Нелинейная система

Система, в которой изменения выпуска не пропорциональны изменениям ресурсов.

В математике и естественных науках нелинейная система (или нелинейная система ) — это система , в которой изменение выходных данных не пропорционально изменению входных данных. ^{[1] [2]} Нелинейные проблемы представляют интерес для инженеров , биологов , ^{[3] [4] [5]} физиков , ^{[6] [7]} математиков и многих других ученых , поскольку большинство систем по своей природе нелинейны. ^[8] Нелинейные динамические системы , описывающие изменения переменных с течением времени, могут показаться хаотичными, непредсказуемыми или нелогичными, контрастируя с гораздо более простыми линейными системами .

Обычно поведение нелинейной системы описывается в математике нелинейной системой уравнений , которая представляет собой набор одновременных уравнений , в которых неизвестные (или неизвестные функции в случае дифференциальных уравнений ) выступают как переменные многочлена степени больше единицы или в аргументе функции, не являющейся полиномом первой степени. Другими словами, в нелинейной системе уравнений решаемое уравнение(я) не может быть записано как линейная комбинация неизвестных переменных или функций , входящих в них. Системы можно определить как нелинейные, независимо от того, присутствуют ли в уравнениях известные линейные функции. В частности, дифференциальное уравнение является линейным , если оно линейно относительно неизвестной функции и ее производных, даже если оно нелинейно относительно других переменных, входящих в него.

Поскольку нелинейные динамические уравнения трудно решить, нелинейные системы обычно аппроксимируются линейными уравнениями ( линеаризация ). Это хорошо работает с некоторой точностью и некоторым диапазоном входных значений, но некоторые интересные явления, такие как солитоны , хаос ^[9] и сингулярности , скрыты линеаризацией. Отсюда следует, что некоторые аспекты динамического поведения нелинейной системы могут оказаться нелогичными, непредсказуемыми или даже хаотичными. Хотя такое хаотичное поведение может напоминать случайное поведение, на самом деле оно не является случайным. Например, некоторые аспекты погоды кажутся хаотичными, когда простые изменения в одной части системы приводят к сложным последствиям во всей системе. Эта нелинейность является одной из причин, почему точные долгосрочные прогнозы невозможны с помощью современных технологий.

Некоторые авторы используют термин нелинейная наука для изучения нелинейных систем. Этот термин оспаривается другими:

Использование такого термина, как «нелинейная наука», равносильно тому, чтобы называть большую часть зоологии исследованием животных, не являющихся слонами.

-  Станислав Улам ^[10]

Определение

В математике линейная карта (или линейная функция ) — это карта, которая удовлетворяет обоим следующим свойствам: ${\displaystyle f(x)}$

• Принцип аддитивности или суперпозиции : ${\displaystyle \textstyle f(x+y)=f(x)+f(y);}$
• Однородность: ${\displaystyle \textstyle f(\alpha x)=\alpha f(x).}$

Аддитивность подразумевает однородность для любого рационального α , а для непрерывных функций — для любого действительного α . Для комплексного α однородность не следует из аддитивности. Например, антилинейное отображение аддитивно, но не однородно. Условия аддитивности и однородности часто объединяются в принципе суперпозиции.

${\displaystyle f(\alpha x+\beta y)=\alpha f(x)+\beta f(y)}$

Уравнение, записанное как

${\displaystyle f(x)=C}$

называется линейным, если является линейным отображением (как определено выше), и нелинейным в противном случае. Уравнение называется однородным, если и является однородной функцией . ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle C=0}$ ${\displaystyle f(x)}$

Определение очень общее, поскольку это может быть любой разумный математический объект (число, вектор, функция и т. д.), а функцией может быть буквально любое отображение , включая интегрирование или дифференцирование со связанными ограничениями (например, граничными значениями ). Если содержит дифференцирование по , то результатом будет дифференциальное уравнение . ${\displaystyle f(x)=C}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle x}$

Нелинейные алгебраические уравнения

Нелинейные алгебраические уравнения , которые также называются полиномиальными уравнениями , определяются путем приравнивания полиномов (степени больше единицы) к нулю. Например,

${\displaystyle x^{2}+x-1=0\,.}$

Для одного полиномиального уравнения можно использовать алгоритмы поиска корней для поиска решений уравнения (т. е. наборов значений переменных, которые удовлетворяют уравнению). Однако системы алгебраических уравнений более сложны; их изучение является одной из причин развития алгебраической геометрии , сложной отрасли современной математики. Трудно даже решить, имеет ли данная алгебраическая система комплексные решения (см. Nullstellensatz Гильберта ). Тем не менее в случае систем с конечным числом комплексных решений эти системы полиномиальных уравнений в настоящее время хорошо изучены и существуют эффективные методы их решения. ^[11]

