Логистическая карта

Простая полиномиальная карта, демонстрирующая хаотическое поведение

Логистическая карта — это полиномиальное отображение (эквивалентно, рекуррентное отношение ) степени 2 , часто упоминаемое как архетипический пример того, как сложное, хаотическое поведение может возникнуть из очень простых нелинейных динамических уравнений. Карта, первоначально использованная Эдвардом Лоренцом в 1960-х годах для демонстрации нерегулярных решений (например, уравнение 3 из ^[1] ), была популяризирована в статье 1976 года биологом Робертом Мэем [ ^2] частично как дискретная по времени демографическая модель, аналогичная логистическому уравнению, записанному Пьером Франсуа Верхюльстом ^[3] . Математически логистическая карта записывается

где x _n — число от нуля до единицы, представляющее отношение существующей популяции к максимально возможной популяции. Это нелинейное разностное уравнение предназначено для охвата двух эффектов:

• воспроизводство , при котором популяция будет увеличиваться со скоростью, пропорциональной текущей численности популяции, когда размер популяции невелик,
• голодание (смертность, зависящая от плотности), при котором темпы роста будут снижаться со скоростью, пропорциональной значению, полученному путем вычитания теоретической «пропускной способности» окружающей среды из текущей численности населения.

Обычные значения интереса для параметра r находятся в интервале [0, 4] , так что x _n остается ограниченным на [0, 1] . Случай r = 4 логистического отображения является нелинейным преобразованием как отображения битового сдвига , так и случая μ = 2 отображения палатки . Если r > 4 , это приводит к отрицательным размерам популяции. (Эта проблема не возникает в старой модели Рикера , которая также демонстрирует хаотическую динамику.) Можно также рассмотреть значения r в интервале [−2, 0] , так что x _n остается ограниченным на [−0,5, 1,5] . ^[4]

Характеристики карты

Поведение зависит отг

На рисунке ниже показаны амплитуда и частотный состав некоторых итераций логистической карты для значений параметров от 2 до 4.

При изменении параметра r наблюдается следующее поведение:

Эволюция различных начальных условий в зависимости от r (параметр k на рисунке соответствует параметру r из определения в статье)

• При значении r от 0 до 1 популяция в конечном итоге погибнет, независимо от первоначальной численности.
• При r между 1 и 2 популяция быстро приблизится к значению ⁠р − 1/г⁠ , независимо от начальной популяции.

• 

  Эволюция различных начальных условий как функция r со смещением (параметр k на рисунке соответствует параметру r из определения в статье)

  При r от 2 до 3 популяция в конечном итоге также приблизится к тому же значению ⁠р − 1/г⁠ , но сначала будет колебаться около этого значения в течение некоторого времени. Скорость сходимости линейна, за исключением r = 3 , когда она резко медленная, менее чем линейная (см. Бифуркационная память ).
• При r между 3 и 1 +  √ 6 ≈ 3,44949 популяция будет приближаться к постоянным колебаниям между двумя значениями. Эти два значения зависят от r и определяются как ^[4] . ${\displaystyle x_{\pm }={\frac {1}{2r}}\left(r+1\pm {\sqrt {(r-3)(r+1)}}\right)}$
• При r между 3,44949 и 3,54409 (приблизительно) почти при всех начальных условиях популяция будет приближаться к постоянным колебаниям среди четырех значений. Последнее число является корнем полинома 12-й степени (последовательность A086181 в OEIS ).
• При увеличении r свыше 3,54409, почти из всех начальных условий популяция будет приближаться к колебаниям среди 8 значений, затем 16, 32 и т.д. Длины интервалов параметров, которые дают колебания заданной длины, быстро уменьшаются; отношение между длинами двух последовательных интервалов бифуркации приближается к постоянной Фейгенбаума δ ≈ 4,66920 . Такое поведение является примером каскада удвоения периода .
• При r ≈ 3,56995 (последовательность A098587 в OEIS ) начинается хаос, в конце каскада удвоения периода. Почти из всех начальных условий мы больше не видим колебаний конечного периода. Небольшие изменения в начальной популяции дают со временем кардинально разные результаты, что является основной характеристикой хаоса.
• Большинство значений r за пределами 3,56995 демонстрируют хаотическое поведение, но все еще существуют определенные изолированные диапазоны r , которые демонстрируют нехаотическое поведение; их иногда называют островами стабильности . Например, начиная с 1 +  √ 8 ^[5] (приблизительно 3,82843) существует диапазон параметров r , которые показывают колебания среди трех значений, а для немного более высоких значений r колебания среди 6 значений, затем 12 и т. д.
• При возникает устойчивый цикл периода 3. ^[6] ${\displaystyle r=1+{\sqrt {8}}=3.8284...}$
• Развитие хаотического поведения логистической последовательности при изменении параметра r от приблизительно 3,56995 до приблизительно 3,82843 иногда называют сценарием Помо–Манневиля , характеризующимся периодической (ламинарной) фазой, прерываемой всплесками апериодического поведения. Такой сценарий имеет применение в полупроводниковых приборах. ^[7] Существуют и другие диапазоны, которые дают колебания среди 5 значений и т. д.; все периоды колебаний происходят для некоторых значений r . Окно удвоения периода с параметром c представляет собой диапазон значений r , состоящий из последовательности поддиапазонов. Поддиапазон k содержит значения r , для которых существует устойчивый цикл (цикл, который притягивает набор начальных точек единичной меры) периода 2 ^k c . Эта последовательность поддиапазонов называется каскадом гармоник . ^[8] В поддиапазоне с устойчивым циклом периода 2 ^{k *} c , существуют неустойчивые циклы периода 2 ^k c для всех k < k * . Значение r в конце бесконечной последовательности поддиапазонов называется точкой накопления каскада гармоник. По мере увеличения r появляется последовательность новых окон с различными значениями c . Первое из них для c = 1 ; все последующие окна, включающие нечетные c, появляются в порядке убывания c, начиная с произвольно большого c . ^{[8] [9]}
• При две хаотические полосы бифуркационной диаграммы пересекаются в первой точке Мисюревича для логистического отображения. Она удовлетворяет уравнениям . ^[10] ${\displaystyle r=3.678...,x=0.728...}$ ${\displaystyle r^{3}-2r^{2}-4r-8=0,x=1-1/r}$
• За пределами r = 4 почти все начальные значения в конечном итоге покидают интервал [0,1] и расходятся. Набор начальных условий, которые остаются в пределах [0,1], образует множество Кантора , а динамика, ограниченная этим множеством Кантора, хаотична. ^[11]

