Общая теория относительности

Теория гравитации как искривленного пространства-времени

Замедленная компьютерная симуляция двойной системы черных дыр GW150914, видимой близлежащим наблюдателем, в течение 0,33 с ее финальной спирали , слияния и кольцевого сближения . Звездное поле позади черных дыр сильно искажается и, по-видимому, вращается и движется из-за экстремального гравитационного линзирования , поскольку само пространство-время искажается и увлекается вращающимися черными дырами . ^[1]

Общая теория относительности , также известная как общая теория относительности и как теория гравитации Эйнштейна , является геометрической теорией гравитации , опубликованной Альбертом Эйнштейном в 1915 году, и является текущим описанием гравитации в современной физике . Общая теория относительности обобщает специальную теорию относительности и уточняет закон всемирного тяготения Ньютона , предоставляя единое описание гравитации как геометрического свойства пространства и времени , или четырехмерного пространства-времени . В частности, кривизна пространства-времени напрямую связана с энергией и импульсом любой присутствующей материи и излучения . Соотношение задается уравнениями поля Эйнштейна , системой уравнений в частных производных второго порядка .

Закон всемирного тяготения Ньютона , описывающий классическую гравитацию, можно рассматривать как предсказание общей теории относительности для почти плоской геометрии пространства-времени вокруг стационарных распределений масс. Однако некоторые предсказания общей теории относительности выходят за рамки закона всемирного тяготения Ньютона в классической физике . Эти предсказания касаются течения времени, геометрии пространства, движения тел в свободном падении и распространения света и включают гравитационное замедление времени , гравитационное линзирование , гравитационное красное смещение света, задержку времени Шапиро и сингулярности / черные дыры . До сих пор было показано, что все тесты общей теории относительности согласуются с теорией. Зависящие от времени решения общей теории относительности позволяют нам говорить об истории Вселенной и обеспечили современную основу для космологии , что привело к открытию Большого взрыва и космического микроволнового фонового излучения. Несмотря на введение ряда альтернативных теорий , общая теория относительности продолжает оставаться простейшей теорией, согласующейся с экспериментальными данными .

Однако согласование общей теории относительности с законами квантовой физики остается проблемой, поскольку отсутствует самосогласованная теория квантовой гравитации . Пока неизвестно, как гравитация может быть объединена с тремя негравитационными силами: сильным , слабым и электромагнитным .

Теория Эйнштейна имеет астрофизические последствия, включая предсказание черных дыр — областей пространства, в которых пространство и время искажены таким образом, что ничто, даже свет , не может вырваться из них. Черные дыры являются конечным состоянием для массивных звезд . Микроквазары и активные ядра галактик считаются звездными черными дырами и сверхмассивными черными дырами . Она также предсказывает гравитационное линзирование , когда искривление света приводит к появлению множественных изображений одного и того же отдаленного астрономического явления. Другие предсказания включают существование гравитационных волн , которые были непосредственно обнаружены физическим сотрудничеством LIGO и другими обсерваториями. Кроме того, общая теория относительности предоставила основу космологических моделей расширяющейся Вселенной .

Общая теория относительности , широко признанная как теория необычайной красоты , часто описывается как самая красивая из всех существующих физических теорий. ^[2]

История

Теория динамики электрона Анри Пуанкаре 1905 года была релятивистской теорией, которую он применил ко всем силам, включая гравитацию. В то время как другие считали, что гравитация мгновенна или имеет электромагнитное происхождение, он предположил, что относительность была «чем-то, обусловленным нашими методами измерения». В своей теории он показал, что гравитационные волны распространяются со скоростью света. ^[3] Вскоре после этого Эйнштейн начал думать о том, как включить гравитацию в свою релятивистскую структуру. В 1907 году, начав с простого мысленного эксперимента с участием наблюдателя в свободном падении (FFO), он приступил к тому, что стало восьмилетним поиском релятивистской теории гравитации. После многочисленных обходных путей и фальстартов его работа достигла кульминации в представлении Прусской академии наук в ноябре 1915 года того, что сейчас известно как уравнения поля Эйнштейна, которые составляют ядро ​​общей теории относительности Эйнштейна. ^[4] Эти уравнения определяют, как геометрия пространства и времени зависит от присутствующей материи и излучения. ^[5] Версия неевклидовой геометрии , называемая римановой геометрией , позволила Эйнштейну разработать общую теорию относительности, предоставив ключевую математическую основу, на которой он разместил свои физические идеи гравитации. ^[6] Эта идея была выдвинута математиком Марселем Гроссманом и опубликована Гроссманом и Эйнштейном в 1913 году. ^[7]

Уравнения поля Эйнштейна нелинейны и считаются сложными для решения. Эйнштейн использовал методы приближения при разработке начальных предсказаний теории. Но в 1916 году астрофизик Карл Шварцшильд нашел первое нетривиальное точное решение уравнений поля Эйнштейна, метрику Шварцшильда . Это решение заложило основу для описания конечных стадий гравитационного коллапса и объектов, известных сегодня как черные дыры. В том же году были сделаны первые шаги к обобщению решения Шварцшильда на электрически заряженные объекты, что в конечном итоге привело к решению Рейсснера–Нордстрема , которое теперь ассоциируется с электрически заряженными черными дырами . ^[8] В 1917 году Эйнштейн применил свою теорию ко Вселенной в целом, положив начало области релятивистской космологии. В соответствии с современным мышлением он предположил статическую Вселенную, добавив новый параметр к своим исходным уравнениям поля — космологическую постоянную — чтобы соответствовать этому наблюдательному предположению. ^[9] Однако к 1929 году работа Хаббла и других показала, что Вселенная расширяется. Это легко описывается расширяющимися космологическими решениями, найденными Фридманом в 1922 году, которые не требуют космологической постоянной. Леметр использовал эти решения для формулировки самой ранней версии моделей Большого взрыва , в которых Вселенная развилась из чрезвычайно горячего и плотного более раннего состояния. ^[10] Позже Эйнштейн объявил космологическую постоянную самой большой ошибкой своей жизни. ^[11]

В этот период общая теория относительности оставалась чем-то вроде диковинки среди физических теорий. Она явно превосходила ньютоновскую гравитацию , будучи согласующейся со специальной теорией относительности и объясняя несколько эффектов, необъяснимых ньютоновской теорией. Эйнштейн показал в 1915 году, как его теория объяснила аномальное смещение перигелия планеты Меркурий без каких-либо произвольных параметров («факторов подтасовки»), ^[12] а в 1919 году экспедиция под руководством Эддингтона подтвердила предсказание общей теории относительности об отклонении звездного света Солнцем во время полного солнечного затмения 29 мая 1919 года , ^[13] мгновенно сделав Эйнштейна знаменитым. ^[14] Тем не менее, теория оставалась вне основного русла теоретической физики и астрофизики до событий примерно между 1960 и 1975 годами, которые теперь известны как золотой век общей теории относительности . ^[15] Физики начали понимать концепцию черной дыры и идентифицировать квазары как одно из астрофизических проявлений этих объектов. ^[16] Более точные тесты солнечной системы подтвердили предсказательную силу теории, ^[17] и релятивистская космология также стала поддаваться прямым наблюдательным проверкам. ^[18]

Общая теория относительности приобрела репутацию теории необычайной красоты. ^{[2] [19] [20]} Субраманьян Чандрасекар отметил, что на многих уровнях общая теория относительности демонстрирует то, что Фрэнсис Бэкон назвал «странностью в пропорции» ( т. е . элементы, которые вызывают удивление и удивление). Она сопоставляет фундаментальные концепции (пространство и время против материи и движения), которые ранее считались совершенно независимыми. Чандрасекар также отметил, что единственными проводниками Эйнштейна в его поисках точной теории были принцип эквивалентности и его чувство, что правильное описание гравитации должно быть геометрическим в своей основе, так что был «элемент откровения» в том, как Эйнштейн пришел к своей теории. ^[21] Другими элементами красоты, связанными с общей теорией относительности, являются ее простота и симметрия, способ, которым она включает инвариантность и унификацию, и ее идеальная логическая последовательность. ^[22]

В предисловии к «Относительности: специальная и общая теория » Эйнштейн сказал: «Настоящая книга призвана, насколько это возможно, дать точное представление о теории относительности тем читателям, которые, с общенаучной и философской точки зрения, интересуются этой теорией, но не знакомы с математическим аппаратом теоретической физики. Работа предполагает уровень образования, соответствующий университетскому вступительному экзамену, и, несмотря на краткость книги, изрядное терпение и силу воли со стороны читателя. Автор не жалел усилий в своем стремлении представить основные идеи в наиболее простой и понятной форме и в целом в той последовательности и связи, в которой они фактически возникли». ^[23]

От классической механики к общей теории относительности

Общую теорию относительности можно понять, изучив ее сходства с классической физикой и отступления от нее. Первым шагом является осознание того, что классическая механика и закон тяготения Ньютона допускают геометрическое описание. Сочетание этого описания с законами специальной теории относительности приводит к эвристическому выводу общей теории относительности. ^{[24] [25]}

Геометрия ньютоновской гравитации

Согласно общей теории относительности, объекты в гравитационном поле ведут себя подобно объектам в ускоряющемся замкнутом пространстве. Например, наблюдатель увидит, что мяч падает в ракете (слева) так же, как и на Земле (справа), при условии, что ускорение ракеты равно 9,8 м/с ² (ускорение силы тяжести на поверхности Земли).

В основе классической механики лежит представление о том, что движение тела можно описать как комбинацию свободного (или инерционного ) движения и отклонений от этого свободного движения. Такие отклонения вызываются внешними силами, действующими на тело в соответствии со вторым законом движения Ньютона , который гласит, что чистая сила, действующая на тело, равна (инерционной) массе этого тела, умноженной на его ускорение . ^[26] Предпочтительные инерционные движения связаны с геометрией пространства и времени: в стандартных системах отсчета классической механики объекты в свободном движении движутся по прямым линиям с постоянной скоростью. На современном языке их траектории являются геодезическими , прямыми мировыми линиями в искривленном пространстве-времени . ^[27]

Наоборот, можно было бы ожидать, что инерционные движения, однажды идентифицированные путем наблюдения за фактическими движениями тел и учета внешних сил (таких как электромагнетизм или трение ), могут быть использованы для определения геометрии пространства, а также временной координаты . Однако возникает неоднозначность, как только в игру вступает гравитация. Согласно закону тяготения Ньютона, и независимо подтвержденному экспериментами, такими как эксперимент Этвеша и его последователей (см. Эксперимент Этвеша ), существует универсальность свободного падения (также известная как принцип слабой эквивалентности , или всеобщее равенство инертной и пассивно-гравитационной масс): траектория пробного тела в свободном падении зависит только от его положения и начальной скорости, но не от каких-либо его материальных свойств. ^[28] Упрощенная версия этого воплощена в эксперименте Эйнштейна с лифтом , проиллюстрированном на рисунке справа: для наблюдателя в закрытой комнате невозможно решить, путем картирования траектории тел, таких как брошенный мяч, является ли комната неподвижной в гравитационном поле, а мяч ускоряется, или находится в свободном пространстве на борту ракеты, которая ускоряется со скоростью, равной скорости гравитационного поля, по сравнению с мячом, который после освобождения имеет нулевое ускорение. ^[29]

Учитывая универсальность свободного падения, нет наблюдаемого различия между инерционным движением и движением под действием силы тяжести. Это предполагает определение нового класса инерционного движения, а именно движения объектов в свободном падении под действием силы тяжести. Этот новый класс предпочтительных движений также определяет геометрию пространства и времени — в математических терминах это геодезическое движение, связанное с определенной связью , которая зависит от градиента гравитационного потенциала . Пространство в этой конструкции по-прежнему имеет обычную евклидову геометрию . Однако пространство -время в целом более сложно. Как можно показать с помощью простых мысленных экспериментов, следующих за траекториями свободного падения различных тестовых частиц, результат переноса векторов пространства-времени, которые могут обозначать скорость частицы (временеподобные векторы), будет меняться в зависимости от траектории частицы; математически говоря, ньютоновская связь не интегрируема . Из этого можно сделать вывод, что пространство-время искривлено. Полученная теория Ньютона-Картана представляет собой геометрическую формулировку ньютоновской гравитации, использующую только ковариантные концепции, т. е. описание, которое справедливо в любой желаемой системе координат. ^[30] В этом геометрическом описании приливные эффекты — относительное ускорение тел при свободном падении — связаны с производной связи, показывающей, как измененная геометрия вызвана наличием массы. ^[31]

Релятивистское обобщение

Световой конус

Насколько бы интригующей ни была геометрическая ньютоновская гравитация, ее основа, классическая механика, является всего лишь предельным случаем (специальной) релятивистской механики. ^[32] На языке симметрии : там, где гравитацией можно пренебречь, физика инвариантна Лоренцу, как в специальной теории относительности, а не инвариантна Галилею , как в классической механике. (Определяющей симметрией специальной теории относительности является группа Пуанкаре , которая включает в себя трансляции, вращения, ускорения и отражения.) Различия между ними становятся существенными, когда речь идет о скоростях, приближающихся к скорости света , и о высокоэнергетических явлениях. ^[33]

С симметрией Лоренца в игру вступают дополнительные структуры. Они определяются набором световых конусов (см. изображение). Световые конусы определяют причинную структуру: для каждого события A существует набор событий, которые могут, в принципе, либо влиять, либо подвергаться влиянию A посредством сигналов или взаимодействий, которые не должны распространяться быстрее света (например, событие B на изображении), и набор событий, для которых такое влияние невозможно (например, событие C на изображении). Эти наборы не зависят от наблюдателя . ^[34] В сочетании с мировыми линиями свободно падающих частиц световые конусы могут использоваться для реконструкции полуримановой метрики пространства-времени, по крайней мере, до положительного скалярного множителя. В математических терминах это определяет конформную структуру ^[35] или конформную геометрию.

Специальная теория относительности определяется при отсутствии гравитации. Для практических приложений это подходящая модель, когда гравитацией можно пренебречь. Принимая во внимание гравитацию и предполагая универсальность свободного падения, применимо аналогичное рассуждение, как в предыдущем разделе: не существует глобальных инерциальных систем отсчета . Вместо этого существуют приближенные инерциальные системы отсчета, движущиеся вместе со свободно падающими частицами. В переводе на язык пространства-времени: прямые временные линии, определяющие инерциальную систему без гравитации, деформируются в линии, которые искривляются относительно друг друга, что предполагает, что включение гравитации требует изменения геометрии пространства-времени. ^[36]

Априори неясно, совпадают ли новые локальные системы отсчета в свободном падении с системами отсчета, в которых действуют законы специальной теории относительности — эта теория основана на распространении света и, следовательно, на электромагнетизме, который может иметь другой набор предпочтительных систем . Но используя различные предположения о системах отсчета специальной теории относительности (например, их фиксацию на Земле или свободное падение), можно вывести различные предсказания для гравитационного красного смещения, то есть способа, которым частота света смещается по мере распространения света через гравитационное поле (см. ниже). Фактические измерения показывают, что свободно падающие системы — это те, в которых свет распространяется так, как это происходит в специальной теории относительности. ^[37] Обобщение этого утверждения, а именно, что законы специальной теории относительности придерживаются хорошего приближения в свободно падающих (и не вращающихся) системах отсчета, известно как принцип эквивалентности Эйнштейна , важнейший руководящий принцип для обобщения физики специальной теории относительности для включения гравитации. ^[38]

Те же экспериментальные данные показывают, что время, измеряемое часами в гравитационном поле — собственное время , если использовать технический термин — не подчиняется правилам специальной теории относительности. На языке геометрии пространства-времени оно не измеряется метрикой Минковского . Как и в ньютоновском случае, это наводит на мысль о более общей геометрии. В малых масштабах все системы отсчета, находящиеся в свободном падении, эквивалентны и приблизительно являются минковскими. Следовательно, теперь мы имеем дело с искривленным обобщением пространства Минковского. Метрический тензор , определяющий геометрию — в частности, способ измерения длин и углов — не является метрикой Минковского специальной теории относительности, это обобщение, известное как полу- или псевдориманова метрика. Более того, каждая риманова метрика естественным образом связана с одним конкретным видом связи, связью Леви-Чивиты , и это, по сути, связь, которая удовлетворяет принципу эквивалентности и делает пространство локально минковскианским (то есть, в подходящих локально инерциальных координатах метрика является минковскианской, а ее первые частные производные и коэффициенты связи равны нулю). ^[39]

Уравнения Эйнштейна

Сформулировав релятивистскую, геометрическую версию эффектов гравитации, остается вопрос об источнике гравитации. В ньютоновской гравитации источником является масса. В специальной теории относительности масса оказывается частью более общей величины, называемой тензором энергии-импульса , которая включает как плотности энергии и импульса, так и напряжения : давление и сдвиг. ^[40] Используя принцип эквивалентности, этот тензор легко обобщается на искривленное пространство-время. Проводя далее аналогию с геометрической ньютоновской гравитацией, естественно предположить, что уравнение поля для гравитации связывает этот тензор и тензор Риччи , который описывает особый класс приливных эффектов: изменение объема для небольшого облака пробных частиц, которые изначально находятся в состоянии покоя, а затем свободно падают. В специальной теории относительности сохранение энергии -импульса соответствует утверждению, что тензор энергии-импульса является бездивергентным . Эта формула также легко обобщается на искривленное пространство-время путем замены частных производных их аналогами для искривленного многообразия , ковариантными производными, изучаемыми в дифференциальной геометрии. При этом дополнительном условии — ковариантная дивергенция тензора энергии-импульса, а следовательно, и всего, что находится на другой стороне уравнения, равна нулю — простейший нетривиальный набор уравнений — это то, что называется уравнениями Эйнштейна (поля):

Уравнения поля Эйнштейна

${\displaystyle G_{\mu \nu }\equiv R_{\mu \nu }-{\textstyle 1 \over 2}R\,g_{\mu \nu }=\kappa T_{\mu \nu }\,}$

С левой стороны находится тензор Эйнштейна , , который является симметричным и представляет собой специфическую бездивергентную комбинацию тензора Риччи и метрики. В частности, ${\displaystyle G_{\mu \nu }}$ ${\displaystyle R_{\mu \nu }}$

${\displaystyle R=g^{\mu \nu }R_{\mu \nu }}$

скаляр кривизны. Сам тензор Риччи связан с более общим тензором кривизны Римана как

${\displaystyle R_{\mu \nu }={R^{\alpha }}_{\mu \alpha \nu }.}$

С правой стороны, является константой и является тензором энергии-импульса. Все тензоры записаны в абстрактной индексной нотации . ^[41] Сопоставляя предсказание теории с результатами наблюдений для планетарных орбит или, что эквивалентно, гарантируя, что предел слабой гравитации, низкой скорости является ньютоновской механикой, константа пропорциональности оказывается равной , где является ньютоновской постоянной гравитации и скоростью света в вакууме. ^[42] Когда нет материи, так что тензор энергии-импульса исчезает, результатом являются вакуумные уравнения Эйнштейна, ${\displaystyle \kappa }$ ${\displaystyle T_{\mu \nu }}$ ${\displaystyle \kappa }$ ${\textstyle \kappa ={\frac {8\pi G}{c^{4}}}}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle c}$

${\displaystyle R_{\mu \nu }=0.}$

В общей теории относительности мировая линия частицы, свободной от всех внешних, негравитационных сил, является особым типом геодезической в ​​искривленном пространстве-времени. Другими словами, свободно движущаяся или падающая частица всегда движется вдоль геодезической.

Геодезическое уравнение имеет вид:

${\displaystyle {d^{2}x^{\mu } \over ds^{2}}+\Gamma ^{\mu }{}_{\alpha \beta }{dx^{\alpha } \over ds}{dx^{\beta } \over ds}=0,}$

где — скалярный параметр движения (например, собственное время ), а — символы Кристоффеля (иногда называемые коэффициентами аффинной связности или коэффициентами связности Леви-Чивиты ), которые симметричны по двум нижним индексам. Греческие индексы могут принимать значения: 0, 1, 2, 3, а для повторяющихся индексов и используется соглашение о суммировании . Величина в левой части этого уравнения — ускорение частицы, и поэтому это уравнение аналогично законам движения Ньютона , которые также предоставляют формулы для ускорения частицы. Это уравнение движения использует обозначения Эйнштейна , что означает, что повторяющиеся индексы суммируются (т. е. от нуля до трех). Символы Кристоффеля являются функциями четырех пространственно-временных координат и поэтому не зависят от скорости или ускорения или других характеристик пробной частицы , движение которой описывается геодезическим уравнением. ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle \Gamma ^{\mu }{}_{\alpha \beta }}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \beta }$

Полная сила в общей теории относительности

В общей теории относительности эффективная гравитационная потенциальная энергия объекта массой m, вращающегося вокруг массивного центрального тела M, определяется выражением ^{[43] [44]}

${\displaystyle U_{f}(r)=-{\frac {GMm}{r}}+{\frac {L^{2}}{2mr^{2}}}-{\frac {GML^{2}}{mc^{2}r^{3}}}}$

Тогда консервативную полную силу можно получить как ее отрицательный градиент

${\displaystyle F_{f}(r)=-{\frac {GMm}{r^{2}}}+{\frac {L^{2}}{mr^{3}}}-{\frac {3GML^{2}}{mc^{2}r^{4}}}}$

где L — момент импульса . Первый член представляет силу ньютоновской гравитации , которая описывается законом обратных квадратов. Второй член представляет центробежную силу в круговом движении. Третий член представляет релятивистский эффект.