Нелинейные рекуррентные отношения

Нелинейное рекуррентное отношение определяет последовательные члены последовательности как нелинейную функцию предыдущих членов. Примерами нелинейных рекуррентных отношений являются логистическая карта и отношения, определяющие различные последовательности Хофштадтера . Нелинейные дискретные модели, которые представляют широкий класс нелинейных рекуррентных отношений, включают модель NARMAX (нелинейное авторегрессионное скользящее среднее с экзогенными входными данными) и связанные с ней процедуры идентификации и анализа нелинейных систем . ^[12] Эти подходы могут быть использованы для изучения широкого класса сложного нелинейного поведения во временной, частотной и пространственно-временной областях.

Нелинейные дифференциальные уравнения

Система дифференциальных уравнений называется нелинейной, если она не является системой линейных уравнений . Задачи, связанные с нелинейными дифференциальными уравнениями, чрезвычайно разнообразны, а методы решения или анализа зависят от проблемы. Примерами нелинейных дифференциальных уравнений являются уравнения Навье – Стокса в гидродинамике и уравнения Лотки – Вольтерра в биологии.

Одна из величайших трудностей нелинейных задач заключается в том, что известные решения обычно невозможно объединить в новые. Например, в линейных задачах семейство линейно независимых решений может использоваться для построения общих решений с помощью принципа суперпозиции . Хорошим примером этого является одномерный перенос тепла с граничными условиями Дирихле , решение которого можно записать как зависящую от времени линейную комбинацию синусоид разных частот; это делает решения очень гибкими. Часто удается найти несколько весьма конкретных решений нелинейных уравнений, однако отсутствие принципа суперпозиции препятствует построению новых решений.

Обыкновенные дифференциальные уравнения

Обыкновенные дифференциальные уравнения первого порядка часто точно решаются путем разделения переменных , особенно для автономных уравнений. Например, нелинейное уравнение

${\displaystyle {\frac {du}{dx}}=-u^{2}}$

имеет общее решение (а также специальное решение, соответствующее пределу общего решения при стремлении C к бесконечности). Уравнение является нелинейным, поскольку его можно записать как ${\displaystyle u={\frac {1}{x+C}}}$ ${\displaystyle u=0,}$

${\displaystyle {\frac {du}{dx}}+u^{2}=0}$

и левая часть уравнения не является линейной функцией и ее производных. Обратите внимание, что если бы этот термин был заменен на , проблема была бы линейной ( проблема экспоненциального убывания ). ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle u^{2}}$ ${\displaystyle u}$

Обыкновенные дифференциальные уравнения второго и более высокого порядка (в более общем смысле, системы нелинейных уравнений) редко дают решения в замкнутой форме , хотя встречаются неявные решения и решения, содержащие неэлементарные интегралы .

Общие методы качественного анализа нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений включают:

• Исследование любых сохраняющихся величин , особенно в гамильтоновых системах.
• Исследование диссипативных величин (см. функцию Ляпунова ), аналогичных сохраняющимся величинам.
• Линеаризация посредством расширения Тейлора
• Преобразование переменных во что-то более простое для изучения
• Теория бифуркации
• Методы возмущений (можно применять и к алгебраическим уравнениям)
• Существование решений конечной длительности ^[13] , которое может иметь место при определенных условиях для некоторых нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений.

Уравнения в частных производных

Самый распространенный базовый подход к изучению нелинейных уравнений в частных производных — это изменить переменные (или иным образом преобразовать задачу), чтобы результирующая задача стала проще (возможно, линейной). Иногда уравнение может быть преобразовано в одно или несколько обыкновенных дифференциальных уравнений , как видно из разделения переменных , что всегда полезно независимо от того, разрешимо ли полученное обыкновенное дифференциальное уравнение(я).

Другая распространенная (хотя и менее математическая) тактика, часто используемая в механике жидкости и тепла, заключается в использовании масштабного анализа для упрощения общего естественного уравнения в определенной конкретной краевой задаче . Например, (очень) нелинейные уравнения Навье-Стокса можно упростить до одного линейного уравнения в частных производных в случае неустановившегося, ламинарного, одномерного потока в круглой трубе; масштабный анализ обеспечивает условия, при которых поток является ламинарным и одномерным, а также дает упрощенное уравнение.

Другие методы включают изучение характеристик и использование методов, изложенных выше для обыкновенных дифференциальных уравнений.

