Лакунарность

Термин в геометрии и фрактальном анализе

Рисунок 1. Базовые фрактальные узоры, увеличивающиеся по лакунарности слева направо.

Те же изображения, что и выше, повернутые на 90°. В то время как первые два изображения выглядят по сути такими же, как и выше, третье выглядит иначе, чем его не повернутый оригинал. Эта особенность зафиксирована в показателях лакунарности, перечисленных в верхней части рисунков, рассчитанных с использованием стандартного программного обеспечения для подсчета ячеек биологической визуализации FracLac, Image.

Лакунарность , от латинского lacuna, что означает «пробел» или «озеро», является специализированным термином в геометрии, относящимся к мере того, как узоры, особенно фракталы , заполняют пространство, где узоры, имеющие больше или большие пробелы, как правило, имеют более высокую лакунарность. Помимо того, что это интуитивная мера пробелов, лакунарность может количественно определять дополнительные характеристики узоров, такие как «вращательная инвариантность» и, в более общем смысле, неоднородность. ^{[1] [2] [3]} Это проиллюстрировано на рисунке 1, показывающем три фрактальных узора. При повороте на 90° первые два довольно однородных узора, по-видимому, не меняются, но третий, более неоднородный рисунок, изменяется и имеет соответственно более высокую лакунарность. Самое раннее упоминание этого термина в геометрии обычно приписывается Бенуа Мандельброту , который в 1983 году или, возможно, еще в 1977 году ввел его как, по сути, дополнение к фрактальному анализу . ^[4] Анализ лакунарности в настоящее время используется для характеристики закономерностей в самых разных областях и, в частности, применяется в мультифрактальном анализе ^{[5] [6]} (см. Приложения).

Измерение лакунарности

Во многих шаблонах или наборах данных лакунарность нелегко распознать или количественно оценить, поэтому были разработаны компьютерные методы для ее вычисления. Как измеримая величина, лакунарность часто обозначается в научной литературе греческими буквами или , но важно отметить, что единого стандарта не существует, и существует несколько различных методов оценки и интерпретации лакунарности. ${\displaystyle \Lambda }$ ${\displaystyle \lambda }$

Недостаток подсчета ящиков

Рисунок 2а. Ящики, наложенные на изображение в виде фиксированной сетки.

Рисунок 2б. Ящики скользят по изображению, накладываясь друг на друга.

Один из известных методов определения лакунарности для узоров, извлеченных из цифровых изображений, использует подсчет ящиков , тот же основной алгоритм, который обычно используется для некоторых типов фрактального анализа . ^{[1] [4]} Подобно просмотру слайда через микроскоп с изменяющимися уровнями увеличения, алгоритмы подсчета ящиков рассматривают цифровое изображение с многих уровней разрешения, чтобы изучить, как определенные характеристики изменяются с размером элемента, используемого для проверки изображения. В основном, расположение пикселей измеряется с использованием традиционно квадратных (т. е. коробчатых) элементов из произвольного набора размеров, условно обозначаемых s. Для каждого ящик размера последовательно размещается на изображении, в конечном итоге полностью покрывая его, и каждый раз, когда он накладывается, регистрируется количество пикселей, которые попадают в ящик. ^{[примечание 1]} При стандартном подсчете блоков блок для каждого in размещается так, как если бы он был частью сетки, наложенной на изображение, так что блок не перекрывает сам себя, но в алгоритмах скользящего блока блок перемещается по изображению так, чтобы он перекрывал сам себя, и вычисляется «лакунарность скользящего блока» или SLac. ^{[3] [7]} На рисунке 2 показаны оба типа подсчета блоков. ${\displaystyle \mathrm {E} }$ ${\displaystyle \varepsilon }$ ${\displaystyle \varepsilon }$ ${\displaystyle \varepsilon }$ ${\displaystyle \varepsilon }$ ${\displaystyle \mathrm {E} }$

Расчеты по подсчету ящиков

Собранные для каждого данные обрабатываются для вычисления лакунарности. Одна мера, обозначенная здесь как , находится из коэффициента вариации ( ), вычисленного как стандартное отклонение ( ), деленное на среднее значение ( ), для пикселей на блок. ^{[1] [3] [6]} Поскольку способ выборки изображения будет зависеть от произвольного начального местоположения, для любого изображения, выбранного в любой момент, будет некоторое количество ( ) возможных ориентаций, каждая из которых обозначена здесь как , по которым могут быть собраны данные, что может иметь различные эффекты на измеренное распределение пикселей. ^{[5] [примечание 2]} Уравнение 1 показывает основной метод вычисления : ${\displaystyle \varepsilon }$ ${\displaystyle \lambda _{\varepsilon }}$ ${\displaystyle {\mathit {CV}}}$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \varepsilon }$ ${\displaystyle {\mathit {G}}}$ ${\displaystyle {\mathit {g}}}$ ${\displaystyle \lambda _{\varepsilon ,g}}$

Распределение вероятностей

В качестве альтернативы некоторые методы сортируют количество подсчитанных пикселей в распределение вероятностей, имеющее ячейки , и используют размеры ячеек (массы, ) и соответствующие им вероятности ( ) для расчета согласно уравнениям 2–5 : ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle \lambda _{\varepsilon ,g}}$