Альтернативы общей теории относительности

Существуют альтернативы общей теории относительности , построенные на тех же предпосылках, которые включают дополнительные правила и/или ограничения, приводящие к другим уравнениям поля. Примерами являются теория Уайтхеда , теория Бранса–Дикке , телепараллелизм , f ( R ) гравитация и теория Эйнштейна–Картана . ^[45]

Определение и основные приложения

Вывод, изложенный в предыдущем разделе, содержит всю информацию, необходимую для определения общей теории относительности, описания ее основных свойств и решения вопроса, имеющего решающее значение в физике, а именно, как эту теорию можно использовать для построения моделей.

Определение и основные свойства

Общая теория относительности — это метрическая теория гравитации. В ее основе лежат уравнения Эйнштейна , которые описывают связь между геометрией четырехмерного псевдориманова многообразия, представляющего пространство-время, и энергией-импульсом, содержащимся в этом пространстве-времени. ^[46] Явления, которые в классической механике приписываются действию силы гравитации (такие как свободное падение , орбитальное движение и траектории космических аппаратов ), соответствуют инерционному движению в искривленной геометрии пространства-времени в общей теории относительности; нет никакой гравитационной силы, отклоняющей объекты от их естественных прямых путей. Вместо этого гравитация соответствует изменениям в свойствах пространства и времени, что, в свою очередь, изменяет максимально прямые возможные пути, по которым объекты будут следовать естественным образом. ^[47] Кривизна, в свою очередь, вызвана энергией-импульсом материи. Перефразируя релятивиста Джона Арчибальда Уиллера , пространство-время говорит материи, как двигаться; материя говорит пространству-времени, как искривляться. ^[48]

В то время как общая теория относительности заменяет скалярный гравитационный потенциал классической физики симметричным тензором второго ранга , последний сводится к первому в определенных предельных случаях . Для слабых гравитационных полей и медленной скорости относительно скорости света предсказания теории сходятся с предсказаниями закона всемирного тяготения Ньютона. ^[49]

Поскольку общая теория относительности построена с использованием тензоров, она демонстрирует общую ковариантность : ее законы — и дальнейшие законы, сформулированные в рамках общей теории относительности — принимают одинаковую форму во всех системах координат . ^[50] Кроме того, теория не содержит никаких инвариантных геометрических фоновых структур, т. е. она не зависит от фона . Таким образом, она удовлетворяет более строгому общему принципу относительности , а именно, что законы физики одинаковы для всех наблюдателей. ^[51] Локально , как выражено в принципе эквивалентности, пространство-время является минковским , а законы физики демонстрируют локальную лоренц-инвариантность . ^[52]

Построение модели

Основная концепция построения общерелятивистской модели — это решение уравнений Эйнштейна . Учитывая как уравнения Эйнштейна, так и подходящие уравнения для свойств материи, такое решение состоит из определенного полуриманова многообразия (обычно определяемого путем задания метрики в определенных координатах) и определенных полей материи, определенных на этом многообразии. Материя и геометрия должны удовлетворять уравнениям Эйнштейна, поэтому, в частности, тензор энергии-импульса материи должен быть бездивергентным. Материя, конечно, также должна удовлетворять любым дополнительным уравнениям, наложенным на ее свойства. Короче говоря, такое решение является модельной вселенной, которая удовлетворяет законам общей теории относительности и, возможно, дополнительным законам, управляющим любой материей, которая может присутствовать. ^[53]

Уравнения Эйнштейна являются нелинейными уравнениями в частных производных и, как таковые, их трудно решить точно. ^[54] Тем не менее, известно несколько точных решений , хотя только некоторые из них имеют прямые физические приложения. ^[55] Наиболее известными точными решениями, а также наиболее интересными с точки зрения физики, являются решение Шварцшильда , решение Рейсснера–Нордстрема и метрика Керра , каждое из которых соответствует определенному типу черной дыры в пустой вселенной, ^[56] и вселенные Фридмана–Леметра–Робертсона–Уокера и де Ситтера , каждое из которых описывает расширяющийся космос. ^[57] Точные решения, представляющие большой теоретический интерес, включают в себя вселенную Гёделя (которая открывает интригующую возможность путешествий во времени в искривленном пространстве-времени), решение Тауба–NUT (модель вселенной, которая является однородной , но анизотропной ) и анти-де Ситтера (которое недавно стало известным в контексте того, что называется гипотезой Малдасены ). ^[58]

Учитывая сложность нахождения точных решений, уравнения поля Эйнштейна также часто решаются с помощью численного интегрирования на компьютере или путем рассмотрения малых возмущений точных решений. В области численной теории относительности мощные компьютеры используются для моделирования геометрии пространства-времени и решения уравнений Эйнштейна для интересных ситуаций, таких как столкновение двух черных дыр. ^[59] В принципе, такие методы могут быть применены к любой системе при наличии достаточных компьютерных ресурсов и могут решать фундаментальные вопросы, такие как голые сингулярности . Приближенные решения также могут быть найдены с помощью теорий возмущений, таких как линеаризованная гравитация ^[60] и ее обобщение, постньютоновское расширение , обе из которых были разработаны Эйнштейном. Последнее обеспечивает систематический подход к решению для геометрии пространства-времени, которое содержит распределение материи, движущейся медленно по сравнению со скоростью света. Расширение включает ряд членов; первые члены представляют ньютоновскую гравитацию, тогда как последующие члены представляют все меньшие поправки к теории Ньютона из-за общей теории относительности. ^[61] Расширением этого расширения является параметризованный постньютоновский (ППН) формализм, который позволяет проводить количественные сравнения между предсказаниями общей теории относительности и альтернативными теориями. ^[62]

Следствия теории Эйнштейна

Общая теория относительности имеет ряд физических следствий. Некоторые из них вытекают непосредственно из аксиом теории, тогда как другие стали ясны только в ходе многолетних исследований, последовавших за первой публикацией Эйнштейна.

Гравитационное замедление времени и сдвиг частоты

Схематическое изображение гравитационного красного смещения световой волны, выходящей из поверхности массивного тела.

Если предположить, что принцип эквивалентности выполняется, ^[63] гравитация влияет на ход времени. Свет, посланный вниз в гравитационную яму, смещается в синюю сторону , тогда как свет, посланный в противоположном направлении (т. е. выходящий из гравитационной ямы) , смещается в красную сторону ; вместе эти два эффекта известны как гравитационный сдвиг частоты. В более общем смысле, процессы, происходящие вблизи массивного тела, протекают медленнее по сравнению с процессами, происходящими дальше; этот эффект известен как гравитационное замедление времени. ^[64]

Гравитационное красное смещение было измерено в лабораторных условиях ^[65] и с использованием астрономических наблюдений. ^[66] Гравитационное замедление времени в гравитационном поле Земли было измерено много раз с использованием атомных часов , ^[67] в то время как текущая проверка предоставляется как побочный эффект работы Глобальной системы позиционирования (GPS). ^[68] Тесты в более сильных гравитационных полях предоставляются путем наблюдения за двойными пульсарами . ^[69] Все результаты согласуются с общей теорией относительности. ^[70] Однако на текущем уровне точности эти наблюдения не могут отличить общую теорию относительности от других теорий, в которых принцип эквивалентности действителен. ^[71]

Отклонение света и гравитационная задержка времени

Отклонение света (исходящего из места, показанного синим цветом) вблизи компактного тела (показано серым цветом)

Общая теория относительности предсказывает, что путь света будет следовать кривизне пространства-времени, когда он проходит вблизи звезды. Этот эффект был первоначально подтвержден наблюдением за тем, как свет звезд или далеких квазаров отклоняется, когда он проходит мимо Солнца . [ ^72]

Это и связанные с этим предсказания вытекают из того факта, что свет следует тому, что называется светоподобной или нулевой геодезической — обобщением прямых линий, по которым свет распространяется в классической физике. Такие геодезические являются обобщением инвариантности скорости света в специальной теории относительности. ^[73] При рассмотрении подходящих модельных пространств-времен (либо внешнего решения Шварцшильда, либо, для более чем одной массы, постньютоновского расширения) ^[74] возникают несколько эффектов гравитации на распространение света. Хотя изгиб света также может быть выведен путем распространения универсальности свободного падения на свет, ^[75] угол отклонения, полученный в результате таких вычислений, составляет всего лишь половину значения, заданного общей теорией относительности. ^[76]

Тесно связана с отклонением света задержка Шапиро, явление, при котором световые сигналы тратят больше времени на перемещение через гравитационное поле, чем при отсутствии этого поля. Было проведено множество успешных проверок этого предсказания. ^[77] В параметризованном постньютоновском формализме (PPN) измерения как отклонения света, так и гравитационной задержки времени определяют параметр, называемый γ, который кодирует влияние гравитации на геометрию пространства. ^[78]

Гравитационные волны

Кольцо пробных частиц, деформированное проходящей (линеаризованной, усиленной для лучшей наглядности) гравитационной волной

Предсказанные в 1916 году ^{[79] [80]} Альбертом Эйнштейном, существуют гравитационные волны: рябь в метрике пространства-времени, которая распространяется со скоростью света. Это одна из нескольких аналогий между слабым полем гравитации и электромагнетизмом в том, что они аналогичны электромагнитным волнам . 11 февраля 2016 года команда Advanced LIGO объявила, что они напрямую обнаружили гравитационные волны от пары сливающихся черных дыр . ^{[81] [82] [83]}

Простейший тип такой волны можно визуализировать по ее воздействию на кольцо свободно плавающих частиц. Синусоидальная волна, распространяющаяся через такое кольцо к читателю, искажает кольцо характерным ритмичным образом (анимированное изображение справа). ^[84] Поскольку уравнения Эйнштейна нелинейны , произвольно сильные гравитационные волны не подчиняются линейной суперпозиции , что затрудняет их описание. Однако линейные аппроксимации гравитационных волн достаточно точны для описания чрезвычайно слабых волн, которые, как ожидается, прибудут сюда, на Землю, от далеких космических событий, которые обычно приводят к увеличению и уменьшению относительных расстояний на или меньше. Методы анализа данных обычно используют тот факт, что эти линеаризованные волны могут быть разложены в ряд Фурье . ^[85] ${\displaystyle 10^{-21}}$

Некоторые точные решения описывают гравитационные волны без каких-либо приближений, например, волновой поезд, движущийся через пустое пространство ^[86] или вселенные Гоуди , разновидности расширяющегося космоса, заполненного гравитационными волнами. ^[87] Но для гравитационных волн, возникающих в астрофизически значимых ситуациях, таких как слияние двух черных дыр, численные методы в настоящее время являются единственным способом построения соответствующих моделей. ^[88]

Орбитальные эффекты и относительность направления

Общая теория относительности отличается от классической механики рядом предсказаний, касающихся вращающихся тел. Она предсказывает общее вращение ( прецессию ) планетарных орбит, а также орбитальный распад, вызванный излучением гравитационных волн и эффектами, связанными с относительностью направления.

Прецессия апсид

Ньютоновская (красная) и эйнштейновская (синяя) орбиты одинокой планеты, вращающейся вокруг звезды. Влияние других планет игнорируется.

В общей теории относительности апсид любой орбиты (точка наибольшего приближения вращающегося тела к центру масс системы ) будет прецессировать ; орбита не является эллипсом , но похожа на эллипс, который вращается вокруг своего фокуса, что приводит к форме, похожей на розу (см. изображение). Эйнштейн впервые вывел этот результат, используя приближенную метрику, представляющую предел Ньютона, и рассматривая вращающееся тело как пробную частицу . Для него тот факт, что его теория давала прямое объяснение аномальному смещению перигелия Меркурия, обнаруженному ранее Урбеном Леверье в 1859 году, был важным доказательством того, что он наконец-то определил правильную форму уравнений гравитационного поля. ^[89]

Эффект также может быть получен с использованием либо точной метрики Шварцшильда (описывающей пространство-время вокруг сферической массы) ^[90] , либо гораздо более общего постньютоновского формализма . ^[91] Он обусловлен влиянием гравитации на геометрию пространства и вкладом собственной энергии в гравитацию тела (закодированную в нелинейности уравнений Эйнштейна). ^[92] Релятивистская прецессия наблюдалась для всех планет, которые допускают точные измерения прецессии (Меркурий, Венера и Земля), ^[93] , а также в двойных пульсарных системах, где она больше на пять порядков величины . ^[94]

В общей теории относительности смещение перигелия , выраженное в радианах за оборот, приблизительно определяется выражением ^[95] ${\displaystyle \sigma }$

${\displaystyle \sigma ={\frac {24\pi ^{3}L^{2}}{T^{2}c^{2}(1-e^{2})}}\ ,}$

где:

• ${\displaystyle L}$большая полуось
• ${\displaystyle T}$это орбитальный период
• ${\displaystyle c}$это скорость света в вакууме
• ${\displaystyle e}$это эксцентриситет орбиты

Орбитальный распад

Орбитальный распад для PSR J0737−3039: сдвиг во времени (в с ), отслеживаемый в течение 16 лет (2021 г.). ^[96]

Согласно общей теории относительности, двойная система будет излучать гравитационные волны, тем самым теряя энергию. Из-за этой потери расстояние между двумя вращающимися телами уменьшается, а также уменьшается их орбитальный период. В пределах Солнечной системы или для обычных двойных звезд эффект слишком мал, чтобы его можно было наблюдать. Это не относится к тесному двойному пульсару, системе из двух вращающихся нейтронных звезд , одна из которых является пульсаром : от пульсара наблюдатели на Земле получают регулярную серию радиоимпульсов, которые могут служить высокоточными часами, что позволяет точно измерять орбитальный период. Поскольку нейтронные звезды чрезвычайно компактны, значительные количества энергии излучаются в виде гравитационного излучения. ^[97]

Первое наблюдение уменьшения орбитального периода из-за излучения гравитационных волн было сделано Халсом и Тейлором с использованием двойного пульсара PSR1913+16, который они открыли в 1974 году. Это было первое обнаружение гравитационных волн, хотя и косвенное, за которое они были удостоены Нобелевской премии по физике 1993 года. ^[98] С тех пор было обнаружено несколько других двойных пульсаров, в частности двойной пульсар PSR J0737−3039 , где обе звезды являются пульсарами ^[99] и который, как последний раз сообщалось, также согласуется с общей теорией относительности в 2021 году после 16 лет наблюдений. ^[96]

Геодезическая прецессия и перетаскивание кадров

Несколько релятивистских эффектов напрямую связаны с относительностью направления. ^[100] Одним из них является геодезическая прецессия : направление оси гироскопа , находящегося в свободном падении в искривленном пространстве-времени, изменится при сравнении, например, с направлением света, полученного от далеких звезд, — даже если такой гироскоп представляет собой способ поддержания направления как можно более стабильным (« параллельный перенос »). ^[101] Для системы Луна-Земля этот эффект был измерен с помощью лазерной локации Луны . ^[102] Совсем недавно он был измерен для тестовых масс на борту спутника Gravity Probe B с точностью лучше 0,3%. ^{[103] [104]}

Вблизи вращающейся массы существуют гравитомагнитные или рамочные эффекты увлечения. Удаленный наблюдатель определит, что объекты, близкие к массе, «увлекаются». Это наиболее экстремально для вращающихся черных дыр , где для любого объекта, входящего в зону, известную как эргосфера , вращение неизбежно. ^[105] Такие эффекты снова можно проверить через их влияние на ориентацию гироскопов в свободном падении. ^[106] Несколько спорные тесты были проведены с использованием спутников LAGEOS , подтвердивших релятивистское предсказание. ^[107] Также использовался зонд Mars Global Surveyor вокруг Марса. ^[108]

Астрофизические приложения

Гравитационное линзирование

Крест Эйнштейна : четыре изображения одного и того же астрономического объекта, полученные с помощью гравитационной линзы.

Отклонение света под действием гравитации является причиной нового класса астрономических явлений. Если массивный объект находится между астрономом и удаленным целевым объектом с соответствующей массой и относительными расстояниями, астроном увидит несколько искаженных изображений цели. Такие эффекты известны как гравитационное линзирование. ^[109] В зависимости от конфигурации, масштаба и распределения массы может быть два или более изображений, яркое кольцо, известное как кольцо Эйнштейна , или частичные кольца, называемые дугами. ^[110] Самый ранний пример был обнаружен в 1979 году; ^[111] с тех пор было обнаружено более сотни гравитационных линз. ^[112] Даже если несколько изображений находятся слишком близко друг к другу, чтобы их можно было разрешить, эффект все равно можно измерить, например, как общее увеличение яркости целевого объекта; было замечено несколько таких « событий микролинзирования ». ^[113]

Гравитационное линзирование превратилось в инструмент наблюдательной астрономии . Оно используется для обнаружения присутствия и распределения темной материи , обеспечивает «естественный телескоп» для наблюдения за далекими галактиками и для получения независимой оценки постоянной Хаббла . Статистические оценки данных линзирования дают ценную информацию о структурной эволюции галактик . ^[114]

Гравитационно-волновая астрономия

Художественное представление космического детектора гравитационных волн LISA

Наблюдения за двойными пульсарами дают весомые косвенные доказательства существования гравитационных волн (см. Орбитальный распад выше). Обнаружение этих волн является основной целью современных исследований, связанных с теорией относительности. ^[115] В настоящее время работают несколько наземных детекторов гравитационных волн , в частности, интерферометрические детекторы GEO 600 , LIGO (два детектора), TAMA 300 и VIRGO . ^[116] Различные массивы пульсарной синхронизации используют миллисекундные пульсары для обнаружения гравитационных волн в диапазоне частот от 10−9 ^до 10−6 ^герц , которые исходят от двойных сверхмассивных черных дыр. ^[117] Европейский космический детектор eLISA / NGO в настоящее время находится в стадии разработки, ^[118] а предшествующая миссия ( LISA Pathfinder ) была запущена в декабре 2015 года. ^[119]

Наблюдения за гравитационными волнами обещают дополнить наблюдения в электромагнитном спектре . ^[120] Ожидается, что они дадут информацию о черных дырах и других плотных объектах, таких как нейтронные звезды и белые карлики, об определенных видах взрывов сверхновых и о процессах в очень ранней Вселенной, включая сигнатуру определенных типов гипотетических космических струн . ^[121] В феврале 2016 года команда Advanced LIGO объявила, что они обнаружили гравитационные волны от слияния черных дыр. ^{[81] [82] [83]}

Черные дыры и другие компактные объекты

Моделирование на основе уравнений общей теории относительности: звезда коллапсирует, образуя черную дыру, испуская при этом гравитационные волны.

Всякий раз, когда отношение массы объекта к его радиусу становится достаточно большим, общая теория относительности предсказывает образование черной дыры, области пространства, из которой ничто, даже свет, не может вырваться. В принятых в настоящее время моделях звездной эволюции нейтронные звезды с массой около 1,4 солнечных масс и звездные черные дыры с массой от нескольких до нескольких десятков солнечных масс считаются конечным состоянием эволюции массивных звезд. ^[122] Обычно в центре галактики находится одна сверхмассивная черная дыра с массой от нескольких миллионов до нескольких миллиардов солнечных масс, ^[123] и ее присутствие, как полагают, сыграло важную роль в формировании галактики и более крупных космических структур. ^[124]

С астрономической точки зрения, наиболее важным свойством компактных объектов является то, что они обеспечивают чрезвычайно эффективный механизм для преобразования гравитационной энергии в электромагнитное излучение. ^[125] Аккреция , падение пыли или газообразной материи на звездные или сверхмассивные черные дыры, как полагают, ответственна за некоторые впечатляюще яркие астрономические объекты, в частности, разнообразные виды активных галактических ядер в галактических масштабах и объекты звездного размера, такие как микроквазары. ^[126] В частности, аккреция может привести к релятивистским струям , сфокусированным пучкам высокоэнергетических частиц, которые выбрасываются в космос почти со скоростью света. ^[127] Общая теория относительности играет центральную роль в моделировании всех этих явлений, ^[128] и наблюдения предоставляют убедительные доказательства существования черных дыр со свойствами, предсказанными теорией. ^[129]

Черные дыры также являются желанными целями в поиске гравитационных волн (ср. Гравитационные волны, выше). Слияние двойных черных дыр должно привести к некоторым из самых сильных сигналов гравитационных волн, достигающих детекторов здесь, на Земле, и фаза непосредственно перед слиянием («чирп») может быть использована как « стандартная свеча » для определения расстояния до событий слияния и, следовательно, служить зондом космического расширения на больших расстояниях. ^[130] Гравитационные волны, возникающие при погружении звездной черной дыры в сверхмассивную, должны предоставить прямую информацию о геометрии сверхмассивной черной дыры. ^[131]

Космология

Эта голубая подкова — далекая галактика, которая была увеличена и деформирована в почти полное кольцо под действием сильного гравитационного притяжения массивной яркой красной галактики на переднем плане.