Пендула

Иллюстрация маятника

Линеаризации маятника

Классической, широко изучаемой нелинейной задачей является динамика маятника без трения под действием силы тяжести . Используя лагранжеву механику , можно показать ^[14] , что движение маятника можно описать безразмерным нелинейным уравнением

${\displaystyle {\frac {d^{2}\theta }{dt^{2}}}+\sin(\theta )=0}$

где сила тяжести направлена ​​«вниз» и представляет собой угол, который маятник образует со своим исходным положением, как показано на рисунке справа. Один из подходов к «решению» этого уравнения — использовать в качестве интегрирующего коэффициента , что в конечном итоге даст ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle d\theta /dt}$

${\displaystyle \int {\frac {d\theta }{\sqrt {C_{0}+2\cos(\theta )}}}=t+C_{1}}$

что является неявным решением, включающим эллиптический интеграл . Это «решение», как правило, не имеет широкого применения, поскольку большая часть сути решения скрыта в неэлементарном интеграле (неэлементарном, если только ). ${\displaystyle C_{0}=2}$

Другой способ подойти к проблеме — линеаризовать любую нелинейность (в данном случае синусоидальную функцию) в различных интересующих точках с помощью разложений Тейлора . Например, линеаризация при , называемая приближением малых углов, имеет вид ${\displaystyle \theta =0}$

${\displaystyle {\frac {d^{2}\theta }{dt^{2}}}+\theta =0}$

поскольку для . Это простой гармонический осциллятор , соответствующий колебаниям маятника в нижней части его пути. Другая линеаризация будет при , что соответствует маятнику, находящемуся прямо вверх: ${\displaystyle \sin(\theta )\approx \theta }$ ${\displaystyle \theta \approx 0}$ ${\displaystyle \theta =\pi }$

${\displaystyle {\frac {d^{2}\theta }{dt^{2}}}+\pi -\theta =0}$

поскольку для . Решение этой проблемы включает в себя гиперболические синусоиды , и обратите внимание, что в отличие от приближения малых углов это приближение неустойчиво, а это означает, что оно обычно растет без ограничений, хотя возможны ограниченные решения. Это соответствует трудности уравновешивания маятника в вертикальном положении, это буквально неустойчивое состояние. ${\displaystyle \sin(\theta )\approx \pi -\theta }$ ${\displaystyle \theta \approx \pi }$ ${\displaystyle |\theta |}$

Возможна еще одна интересная линеаризация вокруг , вокруг которой : ${\displaystyle \theta =\pi /2}$ ${\displaystyle \sin(\theta )\approx 1}$

${\displaystyle {\frac {d^{2}\theta }{dt^{2}}}+1=0.}$

Это соответствует задаче свободного падения. Очень полезную качественную картину динамики маятника можно получить, объединив такие линеаризации, как показано на рисунке справа. Для нахождения (точных) фазовых портретов и приблизительных периодов можно использовать другие методы .

Типы нелинейного динамического поведения

• Амплитудная смерть - любые колебания, присутствующие в системе, прекращаются из-за какого-то взаимодействия с другой системой или обратной связи со стороны той же системы.
• Хаос - значения системы невозможно предсказать на неопределенный срок в будущем, а колебания апериодичны.
• Мультистабильность – наличие двух и более стабильных состояний.
• Солитоны – самоусиливающиеся уединенные волны.
• Предельные циклы – асимптотические периодические орбиты, к которым притягиваются дестабилизированные неподвижные точки.
• Автоколебания – колебания с обратной связью, имеющие место в открытых диссипативных физических системах.

Примеры нелинейных уравнений

• Алгебраическое уравнение Риккати
• Шарово-балочная система
• Уравнение Беллмана для оптимальной политики
• Уравнение Больцмана
• Уравнение Колбрука
• Общая теория относительности
• Теория Гинзбурга – Ландау
• уравнение Ишимори
• Уравнение Кадомцева–Петвиашвили.
• Уравнение Кортевега – де Фриза
• Уравнение Ландау–Лифшица–Гильберта
• Уравнение Льенара
• Уравнения Навье – Стокса гидродинамики .
• Нелинейная оптика
• Нелинейное уравнение Шрёдингера
• Исследование потока мощности
• Уравнение Ричардса для потока ненасыщенной воды
• Самобалансирующийся одноколесный велосипед
• Уравнение Синус-Гордон
• Осциллятор Ван дер Поля
• уравнение Власова

Смотрите также

• Александр Михайлович Ляпунов
• Динамическая система
• Обратная связь
• Начальное состояние
• Линейная система
• Связь мод
• Векторный солитон
• серия Вольтерра