Для любого значения r существует не более одного устойчивого цикла. Если устойчивый цикл существует, он глобально устойчив, притягивая почти все точки. ^{[12] : 13} Некоторые значения r с устойчивым циклом некоторого периода имеют бесконечно много неустойчивых циклов различных периодов.

Диаграмма бифуркации справа суммирует это. Горизонтальная ось показывает возможные значения параметра r , а вертикальная ось показывает набор значений x, которые асимптотически посещаются из почти всех начальных условий итерациями логистического уравнения с этим значением r .

Бифуркационная диаграмма для логистического отображения. Аттрактор для любого значения параметра r изображен на вертикальной линии при этом r .

Диаграмма бифуркации является самоподобной : если мы увеличим масштаб вышеупомянутого значения r ≈ 3,82843 и сосредоточимся на одном плече из трех, ситуация рядом будет выглядеть как сжатая и слегка искаженная версия всей диаграммы. То же самое верно для всех других нехаотических точек. Это пример глубокой и повсеместной связи между хаосом и фракталами .

Увеличение хаотической области карты.

Устойчивые области внутри хаотической области, где на границе между хаотическим и периодическим аттрактором происходит касательная бифуркация, дающая прерывистые траектории, как описано в сценарии Помо–Манневиля .

Мы также можем рассмотреть отрицательные значения r :

• Для r между -2 и -1 логистическая последовательность также имеет хаотическое поведение. ^[4]
• При r между -1 и 1 -  √ 6 и при x ₀ между 1/ r и 1-1/ r популяция будет приближаться к постоянным колебаниям между двумя значениями, как в случае r между 3 и 1 +  √ 6 , и задается той же формулой. ^[4]

Хаос и логистическая карта

Паутинная диаграмма логистической карты, показывающая хаотическое поведение для большинства значений r > 3,57

Логистическая функция f (синяя) и ее итерированные версии f ² , f ³ , f ⁴ и f ⁵ для r = 3,5 . Например, для любого начального значения на горизонтальной оси f ⁴ дает значение итерации через четыре итерации.

Относительная простота логистической карты делает ее широко используемой точкой входа в рассмотрение концепции хаоса. Грубое описание хаоса заключается в том, что хаотические системы проявляют большую чувствительность к начальным условиям — свойство логистической карты для большинства значений r между примерно 3,57 и 4 (как отмечено выше). ^[2] Распространенным источником такой чувствительности к начальным условиям является то, что карта представляет собой повторяющееся сворачивание и растяжение пространства, на котором она определена. В случае логистической карты квадратичное разностное уравнение , описывающее ее, можно рассматривать как операцию растяжения и складывания на интервале (0,1) . ^[13]

Следующий рисунок иллюстрирует растяжение и сворачивание в последовательности итераций карты. Рисунок (a), слева, показывает двумерный график Пуанкаре пространства состояний логистической карты для r = 4 и ясно показывает квадратичную кривую разностного уравнения ( 1 ). Однако мы можем встроить ту же последовательность в трехмерное пространство состояний, чтобы исследовать более глубокую структуру карты. Рисунок (b), справа, демонстрирует это, показывая, как изначально близкие точки начинают расходиться, особенно в тех областях x _{t ,} которые соответствуют более крутым участкам графика.

Двумерные и трехмерные диаграммы Пуанкаре показывают растягивающуюся и складывающуюся структуру логистической карты.