Современные модели космологии основаны на уравнениях поля Эйнштейна , которые включают космологическую постоянную, поскольку она оказывает важное влияние на крупномасштабную динамику космоса, ${\displaystyle \Lambda }$

${\displaystyle R_{\mu \nu }-{\textstyle 1 \over 2}R\,g_{\mu \nu }+\Lambda \ g_{\mu \nu }={\frac {8\pi G}{c^{4}}}\,T_{\mu \nu }}$

где — метрика пространства-времени. ^[132] Изотропные и однородные решения этих расширенных уравнений, решения Фридмана–Лемэтра–Робертсона–Уокера , ^[133] позволяют физикам моделировать вселенную, которая развивалась в течение последних 14  миллиардов  лет из горячей ранней фазы Большого взрыва. ^[134] Как только небольшое количество параметров (например, средняя плотность материи вселенной) зафиксировано астрономическими наблюдениями, ^[135] можно использовать дополнительные данные наблюдений для проверки моделей. ^[136] Предсказания, все успешные, включают начальное обилие химических элементов, образованных в период первичного нуклеосинтеза , ^[137] крупномасштабную структуру вселенной, ^[138] и существование и свойства « теплового эха» из раннего космоса, космического фонового излучения . ^[139] ${\displaystyle g_{\mu \nu }}$

Астрономические наблюдения за скоростью космологического расширения позволяют оценить общее количество материи во Вселенной, хотя природа этой материи отчасти остается загадочной. Около 90% всей материи, по-видимому, является темной материей, которая имеет массу (или, что эквивалентно, гравитационное влияние), но не взаимодействует электромагнитно и, следовательно, не может наблюдаться напрямую. ^[140] Не существует общепринятого описания этого нового вида материи в рамках известной физики элементарных частиц ^[141] или иным образом. ^[142] Наблюдательные данные из обзоров красного смещения далеких сверхновых и измерений космического фонового излучения также показывают, что эволюция нашей Вселенной существенно зависит от космологической постоянной, приводящей к ускорению космического расширения или, что эквивалентно, от формы энергии с необычным уравнением состояния , известной как темная энергия , природа которой остается неясной. ^[143]

Инфляционная фаза ^[144] дополнительная фаза сильно ускоренного расширения за космическое время около 10 ⁻³³ секунд была выдвинута в 1980 году для объяснения нескольких загадочных наблюдений, которые не были объяснены классическими космологическими моделями, такими как почти идеальная однородность космического фонового излучения. ^[145] Недавние измерения космического фонового излучения привели к первым доказательствам этого сценария. ^[146] Однако существует ошеломляющее разнообразие возможных инфляционных сценариев, которые не могут быть ограничены текущими наблюдениями. ^[147] Еще более масштабный вопрос — физика самой ранней Вселенной, до инфляционной фазы и близкой к тому месту, где классические модели предсказывают сингулярность Большого взрыва . Авторитетный ответ потребовал бы полной теории квантовой гравитации, которая еще не разработана ^[148] (см. раздел о квантовой гравитации ниже).

Экзотические решения: путешествия во времени, варп-двигатели

Курт Гёдель показал ^[149] , что существуют решения уравнений Эйнштейна, содержащие замкнутые времениподобные кривые (ЗВК), которые допускают петли во времени. Решения требуют экстремальных физических условий, которые вряд ли когда-либо возникнут на практике, и остается открытым вопрос, устранят ли их полностью дальнейшие законы физики. С тех пор были найдены другие — столь же непрактичные — решения ОТО, содержащие ЗВК, такие как цилиндр Типлера и проходимые червоточины . Стивен Хокинг ввел гипотезу о защите хронологии , которая является предположением, выходящим за рамки стандартной общей теории относительности, для предотвращения путешествий во времени .

Некоторые точные решения в общей теории относительности, такие как двигатель Алькубьерре, представляют собой примеры варп-двигателя , но эти решения требуют экзотического распределения материи и, как правило, страдают от полуклассической неустойчивости. ^[150]

Расширенные концепции

Асимптотические симметрии

Группа симметрии пространства-времени для специальной теории относительности — это группа Пуанкаре , которая является десятимерной группой из трех лоренцевских бустов, трех вращений и четырех пространственно-временных трансляций. Логично спросить, какие симметрии, если таковые имеются, могут применяться в общей теории относительности. Поддающимся решению случаем может быть рассмотрение симметрий пространства-времени, как их видят наблюдатели, находящиеся далеко от всех источников гравитационного поля. Наивное ожидание асимптотически плоских симметрий пространства-времени может заключаться в простом расширении и воспроизведении симметрий плоского пространства-времени специальной теории относительности, а именно группы Пуанкаре.

В 1962 году Герман Бонди , М. Г. ван дер Бург, А. В. Метцнер ^[151] и Райнер К. Сакс ^[152] обратились к этой проблеме асимптотической симметрии , чтобы исследовать поток энергии на бесконечности из-за распространяющихся гравитационных волн . Их первым шагом было принятие решения о некоторых физически разумных граничных условиях, которые можно было бы наложить на гравитационное поле на светоподобной бесконечности, чтобы охарактеризовать, что значит сказать, что метрика является асимптотически плоской, не делая никаких априорных предположений о природе группы асимптотической симметрии — даже предположения о том, что такая группа существует. Затем, после разработки того, что они считали наиболее разумными граничными условиями, они исследовали природу результирующих преобразований асимптотической симметрии, которые оставляют инвариантной форму граничных условий, соответствующих асимптотически плоским гравитационным полям. Они обнаружили, что асимптотические преобразования симметрии на самом деле образуют группу, и структура этой группы не зависит от конкретного гравитационного поля, которое случайно присутствует. Это означает, что, как и ожидалось, можно отделить кинематику пространства-времени от динамики гравитационного поля, по крайней мере, на пространственной бесконечности. Озадачивающим сюрпризом в 1962 году стало их открытие богатой бесконечномерной группы (так называемой группы BMS) в качестве асимптотической группы симметрии вместо конечномерной группы Пуанкаре, которая является подгруппой группы BMS. Преобразования Лоренца являются не только асимптотическими преобразованиями симметрии, но существуют также дополнительные преобразования, которые не являются преобразованиями Лоренца, но являются асимптотическими преобразованиями симметрии. Фактически, они обнаружили дополнительную бесконечность генераторов преобразований, известных как супертрансляции . Это подразумевает вывод о том, что общая теория относительности (ОТО) не сводится к специальной теории относительности в случае слабых полей на больших расстояниях. Оказывается, что симметрия БМС, соответствующим образом модифицированная, может рассматриваться как переформулировка универсальной теоремы о мягком гравитоне в квантовой теории поля (КТП), которая связывает универсальную инфракрасную (мягкую) КТП с асимптотическими симметриями пространства-времени ОТО. ^[153]

Причинно-следственная структура и глобальная геометрия

Диаграмма Пенроуза–Картера бесконечной вселенной Минковского

В общей теории относительности ни одно материальное тело не может догнать или перегнать световой импульс. Никакое влияние от события A не может достичь любого другого места X до того, как свет будет послан из A в X. В результате исследование всех световых мировых линий ( нулевых геодезических ) дает ключевую информацию о причинной структуре пространства-времени. Эту структуру можно отобразить с помощью диаграмм Пенроуза-Картера , в которых бесконечно большие области пространства и бесконечные временные интервалы сжимаются (« компактифицируются ») так, чтобы поместиться на конечной карте, в то время как свет по-прежнему движется по диагоналям, как в стандартных диаграммах пространства-времени . ^[154]

Осознавая важность причинной структуры, Роджер Пенроуз и другие разработали то, что известно как глобальная геометрия . В глобальной геометрии объектом изучения является не одно конкретное решение (или семейство решений) уравнений Эйнштейна. Скорее, для получения общих результатов используются соотношения, которые справедливы для всех геодезических, такие как уравнение Райчаудхури , и дополнительные неспецифические предположения о природе материи (обычно в форме энергетических условий ). ^[155]

Горизонты

Используя глобальную геометрию, можно показать, что некоторые пространства-времена содержат границы, называемые горизонтами , которые разграничивают одну область от остального пространства-времени. Наиболее известными примерами являются черные дыры: если масса сжимается в достаточно компактную область пространства (как указано в гипотезе обруча , соответствующая шкала длины — радиус Шварцшильда ^[156] ), никакой свет изнутри не может вырваться наружу. Поскольку ни один объект не может обогнать световой импульс, вся внутренняя материя также оказывается в заточении. Переход из внешнего пространства во внутреннее все еще возможен, показывая, что граница, горизонт черной дыры , не является физическим барьером. ^[157]

Эргосфера вращающейся черной дыры, играющая ключевую роль при извлечении энергии из такой черной дыры

Ранние исследования черных дыр опирались на явные решения уравнений Эйнштейна, в частности, на сферически симметричное решение Шварцшильда (используемое для описания статической черной дыры) и осесимметричное решение Керра (используемое для описания вращающейся, стационарной черной дыры и введения интересных особенностей, таких как эргосфера). Используя глобальную геометрию, более поздние исследования выявили более общие свойства черных дыр. Со временем они становятся довольно простыми объектами, характеризующимися одиннадцатью параметрами, определяющими: электрический заряд, массу-энергию, линейный импульс , угловой момент и местоположение в определенное время. Это утверждается теоремой об уникальности черных дыр : «у черных дыр нет волос», то есть нет отличительных признаков, таких как прически людей. Независимо от сложности гравитирующего объекта, коллапсирующего с образованием черной дыры, объект, который получается (испускающий гравитационные волны), очень прост. ^[158]

Еще более примечательно, что существует общий набор законов, известный как механика черных дыр , который аналогичен законам термодинамики . Например, по второму закону механики черных дыр, площадь горизонта событий общей черной дыры никогда не будет уменьшаться со временем, аналогично энтропии термодинамической системы. Это ограничивает энергию, которая может быть извлечена классическими средствами из вращающейся черной дыры (например, с помощью процесса Пенроуза ). ^[159] Существуют веские доказательства того, что законы механики черных дыр, по сути, являются подмножеством законов термодинамики, и что площадь черной дыры пропорциональна ее энтропии. ^[160] Это приводит к модификации исходных законов механики черных дыр: например, поскольку второй закон механики черных дыр становится частью второго закона термодинамики, возможно уменьшение площади черной дыры до тех пор, пока другие процессы обеспечивают общее увеличение энтропии. Как термодинамические объекты с ненулевой температурой, черные дыры должны испускать тепловое излучение . Полуклассические расчеты показывают, что это действительно так, причем поверхностная гравитация играет роль температуры в законе Планка . Это излучение известно как излучение Хокинга (см. раздел квантовой теории ниже). ^[161]

Существует много других типов горизонтов. В расширяющейся Вселенной наблюдатель может обнаружить, что некоторые регионы прошлого не могут быть обнаружены (« горизонт частиц »), а некоторые регионы будущего не могут быть затронуты (горизонт событий). ^[162] Даже в плоском пространстве Минковского, описываемом ускоренным наблюдателем ( пространство Риндлера ), будут горизонты, связанные с полуклассическим излучением, известным как излучение Унру . ^[163]

Сингулярности

Другой общей чертой общей теории относительности является появление границ пространства-времени, известных как сингулярности. Пространство-время можно исследовать, следуя времениподобным и светоподобным геодезическим — всем возможным путям, по которым могут перемещаться свет и частицы в свободном падении. Но некоторые решения уравнений Эйнштейна имеют «рваные края» — области, известные как сингулярности пространства-времени , где пути света и падающих частиц резко обрываются, и геометрия становится плохо определенной. В более интересных случаях это «сингулярности кривизны», где геометрические величины, характеризующие кривизну пространства-времени, такие как скаляр Риччи , принимают бесконечные значения. ^[164] Хорошо известными примерами пространства-времени с будущими сингулярностями — где заканчиваются мировые линии — являются решение Шварцшильда, которое описывает сингулярность внутри вечной статической черной дыры, ^[165] или решение Керра с его кольцеобразной сингулярностью внутри вечно вращающейся черной дыры. ^[166] Решения Фридмана-Леметра-Робертсона-Уокера и другие пространственно-временные решения, описывающие вселенные, имеют прошлые сингулярности, на которых начинаются мировые линии, а именно сингулярности Большого взрыва, а некоторые также имеют будущие сингулярности ( Большое сжатие ). ^[167]

Учитывая, что все эти примеры высоко симметричны — и, таким образом, упрощены — возникает соблазн заключить, что возникновение сингулярностей является артефактом идеализации. ^[168] Знаменитые теоремы о сингулярностях , доказанные с использованием методов глобальной геометрии, говорят об обратном: сингулярности являются общей чертой общей теории относительности и неизбежны, как только коллапс объекта с реалистичными свойствами материи вышел за пределы определенной стадии ^[169], а также в начале широкого класса расширяющихся вселенных. ^[170] Однако теоремы мало говорят о свойствах сингулярностей, и большая часть текущих исследований посвящена характеристике общей структуры этих сущностей (предполагаемой, например, гипотезой БКЛ ) . ^[171] Гипотеза космической цензуры утверждает, что все реалистичные будущие сингулярности (без идеальной симметрии, материя с реалистичными свойствами) надежно спрятаны за горизонтом и, таким образом, невидимы для всех удаленных наблюдателей. Хотя формального доказательства пока не существует, численное моделирование предоставляет подтверждающие доказательства ее обоснованности. ^[172]

Уравнения эволюции

Каждое решение уравнения Эйнштейна охватывает всю историю вселенной — это не просто некий снимок того, как обстоят дела, а целое, возможно, заполненное материей, пространство-время. Оно описывает состояние материи и геометрии везде и в каждый момент в этой конкретной вселенной. Из-за своей общей ковариантности теория Эйнштейна сама по себе недостаточна для определения временной эволюции метрического тензора. Она должна быть объединена с координатным условием , которое аналогично фиксации калибровки в других теориях поля. ^[173]

Чтобы понять уравнения Эйнштейна как уравнения в частных производных, полезно сформулировать их таким образом, чтобы описать эволюцию Вселенной с течением времени. Это делается в формулировках «3+1», где пространство-время разделено на три пространственных измерения и одно временное измерение. Наиболее известным примером является формализм ADM . ^[174] Эти разложения показывают, что уравнения эволюции пространства-времени общей теории относительности ведут себя хорошо: решения всегда существуют и однозначно определены, как только были указаны подходящие начальные условия. ^[175] Такие формулировки полевых уравнений Эйнштейна являются основой численной теории относительности. ^[176]

Глобальные и квазилокальные величины

Понятие уравнений эволюции тесно связано с другим аспектом общей релятивистской физики. В теории Эйнштейна оказывается невозможным найти общее определение для, казалось бы, простого свойства, такого как общая масса (или энергия) системы. Основная причина в том, что гравитационному полю — как и любому физическому полю — необходимо приписать определенную энергию, но локализовать эту энергию оказывается принципиально невозможно. ^[177]

Тем не менее, существуют возможности определить общую массу системы, используя гипотетического «бесконечно удаленного наблюдателя» ( массу ADM ) ^[178] или подходящие симметрии ( массу Комара ). ^[179] Если исключить из общей массы системы энергию, уносимую в бесконечность гравитационными волнами, результатом будет масса Бонди на нулевой бесконечности. ^[180] Так же, как и в классической физике , можно показать, что эти массы положительны. ^[181] Соответствующие глобальные определения существуют для импульса и углового момента. ^[182] Также было предпринято несколько попыток определить квазилокальные величины, такие как масса изолированной системы, сформулированная с использованием только величин, определенных в конечной области пространства, содержащей эту систему. Надежда состоит в том, чтобы получить величину, полезную для общих утверждений об изолированных системах , таких как более точная формулировка гипотезы обруча. ^[183]

Связь с квантовой теорией

Если бы общая теория относительности считалась одним из двух столпов современной физики, то квантовая теория, основа понимания материи от элементарных частиц до физики твердого тела , была бы другим. ^[184] Однако вопрос о том, как примирить квантовую теорию с общей теорией относительности, все еще остается открытым.

Квантовая теория поля в искривленном пространстве-времени

Обычные квантовые теории поля , которые составляют основу современной физики элементарных частиц, определяются в плоском пространстве Минковского, которое является превосходным приближением, когда дело доходит до описания поведения микроскопических частиц в слабых гравитационных полях, подобных тем, что обнаружены на Земле. ^[185] Для того чтобы описать ситуации, в которых гравитация достаточно сильна, чтобы влиять на (квантовую) материю, но недостаточно сильна, чтобы требовать квантования, физики сформулировали квантовые теории поля в искривленном пространстве-времени. Эти теории опираются на общую теорию относительности для описания искривленного фонового пространства-времени и определяют обобщенную квантовую теорию поля для описания поведения квантовой материи в этом пространстве-времени. ^[186] Используя этот формализм, можно показать, что черные дыры испускают спектр частиц черного тела, известный как излучение Хокинга, что приводит к возможности их испарения с течением времени. ^[187] Как кратко упоминалось выше, это излучение играет важную роль в термодинамике черных дыр. ^[188]

Квантовая гравитация

Проекция многообразия Калаби–Яу , один из способов компактификации дополнительных измерений, постулируемых теорией струн.

Требование согласованности между квантовым описанием материи и геометрическим описанием пространства-времени ^[189] , а также появление сингулярностей (где масштабы длины кривизны становятся микроскопическими) указывают на необходимость полной теории квантовой гравитации: для адекватного описания внутренностей черных дыр и очень ранней Вселенной требуется теория, в которой гравитация и связанная с ней геометрия пространства-времени описываются на языке квантовой физики. ^[190] Несмотря на значительные усилия, в настоящее время не известно ни одной полной и согласованной теории квантовой гравитации, хотя существует ряд многообещающих кандидатов. ^{[191] [192]}

Попытки обобщить обычные квантовые теории поля, используемые в физике элементарных частиц для описания фундаментальных взаимодействий, с тем, чтобы включить гравитацию, привели к серьезным проблемам. ^[193] Некоторые утверждают, что при низких энергиях этот подход оказывается успешным, поскольку он приводит к приемлемой эффективной (квантовой) полевой теории гравитации. ^[194] Однако при очень высоких энергиях пертурбативные результаты сильно расходятся и приводят к моделям, лишенным предсказательной силы («пертурбативная неперенормируемость »). ^[195]

Простая спиновая сеть типа используемой в петлевой квантовой гравитации

Одной из попыток преодолеть эти ограничения является теория струн , квантовая теория не точечных частиц , а мельчайших одномерных протяженных объектов. ^[196] Теория обещает быть единым описанием всех частиц и взаимодействий, включая гравитацию; ^[197] цена, которую приходится платить, — необычные особенности, такие как шесть дополнительных измерений пространства в дополнение к обычным трем. ^[198] В том, что называется второй революцией суперструн , было высказано предположение, что как теория струн, так и объединение общей теории относительности и суперсимметрии, известное как супергравитация ^[199], образуют часть гипотетической одиннадцатимерной модели, известной как М-теория , которая будет представлять собой однозначно определенную и непротиворечивую теорию квантовой гравитации. ^[200]

Другой подход начинается с канонических процедур квантования квантовой теории. Используя начальную формулировку общей теории относительности (ср. уравнения эволюции выше), результатом является уравнение Уиллера-деВитта (аналог уравнения Шредингера ), которое, к сожалению, оказывается плохо определенным без надлежащего ультрафиолетового (решеточного) обрезания. ^[201] Однако с введением того, что теперь известно как переменные Аштекара , ^[202] это приводит к многообещающей модели, известной как петлевая квантовая гравитация . Пространство представлено паутинообразной структурой, называемой спиновой сетью , развивающейся со временем дискретными шагами. ^[203]

В зависимости от того, какие особенности общей теории относительности и квантовой теории принимаются неизменными, и на каком уровне вносятся изменения, ^[204] существует множество других попыток прийти к жизнеспособной теории квантовой гравитации, некоторыми примерами которой являются решеточная теория гравитации, основанная на подходе интеграла по траекториям Фейнмана и исчислении Редже , ^[191] динамические триангуляции , ^[205] причинные множества , ^[206] твисторные модели ^[207] или модели квантовой космологии , основанные на интеграле по траекториям . ^[208]

Наблюдение гравитационных волн от слияния двойных черных дыр GW150914

Все теории-кандидаты все еще имеют серьезные формальные и концептуальные проблемы, которые необходимо преодолеть. Они также сталкиваются с общей проблемой, что пока нет способа подвергнуть предсказания квантовой гравитации экспериментальным проверкам (и, таким образом, выбрать между кандидатами, где их предсказания различаются), хотя есть надежда, что это изменится, поскольку будущие данные космологических наблюдений и экспериментов по физике частиц станут доступными. ^[209]

Текущий статус

Общая теория относительности возникла как весьма успешная модель гравитации и космологии, которая до сих пор прошла множество однозначных наблюдательных и экспериментальных проверок. Однако есть веские основания полагать, что эта теория неполна. ^[210] Проблема квантовой гравитации и вопрос о реальности сингулярностей пространства-времени остаются открытыми. ^[211] Данные наблюдений, которые принимаются в качестве доказательства темной энергии и темной материи, могут указывать на необходимость новой физики. ^[212]

Даже взятая как есть, общая теория относительности богата возможностями для дальнейшего исследования. Математические релятивисты стремятся понять природу сингулярностей и фундаментальные свойства уравнений Эйнштейна, ^[213] в то время как числовые релятивисты запускают все более мощные компьютерные моделирования (например, те, которые описывают слияние черных дыр). ^[214] В феврале 2016 года было объявлено, что существование гравитационных волн было напрямую обнаружено командой Advanced LIGO 14 сентября 2015 года. ^{[83] [215] [216]} Спустя столетие после своего появления общая теория относительности остается весьма активной областью исследований. ^[217]