Устный переводλ

Лакунарность, основанная на оценивалась несколькими способами, в том числе с использованием вариации или среднего значения для каждого (см. уравнение 6 ) и с использованием вариации или среднего значения по всем сеткам (см. уравнение 7 ). ^{[1] [5] [7] [8]} ${\displaystyle \lambda _{\varepsilon ,g}}$ ${\displaystyle \lambda _{\varepsilon ,g}}$ ${\displaystyle \varepsilon }$

Связь с фрактальной размерностью

Анализ лакунарности с использованием типов значений, обсуждавшихся выше, показал, что наборы данных, извлеченные из плотных фракталов, из узоров, которые мало меняются при вращении, или из узоров, которые являются однородными, имеют низкую лакунарность, но по мере увеличения этих характеристик ^{[ необходимо разъяснение ]} лакунарность, как правило, увеличивается. В некоторых случаях было продемонстрировано, что фрактальные размеры и значения лакунарности коррелируют, ^[1] но более поздние исследования показали, что эта связь не сохраняется для всех типов узоров и мер лакунарности. ^[5] Действительно, как изначально предполагал Мандельброт, было показано, что лакунарность полезна для различения узоров (например, фракталов, текстур и т. д.), которые разделяют или имеют схожие фрактальные размеры в различных научных областях, включая нейронауку. ^[8]

Графическая лакунарность

Другие методы оценки лакунарности из данных подсчета ящиков используют взаимосвязь между значениями лакунарности (например, ) и способами, отличными от указанных выше. Один из таких методов рассматривает график vs этих значений. Согласно этому методу, сама кривая может быть проанализирована визуально, или наклон может быть рассчитан из линии регрессии vs. ^{[3] [7]} Поскольку они имеют тенденцию вести себя определенным образом для соответственно моно-, мульти- и нефрактальных паттернов, графики лакунарности vs использовались для дополнения методов классификации таких паттернов. ^{[5] [8]} ${\displaystyle \lambda _{\varepsilon ,g}}$ ${\displaystyle \varepsilon }$ ${\displaystyle \ln }$ ${\displaystyle \ln }$ ${\displaystyle {\mathit {g}}}$ ${\displaystyle \ln }$ ${\displaystyle \ln }$ ${\displaystyle \ln }$ ${\displaystyle \ln }$

Чтобы построить графики для этого типа анализа, данные подсчета ящиков сначала необходимо преобразовать, как в уравнении 9 :

Это преобразование позволяет избежать неопределенных значений, что важно, поскольку однородные изображения будут иметь в некоторой степени 0, так что наклон линии регрессии vs будет невозможно найти. При однородные изображения имеют наклон 0, что интуитивно соответствует идее отсутствия вращательной или трансляционной инвариантности и отсутствия зазоров. ^[9] ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle \varepsilon }$ ${\displaystyle \ln }$ ${\displaystyle \ln }$ ${\displaystyle f\lambda _{\varepsilon ,g}}$

Один из методов подсчета ячеек с использованием «скользящего» ящика вычисляет лакунарность по формуле:

${\displaystyle S_{i}}$— это количество заполненных точек данных в блоке и нормализованное распределение частот для различных размеров блоков. ${\displaystyle Q(S_{i},r)}$ ${\displaystyle S_{i}}$

Префакторная лакунарность

Другой предложенный способ оценки лакунарности с использованием подсчета ящиков, метод префактора , основан на значении, полученном из подсчета ящиков для фрактальной размерности ( ). Эта статистика использует переменную из правила масштабирования , где вычисляется из y-пересечения ( ) линии регрессии ln-ln для и либо количество ( ) ящиков, в которых вообще были какие-либо пиксели, либо при . в частности, зависит от размера изображения и способа сбора данных, особенно от нижнего предела используемого s. Окончательная мера вычисляется, как показано в уравнениях 11–13 : [ ^1] [ ^4] ${\displaystyle D_{B}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle N=A\varepsilon ^{-D_{B}}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle {\mathit {y}}}$ ${\displaystyle \varepsilon }$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \varepsilon }$

Приложения

Ниже приведен список некоторых областей, в которых лакунарность играет важную роль, а также ссылки на соответствующие исследования, иллюстрирующие практическое использование лакунарности.

• Экология ^[2]
• Физика ^[10]
• Археология ^[11]
• Медицинская визуализация ^{[6] [12]}
• Анализ городского пространства ^{[13] [14]}
• Сейсмические исследования ^[15]
• Стоматология ^[16]
• Наука о продуктах питания ^[17]

Примечания

1. Это контрастирует с фрактальным анализом с подсчетом ячеек , где для определения фрактальной размерности подсчитывается общее количество ячеек, содержащих какие-либо пиксели .
2. См. FracLac, Box Counting для объяснения методов решения проблемы вариации в зависимости от местоположения сетки.