Это растяжение-и-складывание не просто производит постепенное расхождение последовательностей итераций, но и экспоненциальное расхождение (см. показатели Ляпунова ), о чем свидетельствует также сложность и непредсказуемость хаотической логистической карты. Фактически, экспоненциальное расхождение последовательностей итераций объясняет связь между хаосом и непредсказуемостью: небольшая ошибка в предполагаемом начальном состоянии системы будет иметь тенденцию соответствовать большой ошибке позже в ее эволюции. Следовательно, предсказания о будущих состояниях становятся все хуже (действительно, экспоненциально ), когда есть даже очень небольшие ошибки в наших знаниях об начальном состоянии. Это качество непредсказуемости и кажущейся случайности привело к тому, что уравнение логистической карты стало использоваться в качестве генератора псевдослучайных чисел в ранних компьютерах. ^[13]

При r = 2 функция пересекается точно в точке максимума, поэтому сходимость к точке равновесия имеет порядок . Следовательно, точка равновесия называется «суперустойчивой». Ее показатель Ляпунова равен . Аналогичное рассуждение показывает, что существует сверхустойчивое значение в каждом интервале, где динамическая система имеет устойчивый цикл. Это можно увидеть на графике показателя Ляпунова в виде резких провалов. ^[14] ${\displaystyle rx(1-x)}$ ${\displaystyle y=x}$ ${\displaystyle \delta ^{2^{n}}}$ ${\displaystyle -\infty }$ ${\displaystyle r}$

Поскольку карта ограничена интервалом на прямой действительных чисел, ее размерность меньше или равна единице. Численные оценки дают размерность корреляции0,500 ± 0,005 ( Grassberger , 1983), размерность Хаусдорфа около 0,538 ( Grassberger , 1981) и размерность информации около 0,5170976 ( Grassberger , 1983) для r ≈ 3,5699456 (начало хаоса). Примечание: можно показать, что размерность корреляции определенно находится между 0,4926 и 0,5024.

Однако часто возможно делать точные и аккуратные утверждения о вероятности будущего состояния в хаотической системе. Если (возможно, хаотическая) динамическая система имеет аттрактор , то существует вероятностная мера , которая дает долгосрочную пропорцию времени, проведенного системой в различных областях аттрактора. В случае логистического отображения с параметром r = 4 и начальным состоянием в (0,1) аттрактор также является интервалом (0,1) , а вероятностная мера соответствует бета-распределению с параметрами a = 0,5 и b = 0,5 . В частности, ^[15] инвариантная мера есть

${\displaystyle {\frac {1}{\pi {\sqrt {x(1-x)}}}}.}$

Непредсказуемость — это не случайность, но в некоторых обстоятельствах она очень похожа на нее. Следовательно, и к счастью, даже если мы очень мало знаем о начальном состоянии логистической карты (или какой-то другой хаотической системы), мы все равно можем что-то сказать о распределении состояний в произвольном отдаленном будущем и использовать эти знания для принятия решений на основе состояния системы.

Логистическое отображение с функцией показателя Ляпунова .

Графическое представление

Диаграмму бифуркации для логистической карты можно визуализировать с помощью следующего кода Python :

импортировать  numpy  как  npимпортировать  matplotlib.pyplot  как  pltинтервал  =  ( 2.8 ,  4 )  # начало, конецточность  =  0,0001повторений  =  600  # количество повторенийчисловой_плот  =  200lims  =  np . нули ( повторения )fig ,  biax  =  plt . подзаголовки ()рис . set_size_inches ( 16 ,  9 )lims [ 0 ]  =  np . random . rand ()для  r  в  np.диапазон ( интервал [ 0 ], интервал [ 1 ] , точность ) :   для  i  в  диапазоне ( повторений  -  1 ): предел [ i  +  1 ]  =  r  *  предел [ i ]  *  ( 1  -  предел [ i ]) biax.plot ([ r ] * numtoplot , lims [ reps - numtoplot : ] , "b." , размер маркера = 0,02 )        biax . set ( xlabel = "r" ,  ylabel = "x" ,  title = "логистическая карта" )plt . показать ()

Особые случаи карты

Верхняя граница, когда0 ≤ р ≤ 1

Хотя точные решения рекуррентного соотношения доступны только в небольшом числе случаев, известна замкнутая верхняя граница логистического отображения, когда 0 ≤ r ≤ 1. [ ^16] Существуют два аспекта поведения логистического отображения, которые должны быть охвачены верхней границей в этом режиме: асимптотический геометрический распад с постоянным r и быстрый начальный распад, когда x ₀ близок к 1, обусловленный членом (1 − x _n ) в рекуррентном соотношении. Следующая граница охватывает оба этих эффекта:

${\displaystyle \forall n\in \{0,1,\ldots \}\quad {\text{and}}\quad x_{0},r\in [0,1],\quad x_{n}\leq {\frac {x_{0}}{r^{-n}+x_{0}n}}.}$

Решение когдаг = 4

Особый случай r = 4 на самом деле может быть решен точно, как и случай с r = 2 ; ^[17] однако общий случай может быть предсказан только статистически. ^[18] Решение при r = 4 следующее: ^{[17] [19]}

${\displaystyle x_{n}=\sin ^{2}\left(2^{n}\theta \pi \right),}$

где начальный параметр условия θ определяется выражением

${\displaystyle \theta ={\tfrac {1}{\pi }}\sin ^{-1}\left({\sqrt {x_{0}}}\right).}$

Для рационального θ после конечного числа итераций x _n отображается в периодическую последовательность. Но почти все θ иррациональны, а для иррационального θ x _n никогда не повторяется – он непериодический. Это уравнение решения наглядно демонстрирует две ключевые особенности хаоса – растяжение и сворачивание: множитель 2 ⁿ показывает экспоненциальный рост растяжения, что приводит к чувствительной зависимости от начальных условий , в то время как квадрат синусоидальной функции сохраняет x _n свернутым в диапазоне [0,1] .