Смотрите также

• Двигатель Алькубьерре  – Гипотетическая сверхсветовая транспортировка с помощью искривления пространства (варп-двигатель)
• Альтернативы общей теории относительности  – Предлагаемые теории гравитации
• Вкладчики в общую теорию относительности
• Выводы преобразований Лоренца
• Парадокс Эренфеста  - Парадокс в специальной теории относительности
• Действие Эйнштейна–Гильберта  – Концепция в общей теории относительности
• Мысленные эксперименты Эйнштейна  – гипотетические ситуации Альберта Эйнштейна для аргументации научных положений
• Спор о приоритете общей теории относительности  – Дебаты о заслугах общей теории относительности
• Введение в математику общей теории относительности
• Теория гравитации Нордстрема  – Предшественник теории относительности
• Проблемы с общей теорией относительности Эйнштейна
• Исчисление Риччи  – обозначение индекса тензора для вычислений на основе тензоров
• Хронология гравитационной физики и теории относительности

Ссылки

1. "GW150914: LIGO обнаруживает гравитационные волны". Black-holes.org . Получено 18 апреля 2016 г. .
2. Ландау и Лифшиц 1975, стр. 228 «... общая теория относительности ... была создана Эйнштейном и представляет собой, вероятно, самую красивую из всех существующих физических теорий».
3. Пуанкаре 1905
4. О'Коннор, Дж. Дж.; Робертсон, Э. Ф. (май 1996 г.). «Общая теория относительности». Темы истории: Индекс математической физики, Шотландия: Школа математики и статистики, Университет Сент-Эндрюс , архивировано из оригинала 4 февраля 2015 г. , извлечено 4 февраля 2015 г.
5. Pais 1982, гл. 9–15, Janssen 2005; актуальная коллекция текущих исследований, включая перепечатки многих оригинальных статей, — Renn 2007; доступный обзор можно найти в Renn 2005, стр. 110 и далее. Оригинальные статьи Эйнштейна можно найти в Digital Einstein, тома 4 и 6. Ранняя ключевая статья — Einstein 1907, см. Pais 1982, гл. 9. Публикация, в которой представлены уравнения поля, — Einstein 1915, см. Pais 1982, гл. 11–15
6. Моше Кармели (2008). Относительность: Современные крупномасштабные структуры космоса. стр. 92, 93. World Scientific Publishing
7. Гроссманн по математической части и Эйнштейн по физической части (1913). Entwurf einer verallgemeinerten Relativitätstheorie und einer Theorie der Gravitation (Очерк обобщенной теории относительности и теории гравитации), Zeitschrift für Mathematik und Physik, 62, 225–261. английский перевод
8. Schwarzschild 1916a, Schwarzschild 1916b и Reissner 1916 (позже дополнено в Nordström 1918)
9. Эйнштейн 1917, ср. Pais 1982, гл. 15e
10. Оригинальная статья Хаббла — Hubble 1929; доступный обзор дан в Singh 2004, гл. 2–4.
11. Как сообщалось в Gamow 1970. Осуждение Эйнштейна оказалось преждевременным, см. раздел Космология ниже.
12. Паис 1982, стр. 253–254.
13. Кеннефик 2005, Кеннефик 2007
14. Паис 1982, гл. 16
15. Торн 2003, стр. 74
16. Израиль 1987, гл. 7.8–7.10, Торн 1994, гл. 3–9
17. Разделы Орбитальные эффекты и относительность направления, Гравитационное замедление времени и сдвиг частоты и Отклонение света и гравитационная задержка времени, а также ссылки в них.
18. Раздел «Космология» и ссылки в нем; историческое развитие см. в Overbye 1999
19. Вальд 1984, стр. 3
20. Rovelli 2015, стр. 1–6 «Общая теория относительности — это не просто необычайно красивая физическая теория, дающая лучшее описание гравитационного взаимодействия, которое у нас есть на данный момент. Это нечто большее».
21. Чандрасекар 1984, стр. 6
22. Энглер 2002
23. Альберт Эйнштейн (2011). Относительность – Специальная и общая теория. Read Books Ltd. стр. 4. ISBN 978-1-4474-9358-7.Выдержка из страницы 4
24. Следующее изложение повторяет изложение Элерса 1973, раздел 1.
25. Аль-Халили, Джим (26 марта 2021 г.). «Гравитация и я: сила, которая формирует нашу жизнь». www.bbc.co.uk . Получено 9 апреля 2021 г. .
26. Арнольд 1989, гл. 1
27. Элерс 1973, стр. 5f
28. Завещание 1993 г., раздел 2.4, Завещание 2006 г., раздел 2
29. Уиллер 1990, гл. 2
30. Ehlers 1973, раздел 1.2, Havas 1964, Künzle 1972. Простой мысленный эксперимент, о котором идет речь, был впервые описан в Heckmann & Schücking 1959.
31. Элерс 1973, стр. 10f
32. Хорошими введениями являются, в порядке возрастания предполагаемых знаний математики, Giulini 2005, Mermin 2005 и Rindler 1991; для описания точных экспериментов см. часть IV Ehlers & Lämmerzahl 2006
33. Подробное сравнение двух групп симметрии можно найти в работе Giulini 2006.
34. Риндлер 1991, раздел 22, Синг 1972, гл. 1 и 2
35. Элерс 1973, раздел 2.3
36. Элерс 1973, раздел 1.4, Шутц 1985, раздел 5.1
37. Ehlers 1973, стр. 17 и далее; вывод можно найти в Mermin 2005, гл. 12. Для экспериментальных доказательств см. раздел Гравитационное замедление времени и сдвиг частоты ниже.
38. Rindler 2001, раздел 1.13; для элементарного изложения см. Wheeler 1990, гл. 2; однако, есть некоторые различия между современной версией и оригинальной концепцией Эйнштейна, использованной в историческом выводе общей теории относительности, см. Norton 1985
39. Ehlers 1973, sec. 1.4 для экспериментальных доказательств, см. еще раз раздел Гравитационное замедление времени и сдвиг частоты. Выбор другой связи с ненулевым кручением приводит к модифицированной теории, известной как теория Эйнштейна–Картана
40. Элерс 1973, стр. 16, Кеньон 1990, раздел 7.2, Вайнберг 1972, раздел 2.8
41. Ehlers 1973, стр. 19–22; для аналогичных выводов см. разделы 1 и 2 гл. 7 в Weinberg 1972. Тензор Эйнштейна является единственным тензором без соленоида, который является функцией метрических коэффициентов, их первой и второй производных в лучшем случае, и допускает пространство-время специальной теории относительности как решение при отсутствии источников гравитации, см. Lovelock 1972. Тензоры с обеих сторон имеют второй ранг, то есть каждый из них может рассматриваться как матрицы 4×4, каждая из которых содержит десять независимых членов; следовательно, вышеизложенное представляет собой десять связанных уравнений. Тот факт, что в результате геометрических соотношений, известных как тождества Бьянки , тензор Эйнштейна удовлетворяет еще четырем тождествам, сводит их к шести независимым уравнениям, например, Schutz 1985, раздел 8.3
42. Кеньон 1990, раздел 7.4
43. Вайнберг, Стивен (1972). Гравитация и космология: принципы и приложения общей теории относительности . Джон Уайли. ISBN 978-0-471-92567-5.
44. Ченг, Та-Пей (2005). Относительность, гравитация и космология: базовое введение . Оксфорд и Нью-Йорк: Oxford University Press. ISBN 978-0-19-852957-6.
45. Brans & Dicke 1961, Weinberg 1972, раздел 3 в гл. 7, Goenner 2004, раздел 7.2 и Trautman 2006, соответственно.
46. Wald 1984, гл. 4, Weinberg 1972, гл. 7 или, по сути, любой другой учебник по общей теории относительности
47. По крайней мере приблизительно, см. Poisson 2004a
48. Уиллер 1990, стр. xi
49. Вальд 1984, раздел 4.4.
50. Вальд 1984, раздел 4.1
51. О (концептуальных и исторических) трудностях в определении общего принципа относительности и отделении его от понятия общей ковариантности см. Giulini 2007.
52. раздел 5 в гл. 12 Вайнберга 1972 г.
53. Вводные главы Стефани и др. 2003 г.
54. Обзор, показывающий уравнение Эйнштейна в более широком контексте других уравнений в частных производных, имеющих физическое значение, см. Geroch 1996.
55. Для получения дополнительной информации и списка решений см. Stephani et al. 2003; более поздний обзор можно найти в MacCallum 2006
56. Чандрасекхар 1983, гл. 3,5,6
57. Нарликар 1993, гл. 4, сек. 3.3
58. Краткое описание этих и других интересных решений можно найти в книге Хокинга и Эллиса 1973, гл. 5.
59. Ленер 2002
60. Например, Wald 1984, раздел 4.4.
61. Завещание 1993 г., раздел 4.1 и 4.2.
62. Завещание 2006 г., раздел 3.2, Завещание 1993 г., раздел 4
63. Rindler 2001, стр. 24–26 против стр. 236–237 и Ohanian & Ruffini 1994, стр. 164–172. Эйнштейн вывел эти эффекты, используя принцип эквивалентности еще в 1907 году, ср. Einstein 1907 и описание в Pais 1982, стр. 196–198
64. Риндлер 2001, стр. 24–26; ​​Мизнер, Торн и Уилер 1973, § 38.5
65. Эксперимент Паунда–Ребки , см. Pound & Rebka 1959, Pound & Rebka 1960; Pound & Snider 1964; список дальнейших экспериментов приведен в Ohanian & Ruffini 1994, таблица 4.1 на стр. 186
66. Гринстейн, Оке и Шипман, 1971; самые последние и самые точные измерения Сириуса B опубликованы в работе Барстоу, Бонда и др., 2005.
67. Начиная с эксперимента Хафеле–Китинга , Хафеле и Китинг 1972a и Хафеле и Китинг 1972b, и заканчивая экспериментом Gravity Probe A ; обзор экспериментов можно найти в Ohanian & Ruffini 1994, таблица 4.1 на стр. 186
68. GPS постоянно проверяется путем сравнения атомных часов на Земле и на борту орбитальных спутников; для учета релятивистских эффектов см. Ashby 2002 и Ashby 2003
69. Лестница 2003 и Крамер 2004
70. Общие обзоры можно найти в разделе 2.1. Will 2006; Will 2003, стр. 32–36; Ohanian & Ruffini 1994, раздел 4.2
71. Оганян и Руффини 1994, стр. 164–172.
72. Cf. Kennefick 2005 для классических ранних измерений экспедиций Артура Эддингтона. Для обзора более поздних измерений см. Ohanian & Ruffini 1994, гл. 4.3. Для наиболее точных прямых современных наблюдений с использованием квазаров см. Shapiro et al. 2004
73. Это не независимая аксиома; ее можно вывести из уравнений Эйнштейна и лагранжиана Максвелла с использованием приближения ВКБ , см. Ehlers 1973, раздел 5.
74. Бланше 2006, раздел 1.3
75. Rindler 2001, sec. 1.16; исторические примеры см. в Israel 1987, pp. 202–204; фактически, Эйнштейн опубликовал один такой вывод как Einstein 1907. Такие вычисления молчаливо предполагают, что геометрия пространства является евклидовой , см. Ehlers & Rindler 1997
76. С точки зрения теории Эйнштейна эти выводы учитывают влияние гравитации на время, но не его последствия для искривления пространства, см. Rindler 2001, sec. 11.11
77. Для гравитационного поля Солнца с использованием радиолокационных сигналов, отраженных от таких планет, как Венера и Меркурий, см. Shapiro 1964, Weinberg 1972, гл. 8, секция 7; для сигналов, активно посылаемых обратно космическими зондами ( измерения транспондера ), см. Bertotti, Iess & Tortora 2003; для обзора см. Ohanian & Ruffini 1994, таблица 4.4 на стр. 200; для более поздних измерений с использованием сигналов, полученных от пульсара , который является частью двойной системы, гравитационное поле, вызывающее временную задержку, является полем другого пульсара, см. Stairs 2003, секция 4.4
78. Завещание 1993 г., ст. 7.1 и 7.2.
79. Эйнштейн, А (22 июня 1916 г.). «Näherungsweise Integration der Feldgleichungen der Gravitation». Sitzungsberichte der Königlich Preussischen Akademie der Wissenschaften Berlin (часть 1): 688–696. Бибкод : 1916SPAW.......688E. Архивировано из оригинала 21 марта 2019 года . Проверено 12 февраля 2016 г.
80. Эйнштейн, А (31 января 1918 г.). «Убер-Гравитация». Sitzungsberichte der Königlich Preussischen Akademie der Wissenschaften Berlin (часть 1): 154–167. Бибкод : 1918SPAW.......154E. Архивировано из оригинала 21 марта 2019 года . Проверено 12 февраля 2016 г.
81. Castelvecchi, Davide; Witze, Witze (11 февраля 2016 г.). «Наконец-то найдены гравитационные волны Эйнштейна». Nature News . doi :10.1038/nature.2016.19361. S2CID  182916902 . Получено 11 февраля 2016 г. .
82. BP Abbott; et al. (LIGO Scientific Collaboration и Virgo Collaboration) (2016). "Наблюдение гравитационных волн от слияния бинарных черных дыр". Physical Review Letters . 116 (6): 061102. arXiv : 1602.03837 . Bibcode :2016PhRvL.116f1102A. doi :10.1103/PhysRevLett.116.061102. PMID  26918975. S2CID  124959784.
83. "Гравитационные волны обнаружены через 100 лет после предсказания Эйнштейна". NSF – Национальный научный фонд . 11 февраля 2016 г.
84. Большинство продвинутых учебников по общей теории относительности содержат описание этих свойств, например, Schutz 1985, гл. 9
85. Например, Ярановский и Крулак, 2005 г.
86. Риндлер 2001, гл. 13
87. Гоуди 1971, Гоуди 1974
88. См. Lehner 2002 для краткого введения в методы численной теории относительности и Seidel 1998 для связи с гравитационно-волновой астрономией.
89. Шутц 2003, стр. 48–49, Паис 1982, стр. 253–254.
90. Риндлер 2001, раздел 11.9
91. Уилл 1993, стр. 177–181.
92. В результате, в параметризованном постньютоновском формализме (ППН) измерения этого эффекта определяют линейную комбинацию членов β и γ, см. Will 2006, раздел 3.5 и Will 1993, раздел 7.3.
93. Наиболее точными измерениями являются измерения планетарных положений с помощью VLBI ; см. Will 1993, гл. 5, Will 2006, раздел 3.5, Anderson et al. 1992; для обзора см. Ohanian & Ruffini 1994, стр. 406–407.
94. Крамер и др. 2006
95. Дедиу, Магдалена и Мартин-Виде, 2015, с. 141.
96. Kramer, M.; Stairs, IH; Manchester, RN; Wex, N.; Deller, AT; Coles, WA; Ali, M.; Burgay, M.; Camilo, F.; Cognard, I.; Damour, T. (13 декабря 2021 г.). "Тесты гравитации сильного поля с двойным пульсаром". Physical Review X. 11 ( 4): 041050. arXiv : 2112.06795 . Bibcode : 2021PhRvX..11d1050K. doi : 10.1103/PhysRevX.11.041050. ISSN  2160-3308. S2CID  245124502.
97. Лестница 2003, Шутц 2003, стр. 317–321, Бартусяк 2000, стр. 70–86.
98. Weisberg & Taylor 2003; об открытии пульсара см. Hulse & Taylor 1975; о первых доказательствах гравитационного излучения см. Taylor 1994
99. Крамер 2004
100. Пенроуз 2004, § 14.5, Мизнер, Торн и Уилер 1973, § 11.4
101. Вайнберг 1972, раздел 9.6, Оганян и Руффини 1994, раздел 7.8
102. Бертотти, Чуфолини и Бендер 1987, Нордтведт 2003
103. Кан 2007
104. Описание миссии можно найти в Everitt et al. 2001; первая послеполетная оценка дана в Everitt, Parkinson & Kahn 2007; дальнейшие обновления будут доступны на веб-сайте миссии Kahn 1996–2012.
105. Таунсенд 1997, раздел 4.2.1, Оханян и Руффини 1994, стр. 469–471
106. Ohanian & Ruffini 1994, раздел 4.7, Weinberg 1972, раздел 9.7; для более позднего обзора см. Schäfer 2004
107. Чуфолини и Павлис 2004, Чуфолини, Павлис и Перон 2006, Иорио 2009
108. Иорио 2006, Иорио 2010
109. Обзоры гравитационного линзирования и его применения см. в Ehlers, Falco & Schneider 1992 и Wambsganss 1998.
110. Для простого вывода см. Schutz 2003, гл. 23; ср. Narayan & Bartelmann 1997, раздел 3.
111. Уолш, Карсвелл и Вейманн 1979
112. Изображения всех известных линз можно найти на страницах проекта CASTLES, Kochanek et al. 2007
113. Руле и Моллерах 1997
114. Нараян и Бартельманн 1997, раздел 3.7
115. Бариш 2005, Бартусяк 2000, Блэр и Макнамара 1997
116. Хаф и Роуэн 2000
117. Хоббс, Джордж; Арчибальд, А.; Арзуманян, З.; Бэкер, Д.; Бейлс, М.; Бхат, НДР; Бергей, М.; Берк-Сполаор, С.; и др. (2010), «Международный проект по измерению времени пульсаров: использование пульсаров в качестве детектора гравитационных волн», Classical and Quantum Gravity , 27 (8): 084013, arXiv : 0911.5206 , Bibcode : 2010CQGra..27h4013H, doi : 10.1088/0264-9381/27/8/084013, S2CID  56073764
118. Данцманн и Рюдигер 2003
119. "Обзор LISA pathfinder". ESA . ​​Получено 23 апреля 2012 г. .
120. Торн 1995
121. Катлер и Торн 2002
122. Миллер 2002, лекции 19 и 21
123. Челотти, Миллер и Скиама 1999, разд. 3
124. Springel et al. 2005 и прилагаемое резюме Gnedin 2005
125. Блэндфорд 1987, раздел 8.2.4.
126. Для базового механизма см. Carroll & Ostlie 1996, раздел 17.2; для получения дополнительной информации о различных типах астрономических объектов, связанных с этим, см. Robson 1996
127. Для обзора см. Begelman, Blandford & Rees 1984. Для удаленного наблюдателя некоторые из этих струй даже кажутся движущимися быстрее света ; однако это можно объяснить как оптическую иллюзию, которая не нарушает принципов теории относительности, см. Rees 1966
128. Для конечных состояний звезд см. Oppenheimer & Snyder 1939 или, для более поздних числовых работ, Font 2003, sec. 4.1; для сверхновых все еще есть серьезные проблемы, которые нужно решить, см. Buras et al. 2003; для моделирования аккреции и образования струй, см. Font 2003, sec. 4.2. Также считается, что релятивистские эффекты линзирования играют роль для сигналов, полученных от рентгеновских пульсаров , см. Kraus 1998
129. Доказательства включают ограничения на компактность из наблюдений явлений, вызванных аккрецией (« светимость Эддингтона »), см. Celotti, Miller & Sciama 1999, наблюдения за динамикой звезд в центре нашей собственной галактики Млечный Путь , см. Schödel et al. 2003, и указания на то, что по крайней мере некоторые из рассматриваемых компактных объектов, по-видимому, не имеют твердой поверхности, что можно вывести из изучения рентгеновских всплесков , для которых центральный компактный объект является либо нейтронной звездой, либо черной дырой; см. Remillard et al. 2006 для обзора, Narayan 2006, раздел 5. Наблюдения «тени» центрального горизонта черной дыры галактики Млечный Путь являются предметом горячих поисков, см. Falcke, Melia & Agol 2000
130. Далал и др. 2006
131. Барак и Катлер 2004
132. Эйнштейн 1917; ср. Паис 1982, стр. 285–288
133. Кэрролл 2001, гл. 2
134. Bergström & Goobar 2003, ch. 9–11; использование этих моделей оправдано тем фактом, что в больших масштабах около ста миллионов световых лет и более наша собственная Вселенная действительно кажется изотропной и однородной, ср. Peebles et al. 1991
135. Например, с данными WMAP , см. Spergel et al. 2003
136. Эти тесты включают отдельные наблюдения, подробно описанные далее, см., например, рис. 2 в Bridle et al. 2003
137. Peebles 1966; для недавнего отчета о предсказаниях см. Coc, Vangioni-Flam et al. 2004; доступный отчет можно найти в Weiss 2006; сравните с наблюдениями в Olive & Skillman 2004, Bania, Rood & Balser 2002, O'Meara et al. 2001 и Charbonnel & Primas 2005
138. Лахав и Суто 2004, Берчингер 1998, Springel et al. 2005 г.
139. Alpher & Herman 1948, для педагогического введения см. Bergström & Goobar 2003, ch. 11; для первоначального обнаружения см. Penzias & Wilson 1965 и, для точных измерений спутниковыми обсерваториями, Mather et al. 1994 ( COBE ) и Bennett et al. 2003 (WMAP). Будущие измерения также могут выявить доказательства о гравитационных волнах в ранней Вселенной; эта дополнительная информация содержится в поляризации фонового излучения , ср. Kamionkowski, Kosowsky & Stebbins 1997 и Seljak & Zaldarriaga 1997
140. Доказательства этого получены из определения космологических параметров и дополнительных наблюдений, включающих динамику галактик и скоплений галактик, см. Peebles 1993, гл. 18, доказательства гравитационного линзирования, см. Peacock 1999, раздел 4.6, и моделирования крупномасштабного формирования структур, см. Springel et al. 2005
141. Peacock 1999, гл. 12, Peskin 2007; в частности, наблюдения показывают, что вся эта материя, за исключением незначительной части, не находится в форме обычных элементарных частиц («небарионная материя »), см. Peacock 1999, гл. 12
142. А именно, некоторые физики задаются вопросом, являются ли доказательства существования темной материи фактически доказательством отклонений от эйнштейновского (и ньютоновского) описания гравитации, см. обзор в Mannheim 2006, раздел 9.
143. Carroll 2001; доступный обзор дан в Caldwell 2004. Здесь также ученые утверждали, что доказательства указывают не на новую форму энергии, а на необходимость модификаций в наших космологических моделях, см. Mannheim 2006, sec. 10; вышеупомянутые модификации не обязательно должны быть модификациями общей теории относительности, они могли бы, например, быть модификациями в том, как мы относимся к неоднородностям во Вселенной, см. Buchert 2008
144. Хорошим введением является Linde 2005; более поздний обзор см. в Linde 2006.
145. Точнее, это проблема плоскостности , проблема горизонта и проблема монополя ; педагогическое введение можно найти в Narlikar 1993, раздел 6.4, см. также Börner 1993, раздел 9.1
146. Spergel et al. 2007, раздел 5,6
147. Более конкретно, потенциальная функция, которая имеет решающее значение для определения динамики инфлатона, просто постулируется, а не выводится из базовой физической теории.
148. Бранденбергер 2008, раздел 2
149. Гёдель 1949
150. Finazzi, Stefano; Liberati, Stefano; Barceló, Carlos (15 июня 2009 г.). "Полуклассическая неустойчивость динамических варп-двигателей". Physical Review D. 79 ( 12): 124017. arXiv : 0904.0141 . Bibcode : 2009PhRvD..79l4017F. doi : 10.1103/PhysRevD.79.124017. S2CID  59575856.
151. Бонди, Х.; Ван дер Бург, MGJ; Мецнер, А. (1962). «Гравитационные волны в общей теории относительности: VII. Волны от осесимметричных изолированных систем». Труды Лондонского королевского общества. Серия A. Математические и физические науки . 269 (1336): 21–52. Bibcode : 1962RSPSA.269...21B. doi : 10.1098/rspa.1962.0161. S2CID  120125096.
152. Сакс, Р. (1962). «Асимптотические симметрии в теории гравитации». Physical Review . 128 (6): 2851–2864. Bibcode : 1962PhRv..128.2851S. doi : 10.1103/PhysRev.128.2851.
153. Стромингер, Эндрю (2017). "Лекции по инфракрасной структуре гравитации и калибровочной теории". arXiv : 1703.05448 [hep-th]. ...отредактированная стенограмма курса, прочитанного автором в Гарварде в весеннем семестре 2016 года. Он содержит педагогический обзор последних разработок, связывающих предметы мягких теорем, эффекта памяти и асимптотических симметрий в четырехмерной КЭД, неабелевой калибровочной теории и гравитации с приложениями к черным дырам. Будет опубликовано Princeton University Press, 158 страниц.
154. Frauendiener 2004, Wald 1984, сек. 11.1, Хокинг и Эллис 1973, разд. 6,8, 6,9
155. Wald 1984, раздел 9.2–9.4 и Hawking & Ellis 1973, гл. 6
156. Thorne 1972; для более поздних численных исследований см. Berger 2002, раздел 2.1.
157. Israel 1987. Более точное математическое описание различает несколько видов горизонта, в частности горизонты событий и кажущиеся горизонты, см. Hawking & Ellis 1973, стр. 312–320 или Wald 1984, раздел 12.2; существуют также более интуитивные определения для изолированных систем, которые не требуют знания свойств пространства-времени на бесконечности, см. Ashtekar & Krishnan 2004
158. Для первых шагов см. Israel 1971; см. Hawking & Ellis 1973, раздел 9.3 или Heusler 1996, гл. 9 и 10 для вывода, а также Heusler 1998, а также Beig & Chruściel 2006 в качестве обзоров более поздних результатов.
159. Законы механики черных дыр были впервые описаны в Bardeen, Carter & Hawking 1973; более педагогическое изложение можно найти в Carter 1979; для более позднего обзора см. Wald 2001, ch. 2. Подробное введение, длиной в книгу, включая введение в необходимую математику Poisson 2004. О процессе Пенроуза см. Penrose 1969
160. Бекенштейн 1973, Бекенштейн 1974
161. Тот факт, что черные дыры излучают квантово-механически, был впервые выведен Хокингом в 1975 году; более подробный вывод можно найти в Wald 1975. Обзор дан в Wald 2001, гл. 3
162. Нарликар 1993, с. 4.4.4, 4.4.5
163. Горизонты: ср. Rindler 2001, раздел 12.4. Эффект Унру: Unruh 1976, ср. Wald 2001, гл. 3
164. Хокинг и Эллис 1973, раздел 8.1, Вальд 1984, раздел 9.1
165. Таунсенд 1997, гл. 2; более подробное рассмотрение этого решения можно найти в Чандрасекхаре 1983, гл. 3
166. Таунсенд 1997, гл. 4; более подробное описание см. Чандрасекар 1983, гл. 6
167. Эллис и Ван Элст 1999; более детальный взгляд на саму сингулярность представлен в работе Бёрнера 1993, раздел 1.2.
168. Здесь следует напомнить общеизвестный факт, что важные «квазиоптические» особенности так называемых эйкональных приближений многих волновых уравнений, а именно « каустики », разрешаются в конечные пики за пределами этого приближения.
169. А именно, когда есть захваченные нулевые поверхности , см. Пенроуз 1965
170. Хокинг 1966
171. Гипотеза была высказана в работе Белинского, Халатникова и Лифшица 1971 г.; более поздний обзор см. в работе Бергера 2002 г. Доступное изложение дано Гарфинклем 2007 г.
172. Ограничение будущими сингулярностями естественным образом исключает начальные сингулярности, такие как сингулярность большого взрыва, которые в принципе могут быть видны наблюдателям в более позднее космическое время. Гипотеза космической цензуры была впервые представлена ​​в Penrose 1969; описание на уровне учебника дано в Wald 1984, стр. 302–305. Для численных результатов см. обзор Berger 2002, раздел 2.1
173. Хокинг и Эллис 1973, раздел 7.1
174. Арновитт, Дезер и Миснер 1962; для педагогического введения см. Миснер, Торн и Уилер 1973, § 21.4–§ 21.7
175. Fourès-Bruhat 1952 и Bruhat 1962; педагогическое введение см. в Wald 1984, гл. 10; онлайн-обзор можно найти в Reula 1998
176. Gourgoulhon 2007; для обзора основ численной теории относительности, включая проблемы, возникающие из-за особенностей уравнений Эйнштейна, см. Lehner 2001
177. Мизнер, Торн и Уилер 1973, § 20.4
178. Арновитт, Дезер и Мизнер 1962
179. Komar 1959; для педагогического введения см. Wald 1984, раздел 11.2; хотя он определен совершенно иначе, можно показать, что он эквивалентен массе ADM для стационарного пространства-времени, см. Ashtekar & Magnon-Ashtekar 1979
180. Для педагогического введения см. Wald 1984, раздел 11.2.
181. Wald 1984, стр. 295 и ссылки в нем; это важно для вопросов стабильности — если бы существовали состояния с отрицательной массой , то плоское, пустое пространство Минковского, имеющее массу ноль, могло бы эволюционировать в эти состояния.
182. Таунсенд 1997, гл. 5
183. Такие квазилокальные определения массы-энергии — это энергия Хокинга , энергия Героха или квазилокальная энергия-импульс Пенроуза, основанные на твисторных методах; см. обзорную статью Szabados 2004
184. Обзор квантовой теории можно найти в стандартных учебниках, таких как Messiah 1999; более элементарное изложение дано в Hey & Walters 2003
185. Ramond 1990, Weinberg 1995, Peskin & Schroeder 1995; более доступный обзор — Auyang 1995
186. Уолд 1994, Биррелл и Дэвис 1984
187. Для излучения Хокинга: Хокинг 1975, Вальд 1975; доступное введение в испарение черных дыр можно найти в Traschen 2000
188. Вальд 2001, гл. 3
189. Проще говоря, материя является источником искривления пространства-времени, и как только материя обретает квантовые свойства, мы можем ожидать, что пространство-время также будет обладать ими. Ср. Carlip 2001, раздел 2
190. Шутц 2003, стр. 407
191. Хамбер 2009
192. Хронологию и обзор можно найти в Rovelli 2000.
193. 'т Хоофт и Велтман 1974
194. Донохью 1995
195. В частности, пертурбативный метод, известный как перенормировка , неотъемлемая часть вывода предсказаний, которые учитывают вклады более высоких энергий, см. Weinberg 1996, гл. 17, 18, в этом случае терпит неудачу; см. Veltman 1975, Goroff & Sagnotti 1985; для недавнего всестороннего обзора неудачи пертурбативной перенормируемости для квантовой гравитации см. Hamber 2009
196. Доступное введение на уровне бакалавриата можно найти в Zwiebach 2004; более полные обзоры можно найти в Polchinski 1998a и Polchinski 1998b
197. При энергиях, достигнутых в текущих экспериментах, эти струны неотличимы от точечных частиц, но, что особенно важно, различные моды колебаний одного и того же типа фундаментальной струны проявляются как частицы с различными ( электрическими и другими) зарядами , например, Ibanez 2000. Теория успешна в том, что одна мода всегда будет соответствовать гравитону , частице-посланнику гравитации, например, Green, Schwarz & Witten 1987, sec. 2.3, 5.3
198. Грин, Шварц и Виттен 1987, раздел 4.2.
199. Вайнберг 2000, гл. 31
200. Таунсенд 1996, Дафф 1996
201. Кухарж 1973, с. 3
202. Эти переменные представляют геометрическую гравитацию с использованием математических аналогов электрических и магнитных полей ; см. Ashtekar 1986, Ashtekar 1987
203. Обзор см. в Thiemann 2007; более подробные отчеты можно найти в Rovelli 1998, Ashtekar & Lewandowski 2004, а также в заметках лекций Thiemann 2003
204. Ишем 1994, Соркин 1997
205. Лолл 1998
206. Соркин 2005
207. Пенроуз 2004, гл. 33 и ссылки в ней
208. Хокинг 1987
209. Аштекар 2007, Шварц 2007
210. Maddox 1998, стр. 52–59, 98–122; Penrose 2004, раздел 34.1, гл. 30
211. раздел Квантовая гравитация, выше
212. раздел Космология, выше
213. Фридрих 2005
214. Обзор различных проблем и методов, разрабатываемых для их преодоления, см. Lehner 2002.
215. См. Bartusiak 2000 для получения отчета до этого года; последние новости можно найти на веб-сайтах основных совместных проектов по разработке детекторов, таких как GEO600 и LIGO.
216. Для самых последних статей о поляризации гравитационных волн спирально движущихся компактных двойных звезд см. Blanchet et al. 2008 и Arun et al. 2008; для обзора работ по компактным двойным звездам см. Blanchet 2006 и Futamase & Itoh 2006; для общего обзора экспериментальных проверок общей теории относительности см. Will 2006
217. См., например, журнал Living Reviews in Relativity .