Рекомендации

1. «Объяснение: линейные и нелинейные системы». Новости МТИ . Проверено 30 июня 2018 г.
2. «Нелинейные системы, прикладная математика - Университет Бирмингема». www.birmingham.ac.uk . Проверено 30 июня 2018 г.
3. «Нелинейная биология», Нелинейная Вселенная , Коллекция Frontiers, Springer Berlin Heidelberg, 2007, стр. 181–276, doi : 10.1007/978-3-540-34153-6_7, ISBN 9783540341529
4. Коренберг, Майкл Дж.; Хантер, Ян В. (март 1996 г.). «Идентификация нелинейных биологических систем: подходы ядра Вольтерра». Анналы биомедицинской инженерии . 24 (2): 250–268. дои : 10.1007/bf02667354. ISSN  0090-6964. PMID  8678357. S2CID  20643206.
5. Москони, Франческо; Жюлу, Томас; Депра, Николя; Синха, Дипак Кумар; Аллеманд, Жан-Франсуа; Винсент Крокетт; Бенсимон, Дэвид (2008). «Некоторые нелинейные задачи биологии». Нелинейность . 21 (8): Т131. Бибкод : 2008Nonli..21..131M. дои : 10.1088/0951-7715/21/8/T03. ISSN  0951-7715. S2CID  119808230.
6. Гинтаутас, В. (2008). «Резонансное воздействие нелинейных систем дифференциальных уравнений». Хаос . 18 (3): 033118. arXiv : 0803.2252 . Бибкод : 2008Хаос..18c3118G. дои : 10.1063/1.2964200. PMID  19045456. S2CID  18345817.
7. Стивенсон, К.; и другие. (2017). «Топологические свойства самособирающейся электрической сети посредством первоначальных расчетов». наук. Представитель . 7 : 41621. Бибкод : 2017NatSR...741621S. дои : 10.1038/srep41621. ПМК 5290745 . ПМИД  28155863. 
8. де Канете, Хавьер, Чиприано Галиндо и Инмакулада Гарсиа-Мораль (2011). Системное проектирование и автоматизация: интерактивный образовательный подход. Берлин: Шпрингер. п. 46. ​​ИСБН 978-3642202292. Проверено 20 января 2018 г.{{cite book}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link)
9. Нелинейная динамика I: Хаос. Архивировано 12 февраля 2008 г. в Wayback Machine в OpenCourseWare Массачусетского технологического института.
10. Кэмпбелл, Дэвид К. (25 ноября 2004 г.). «Нелинейная физика: Свежее дыхание». Природа . 432 (7016): 455–456. Бибкод : 2004Natur.432..455C. дои : 10.1038/432455a. ISSN  0028-0836. PMID  15565139. S2CID  4403332.
11. Лазард, Д. (2009). «Тридцать лет решения полиномиальных систем, а сейчас?». Журнал символических вычислений . 44 (3): 222–231. дои : 10.1016/j.jsc.2008.03.004 .
12. Биллингс С.А. «Идентификация нелинейных систем: методы NARMAX во временной, частотной и пространственно-временной областях». Уайли, 2013 г.
13. Вардия Т. Хаймо (1985). «Дифференциальные уравнения в конечном времени». 1985 24-я конференция IEEE по принятию решений и управлению . стр. 1729–1733. дои : 10.1109/CDC.1985.268832. S2CID  45426376.
14. Дэвид Тонг: Лекции по классической динамике

дальнейшее чтение

• Дидерих Хинрихсен и Энтони Дж. Притчард (2005). Теория математических систем I — моделирование, анализ пространства состояний, устойчивость и устойчивость . Спрингер Верлаг. ISBN 9783540441250.
• Джордан, Д.В.; Смит, П. (2007). Нелинейные обыкновенные дифференциальные уравнения (четвертое изд.). Издательство Оксфордского университета. ISBN 978-0-19-920824-1.
• Халил, Хасан К. (2001). Нелинейные системы . Прентис Холл. ISBN 978-0-13-067389-3.
• Крейциг, Эрвин (1998). Высшая инженерная математика . Уайли. ISBN 978-0-471-15496-9.
• Зонтаг, Эдуардо (1998). Математическая теория управления: детерминированные конечномерные системы. Второе издание . Спрингер. ISBN 978-0-387-98489-6.

Внешние ссылки

• Программа исследований командования и управления (CCRP)
• Институт сложных систем Новой Англии: концепции сложных систем
• Нелинейная динамика I: хаос в OpenCourseWare Массачусетского технологического института
• Библиотека нелинейных моделей – (в MATLAB ) база данных физических систем.
• Центр нелинейных исследований Лос-Аламосской национальной лаборатории