Для r = 4 эквивалентное решение в терминах комплексных чисел вместо тригонометрических функций имеет вид ^[17]

${\displaystyle x_{n}={\frac {-\alpha ^{2^{n}}-\alpha ^{-2^{n}}+2}{4}}}$

где α — одно из комплексных чисел

${\displaystyle \alpha =1-2x_{0}\pm {\sqrt {\left(1-2x_{0}\right)^{2}-1}}}$

с модулем, равным 1. Так же, как функция квадрата синуса в тригонометрическом решении не приводит ни к сокращению, ни к расширению множества посещенных точек, в последнем решении этот эффект достигается единичным модулем α .

Напротив, решение при r = 2 имеет вид ^[17]

${\displaystyle x_{n}={\tfrac {1}{2}}-{\tfrac {1}{2}}\left(1-2x_{0}\right)^{2^{n}}}$

для x ₀ ∈ [0,1) . Поскольку (1 − 2 x ₀ ) ∈ (−1,1) для любого значения x _{0 ,} отличного от неустойчивой неподвижной точки 0, член (1 − 2 x ₀ ) ^{2 n} стремится к 0, когда n стремится к бесконечности, поэтому x _n стремится к устойчивой неподвижной точке ⁠1/2⁠ .

Нахождение циклов любой длины приг = 4

Для случая r = 4 , из почти всех начальных условий итерационная последовательность является хаотичной. Тем не менее, существует бесконечное число начальных условий, которые приводят к циклам, и действительно существуют циклы длины k для всех целых чисел k > 0. Мы можем использовать связь логистической карты с диадическим преобразованием (также известным как карта битового сдвига ), чтобы найти циклы любой длины. Если x следует логистической карте x _{n + 1} = 4 x _n (1 − x _n ), а y следует диадическому преобразованию

${\displaystyle y_{n+1}={\begin{cases}2y_{n}&0\leq y_{n}<{\tfrac {1}{2}}\\2y_{n}-1&{\tfrac {1}{2}}\leq y_{n}<1,\end{cases}}}$

тогда эти два связаны гомеоморфизмом

${\displaystyle x_{n}=\sin ^{2}\left(2\pi y_{n}\right).}$

Причина, по которой диадическое преобразование также называется отображением битового сдвига, заключается в том, что когда y записано в двоичной системе счисления, отображение перемещает двоичную точку на одну позицию вправо (и если бит слева от двоичной точки стал «1», эта «1» меняется на «0»). Цикл длины 3, например, возникает, если итерация имеет 3-битовую повторяющуюся последовательность в своем двоичном расширении (которая также не является однобитовой повторяющейся последовательностью): 001, 010, 100, 110, 101 или 011. Итерация 001001001... отображается в 010010010..., которая отображается в 100100100..., которая в свою очередь отображается в исходное 001001001...; так что это 3-цикл отображения битового сдвига. А остальные три повторяющиеся последовательности двоичного расширения дают 3-цикл 110110110... → 101101101... → 011011011... → 110110110.... Любой из этих 3-циклов можно преобразовать в дробную форму: например, первый заданный 3-цикл можно записать как ⁠1/7⁠ → ⁠2/7⁠ → ⁠4/7⁠ → ⁠1/7⁠ . Использование приведенного выше перевода из карты битового сдвига в логистическую карту дает соответствующий логистический цикл 0,611260467... → 0,950484434... → 0,188255099... → 0,611260467.... Мы могли бы аналогичным образом перевести другой 3-цикл битового сдвига в соответствующий ему логистический цикл. Аналогично, циклы любой длины k могут быть найдены в карте битового сдвига и затем переведены в соответствующие логистические циклы. ${\displaystyle r=4}$

Однако, поскольку почти все числа в [0,1) иррациональны, почти все начальные условия карты битового сдвига приводят к непериодичности хаоса. Это один из способов увидеть, что логистическая карта r = 4 является хаотичной для почти всех начальных условий.

Число циклов (минимальной) длины k = 1, 2, 3,… для логистического отображения с r = 4 ( отображение тента с μ = 2 ) представляет собой известную целочисленную последовательность (последовательность A001037 в OEIS ): 2, 1, 2, 3, 6, 9, 18, 30, 56, 99, 186, 335, 630, 1161.... Это говорит нам о том, что логистическое отображение с r = 4 имеет 2 неподвижные точки, 1 цикл длины 2, 2 цикла длины 3 и т. д. Эта последовательность принимает особенно простую форму для простых k : 2 ⋅ ⁠2 ^{к − 1} − 1/к⁠ . Например: 2 ⋅  ⁠2 ^{13 − 1} − 1/13⁠ = 630 — число циклов длины 13. Поскольку этот случай логистического отображения является хаотическим для почти всех начальных условий, все эти циклы конечной длины неустойчивы.