Библиография

• Альфер, РА ; Герман, Р.К. (1948), «Эволюция Вселенной», Nature , 162 (4124): 774–775, Bibcode : 1948Natur.162..774A, doi : 10.1038/162774b0, S2CID  4113488
• Андерсон, Дж. Д.; Кэмпбелл, Дж. К.; Юргенс, Р. Ф.; Лау, Э. Л. (1992), «Последние разработки в области проверки общей теории относительности на примере солнечной системы», в работе Сато, Х.; Накамура, Т. (ред.), Труды Шестого совещания Марселя Гроссмана по общей теории относительности , World Scientific, стр. 353–355, ISBN 978-981-02-0950-6
• Арнольд, VI (1989), Математические методы классической механики , Springer, ISBN 978-3-540-96890-0
• Арновитт, Ричард ; Дезер, Стэнли ; Мизнер, Чарльз В. (1962), «Динамика общей теории относительности», в Виттене, Луисе (ред.), Гравитация: Введение в современные исследования , Wiley, стр. 227–265
• Арун, К. Г.; Бланше, Л.; Айер, БР; Кусайла, М. С. С. (2008), «Вращающиеся компактные двойные на квазиэллиптических орбитах: полный поток энергии 3PN», Physical Review D , 77 (6): 064035, arXiv : 0711.0302 , Bibcode : 2008PhRvD..77f4035A, doi : 10.1103/PhysRevD.77.064035, S2CID  55825202
• Эшби, Нил (2002), «Относительность и глобальная система позиционирования» (PDF) , Physics Today , 55 (5): 41–47, Bibcode : 2002PhT....55e..41A, doi : 10.1063/1.1485583
• Эшби, Нил (2003), «Относительность в системе глобального позиционирования», Living Reviews in Relativity , 6 (1): 1, Bibcode : 2003LRR.....6....1A, doi : 10.12942/lrr-2003-1 , PMC  5253894 , PMID  28163638
• Аштекар, Абхай (1986), «Новые переменные для классической и квантовой гравитации», Phys. Rev. Lett. , 57 (18): 2244–2247, Bibcode : 1986PhRvL..57.2244A, doi : 10.1103/PhysRevLett.57.2244, PMID  10033673
• Аштекар, Абхай (1987), «Новая гамильтонова формулировка общей теории относительности», Phys. Rev. D , 36 (6): 1587–1602, Bibcode : 1987PhRvD..36.1587A, doi : 10.1103/PhysRevD.36.1587, PMID  9958340
• Аштекар, Абхай (2007), «Петлевая квантовая гравитация: четыре последних достижения и дюжина часто задаваемых вопросов», Труды одиннадцатого совещания Марселя Гроссмана по общей теории относительности , стр. 126, arXiv : 0705.2222 , Bibcode : 2008mgm..conf..126A, doi : 10.1142/9789812834300_0008, ISBN 978-981-283-426-3, S2CID  119663169
• Аштекар, Абхай; Кришнан, Бадри (2004), «Изолированные и динамические горизонты и их приложения», Living Reviews in Relativity , 7 (1): 10, arXiv : gr-qc/0407042 , Bibcode : 2004LRR.....7...10A, doi : 10.12942/lrr-2004-10 , PMC  5253930 , PMID  28163644
• Аштекар, Абхай; Левандовски, Ежи (2004), «Независимая от фона квантовая гравитация: отчет о состоянии», Класс. Квантовая гравитация , 21 (15): R53–R152, arXiv : gr-qc/0404018 , Bibcode : 2004CQGra..21R..53A, doi : 10.1088/0264-9381/21/15/R01, S2CID  119175535
• Аштекар, Абхай; Магнон-Аштекар, Энн (1979), «О сохраняющихся величинах в общей теории относительности», Журнал математической физики , 20 (5): 793–800, Bibcode : 1979JMP....20..793A, doi : 10.1063/1.524151
• Ауян, Санни Й. (1995), Как возможна квантовая теория поля?, Oxford University Press, ISBN 978-0-19-509345-2
• Баня, ТМ; Руд, РТ; Балсер, ДС (2002), «Космологическая плотность барионов по наблюдениям 3He+ в Млечном Пути», Nature , 415 (6867): 54–57, Bibcode : 2002Natur.415...54B, doi : 10.1038/415054a, PMID  11780112, S2CID  4303625
• Барак, Леор; Катлер, Курт (2004), «Источники захвата LISA: приблизительные формы волн, отношения сигнал-шум и точность оценки параметров», Phys. Rev. D , 69 (8): 082005, arXiv : gr-qc/0310125 , Bibcode : 2004PhRvD..69h2005B, doi : 10.1103/PhysRevD.69.082005, S2CID  21565397
• Бардин, Дж. М .; Картер, Б .; Хокинг, С. В. (1973), «Четыре закона механики черных дыр», Comm. Math. Phys. , 31 (2): 161–170, Bibcode : 1973CMaPh..31..161B, doi : 10.1007/BF01645742, S2CID  54690354
• Barish, Barry (2005), "К обнаружению гравитационных волн", в Florides, P.; Nolan, B.; Ottewil, A. (ред.), Общая теория относительности и гравитация. Труды 17-й Международной конференции , World Scientific, стр. 24–34, Bibcode :2005grg..conf.....F, ISBN 978-981-256-424-5
• Barstow, M.; Bond, Howard E.; Holberg, JB; Burleigh, MR; Hubeny, I.; Koester, D. (2005), "Спектроскопия линий Бальмера в Сириусе B с помощью космического телескопа Хаббл", Mon. Not. R. Astron. Soc. , 362 (4): 1134–1142, arXiv : astro-ph/0506600 , Bibcode : 2005MNRAS.362.1134B, doi : 10.1111/j.1365-2966.2005.09359.x , S2CID  4607496
• Бартусяк, Марсия (2000), Неоконченная симфония Эйнштейна: Слушая звуки пространства-времени , Беркли, ISBN 978-0-425-18620-6
• Бегельман, Митчелл К.; Блэндфорд, Роджер Д .; Рис, Мартин Дж. (1984), «Теория внегалактических радиоисточников», Rev. Mod. Phys. , 56 (2): 255–351, Bibcode : 1984RvMP...56..255B, doi : 10.1103/RevModPhys.56.255
• Бейг, Роберт; Хрусциель, Петр Т. (2006), "Стационарные черные дыры", в Франсуазе, Ж.-П.; Набере, Г.; Цоу, Т.С. (ред.), Энциклопедия математической физики, том 2 , Elsevier, стр. 2041, arXiv : gr-qc/0502041 , Bibcode : 2005gr.qc.....2041B, ISBN 978-0-12-512660-1
• Бекенштейн, Якоб Д. (1973), «Черные дыры и энтропия», Phys. Rev. D , 7 (8): 2333–2346, Bibcode : 1973PhRvD...7.2333B, doi : 10.1103/PhysRevD.7.2333, S2CID  122636624
• Бекенштейн, Якоб Д. (1974), «Обобщенный второй закон термодинамики в физике черных дыр», Phys. Rev. D , 9 (12): 3292–3300, Bibcode : 1974PhRvD...9.3292B, doi : 10.1103/PhysRevD.9.3292, S2CID  123043135
• Белинский, ВА; Халатников, ИМ ; Лифшиц, Е.М. (1971), «Колебательное приближение к особой точке в релятивистской космологии», Успехи физики , 19 (80): 525–573, Bibcode : 1970AdPhy..19..525B, doi : 10.1080/00018737000101171; оригинал статьи на русском языке: Белинский В.А.; Лифшиц, И.М.; Халатников, Е.М. (1970), "Колебательный Режим Приближения К Особой Точке В Релятивистской Космологии", Успехи Физических Наук , 102 (11): 463–500, Bibcode :1970UsFiN.102..463B, doi :10.3367/ufnr.0102.197011d. 0463
• Bennett, CL; Halpern, M.; Hinshaw, G.; Jarosik, N.; Kogut, A.; Limon, M.; Meyer, SS; Page, L.; et al. (2003), "Первый год наблюдений зонда микроволновой анизотропии Уилкинсона (WMAP): предварительные карты и основные результаты", Astrophys. J. Suppl. Ser. , 148 (1): 1–27, arXiv : astro-ph/0302207 , Bibcode : 2003ApJS..148....1B, doi : 10.1086/377253, S2CID  115601
• Бергер, Беверли К. (2002), «Численные подходы к пространственно-временным сингулярностям», Living Reviews in Relativity , 5 (1): 1, arXiv : gr-qc/0201056 , Bibcode : 2002LRR.....5....1B, doi : 10.12942/lrr-2002-1 , PMC  5256073 , PMID  28179859
• Бергстрём, Ларс; Губар, Ариэль (2003), Космология и астрофизика элементарных частиц (2-е изд.), Wiley & Sons, ISBN 978-3-540-43128-2
• Бертотти, Бруно ; Чиуфолини, Игнацио; Бендер, Питер Л. (1987), «Новый тест общей теории относительности: измерение скорости геодезической прецессии де Ситтера для лунного перигея», Physical Review Letters , 58 (11): 1062–1065, Bibcode : 1987PhRvL..58.1062B, doi : 10.1103/PhysRevLett.58.1062, PMID  10034329
• Бертотти, Бруно; Иесс, Л.; Тортора, П. (2003), «Проверка общей теории относительности с использованием радиосвязи с космическим аппаратом Кассини», Nature , 425 (6956): 374–376, Bibcode : 2003Natur.425..374B, doi : 10.1038/nature01997, PMID  14508481, S2CID  4337125
• Берчингер, Эдмунд (1998), «Моделирование формирования структур во Вселенной», Annu. Rev. Astron. Astrophys. , 36 (1): 599–654, Bibcode : 1998ARA&A..36..599B, ​​doi : 10.1146/annurev.astro.36.1.599
• Биррелл, ND; Дэвис, PC (1984), Квантовые поля в искривленном пространстве , Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-27858-4
• Блэр, Дэвид ; Макнамара, Джефф (1997), Рябь на космическом море. Поиск гравитационных волн, Персей, ISBN 978-0-7382-0137-5
• Бланше, Л.; Фэй, Г.; Айер, БР; Синха, С. (2008), "Третья постньютоновская гравитационная волновая поляризация и связанные сферические гармонические моды для спиральных компактных двойных звезд на квазикруговых орбитах", Классическая и квантовая гравитация , 25 (16): 165003, arXiv : 0802.1249 , Bibcode : 2008CQGra..25p5003B, doi : 10.1088/0264-9381/25/16/165003, S2CID  54608927
• Бланше, Люк (2006), «Гравитационное излучение от постньютоновских источников и инспирирующих компактных двойных звезд», Living Reviews in Relativity , 9 (1): 4, Bibcode : 2006LRR.....9....4B, doi : 10.12942/lrr-2006-4 , PMC  5255899 , PMID  28179874
• Блэндфорд, РД (1987), «Астрофизические черные дыры», в Хокинг, Стивен У.; Израиль, Вернер (ред.), 300 лет гравитации , Cambridge University Press, стр. 277–329, ISBN 978-0-521-37976-2
• Бёрнер, Герхард (1993), Ранняя Вселенная. Факты и вымысел , Springer, ISBN 978-0-387-56729-7
• Бранденбергер, Роберт Х. (2008), «Концептуальные проблемы инфляционной космологии и новый подход к формированию космологической структуры», в Лемуан, Мартин; Мартин, Джером; Питер, Патрик (ред.), Инфляционная космология , Lecture Notes in Physics, т. 738, стр. 393–424, arXiv : hep-th/0701111 , Bibcode : 2007LNP...738..393B, doi : 10.1007/978-3-540-74353-8_11, ISBN 978-3-540-74352-1, S2CID  18752698
• Brans, CH ; Dicke, RH (1961), «Принцип Маха и релятивистская теория гравитации», Physical Review , 124 (3): 925–935, Bibcode :1961PhRv..124..925B, doi :10.1103/PhysRev.124.925
• Bridle, Sarah L.; Lahav, Ofer; Ostriker, Jeremiah P .; Steinhardt, Paul J. (2003), «Точная космология? Еще не все», Science , 299 (5612): 1532–1533, arXiv : astro-ph/0303180 , Bibcode : 2003Sci...299.1532B, doi : 10.1126/science.1082158, PMID  12624255, S2CID  119368762
• Брюа, Ивонн (1962), «Проблема Коши», в Виттене, Луи (ред.), Гравитация: Введение в современные исследования , Wiley, стр. 130, ISBN 978-1-114-29166-9
• Бухерт, Томас (2008), «Темная энергия из структуры — отчет о состоянии», Общая теория относительности и гравитация , 40 (2–3): 467–527, arXiv : 0707.2153 , Bibcode : 2008GReGr..40..467B, doi : 10.1007/s10714-007-0554-8, S2CID  17281664
• Бурас, Р.; Рампп, М.; Янка, Х.-Т.; Кифонидис, К. (2003), «Улучшенные модели коллапса звездного ядра и все еще никаких взрывов: чего не хватает?», Phys. Rev. Lett. , 90 (24): 241101, arXiv : astro-ph/0303171 , Bibcode : 2003PhRvL..90x1101B, doi : 10.1103/PhysRevLett.90.241101, PMID  12857181, S2CID  27632148
• Колдуэлл, Роберт Р. (2004), «Темная энергия», Physics World , 17 (5): 37–42, doi :10.1088/2058-7058/17/5/36
• Карлип, Стивен (2001), «Квантовая гравитация: отчет о ходе работы», Rep. Prog. Phys. , 64 (8): 885–942, arXiv : gr-qc/0108040 , Bibcode : 2001RPPh...64..885C, doi : 10.1088/0034-4885/64/8/301, S2CID  118923209
• Кэрролл, Брэдли У.; Остли, Дейл А. (1996), Введение в современную астрофизику , Addison-Wesley, ISBN 978-0-201-54730-6
• Кэрролл, Шон М. (2001), «Космологическая постоянная», Living Reviews in Relativity , 4 (1): 1, arXiv : astro-ph/0004075 , Bibcode : 2001LRR.....4....1C, doi : 10.12942/lrr-2001-1 , PMC  5256042 , PMID  28179856
• Картер, Брэндон (1979), «Общая теория механических, электромагнитных и термодинамических свойств черных дыр», в Хокинге, SW; Израэль, W. (ред.), Общая теория относительности, обзор столетия Эйнштейна , Cambridge University Press, стр. 294–369 и 860–863, ISBN 978-0-521-29928-2
• Челотти, Аннализа; Миллер, Джон К.; Скиама, Деннис В. (1999), «Астрофизические доказательства существования черных дыр», Класс. Квантовая гравитация , 16 (12A): A3–A21, arXiv : astro-ph/9912186 , Bibcode : 1999CQGra..16A...3C, doi : 10.1088/0264-9381/16/12A/301, S2CID  17677758
• Чандрасекар, Субраманьян (1983), Математическая теория черных дыр , Нью-Йорк: Oxford University Press, ISBN 978-0-19-850370-5
• Чандрасекар, Субраманьян (1984), «Общая теория относительности – почему «она, вероятно, самая красивая из всех существующих теорий»", Журнал астрофизики и астрономии , 5 (1): 3–11, Bibcode : 1984JApA....5....3C, doi : 10.1007/BF02714967, S2CID  120910934
• Charbonnel, C.; Primas, F. (2005), «Содержание лития в звездах галактического гало», Astronomy & Astrophysics , 442 (3): 961–992, arXiv : astro-ph/0505247 , Bibcode : 2005A&A...442..961C, doi : 10.1051/0004-6361:20042491, S2CID  119340132
• Ciufolini, Ignazio; Pavlis, Erricos C. (2004), "Подтверждение общего релятивистского предсказания эффекта Лензе–Тирринга", Nature , 431 (7011): 958–960, Bibcode : 2004Natur.431..958C, doi : 10.1038/nature03007, PMID  15496915, S2CID  4423434
• Ciufolini, Ignazio; Pavlis, Erricos C.; Peron, R. (2006), «Определение перетаскивания кадра с использованием моделей гравитации Земли из CHAMP и GRACE», New Astron. , 11 (8): 527–550, Bibcode :2006NewA...11..527C, doi :10.1016/j.newast.2006.02.001
• Кок, А.; Вангиони-Флам, Элизабет; Дескувемон, Пьер; Адачур, Абдеррахим; Ангуло, Кармен (2004), «Обновленный нуклеосинтез Большого взрыва в сопоставлении с наблюдениями WMAP и обилием легких элементов», Astrophysical Journal , 600 (2): 544–552, arXiv : astro-ph/0309480 , Bibcode : 2004ApJ...600..544C, doi : 10.1086/380121, S2CID  16276658
• Катлер, Курт; Торн, Кип С. (2002), "Обзор источников гравитационных волн", в Бишоп, Найджел; Махарадж, Сунил Д. (ред.), Труды 16-й Международной конференции по общей теории относительности и гравитации (GR16) , World Scientific, стр. 4090, arXiv : gr-qc/0204090 , Bibcode : 2002gr.qc.....4090C, ISBN 978-981-238-171-2
• Dalal, Neal; Holz, Daniel E.; Hughes, Scott A.; Jain, Bhuvnesh (2006), "Короткие гамма-всплески и стандартные сирены двойных черных дыр как зонд темной энергии", Phys. Rev. D , 74 (6): 063006, arXiv : astro-ph/0601275 , Bibcode : 2006PhRvD..74f3006D, doi : 10.1103/PhysRevD.74.063006, S2CID  10008243
• Данцманн, Карстен; Рюдигер, Альбрехт (2003), «LISA Technology—Concepts, Status, Prospects» (PDF) , Class. Quantum Grav. , 20 (10): S1–S9, Bibcode :2003CQGra..20S...1D, doi :10.1088/0264-9381/20/10/301, hdl : 11858/00-001M-0000-0013-5233-E , S2CID  250836327, архивировано из оригинала (PDF) 26 сентября 2007 г.
• Донохью, Джон Ф. (1995), «Введение в эффективное описание теории поля гравитации», в Корнете, Фернандо (ред.), Эффективные теории: Труды продвинутой школы, Альмуньекар, Испания, 26 июня–1 июля 1995 г. , Сингапур: World Scientific, стр. 12024, arXiv : gr-qc/9512024 , Bibcode : 1995gr.qc....12024D, ISBN 978-981-02-2908-5
• Дедью, Адриан-Хория; Магдалена, Луис; Мартин-Виде, Карлос, ред. (2015). Теория и практика естественных вычислений: Четвертая международная конференция, TPNC 2015, Мьерес, Испания, 15–16 декабря 2015 г. Труды. Springer. ISBN 978-3-319-26841-5.
• Дафф, Майкл (1996), «М-теория (теория, ранее известная как струны)», Int. J. Mod. Phys. A , 11 (32): 5623–5641, arXiv : hep-th/9608117 , Bibcode :1996IJMPA..11.5623D, doi :10.1142/S0217751X96002583, S2CID  17432791
• Элерс, Юрген (1973), «Обзор общей теории относительности», в Израиле, Вернер (ред.), Относительность, астрофизика и космология , Д. Рейдель, стр. 1–125, ISBN 978-90-277-0369-9
• Элерс, Юрген; Фалько, Эмилио Э.; Шнайдер, Питер (1992), Гравитационные линзы , Springer, ISBN 978-3-540-66506-9
• Элерс, Юрген; Леммерцаль, Клаус, ред. (2006), Специальная теория относительности: сохранится ли она в ближайшие 101 год? , Спрингер, ISBN 978-3-540-34522-0
• Элерс, Юрген; Риндлер, Вольфганг (1997), «Локальное и глобальное искривление света в теориях Эйнштейна и других теориях гравитации», Общая теория относительности и гравитация , 29 (4): 519–529, Bibcode : 1997GReGr..29..519E, doi : 10.1023/A:1018843001842, hdl : 11858/00-001M-0000-0013-5AB5-4 , S2CID  118162303
• Эйнштейн, Альберт (1907), «Über das Relativitätsprinzip und die aus demselben gezogene Folgerungen», Jahrbuch der Radioaktivität und Elektronik , 4 : 411См. также перевод на английский язык в Einstein Papers Project

