ Чэнь, Яньгуан (2011). «Моделирование фрактальной структуры распределений по размеру городов с использованием корреляционных функций». PLOS ONE . ​​6 (9): e24791. arXiv : 1104.4682 . Bibcode :2011PLoSO...624791C. doi : 10.1371/journal.pone.0024791 . PMC 3176775 . PMID  21949753. 
  95. ^ "Приложения". Архивировано из оригинала 12 октября 2007 г. Получено 21 октября 2007 г.
  96. ^ Асуа-Бустос, Армандо; Вега-Мартинес, Кристиан (октябрь 2013 г.). ""Обнаружение 'жизни, какой мы ее не знаем' с помощью фрактального анализа"". Международный журнал астробиологии . 12 (4): 314–320. doi :10.1017/S1473550413000177. hdl : 11336/26238 . S2CID  122793675.
  97. ^ Смит, Роберт Ф.; Мор, Дэвид Н.; Торрес, Висенте Э.; Оффорд, Кеннет П.; Мелтон III, Л. Джозеф (1989). «Почечная недостаточность у пациентов со слабой бессимптомной микрогематурией». Труды клиники Майо . 64 (4): 409–414. doi :10.1016/s0025-6196(12)65730-9. PMID  2716356.
  98. ^ Ландини, Габриэль (2011). «Фракталы в микроскопии». Журнал микроскопии . 241 (1): 1–8. doi :10.1111/j.1365-2818.2010.03454.x. PMID  21118245. S2CID  40311727.
  99. ^ Чэн, Цюмин (1997). «Мультифрактальное моделирование и анализ лакунарности». Математическая геология . 29 (7): 919–932. Bibcode : 1997MatG...29..919C. doi : 10.1023/A:1022355723781. S2CID  118918429.
  100. ^ Чэнь, Яньгуан (2011). «Моделирование фрактальной структуры распределений по размеру городов с использованием корреляционных функций». PLOS ONE . ​​6 (9): e24791. arXiv : 1104.4682 . Bibcode :2011PLoSO...624791C. doi : 10.1371/journal.pone.0024791 . PMC 3176775 . PMID  21949753. 
  101. ^ Беркл-Элизондо, Херардо; Вальдес-Сепеда, Рикардо Дэвид (2006). «Фрактальный анализ мезоамериканских пирамид». Нелинейная динамика, психология и науки о жизни . 10 (1): 105–122. PMID  16393505.
  102. ^ Браун, Клиффорд Т.; Витчей, Уолтер РТ; Либович, Ларри С. (2005). «Разбитое прошлое: фракталы в археологии». Журнал археологического метода и теории . 12 : 37–78. doi :10.1007/s10816-005-2396-6. S2CID  7481018.
  103. ^ Саиди, Пантеха; Соренсен, Сорен А. (2009). «Алгоритмический подход к созданию испытательных полей после катастроф для агентов поиска и спасения» (PDF) . Труды Всемирного конгресса по инжинирингу 2009 : 93–98. ISBN 978-988-17-0125-1.
  104. ^ "Внутренности графического процессора" (PDF) .
  105. ^ "патенты Sony".
  106. ^ "описание текстур с завитками и гибридных плиточных текстур с завитками".
  107. ^ "US8773422B1 - Система, метод и компьютерный программный продукт для группировки линейно упорядоченных примитивов". Google Patents . 4 декабря 2007 г. Получено 28 декабря 2019 г.
  108. ^ "US20110227921A1 - Обработка данных трехмерной компьютерной графики на нескольких шейдерных движках". Google Patents . 15 декабря 2010 г. Получено 27 декабря 2019 г.
  109. ^ «База данных турбулентности Университета Джонса Хопкинса».
  110. ^ Li, Y.; Perlman, E.; Wang, M.; Yang, y.; Meneveau, C.; Burns, R.; Chen, S.; Szalay, A.; Eyink, G. (2008). "Кластер общедоступной базы данных по турбулентности и ее применение для изучения лагранжевой эволюции приращений скорости в турбулентности". Journal of Turbulence . 9 : N31. arXiv : 0804.1703 . Bibcode :2008JTurb...9...31L. doi :10.1080/14685240802376389. S2CID  15768582.

Дальнейшее чтение

Внешние ссылки

На Викискладе есть медиафайлы по теме «Фрактал».
В Wikibooks есть книга по теме: Фракталы