Универсальность

Путь к хаосу через удвоение периода

В логистической карте у нас есть функция , и мы хотим изучить, что происходит, когда мы итерируем карту много раз. Карта может попасть в фиксированную точку, фиксированный цикл или хаос. Когда карта попадает в устойчивый фиксированный цикл длины , мы обнаружим, что график и график пересекаются в точках, а наклон графика ограничен в этих пересечениях. ${\displaystyle f_{r}(x)=rx(1-x)}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle f_{r}^{n}}$ ${\displaystyle x\mapsto x}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle f_{r}^{n}}$ ${\displaystyle (-1,+1)}$

Например, когда , мы имеем единственное пересечение с наклоном, ограниченным в , что указывает на то, что это устойчивая единственная неподвижная точка. ${\displaystyle r=3.0}$ ${\displaystyle (-1,+1)}$

При увеличении до значения, превышающего , точка пересечения разделяется на две, что является удвоением периода. Например, при , есть три точки пересечения, средняя из которых нестабильна, а две другие стабильны. ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle r=3.0}$ ${\displaystyle r=3.4}$

По мере приближения происходит еще одно удвоение периода таким же образом. Удвоения периода происходят все чаще и чаще, пока в определенный момент удвоения периода не станут бесконечными, и карта не станет хаотичной. Это путь удвоения периода к хаосу . ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle r=3.45}$ ${\displaystyle r\approx 3.56994567}$

Предел масштабирования

Приближение к пределу масштабирования по мере приближения снизу. ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle r^{*}=3.5699\cdots }$

В точке хаоса , когда мы повторяем удвоения периодов , графики кажутся похожими друг на друга, за исключением того, что они сжимаются к середине и поворачиваются на 180 градусов, сходясь к фракталу. ${\displaystyle r^{*}=3.5699\cdots }$ ${\displaystyle f_{r^{*}}^{1},f_{r^{*}}^{2},f_{r^{*}}^{4},f_{r^{*}}^{8},f_{r^{*}}^{16},\dots }$

Глядя на изображения, можно заметить, что в точке хаоса кривая выглядит как фрактал. Более того, по мере того, как мы повторяем удвоения периодов , графики кажутся похожими друг на друга, за исключением того, что они сжимаются к середине и поворачиваются на 180 градусов. ${\displaystyle r^{*}=3.5699\cdots }$ ${\displaystyle f_{r^{*}}^{\infty }}$ ${\displaystyle f_{r^{*}}^{1},f_{r^{*}}^{2},f_{r^{*}}^{4},f_{r^{*}}^{8},f_{r^{*}}^{16},\dots }$

Это подсказывает нам предел масштабирования: если мы многократно удваиваем функцию, а затем увеличиваем ее на для определенной константы : тогда в пределе мы получим функцию , которая удовлетворяет . Это функция Фейгенбаума , которая появляется в большинстве путей удвоения периода к хаосу (таким образом, это пример универсальности ). Кроме того, по мере того, как интервалы удвоения периода становятся все короче и короче, отношение между двумя интервалами удвоения периода сходится к пределу, первой константе Фейгенбаума . ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \alpha }$ $${\displaystyle f(x)\mapsto -\alpha f(f(-x/\alpha ))}$$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle g(x)=-\alpha g(g(-x/\alpha ))}$ ${\displaystyle \delta =4.6692016\cdots }$

При неправильных значениях коэффициента масштабирования карта не сходится к пределу, но при она сходится. ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \alpha =2.5029\dots }$

В точке хаоса , когда мы повторяем итерацию функционального уравнения с , мы обнаруживаем, что отображение действительно сходится к пределу. ${\displaystyle r^{*}=3.5699\cdots }$ ${\displaystyle f(x)\mapsto -\alpha f(f(-x/\alpha ))}$ ${\displaystyle \alpha =2.5029\dots }$

Константу можно численно найти, перебрав множество возможных значений. Для неправильных значений карта не сходится к пределу, но когда она равна , она сходится. Это вторая константа Фейгенбаума. ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \alpha =2.5029\dots }$

Хаотический режим

В хаотическом режиме пределом итераций карты становятся хаотические темные полосы, перемежаемые нехаотическими светлыми полосами. ${\displaystyle f_{r}^{\infty }}$

В хаотическом режиме пределом итераций карты становятся хаотические темные полосы, перемежаемые нехаотическими светлыми полосами. ${\displaystyle f_{r}^{\infty }}$

Другие ограничения масштабирования

При приближении к , мы имеем другой подход к хаосу с удвоением периода, но на этот раз с периодами 3, 6, 12, ... Это снова имеет те же константы Фейгенбаума . Предел также является той же функцией Фейгенбаума . Это пример универсальности . ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle r\approx 3.8494344}$ ${\displaystyle \delta ,\alpha }$ ${\textstyle f(x)\mapsto -\alpha f(f(-x/\alpha ))}$

Логистическая карта, приближающаяся снизу к пределу масштабирования хаоса с удвоением периода . На пределе это имеет ту же форму, что и , поскольку все пути к хаосу с удвоением периода одинаковы (универсальность). ${\displaystyle r^{*}=3.84943\dots }$ ${\displaystyle r^{*}=3.5699\cdots }$