• Эйнштейн, Альберт (1915), «Die Feldgleichungen der Gravitation», Sitzungsberichte der Preussischen Akademie der Wissenschaften zu Berlin : 844–847См. также перевод на английский язык в Einstein Papers Project
• Эйнштейн, Альберт (1917), «Kosmologische Betrachtungen zur allgemeinen Relativitätstheorie», Sitzungsberichte der Preußischen Akademie der Wissenschaften : 142См. также перевод на английский язык в Einstein Papers Project
• Эллис, Джордж FR ; Ван Элст, Хенк (1999), «Космологические модели», в Lachièze-Rey, Марк (ред.), Теоретическая и наблюдательная космология , т. 541, стр. 1–116, arXiv : gr-qc/9812046 , Bibcode : 1999ASIC..541....1E, doi : 10.1007/978-94-011-4455-1_1, ISBN 978-0-7923-5946-3, S2CID  122994560
• Энглер, Гидеон (2002), «Эйнштейн и самые красивые теории в физике», Международные исследования философии науки , 16 (1): 27–37, doi :10.1080/02698590120118800, S2CID  120160056
• Эверитт, К. У. Ф.; Бухман, С.; ДеБра, Д. Б.; Кайзер, Г. М. (2001), «Гравитационный зонд B: обратный отсчет до запуска», в Lämmerzahl, К.; Эверитт, К. У. Ф.; Хель, Ф. У. (ред.), Гироскопы, часы и интерферометры: тестирование релятивистской гравитации в космосе (конспект лекций по физике 562) , Springer, стр. 52–82, ISBN 978-3-540-41236-6
• Эверитт, К. У. Ф.; Паркинсон, Брэдфорд; Кан, Боб (2007), Эксперимент Gravity Probe B. Анализ результатов полета — Заключительный отчет (Предисловие и краткое содержание) (PDF) , Отчет о проекте: NASA, Stanford University и Lockheed Martin, архив (PDF) из оригинала 9 июня 2007 г. , извлечено 5 августа 2007 г.
• Фальке, Хейно; Мелия, Фульвио; Агол, Эрик (2000), «Просмотр тени черной дыры в центре Галактики», Astrophysical Journal , 528 (1): L13–L16, arXiv : astro-ph/9912263 , Bibcode : 2000ApJ...528L..13F, doi : 10.1086/312423, PMID  10587484, S2CID  119433133
• Font, José A. (2003), "Численная гидродинамика в общей теории относительности", Living Reviews in Relativity , 6 (1): 4, Bibcode : 2003LRR.....6....4F, doi : 10.12942/lrr-2003-4 , PMC  5660627 , PMID  29104452
• Фурес-Брюа, Ивонн (1952), «Теорема существования для некоторых систем d'équations aux derivées partielles non linéaires», Acta Mathematica , 88 (1): 141–225, Бибкод : 1952AcMa...88..141F, дои : 10.1007/BF02392131
• Frauendiener, Jörg (2004), "Конформная бесконечность", Living Reviews in Relativity , 7 (1): 1, Bibcode : 2004LRR.....7....1F, doi : 10.12942/lrr-2004-1 , PMC  5256109 , PMID  28179863
• Фридрих, Хельмут (2005), «Является ли общая теория относительности «по существу понятной»?», Annalen der Physik , 15 (1–2): 84–108, arXiv : gr-qc/0508016 , Bibcode : 2006AnP...518.. .84F, номер документа : 10.1002/andp.200510173, S2CID  37236624
• Футамасе, Т.; Ито, И. (2006), «Постньютоновское приближение для релятивистских компактных двойных систем», Living Reviews in Relativity , 10 (1): 2, Bibcode : 2007LRR....10....2F, doi : 10.12942/lrr-2007-2 , PMC  5255906 , PMID  28179819
• Гамов, Джордж (1970), Моя мировая линия , Viking Press, ISBN 978-0-670-50376-6
• Гарфинкль, Дэвид (2007), «О сингулярностях и хлебопечении», Einstein Online , Институт гравитационной физики общества Макса Планка , архивировано из оригинала 10 августа 2007 г. , извлечено 3 августа 2007 г.
• Geroch, Robert (1996). "Уравнения с частными производными физики". Общая теория относительности : 19. arXiv : gr-qc/9602055 . Bibcode :1996gere.conf...19G.
• Джулини, Доменико (2005), Специальная теория относительности: Первая встреча , Oxford University Press, ISBN 978-0-19-856746-2
• Giulini, Domenico (2006), «Алгебраические и геометрические структуры в специальной теории относительности», в Ehlers, Jürgen; Lämmerzahl, Claus (ред.), Special Relativity — Will it Survive the Next 101 Years? , Lecture Notes in Physics, т. 702, стр. 45–111, arXiv : math-ph/0602018 , Bibcode :2006math.ph...2018G, doi :10.1007/3-540-34523-X_4, ISBN 978-3-540-34522-0, S2CID  15948765
• Giulini, Domenico (2007), «Замечания о понятиях общей ковариантности и независимости фона», в Stamatescu, IO (ред.), Approaches to Fundamental Physics , Lecture Notes in Physics, т. 721, стр. 105–120, arXiv : gr-qc/0603087 , Bibcode :2007LNP...721..105G, doi :10.1007/978-3-540-71117-9_6, ISBN 978-3-540-71115-5, S2CID  14772226
• Гнедин, Николай Ю. (2005), «Оцифровка Вселенной», Nature , 435 (7042): 572–573, Bibcode : 2005Natur.435..572G, doi : 10.1038/435572a , PMID  15931201, S2CID  3023436
• Goenner, Hubert FM (2004), «Об истории единых теорий поля», Living Reviews in Relativity , 7 (1): 2, Bibcode : 2004LRR.....7....2G, doi : 10.12942/lrr-2004-2 , PMC  5256024 , PMID  28179864
• Goroff, Marc H.; Sagnotti, Augusto (1985), "Квантовая гравитация в двух петлях", Phys. Lett. , 160B (1–3): 81–86, Bibcode : 1985PhLB..160...81G, doi : 10.1016/0370-2693(85)91470-4
• Гургулон, Эрик (2007). «Формализм 3+1 и основы численной теории относительности». arXiv : gr-qc/0703035 .
• Gowdy, Robert H. (1971), «Гравитационные волны в закрытых вселенных», Phys. Rev. Lett. , 27 (12): 826–829, Bibcode : 1971PhRvL..27..826G, doi : 10.1103/PhysRevLett.27.826
• Gowdy, Robert H. (1974), «Вакуумное пространство-время с двухпараметрическими пространственноподобными группами изометрий и компактными инвариантными гиперповерхностями: топологии и граничные условия», Annals of Physics , 83 (1): 203–241, Bibcode : 1974AnPhy..83..203G, doi : 10.1016/0003-4916(74)90384-4
• Грин, МБ ; Шварц, ДжХ ; Виттен, Э. (1987), Теория суперструн. Том 1: Введение , Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-35752-4
• Гринстейн, Дж. Л.; Оке, Дж. Б.; Шипман, HL (1971), «Эффективная температура, радиус и гравитационное красное смещение Сириуса B», Astrophysical Journal , 169 : 563, Bibcode : 1971ApJ...169..563G, doi : 10.1086/151174
• Хамбер, Герберт В. (2009), Хамбер, Герберт В. (ред.), Квантовая гравитация – подход Фейнмана на основе интеграла по траектории, Springer Publishing, doi : 10.1007/978-3-540-85293-3, hdl : 11858/00-001M-0000-0013-471D-A , ISBN 978-3-540-85292-6
• Гёдель, Курт (1949). «Пример нового типа космологического решения уравнений гравитационного поля Эйнштейна». Rev. Mod. Phys . 21 (3): 447–450. Bibcode :1949RvMP...21..447G. doi : 10.1103/RevModPhys.21.447 .
• Hafele, JC ; Keating, RE (14 июля 1972 г.). "Around-the-World Atomic Clocks: Predicted Relativistic Time Gains". Science . 177 (4044): 166–168. Bibcode :1972Sci...177..166H. doi :10.1126/science.177.4044.166. PMID  17779917. S2CID  10067969.
• Hafele, JC ; Keating, RE (14 июля 1972 г.). "Around-the-World Atomic Clocks: Observed Relativistic Time Gains". Science . 177 (4044): 168–170. Bibcode :1972Sci...177..168H. doi :10.1126/science.177.4044.168. PMID  17779918. S2CID  37376002.
• Хавас, П. (1964), «Четырехмерная формулировка ньютоновской механики и ее связь со специальной и общей теорией относительности», Rev. Mod. Phys. , 36 (4): 938–965, Bibcode : 1964RvMP...36..938H, doi : 10.1103/RevModPhys.36.938
• Хокинг, Стивен В. (1966), «Возникновение сингулярностей в космологии», Труды Лондонского королевского общества. Серия A. Математические и физические науки , 294 (1439): 511–521, Bibcode : 1966RSPSA.294..511H, doi : 10.1098/rspa.1966.0221, JSTOR  2415489, S2CID  120730123
• Хокинг, SW (1975), «Создание частиц черными дырами», Сообщения по математической физике , 43 (3): 199–220, Bibcode : 1975CMaPh..43..199H, doi : 10.1007/BF02345020, S2CID  55539246
• Хокинг, Стивен У. (1987), «Квантовая космология», в Хокинг, Стивен У.; Израиль, Вернер (ред.), 300 лет гравитации , Cambridge University Press, стр. 631–651, ISBN 978-0-521-37976-2
• Хокинг, Стивен У.; Эллис, Джордж Ф.Р. (1973), Крупномасштабная структура пространства-времени , Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-09906-6
• Хекманн, ОХЛ; Шюкинг, Э. (1959), «Ньютонская и эйнштейновская космология», в Флюгге, С. (редактор), Энциклопедия физики , том. 53, с. 489
• Хойслер, Маркус (1998), «Стационарные черные дыры: уникальность и не только», Living Reviews in Relativity , 1 (1): 6, Bibcode : 1998LRR.....1....6H, doi : 10.12942/lrr-1998-6 , PMC  5567259 , PMID  28937184
• Хойслер, Маркус (1996), Теоремы уникальности черной дыры , Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-56735-0
• Привет, Тони; Уолтерс, Патрик (2003), Новая квантовая вселенная , Cambridge University Press, Bibcode : 2003nqu..book.....H, ISBN 978-0-521-56457-1
• Хаф, Джим; Роуэн, Шейла (2000), «Обнаружение гравитационных волн с помощью интерферометрии (на земле и в космосе)», Living Reviews in Relativity , 3 (1): 3, Bibcode : 2000LRR.....3....3R, doi : 10.12942/lrr-2000-3 , PMC  5255574 , PMID  28179855
• Хаббл, Эдвин (1929), «Соотношение между расстоянием и лучевой скоростью среди внегалактических туманностей», Proc. Natl. Acad. Sci. , 15 (3): 168–173, Bibcode : 1929PNAS...15..168H, doi : 10.1073/pnas.15.3.168 , PMC  522427 , PMID  16577160
• Халс, Рассел А.; Тейлор , Джозеф Х. (1975), «Открытие пульсара в двойной системе», Astrophys. J. , 195 : L51–L55, Bibcode : 1975ApJ...195L..51H, doi : 10.1086/181708
• Ибаньес, Л. Э. (2000), «Вторая струнная (феноменологическая) революция», Класс. Квантовая гравитация , 17 (5): 1117–1128, arXiv : hep-ph/9911499 , Bibcode : 2000CQGra..17.1117I, doi : 10.1088/0264-9381/17/5/321, S2CID  15707877
• Иорио, Л. (2006), «Заметка о доказательствах гравитомагнитного поля Марса», Классическая и квантовая гравитация , 23 (17): 5451–5454, arXiv : gr-qc/0606092 , Bibcode : 2006CQGra..23.5451I, doi : 10.1088/0264-9381/23/17/N01, S2CID  118233440
• Иорио, Л. (2009), «Оценка систематической неопределенности в настоящих и будущих испытаниях эффекта Лензе–Тирринга с использованием спутниковой лазерной локации», Space Sci. Rev. , 148 (1–4): 363–381, arXiv : 0809.1373 , Bibcode : 2009SSRv..148..363I, doi : 10.1007/s11214-008-9478-1, S2CID  15698399
• Иорио, Л. (2010), «О тесте Лензе–Тирринга с Mars Global Surveyor в гравитационном поле Марса», Центрально-европейский журнал физики , 8 (3): 509–513, arXiv : gr-qc/0701146 , Bibcode : 2010CEJPh...8..509I, doi : 10.2478/s11534-009-0117-6, S2CID  16052420
• Ишем, Кристофер Дж. (1994), «Вопросы на первый взгляд в квантовой гравитации», в Элерс, Юрген; Фридрих, Хельмут (ред.), Каноническая гравитация: от классической к квантовой , Springer, ISBN 978-3-540-58339-4
• Израиль, Вернер (1971), «Горизонты событий и гравитационный коллапс», Общая теория относительности и гравитация , 2 (1): 53–59, Bibcode : 1971GReGr...2...53I, doi : 10.1007/BF02450518, S2CID  119645546
• Израиль, Вернер (1987), «Темные звезды: эволюция идеи», в Хокинг, Стивен У.; Израиль, Вернер (ред.), 300 лет гравитации , Cambridge University Press, стр. 199–276, ISBN 978-0-521-37976-2
• Janssen, Michel (2005), «Of pots and holes: Einstein's bumpy road to general relativity», Annalen der Physik , 14 (S1): 58–85, Bibcode : 2005AnP...517S..58J, doi : 10.1002/andp.200410130, S2CID  10641693, архивировано из оригинала (PDF) 25 августа 2020 г. , извлечено 28 августа 2010 г.
• Ярановски, Петр; Крулак, Анджей (2005), «Анализ данных гравитационных волн. Формализм и примеры приложений: случай Гаусса», Living Reviews in Relativity , 8 (1): 3, Bibcode : 2005LRR.....8....3J, doi : 10.12942/lrr-2005-3 , PMC  5253919 , PMID  28163647
• Кан, Боб (1996–2012), Gravity Probe B Website, Стэнфордский университет , получено 20 апреля 2012 г.
• Кан, Боб (14 апреля 2007 г.), Был ли прав Эйнштейн? Ученые впервые публично представили результаты Gravity Probe B (пресс-релиз Стэнфордского университета) (PDF) , Stanford University News Service, архив (PDF) с оригинала 23 апреля 2007 г.
• Камионковски, Марк; Косовский, Артур; Стеббинс, Альберт (1997), «Статистика поляризации космического микроволнового фона», Phys. Rev. D , 55 (12): 7368–7388, arXiv : astro-ph/9611125 , Bibcode : 1997PhRvD..55.7368K, doi : 10.1103/PhysRevD.55.7368, S2CID  14018215
• Кеннефик, Дэниел (2005), «Астрономы проверяют общую теорию относительности: искривление света и солнечное красное смещение», в книге Ренна, Юргена (ред.), Сто авторов для Эйнштейна , Wiley-VCH, стр. 178–181, ISBN 978-3-527-40574-9
• Кеннефик, Дэниел (2007), «Не только из-за теории: Дайсон, Эддингтон и конкурирующие мифы об экспедиции по исследованию затмения 1919 года», Труды 7-й конференции по истории общей теории относительности, Тенерифе, 2005 г. , том 0709, стр. 685, arXiv : 0709.0685 , Bibcode : 2007arXiv0709.0685K, doi : 10.1016/j.shpsa.2012.07.010, S2CID  119203172
• Кеньон, ИР (1990), Общая теория относительности , Oxford University Press, ISBN 978-0-19-851996-6
• Kochanek, CS; Falco, EE; Impey, C.; Lehar, J. (2007), CASTLES Survey Website, Гарвард-Смитсоновский центр астрофизики , получено 21 августа 2007 г.
• Komar, Arthur (1959), «Ковариантные законы сохранения в общей теории относительности», Phys. Rev. , 113 (3): 934–936, Bibcode : 1959PhRv..113..934K, doi : 10.1103/PhysRev.113.934
• Kramer, Michael (2004). "Millisecond Pulsarsas Tools of Fundamental Physics". В Karshenboim, SG; Peik, E. (ред.). Astrophysics, Clocks and Fundamental Constants . Lecture Notes in Physics. Vol. 648. pp. 33–54. arXiv : astro-ph/0405178 . Bibcode :2004LNP...648...33K. doi :10.1007/978-3-540-40991-5_3. ISBN 978-3-540-21967-5.
• Kramer, M.; Stairs, IH; Manchester, RN; McLaughlin, MA; Lyne, AG; Ferdman, RD; Burgay, M.; Lorimer, DR; et al. (2006), "Проверки общей теории относительности с помощью хронометража двойного пульсара", Science , 314 (5796): 97–102, arXiv : astro-ph/0609417 , Bibcode :2006Sci...314...97K, doi :10.1126/science.1132305, PMID  16973838, S2CID  6674714
• Краус, Уте (1998), «Отклонение света вблизи нейтронных звезд», Relativistic Astrophysics , Vieweg, стр. 66–81, ISBN 978-3-528-06909-4
• Кухарж, Карел (1973), «Каноническое квантование гравитации», в Израиле, Вернер (ред.), Относительность, астрофизика и космология , Д. Рейдель, стр. 237–288, ISBN 978-90-277-0369-9
• Кюнцле, Х. П. (1972), «Структуры Галилея и Лоренца в пространстве-времени: сравнение соответствующей геометрии и физики», Annales de l'Institut Henri Poincaré A , 17 : 337–362
• Лахав, Офер; Суто, Ясуши (2004), «Измерение нашей Вселенной с помощью обзоров красного смещения галактик», Living Reviews in Relativity , 7 (1): 8, arXiv : astro-ph/0310642 , Bibcode : 2004LRR.....7....8L, doi : 10.12942/lrr-2004-8 , PMC  5253994 , PMID  28163643
• Ландау, Л. Д.; Лифшиц, Э. М. (1975), Классическая теория полей, т. 2 , Elsevier Science, Ltd., ISBN 978-0-08-018176-9
• Ленер, Луис (2001), «Численная теория относительности: обзор», Класс. Квантовая гравитация , 18 (17): R25–R86, arXiv : gr-qc/0106072 , Bibcode : 2001CQGra..18R..25L, doi : 10.1088/0264-9381/18/17/202, S2CID  9715975
• Lehner, Luis (2002). "Численная теория относительности: статус и перспективы". В Nigel T. Bishop; Sunil D. Maharaj (ред.). Общая теория относительности и гравитация . Общая теория относительности и гравитация: Труды 16-й международной конференции, Дурбан, Южная Африка, 15–21 июля 2001 г. стр. 210. arXiv : gr-qc/0202055 . Bibcode :2002grg..conf..210L. doi :10.1142/9789812776556_0010. ISBN 978-981-238-171-2. S2CID  9145148.
• Линде, Андрей (2005), Физика элементарных частиц и инфляционная космология , Современные концепции в физике, т. 5, стр. 1–362, arXiv : hep-th/0503203 , Bibcode : 2005hep.th....3203L, ISBN 978-3-7186-0489-0
• Линде, Андрей (2006), «К инфляции в теории струн», J. Phys. Conf. Ser. , 24 (1): 151–160, arXiv : hep-th/0503195 , Bibcode : 2005JPhCS..24..151L, doi : 10.1088/1742-6596/24/1/018, S2CID  250677699
• Лолл, Ренате (1998), «Дискретные подходы к квантовой гравитации в четырех измерениях», Living Reviews in Relativity , 1 (1): 13, arXiv : gr-qc/9805049 , Bibcode : 1998LRR.....1...13L, doi : 10.12942/lrr-1998-13 , PMC  5253799 , PMID  28191826
• Лавлок, Дэвид (1972), «Четырехмерность пространства и тензор Эйнштейна», J. Math. Phys. , 13 (6): 874–876, Bibcode : 1972JMP....13..874L, doi : 10.1063/1.1666069
• MacCallum, M. (2006), «Поиск и использование точных решений уравнений Эйнштейна», в Mornas, L.; Alonso, JD (ред.), AIP Conference Proceedings (Столетие физики относительности: ERE05, XXVIII Испанская конференция по теории относительности), т. 841, стр. 129–143, arXiv : gr-qc/0601102 , Bibcode :2006AIPC..841..129M, doi :10.1063/1.2218172, S2CID  13096531
• Мэддокс, Джон (1998), Что еще предстоит открыть, Macmillan, ISBN 978-0-684-82292-1
• Мангейм, Филип Д. (2006), «Альтернативы темной материи и темной энергии», Prog. Part. Nucl. Phys. , 56 (2): 340–445, arXiv : astro-ph/0505266 , Bibcode : 2006PrPNP..56..340M, doi : 10.1016/j.ppnp.2005.08.001, S2CID  14024934
• Мэзер, Джей Си ; Ченг, ES; Коттингем, Д.А.; Эпли, RE; Фикссен, диджей; Хевагама, Т.; Исаакман, РБ; Дженсен, Калифорния; и др. (1994), «Измерение космического микроволнового спектра прибором COBE FIRAS», Astrophysical Journal , 420 : 439–444, Бибкод : 1994ApJ...420..439M, doi : 10.1086/173574
• Мермин, Н. Дэвид (2005), It's About Time. Понимание теории относительности Эйнштейна , Princeton University Press, ISBN 978-0-691-12201-4
• Мессия, Альберт (1999), Квантовая механика , Dover Publications, ISBN 978-0-486-40924-5
• Миллер, Коул (2002), Звездная структура и эволюция (конспект лекций по астрономии 606), Мэрилендский университет , получено 25 июля 2007 г.
• Мизнер, Чарльз В .; Торн, Кип. С.; Уиллер , Джон А. (1973), Гравитация , WH Freeman, ISBN 978-0-7167-0344-0
• Нараян, Рамеш (2006), «Черные дыры в астрофизике», Новый журнал физики , 7 (1): 199, arXiv : gr-qc/0506078 , Bibcode : 2005NJPh....7..199N, doi : 10.1088/1367-2630/7/1/199, S2CID  17986323
• Нараян, Рамеш; Бартельманн, Маттиас (1997). «Лекции по гравитационному линзированию». arXiv : astro-ph/9606001 .
• Нарликар, Джайант В. (1993), Введение в космологию , Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-41250-6