Ссылки

1. Смит, TG; Ланге, GD; Маркс, WB (1996). «Фрактальные методы и результаты в клеточной морфологии — измерения, лакунарность и мультифракталы». Журнал методов нейронауки . 69 (2): 123–136. doi :10.1016/S0165-0270(96)00080-5. PMID  8946315. S2CID  20175299.
2. Плотник, RE; Гарднер, RH; Харгроув, WW; Престегаард, K.; Перлмуттер, M. (1996). «Анализ лакунарности: общая методика анализа пространственных закономерностей». Physical Review E. 53 ( 5): 5461–8. Bibcode : 1996PhRvE..53.5461P. doi : 10.1103/physreve.53.5461. PMID  9964879.
3. Плотник, RE; Гарднер, RH; О'Нил, RV (1993). "Индексы лакунарности как меры текстуры ландшафта". Landscape Ecology . 8 (3): 201. doi :10.1007/BF00125351. S2CID  7112365.
4. Мандельброт, Бенуа (1983). Фрактальная геометрия природы . ISBN 978-0-7167-1186-5.
5. Karperien (2004). "Глава 8 Мультифрактальность и лакунарность". Определение микроглиальной морфологии: форма, функция и фрактальная размерность . Университет Чарльза Стерта.
6. Al-Kadi, OS; Watson, D. (2008). "Анализ текстуры агрессивных и неагрессивных изображений CE CT опухолей легких" (PDF) . IEEE Transactions on Biomedical Engineering . 55 (7): 1822–30. doi :10.1109/TBME.2008.919735. PMID  18595800. S2CID  14784161. Архивировано из оригинала (PDF) 2014-04-13 . Получено 2014-04-10 .
7. Макинтайр, NE; Винс, JA (2000). "Новое использование индекса лакунарности для различения функции ландшафта". Landscape Ecology . 15 (4): 313. doi :10.1023/A:1008148514268. S2CID  18644861.
8. Jelinek, Herbert; Karperien, Audrey; Milosevic, Nebojsa (июнь 2011 г.). «Анализ лакунарности и классификация микроглии в нейронауках». 8-я Европейская конференция по математической и теоретической биологии, Краков .
9. Карпериен (2002). «Интерпретация лакунарности». FracLac .
10. Толле, К. (2003). «Определение лакунарности для разветвленных наборов данных на основе оптимального покрытия». Physica D: Nonlinear Phenomena . 179 (3–4): 129–201. Bibcode :2003PhyD..179..129T. doi :10.1016/S0167-2789(03)00029-0.
11. Стивенс, NE; Харро, DR; Хиклин, A. (2010). «Практический количественный анализ литического использования-износа с использованием нескольких классификаторов». Журнал археологической науки . 37 (10): 2671. doi :10.1016/j.jas.2010.06.004.
12. Риевра-Виртудазо, Р.В.; Тапиа, AKG; Валенсуэла, JFB; Круз, Л.Д.; Мендоса, HD; Кастричионес, Е.В. (23 ноября 2008 г.). «47. Анализ лакунарности ПЭМ-изображений термообработанных гибридных кремнеземных материалов». В Сенере, Бильге (ред.). Инновации в химической биологии . Спрингер. стр. 397–404. ISBN 978-1-4020-6955-0.
13. Филхо, МБ; Собрейра, Ф. (2008). «Точность алгоритмов лакунарности при классификации текстур изображений с высоким пространственным разрешением из городских районов» (PDF) . Международный архив фотограмметрии, дистанционного зондирования и пространственной информации . XXXVII (часть B3b).
14. Gorsich, DJ; Tolle, CR; Karlsen, RE; Gerhart, GR (1996). "Вейвлетный и фрактальный анализ изображений наземных транспортных средств". В Unser, Michael A; Aldroubi, Akram; Laine, Andrew F (ред.). Применения вейвлетов в обработке сигналов и изображений IV. Применения вейвлетов в обработке сигналов и изображений IV. Том 2825. стр. 109–119. doi :10.1117/12.255224. S2CID  121560110.
15. Vannucchi, P.; Leoni, L. (30 октября 2007 г.). «Структурная характеристика деколлементации Коста-Рики: доказательства сейсмически-индуцированной пульсации жидкости». Earth and Planetary Science Letters . 262 (3–4): 413–428. Bibcode : 2007E&PSL.262..413V. doi : 10.1016/j.epsl.2007.07.056. hdl : 2158/257208 .
16. Яшар, Ф.; Акгюнлю, Ф. (2005). «Анализ фрактальной размерности и лакунарности дентальных рентгенограмм». Dentomaxillofacial Radiology . 34 (5): 261–267. doi :10.1259/dmfr/85149245. PMID  16120874.
17. Valous, NA; Sun, D.-W.; Allen, P.; Mendoza, F. (январь 2010 г.). «Использование лакунарности для визуальной характеристики текстуры предварительно нарезанной вареной свиной ветчины». Food Research International . 43 (1): 387–395. doi :10.1016/j.foodres.2009.10.018.

Внешние ссылки

• «Руководство пользователя FracLac».Онлайн-руководство по теории лакунарности и анализу с использованием бесплатного программного обеспечения для биологической визуализации с открытым исходным кодом.