Мы также можем рассмотреть путь утроения периода к хаосу, выбрав последовательность из , такую, что является наименьшим значением в окне периода бифуркационной диаграммы. Например, у нас есть , с пределом . Это имеет другую пару констант Фейгенбаума . ^[20] И сходится к неподвижной точке к В качестве другого примера, период-4-pling имеет пару констант Фейгенбаума, отличную от пары констант удвоения периода, хотя период-4-pling достигается двумя удвоениями периода. Подробно определим такой, что является наименьшим значением в окне периода бифуркационной диаграммы. Тогда у нас есть , с пределом . Это имеет другую пару констант Фейгенбаума . ${\displaystyle r_{1},r_{2},\dots }$ ${\displaystyle r_{n}}$ ${\displaystyle 3^{n}}$ ${\displaystyle r_{1}=3.8284,r_{2}=3.85361,\dots }$ ${\displaystyle r_{\infty }=3.854077963\dots }$ ${\displaystyle \delta =55.26\dots ,\alpha =9.277\dots }$ ${\displaystyle f_{r}^{\infty }}$ $${\displaystyle f(x)\mapsto -\alpha f(f(f(-x/\alpha )))}$$ ${\displaystyle r_{1},r_{2},\dots }$ ${\displaystyle r_{n}}$ ${\displaystyle 4^{n}}$ ${\displaystyle r_{1}=3.960102,r_{2}=3.9615554,\dots }$ ${\displaystyle r_{\infty }=3.96155658717\dots }$ ${\displaystyle \delta =981.6\dots ,\alpha =38.82\dots }$

В общем, каждый путь к хаосу с умножением периодов имеет свою собственную пару констант Фейгенбаума. Фактически, обычно их больше одной. Например, для 7-периодного множителя существует по крайней мере 9 различных пар констант Фейгенбаума. ^[20]

В общем случае , и соотношение становится точным, когда оба числа увеличиваются до бесконечности: . ${\textstyle 3\delta \approx 2\alpha ^{2}}$ ${\displaystyle \lim \delta /\alpha ^{2}=2/3}$

Универсальность одномерных карт по Фейгенбауму

Универсальность одномерных отображений с параболическими максимумами и константами Фейгенбаума , . ^{[21] [22]} ${\displaystyle \delta =4.669201...}$ ${\displaystyle \alpha =2.502907...}$

Постепенное увеличение на интервале изменяет динамику с регулярной на хаотическую ^[23] с качественно такой же бифуркационной диаграммой, как и для логистического отображения. ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle [0,\infty )}$

Оценка перенормировки

Константы Фейгенбаума можно оценить с помощью аргумента перенормировки. (Раздел 10.7, ^[14] ).

Благодаря универсальности мы можем использовать другое семейство функций, которое также претерпевает многократное удвоение периода на своем пути к хаосу, и хотя это не совсем логистическое отображение, оно все равно даст те же самые константы Фейгенбаума.

Определим семейство. Семейство имеет точку равновесия в нуле, и по мере увеличения оно претерпевает бифуркацию удвоения периода в точке . $${\displaystyle f_{r}(x)=-(1+r)x+x^{2}}$$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle r=r_{0},r_{1},r_{2},...}$

Первая бифуркация происходит в . После бифуркации удвоения периода мы можем решить для устойчивой орбиты периода 2 с помощью , что дает В какой-то момент устойчивая орбита периода 2 снова претерпевает бифуркацию удвоения периода, давая устойчивую орбиту периода 4. Чтобы выяснить, как выглядит устойчивая орбита, мы «увеличиваем» область вокруг , используя аффинное преобразование . Теперь, с помощью обычной алгебры, мы имеем , где . Примерно в , происходит вторая бифуркация, таким образом . ${\displaystyle r=r_{0}=0}$ ${\displaystyle f_{r}(p)=q,f_{r}(q)=p}$ $${\displaystyle {\begin{cases}p={\frac {1}{2}}(r+{\sqrt {r(r+4)}})\\q={\frac {1}{2}}(r-{\sqrt {r(r+4)}})\end{cases}}}$$ ${\displaystyle r=r_{1}}$ ${\displaystyle x=p}$ ${\displaystyle T(x)=x/c+p}$ $${\displaystyle (T^{-1}\circ f_{r}^{2}\circ T)(x)=-(1+S(r))x+x^{2}+O(x^{3})}$$ ${\displaystyle S(r)=r^{2}+4r-2,c=r^{2}+4r-3{\sqrt {r(r+4)}}}$ ${\displaystyle S(r)=0}$ ${\displaystyle S(r_{1})\approx 0}$

По самоподобию третья бифуркация при , и т. д. Таким образом, имеем , или . Итерируя это отображение, находим , и . ${\displaystyle S(r)\approx r_{1}}$ ${\displaystyle r_{n}\approx S(r_{n+1})}$ ${\displaystyle r_{n+1}\approx {\sqrt {r_{n}+6}}-2}$ ${\displaystyle r_{\infty }=\lim _{n}r_{n}\approx \lim _{n}S^{-n}(0)={\frac {1}{2}}({\sqrt {17}}-3)}$ ${\displaystyle \lim _{n}{\frac {r_{\infty }-r_{n}}{r_{\infty }-r_{n+1}}}\approx S'(r_{\infty })\approx 1+{\sqrt {17}}}$