• Нордстрём, Гуннар (1918), «Об энергии гравитационного поля в теории Эйнштейна», Verhandl. Koninkl. Ned. Akad. Wetenschap. , 26 : 1238–1245, Bibcode :1918KNAB...20.1238N
• Нордтведт, Кеннет (2003). «Лазерная локация Луны — комплексное исследование постньютоновской гравитации». arXiv : gr-qc/0301024 .
• Нортон, Джон Д. (1985), «Каков был принцип эквивалентности Эйнштейна?» (PDF) , Исследования по истории и философии науки , 16 (3): 203–246, Bibcode :1985SHPSA..16..203N, doi :10.1016/0039-3681(85)90002-0, архивировано (PDF) из оригинала 22 сентября 2006 г. , извлечено 11 июня 2007 г.
• Оганян, Ганс К.; Руффини, Ремо (1994), Гравитация и пространство-время , WW Norton & Company, ISBN 978-0-393-96501-8
• Олив, КА; Скиллман, EA (2004), «Реалистичное определение ошибки в первичном содержании гелия», Astrophysical Journal , 617 (1): 29–49, arXiv : astro-ph/0405588 , Bibcode : 2004ApJ...617...29O, doi : 10.1086/425170, S2CID  15187664
• O'Meara, John M.; Tytler, David; Kirkman, David; Suzuki, Nao; Prochaska, Jason X.; Lubin, Dan; Wolfe, Arthur M. (2001), "Отношение содержания дейтерия к содержанию водорода в четвертом QSO: HS0105+1619", Astrophysical Journal , 552 (2): 718–730, arXiv : astro-ph/0011179 , Bibcode : 2001ApJ...552..718O, doi : 10.1086/320579, S2CID  14164537
• Оппенгеймер, Дж. Роберт ; Снайдер, Х. (1939), «О продолжающемся гравитационном сокращении», Physical Review , 56 (5): 455–459, Bibcode : 1939PhRv...56..455O, doi : 10.1103/PhysRev.56.455
• Овербай, Деннис (1999), Одинокие сердца космоса: история научного поиска тайны Вселенной , Back Bay, ISBN 978-0-316-64896-7
• Паис, Авраам (1982), «Неуловим Господь...» Наука и жизнь Альберта Эйнштейна, Oxford University Press, ISBN 978-0-19-853907-0
• Пикок, Джон А. (1999), Космологическая физика , Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-41072-4
• Пиблз, П. Дж. Э. (1966), «Первичное изобилие гелия и первичный огненный шар II», Astrophysical Journal , 146 : 542–552, Bibcode : 1966ApJ...146..542P, doi : 10.1086/148918
• Пиблз, П. Дж. Э. (1993), Принципы физической космологии, Princeton University Press, ISBN 978-0-691-01933-8
• Пиблз, П. Дж. Э.; Шрамм, Д. Н.; Тернер, Э. Л.; Крон, Р. Г. (1991), «Дело в пользу релятивистской космологии горячего Большого взрыва», Nature , 352 (6338): 769–776, Bibcode : 1991Natur.352..769P, doi : 10.1038/352769a0, S2CID  4337502
• Пенроуз, Роджер (1965), «Гравитационный коллапс и сингулярности пространства-времени», Physical Review Letters , 14 (3): 57–59, Bibcode : 1965PhRvL..14...57P, doi : 10.1103/PhysRevLett.14.57
• Пенроуз, Роджер (1969), «Гравитационный коллапс: роль общей теории относительности», Rivista del Nuovo Cimento , 1 : 252–276, Bibcode : 1969NCimR...1..252P
• Пенроуз, Роджер (2004), Дорога к реальности, А. А. Кнопф, ISBN 978-0-679-45443-4
• Пензиас, АА ; Уилсон, РВ (1965), «Измерение избыточной температуры антенны при 4080 МГц», Astrophysical Journal , 142 : 419–421, Bibcode : 1965ApJ...142..419P, doi : 10.1086/148307
• Пескин, Майкл Э.; Шредер, Дэниел В. (1995), Введение в квантовую теорию поля , Addison-Wesley, ISBN 978-0-201-50397-5
• Пескин, Майкл Э. (2007), «Темная материя и физика элементарных частиц», Журнал Физического общества Японии , 76 (11): 111017, arXiv : 0707.1536 , Bibcode : 2007JPSJ...76k1017P, doi : 10.1143/JPSJ.76.111017, S2CID  16276112
• Пуанкаре, MH (1905), «Sur la Dynamique de l'Electron», Comptes rendus hebdomadaires des séances de l'Académie des Sciences , 140 : 1504–1508
• Пуассон, Эрик (27 мая 2004a). "Движение точечных частиц в искривленном пространстве-времени". Living Reviews in Relativity . 7 (1). 6. arXiv : gr-qc/0306052 . Bibcode :2004LRR.....7....6P. doi : 10.12942/lrr-2004-6 . PMC  5256043 . PMID  28179866.
• Пуассон, Эрик (2004), Инструментарий релятивиста. Математика механики черных дыр , Cambridge University Press, Bibcode :2004rtmb.book.....P, ISBN 978-0-521-83091-1
• Полчински, Джозеф (1998a), Теория струн. Том I: Введение в бозонную струну , Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-63303-1
• Полчински, Джозеф (1998b), Теория струн. Том II: Теория суперструн и далее , Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-63304-8
• Паунд, Р. В.; Ребка, ГА (1959), «Гравитационное красное смещение в ядерном резонансе», Physical Review Letters , 3 (9): 439–441, Bibcode : 1959PhRvL...3..439P, doi : 10.1103/PhysRevLett.3.439
• Паунд, Р. В.; Ребка, ГА (1960), «Кажущаяся масса фотонов», Phys. Rev. Lett. , 4 (7): 337–341, Bibcode : 1960PhRvL...4..337P, doi : 10.1103/PhysRevLett.4.337
• Паунд, Р. В.; Снайдер, Дж. Л. (1964), «Влияние гравитации на ядерный резонанс», Phys. Rev. Lett. , 13 (18): 539–540, Bibcode : 1964PhRvL..13..539P, doi : 10.1103/PhysRevLett.13.539
• Рамон, Пьер (1990), Теория поля: Современный учебник для начинающих , Addison-Wesley, ISBN 978-0-201-54611-8
• Рис, Мартин (1966), «Появление релятивистски расширяющихся радиоисточников», Nature , 211 (5048): 468–470, Bibcode : 1966Natur.211..468R, doi : 10.1038/211468a0, S2CID  41065207
• Рейсснер, Х. (1916), «Über die Eigengravitation des elektrischen Feldes nach der Einsteinschen Theorie», Annalen der Physik , 355 (9): 106–120, Бибкод : 1916AnP...355..106R, doi : 10.1002/andp .19163550905
• Ремиллард, Рональд А.; Лин, Дачэн; Купер, Рэндалл Л.; Нараян, Рамеш (2006), «Частота рентгеновских всплесков I типа от транзиентов, наблюдаемых с помощью RXTE: доказательства горизонтов событий черных дыр», Astrophysical Journal , 646 (1): 407–419, arXiv : astro-ph/0509758 , Bibcode : 2006ApJ...646..407R, doi : 10.1086/504862, S2CID  14949527
• Ренн, Юрген, ред. (2007), Генезис общей теории относительности (4 тома) , Дордрехт: Springer, ISBN 978-1-4020-3999-7
• Ренн, Юрген, ред. (2005), Альберт Эйнштейн — главный инженер Вселенной: жизнь и работа Эйнштейна в контексте , Берлин: Wiley-VCH, ISBN 978-3-527-40571-8
• Reula, Oscar A. (1998), "Гиперболические методы для уравнений Эйнштейна", Living Reviews in Relativity , 1 (1): 3, Bibcode : 1998LRR.....1....3R, doi : 10.12942/lrr-1998-3 , PMC  5253804 , PMID  28191833
• Риндлер, Вольфганг (2001), Относительность. Специальная, общая и космологическая , Oxford University Press, ISBN 978-0-19-850836-6
• Риндлер, Вольфганг (1991), Введение в специальную теорию относительности , Clarendon Press, Оксфорд, ISBN 978-0-19-853952-0
• Робсон, Ян (1996), Активные ядра галактик , John Wiley, ISBN 978-0-471-95853-6
• Руле, Э.; Моллерах, С. (1997), «Микролинзирование», Physics Reports , 279 (2): 67–118, arXiv : astro-ph/9603119 , Bibcode : 1997PhR...279...67R, doi : 10.1016/S0370-1573(96)00020-8, S2CID  262685723
• Ровелли, Карло, ред. (2015), Общая теория относительности: самая красивая из теорий (de Gruyter Studies in Mathematical Physics) , Бостон: Walter de Gruyter GmbH, ISBN 978-3-11-034042-6
• Ровелли, Карло (2000). «Заметки к краткой истории квантовой гравитации». arXiv : gr-qc/0006061 .
• Ровелли, Карло (1998), "Петлевая квантовая гравитация", Living Reviews in Relativity , 1 (1): 1, arXiv : gr-qc/9710008 , Bibcode : 1998LRR.....1....1R, CiteSeerX  10.1.1.90.7036 , doi : 10.12942/lrr-1998-1 , PMC  5567241 , PMID  28937180
• Шефер, Герхард (2004), «Гравитомагнитные эффекты», Общая теория относительности и гравитация , 36 (10): 2223–2235, arXiv : gr-qc/0407116 , Bibcode : 2004GReGr..36.2223S, doi : 10.1023/B:GERG.0000046180.97877.32, S2CID  14255129
• Шёдель, Р.; Отт, Т.; Генцель, Р.; Экарт, А.; Муавад, Н.; Александр, Т. (2003), «Звездная динамика в центральной дуге нашей Галактики», Astrophysical Journal , 596 (2): 1015–1034, arXiv : astro-ph/0306214 , Bibcode : 2003ApJ...596.1015S, doi : 10.1086/378122, S2CID  17719367
• Шютц, Бернард Ф. (1985), Первый курс общей теории относительности , Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-27703-7
• Шутц, Бернард Ф. (2003), Гравитация с самого начала , Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-45506-0
• Шварц, Джон Х. (2007), «Теория струн: прогресс и проблемы», Приложение к журналу «Прогресс теоретической физики» , 170 : 214–226, arXiv : hep-th/0702219 , Bibcode : 2007PThPS.170..214S, doi : 10.1143/PTPS.170.214, S2CID  16762545
• Шварцшильд, Карл (1916a), «Über das Gravitationsfeld eines Massenpunktes nach der Einsteinschen Theorie», Sitzungsber. Пройсс. Акад. Д. Висс. : 189–196, Бибкод : 1916SPAW.......189S
• Шварцшильд, Карл (1916b), «Über das Gravitationsfeld einer Kugel aus incompressibler Flüssigkeit nach der Einsteinschen Theorie», Sitzungsber. Пройсс. Акад. Д. Висс. : 424–434, Бибкод : 1916skpa.conf..424S
• Seidel, Edward (1998), «Численная теория относительности: к моделированию слияния трехмерных черных дыр», в Narlikar, JV; Dadhich, N. (ред.), Гравитация и относительность: на рубеже тысячелетий (Труды конференции GR-15, состоявшейся в IUCAA, Пуна, Индия, 16–21 декабря 1997 г.) , IUCAA, стр. 6088, arXiv : gr-qc/9806088 , Bibcode : 1998gr.qc.....6088S, ISBN 978-81-900378-3-9
• Seljak, Uros̆; Zaldarriaga, Matias (1997), «Сигнатура гравитационных волн в поляризации микроволнового фона», Phys. Rev. Lett. , 78 (11): 2054–2057, arXiv : astro-ph/9609169 , Bibcode : 1997PhRvL..78.2054S, doi : 10.1103/PhysRevLett.78.2054, S2CID  30795875
• Шапиро, СС; Дэвис, Дж. Л.; Лебах, Д. Э.; Грегори, Дж. С. (2004), «Измерение солнечного гравитационного отклонения радиоволн с использованием данных геодезической интерферометрии со сверхдлинной базой, 1979–1999», Phys. Rev. Lett. , 92 (12): 121101, Bibcode : 2004PhRvL..92l1101S, doi : 10.1103/PhysRevLett.92.121101, PMID  15089661
• Шапиро, Ирвин И. (1964), «Четвертый тест общей теории относительности», Phys. Rev. Lett. , 13 (26): 789–791, Bibcode : 1964PhRvL..13..789S, doi : 10.1103/PhysRevLett.13.789
• Сингх, Саймон (2004), Большой взрыв: Происхождение Вселенной , Четвертая власть, Bibcode : 2004biba.book.....S, ISBN 978-0-00-715251-3
• Соркин, Рафаэль Д. (2005), «Причинные множества: дискретная гравитация», в Гомберофф, Андрес; Марольф, Дональд (ред.), Лекции по квантовой гравитации , Springer, стр. 9009, arXiv : gr-qc/0309009 , Bibcode : 2003gr.qc.....9009S, ISBN 978-0-387-23995-8
• Соркин, Рафаэль Д. (1997), «Развилки на дороге к квантовой гравитации», Int. J. Theor. Phys. , 36 (12): 2759–2781, arXiv : gr-qc/9706002 , Bibcode : 1997IJTP...36.2759S, doi : 10.1007/BF02435709, S2CID  4803804
• Spergel, DN; Verde, L.; Peiris, HV; Komatsu, E.; Nolta, MR; Bennett, CL; Halpern, M.; Hinshaw, G.; et al. (2003), "Первый год наблюдений зонда микроволновой анизотропии Уилкинсона (WMAP): определение космологических параметров", Astrophys. J. Suppl. Ser. , 148 (1): 175–194, arXiv : astro-ph/0302209 , Bibcode : 2003ApJS..148..175S, doi : 10.1086/377226, S2CID  10794058
• Spergel, DN; Bean, R .; Doré, O.; Nolta, MR; Bennett, CL; Dunkley, J.; Hinshaw, G.; Jarosik, N.; et al. (2007), "Результаты трехлетнего исследования зонда анизотропии микроволнового излучения Wilkinson (WMAP): значение для космологии", Astrophysical Journal Supplement , 170 (2): 377–408, arXiv : astro-ph/0603449 , Bibcode : 2007ApJS..170..377S, doi : 10.1086/513700, S2CID  1386346
• Springel, Volker; White, Simon DM; Jenkins, Adrian; Frenk, Carlos S.; Yoshida, Naoki; Gao, Liang; Navarro, Julio; Thacker, Robert; et al. (2005), "Моделирование формирования, эволюции и кластеризации галактик и квазаров", Nature , 435 (7042): 629–636, arXiv : astro-ph/0504097 , Bibcode :2005Natur.435..629S, doi :10.1038/nature03597, PMID  15931216, S2CID  4383030
• Stairs, Ingrid H. (2003), "Проверка общей теории относительности с помощью синхронизации пульсаров", Living Reviews in Relativity , 6 (1): 5, arXiv : astro-ph/0307536 , Bibcode : 2003LRR.....6....5S, doi : 10.12942/lrr-2003-5 , PMC  5253800 , PMID  28163640
• Стефани, Х.; Крамер, Д.; МакКаллум, М.; Хоэнселерс, К.; Херлт, Э. (2003), Точные решения уравнений поля Эйнштейна (2-е изд.), Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-46136-8
• Синг, Дж. Л. (1972), Относительность: Специальная теория , North-Holland Publishing Company, ISBN 978-0-7204-0064-9
• Сабадос, Ласло Б. (2004), «Квазилокальная энергия – импульс и угловой момент в ОТО», Living Reviews in Relativity , 7 (1): 4, Бибкод : 2004LRR.....7....4S, doi : 10.12942/lrr-2004-4 , PMC  5255888 , PMID  28179865
• Тейлор, Джозеф Х. (1994), «Двойные пульсары и релятивистская гравитация», Rev. Mod. Phys. , 66 (3): 711–719, Bibcode : 1994RvMP...66..711T, doi : 10.1103/RevModPhys.66.711, S2CID  120534048
• Thiemann, Thomas (2007), «Петлевая квантовая гравитация: взгляд изнутри», Approaches to Fundamental Physics , Lecture Notes in Physics, т. 721, стр. 185–263, arXiv : hep-th/0608210 , Bibcode :2007LNP...721..185T, doi :10.1007/978-3-540-71117-9_10, ISBN 978-3-540-71115-5, S2CID  119572847
• Thiemann, Thomas (2003). "Lectures on Loop Quantum Gravity". В Domenico JW Giulini; Claus Kiefer; Claus Lämmerzahl (ред.). Quantum Gravity: From Theory to Experimental Search . Lecture Notes in Physics. Vol. 631. pp. 41–135. arXiv : gr-qc/0210094 . Bibcode :2003LNP...631...41T. doi :10.1007/978-3-540-45230-0_3. ISBN 978-3-540-40810-9. S2CID  119151491.
• 'т Хофт, Джерард ; Вельтман, Мартинус (1974), «Однопетлевые расхождения в теории гравитации», Annales de l'Institut Henri Poincaré A , 20 (1): 69, Бибкод : 1974AIHPA..20...69T
• Торн, Кип С. (1972), «Несферический гравитационный коллапс — краткий обзор», в книге Клаудера, Дж. (ред.), «Магия без магии» , WH Freeman, стр. 231–258
• Торн, Кип С. (1994), Черные дыры и искривления времени: возмутительное наследие Эйнштейна , WW Norton & Company, ISBN 978-0-393-31276-8
• Торн, Кип С. (1995), «Гравитационное излучение», Астрофизика и космология элементарных частиц и ядер в следующем тысячелетии : 160, arXiv : gr-qc/9506086 , Bibcode : 1995pnac.conf..160T, ISBN 978-0-521-36853-7
• Торн, Кип (2003). «Искривление пространства-времени». В GW Gibbons; EPS Shellard; SJ Rankin (ред.). Будущее теоретической физики и космологии: празднование 60-летия Стивена Хокинга. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-82081-3.
• Таунсенд, Пол К. (1997). «Черные дыры (конспекты лекций)». arXiv : gr-qc/9707012 .
• Таунсенд, Пол К. (1996). «Четыре лекции по М-теории». Физика высоких энергий и космология . 13 : 385. arXiv : hep-th/9612121 . Bibcode : 1997hepcbconf..385T.
• Traschen, Jennie (2000), Bytsenko, A.; Williams, F. (ред.), "Введение в испарение черных дыр", Математические методы физики (Труды зимней школы в Лондрине 1999 г.) , World Scientific: 180, arXiv : gr-qc/0010055 , Bibcode : 2000mmp..conf..180T
• Траутман, Анджей (2006), «Теория Эйнштейна–Картана», в Франсуазе, Ж.-П.; Набере, Г.Л.; Цоу, С.Т. (ред.), Энциклопедия математической физики, т. 2 , Elsevier, стр. 189–195, arXiv : gr-qc/0606062 , Bibcode : 2006gr.qc.....6062T
• Унру, ВГ (1976), «Заметки об испарении черной дыры», Phys. Rev. D , 14 (4): 870–892, Bibcode : 1976PhRvD..14..870U, doi : 10.1103/PhysRevD.14.870
• Вельтман, Мартинус (1975), «Квантовая теория гравитации», в Балиан, Роджер; Зинн-Жюстен, Жан (ред.), Методы в теории поля – Летняя школа теоретической физики в Лез-Уше , т. 77, Северная Голландия
• Уолд, Роберт М. (1975), «О создании частиц черными дырами», Commun. Math. Phys. , 45 (3): 9–34, Bibcode : 1975CMaPh..45....9W, doi : 10.1007/BF01609863, S2CID  120950657
• Уолд, Роберт М. (1984), Общая теория относительности , Издательство Чикагского университета, ISBN 978-0-226-87033-5
• Уолд, Роберт М. (1994), Квантовая теория поля в искривленном пространстве-времени и термодинамика черных дыр , Издательство Чикагского университета, Bibcode : 1994qftc.book.....W, ISBN 978-0-226-87027-4
• Wald, Robert M. (2001), "Термодинамика черных дыр", Living Reviews in Relativity , 4 (1): 6, arXiv : gr-qc/9912119 , Bibcode : 2001LRR.....4....6W, doi : 10.12942/lrr-2001-6 , PMC  5253844 , PMID  28163633
• Уолш, Д.; Карсвелл, Р. Ф.; Вейман, Р. Дж. (1979), «0957 + 561 A, B: двойные квазизвездные объекты или гравитационная линза?», Nature , 279 (5712): 381–4, Bibcode : 1979Natur.279..381W, doi : 10.1038/279381a0, PMID  16068158, S2CID  2142707
• Вамбсганс, Иоахим (1998), «Гравитационное линзирование в астрономии», Living Reviews in Relativity , 1 (1): 12, arXiv : astro-ph/9812021 , Bibcode : 1998LRR.....1...12W, doi : 10.12942/lrr-1998-12 , PMC  5567250 , PMID  28937183
• Вайнберг, Стивен (1972), Гравитация и космология: принципы и приложения общей теории относительности, John Wiley, ISBN 978-0-471-92567-5
• Вайнберг, Стивен (1995), Квантовая теория полей I: Основы, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-55001-7
• Вайнберг, Стивен (1996), Квантовая теория полей II: Современные приложения , Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-55002-4
• Вайнберг, Стивен (2000), Квантовая теория полей III: Суперсимметрия , Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-66000-6
• Вайсберг, Джоэл М.; Тейлор, Джозеф Х. (2003), «Релятивистский двойной пульсар B1913+16»", в Bailes, M.; Nice, DJ; Thorsett, SE (ред.), Труды "Радиопульсары", Ханья, Крит, август 2002 г. , Серия конференций ASP
• Вайс, Ахим (2006), «Элементы прошлого: нуклеосинтез Большого взрыва и наблюдение», Einstein Online , Институт гравитационной физики им. Макса Планка , архивировано из оригинала 8 февраля 2007 г. , извлечено 24 февраля 2007 г.
• Уилер, Джон А. (1990), Путешествие в гравитацию и пространство-время , Scientific American Library, Сан-Франциско: WH Freeman, ISBN 978-0-7167-6034-4
• Уилл, Клиффорд М. (1993), Теория и эксперимент в гравитационной физике , Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-43973-2
• Уилл, Клиффорд М. (2006), «Противостояние общей теории относительности и эксперимента», Living Reviews in Relativity , 9 (1): 3, arXiv : gr-qc/0510072 , Bibcode : 2006LRR.....9....3W, doi : 10.12942/lrr-2006-3 , PMC  5256066 , PMID  28179873
• Цвибах, Бартон (2004), Первый курс теории струн , Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-83143-7