Таким образом, мы имеем оценки , и . Они находятся в пределах 10% от истинных значений. ${\displaystyle \delta \approx 1+{\sqrt {17}}=5.12...}$ ${\displaystyle \alpha \approx r_{\infty }^{2}+4r_{\infty }-3{\sqrt {r_{\infty }^{2}+4r_{\infty }}}\approx -2.24...}$

Логистическое отображение и логистическое обыкновенное дифференциальное уравнение

Логистическое отображение демонстрирует многочисленные характеристики как периодических, так и хаотических решений, тогда как логистическое обыкновенное дифференциальное уравнение (ОДУ) демонстрирует регулярные решения, обычно называемые S-образной сигмоидной функцией. Логистическое отображение можно рассматривать как дискретный аналог логистического ОДУ, и их корреляция широко обсуждалась в литературе ^[24]

Происшествия

В игрушечной модели для дискретной лазерной динамики: , где обозначает амплитуду электрического поля, ^[25] – коэффициент усиления лазера как параметр бифуркации. ${\displaystyle x\rightarrow Gx(1-\tanh(x))}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle G}$

Смотрите также

• Логистическая функция , решение непрерывного аналога логистического отображения: логистическое дифференциальное уравнение .
• Устойчивость по Ляпунову#Определение для систем с дискретным временем
• Мальтузианская модель роста
• Периодические точки комплексных квадратичных отображений , частным случаем которых является логистическое отображение, ограниченное действительной прямой
• Радиальная базисная функция сети , которая иллюстрирует обратную задачу для логистического отображения.
• Уравнение Шредера
• Жесткое уравнение

Примечания

1. Лоренц, Эдвард Н. (1964-02-01). «Проблема выведения климата из основных уравнений». Tellus . 16 (1): 1–11. Bibcode : 1964Tell...16....1L. doi : 10.1111/j.2153-3490.1964.tb00136.x. ISSN  0040-2826.
2. May, Robert M. (1976). «Простые математические модели с очень сложной динамикой». Nature . 261 (5560): 459–467. Bibcode :1976Natur.261..459M. doi :10.1038/261459a0. hdl : 10338.dmlcz/104555 . PMID  934280. S2CID  2243371.
3. Вайсштейн, Эрик В. «Логистическое уравнение». MathWorld .
4. Цутия, Такаши; Ямагиши, Дайсуке (11 февраля 1997 г.). «Полная бифуркационная диаграмма для логистической карты». Z. Naturforsch . 52a (6–7): 513–516. Bibcode : 1997ZNatA..52..513T. doi : 10.1515/zna-1997-6-708 . S2CID  101491730.
5. Чжан, Чэн (октябрь 2010 г.). «Период три начинается». Mathematics Magazine . 83 (4): 295–297. doi :10.4169/002557010x521859. S2CID  123124113.
6. Беххофер, Джон (1 апреля 1996 г.). «Рождение периода 3, пересмотр». Mathematics Magazine . 69 (2): 115–118. doi :10.1080/0025570X.1996.11996402. ISSN  0025-570X.
7. Джеффрис, Карсон; Перес, Хосе (1982). «Наблюдение прерывистого пути Помо–Манневиля к хаосу в нелинейном осцилляторе». Physical Review A. 26 ( 4): 2117–2122. Bibcode : 1982PhRvA..26.2117J. doi : 10.1103/PhysRevA.26.2117. S2CID  119466337.
8. May, RM (1976). «Простые математические модели с очень сложной динамикой». Nature . 261 (5560): 459–67. Bibcode :1976Natur.261..459M. doi :10.1038/261459a0. hdl : 10338.dmlcz/104555 . PMID  934280. S2CID  2243371.
9. Баумол, Уильям Дж .; Бенхабиб, Джесс (февраль 1989 г.). «Хаос: значение, механизм и экономические приложения». Журнал экономических перспектив . 3 (1): 77–105. doi : 10.1257/jep.3.1.77 .
10. "Точка Мисюревича логистической карты". sprott.physics.wisc.edu . Получено 2023-05-08 .
11. Тешл, Джеральд (2012). Обыкновенные дифференциальные уравнения и динамические системы . Amer. Math Soc. ISBN 978-0-8218-8328-0.
12. Колле, Пьер; Экман, Жан-Пьер (1980). Итерированные отображения на интервале как динамические системы . Биркхаузер. ISBN 978-3-7643-3026-2.
13. Gleick, James (1987). Хаос: Создание новой науки . Лондон: Penguin Books. ISBN 978-0-14-009250-9.
14. Strogatz, Steven (2019). "10.1: Неподвижные точки и паутины". Нелинейная динамика и хаос: с приложениями к физике, биологии, химии и технике (2-е изд.). Бока-Ратон. ISBN 978-0-367-09206-1. OCLC  1112373147.{{cite book}}: CS1 maint: location missing publisher (link)
15. Якобсон, М. (1981). «Абсолютно непрерывные инвариантные меры для однопараметрических семейств одномерных отображений». Сообщения по математической физике . 81 (1): 39–88. Bibcode :1981CMaPh..81...39J. doi :10.1007/BF01941800. S2CID  119956479.
16. Кэмпбелл, Тревор; Бродерик, Тамара (2017). «Автоматизированный масштабируемый байесовский вывод с помощью основных наборов Гильберта». arXiv : 1710.05053 [stat.ML].
17. Шредер, Эрнст (1870). "Ueber iterirte Functionen". Математические Аннален . 3 (2): 296–322. дои : 10.1007/BF01443992. S2CID  116998358.
18. Little, M.; Heesch, D. (2004). «Хаотическое нахождение корней для небольшого класса полиномов» (PDF) . Журнал разностных уравнений и приложений . 10 (11): 949–953. arXiv : nlin/0407042 . doi :10.1080/10236190412331285351. S2CID  122705492.
19. Лоренц, Эдвард (1964). «Проблема выведения климата из основных уравнений». Tellus . 16 (февраль): 1–11. Bibcode : 1964Tell...16....1L. doi : 10.3402/tellusa.v16i1.8893 .
20. Delbourgo, R.; Hart, W.; Kenny, BG (1985-01-01). "Зависимость универсальных констант от периода умножения в нелинейных отображениях". Physical Review A. 31 ( 1): 514–516. doi :10.1103/PhysRevA.31.514. ISSN  0556-2791.
21. Фейгенбаум, М.Дж. (1976) «Универсальность в сложной дискретной динамике», Теоретический отдел Лос-Аламоса, Годовой отчет 1975-1976 гг.
22. Фейгенбаум, Митчелл (1978). «Количественная универсальность для класса нелинейных преобразований». Журнал статистической физики . 19 (1): 25–52. Bibcode :1978JSP....19...25F. CiteSeerX 10.1.1.418.9339 . doi :10.1007/BF01020332. S2CID  124498882. 
23. Окулов, А. Ю.; Ораевский, А. Н. (1984). «Регулярная и стохастическая самомодуляция в кольцевом лазере с нелинейным элементом». Журнал квантовой электроники . 14 (2): 1235–1237. Bibcode : 1984QuEle..14.1235O. doi : 10.1070/QE1984v014n09ABEH006171.
24. Шен, Бо-Вен; Пильке, Роджер А.; Цзэн, Сюбин (2023-08-12). «50-я годовщина метафорического эффекта бабочки со времен Лоренца (1972): мультистабильность, многомасштабная предсказуемость и чувствительность в численных моделях». Атмосфера . 14 (8): 1279. Bibcode : 2023Atmos..14.1279S. doi : 10.3390/atmos14081279 . ISSN  2073-4433.
25. Окулов, А Ю; Ораевский, АН (1986). «Пространственно-временное поведение светового импульса, распространяющегося в нелинейной недисперсионной среде». J. Opt. Soc. Am. B . 3 (5): 741–746. Bibcode :1986JOSAB...3..741O. doi :10.1364/JOSAB.3.000741. S2CID  124347430.