Дальнейшее чтение

Популярные книги

• Эйнштейн, А. (1916), Относительность: Специальная и общая теория , Берлин, ISBN 978-3-528-06059-6{{citation}}: CS1 maint: location missing publisher (link)
• Герох, Р. (1981), Общая теория относительности от А до В , Чикаго: Издательство Чикагского университета, ISBN 978-0-226-28864-2
• Либер, Лиллиан (2008), Теория относительности Эйнштейна: Путешествие в четвертое измерение , Филадельфия: Paul Dry Books, Inc., ISBN 978-1-58988-044-3
• Шутц, Бернард Ф. (2001), «Гравитационное излучение», в Мурдин, Пол (ред.), Энциклопедия астрономии и астрофизики , Институт физики, ISBN 978-1-56159-268-5
• Торн, Кип ; Хокинг, Стивен (1994). Черные дыры и искривления времени: возмутительное наследие Эйнштейна . Нью-Йорк: WW Norton. ISBN 0-393-03505-0.
• Уолд, Роберт М. (1992), Пространство, время и гравитация: теория Большого взрыва и черных дыр , Чикаго: Издательство Чикагского университета, ISBN 978-0-226-87029-8
• Уилер, Джон ; Форд, Кеннет (1998), Геоны, черные дыры и квантовая пена: жизнь в физике , Нью-Йорк: WW Norton, ISBN 978-0-393-31991-0

Учебники для начинающих бакалавров

• Каллахан, Джеймс Дж. (2000), Геометрия пространства-времени: Введение в специальную и общую теорию относительности , Нью-Йорк: Springer, ISBN 978-0-387-98641-8
• Тейлор, Эдвин Ф.; Уилер, Джон Арчибальд (2000), Исследование черных дыр: Введение в общую теорию относительности , Эддисон Уэсли, ISBN 978-0-201-38423-9

Учебники для продвинутого бакалавриата

• Чэн, Та-Пэй (2005), Относительность, гравитация и космология: базовое введение , Оксфорд и Нью-Йорк: Oxford University Press, ISBN 978-0-19-852957-6
• Дирак, Пол (1996), Общая теория относительности , Princeton University Press, ISBN 978-0-691-01146-2
• Грон, О.; Хервик, С. (2007), Общая теория относительности Эйнштейна , Springer, ISBN 978-0-387-69199-2
• Хартл, Джеймс Б. (2003), Гравитация: Введение в общую теорию относительности Эйнштейна , Сан-Франциско: Addison-Wesley, ISBN 978-0-8053-8662-2
• Хьюстон, Л.П.; Тод, К.П. (1991), Введение в общую теорию относительности , Кембридж: Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-33943-8
• d'Inverno, Ray (1992), Введение в теорию относительности Эйнштейна , Оксфорд: Oxford University Press, ISBN 978-0-19-859686-8
• Людик, Гюнтер (2013). Эйнштейн в матричной форме (1-е изд.). Берлин: Шпрингер. ISBN 978-3-642-35797-8.
• Мёллер, Кристиан (1955) [1952], Теория относительности, Oxford University Press, OCLC  7644624
• Мур, Томас А. (2012), Учебное пособие по общей теории относительности , University Science Books, ISBN 978-1-891389-82-5
• Шутц, Б.Ф. (2009), Первый курс общей теории относительности (второе издание), Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-88705-2

Учебники для аспирантов

• Кэрролл, Шон М. (2004), Пространство-время и геометрия: Введение в общую теорию относительности , Сан-Франциско: Addison-Wesley, ISBN 978-0-8053-8732-2
• Грон, Эйвинд ; Хервик, Сигбьёрн (2007), Общая теория относительности Эйнштейна , Нью-Йорк: Springer, ISBN 978-0-387-69199-2
• Ландау, Лев Д.; Лифшиц , Евгений Ф. (1980), Классическая теория полей (4-е изд.) , Лондон: Butterworth-Heinemann, ISBN 978-0-7506-2768-9
• Стефани, Ганс (1990), Общая теория относительности: Введение в теорию гравитационного поля , Кембридж: Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-37941-0
• Уилл, Клиффорд ; Пуассон, Эрик (2014). Гравитация: ньютоновская, постньютоновская, релятивистская . Cambridge University Press. ISBN 978-1-107-03286-6.
• Чарльз В. Мизнер ; Кип С. Торн ; Джон Арчибальд Уиллер (1973), Гравитация , WH Freeman, Princeton University Press, ISBN 0-7167-0344-0
• Р. К. Сакс ; Х. Ву (1977), Общая теория относительности для математиков , Springer-Verlag, ISBN 1461299055
• Уолд, Роберт М. (1984). Общая теория относительности . Чикаго: Издательство Чикагского университета. ISBN 0-226-87032-4. OCLC  10018614.

Книги специалистов

• Хокинг, Стивен ; Эллис, Джордж (1975). Крупномасштабная структура пространства-времени . Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-09906-6.
• Пуассон, Эрик (2007). Инструментарий релятивиста: Математика механики черных дыр . Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-53780-3.

Журнальные статьи

• Эйнштейн, Альберт (1916), «Die Grundlage der allgemeinen Relativitätstheorie», Annalen der Physik , 49 (7): 769–822, Бибкод : 1916AnP...354..769E, doi : 10.1002/andp.19163540702См. также перевод на английский язык в Einstein Papers Project
• Фланаган, Эанна Э.; Хьюз, Скотт А. (2005), «Основы теории гравитационных волн», New J. Phys. , 7 (1): 204, arXiv : gr-qc/0501041 , Bibcode : 2005NJPh....7..204F, doi : 10.1088/1367-2630/7/1/204
• Ландграф, М.; Хеклер, М.; Кембл, С. (2005), «Проект миссии для LISA Pathfinder», Класс. Квантовая гравитация , 22 (10): S487–S492, arXiv : gr-qc/0411071 , Bibcode : 2005CQGra..22S.487L, doi : 10.1088/0264-9381/22/10/048, S2CID  119476595
• Nieto, Michael Martin (2006), «Попытка понять аномалию Pioneer» (PDF) , Europhysics News , 37 (6): 30–34, arXiv : gr-qc/0702017 , Bibcode : 2006ENews..37f..30N, doi : 10.1051/epn:2006604 , архивировано (PDF) из оригинала 24 сентября 2015 г.
• Шапиро, II ; Петтенгилл, Гордон; Эш, Майкл; Стоун, Мелвин; Смит, Уильям; Ингаллс, Ричард; Брокельман, Ричард (1968), «Четвертый тест общей теории относительности: предварительные результаты», Phys. Rev. Lett. , 20 (22): 1265–1269, Bibcode : 1968PhRvL..20.1265S, doi : 10.1103/PhysRevLett.20.1265
• Валтонен, МЮ; Лехто, HJ; Нильссон, К.; Хайдт, Дж.; Такало, Лоу; Силланпяя, А.; Вилфорт, К.; Киджер, М.; и др. (2008), «Массивная двойная система черных дыр в OJ 287 и тест общей теории относительности», Nature , 452 (7189): 851–853, arXiv : 0809.1280 , Bibcode : 2008Natur.452..851V, doi : 10.1038 /nature06896, PMID  18421348, S2CID  4412396

Внешние ссылки

• Einstein Online Архивировано 1 июня 2014 г. в Wayback Machine  – Статьи по различным аспектам релятивистской физики для широкой аудитории; размещено Институтом гравитационной физики Общества Макса Планка
• Домашняя страница GEO600, официальный сайт проекта GEO600.
• Лаборатория ЛИГО
• NCSA Spacetime Wrinkles – создан группой численной теории относительности в NCSA , с элементарным введением в общую теорию относительности.

• Курсы
• Лекции
• Учебники

• Общая теория относительности Эйнштейна на YouTube (лекция Леонарда Сасскинда, записанная 22 сентября 2008 года в Стэнфордском университете ).
• Цикл лекций по общей теории относительности, прочитанных в 2006 году в Институте Анри Пуанкаре (вводный/продвинутый).
• Учебники по общей теории относительности Джона Баэза .
• Браун, Кевин. "Размышления об относительности". Mathpages.com . Архивировано из оригинала 18 декабря 2015 г. . Получено 29 мая 2005 г. .
• Кэрролл, Шон М. (1997). «Конспект лекций по общей теории относительности». arXiv : gr-qc/9712019 .
• Мур, Рафи. "Понимание общей теории относительности" . Получено 11 июля 2006 г.
• Уонер, Стефан. "Введение в дифференциальную геометрию и общую теорию относительности" . Получено 5 апреля 2015 г.
• Фейнмановские лекции по физике, том II, гл. 42: Искривленное пространство