Ссылки

• Grassberger, P. ; Procaccia, I. (1983). «Измерение странности странных аттракторов». Physica D . 9 (1–2): 189–208. Bibcode :1983PhyD....9..189G. doi :10.1016/0167-2789(83)90298-1.
• Grassberger, P. (1981). «О размерности Хаусдорфа фрактальных аттракторов». Журнал статистической физики . 26 (1): 173–179. Bibcode : 1981JSP....26..173G. doi : 10.1007/BF01106792. S2CID  119833080.
• Спротт, Жюльен Клинтон (2003). Хаос и анализ временных рядов . Oxford University Press. ISBN 978-0-19-850840-3.
• Строгац, Стивен (2000). Нелинейная динамика и хаос . Perseus Publishing. ISBN 978-0-7382-0453-6.
• Туфилларо, Николас; Эбботт, Тайлер; Рейлли, Джереми (1992). Экспериментальный подход к нелинейной динамике и хаосу . Addison-Wesley New York. ISBN 978-0-201-55441-0.

Внешние ссылки

• Гипертекстовая книга «Хаос». Вводный курс по хаосу и фракталам.
• Интерактивная визуализация логистической карты в виде блокнота Jupyter
• Логистическая карта и хаос Элмера Г. Винса
• Сложность и хаос (аудиокнига) Роджера Уайта. Глава 5 посвящена логистическому уравнению.
• «История итерационных карт» в книге «Новый вид науки» Стивена Вольфрама . Шампейн, Иллинойс: Wolfram Media, стр. 918, 2002.
• «Очень краткая история универсальности удвоения периода» П. Цвитановича
• «Не такая уж короткая история универсальной функции» П. Цвитановича
• Дискретное логистическое уравнение Марека Боднара по мотивам работы Фила Рамсдена, Wolfram Demonstrations Project .
• Мультипликативное связывание двух логистических отображений К. Пеллисера-Лостао и Р. Лопеса-Руиса по работе Эда Пегга-младшего, Wolfram Demonstrations Project .
• Использование SAGE для исследования дискретного логистического уравнения