Форма кривизны

В дифференциальной геометрии форма кривизны описывает кривизну связности на главном расслоении . Тензор кривизны Римана в римановой геометрии можно рассматривать как частный случай.

Определение

Пусть G — группа Ли с алгеброй Ли и P → B — главное G -расслоение . Пусть ω — связность Эресмана на P (которая является -значной однозначной формой на P ). ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

Тогда форма кривизны — это -значная 2-форма на P , определенная формулой ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

${\displaystyle \Omega =d\omega +{1 \over 2}[\omega \wedge \omega ]=D\omega .}$

(В другом соглашении 1/2 не фигурирует.) Здесь обозначает внешнюю производную , определенную в статье « Форма со значениями алгебры Ли », а D обозначает внешнюю ковариантную производную . Другими словами, ^[1] ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle [\cdot \wedge \cdot ]}$

${\displaystyle \,\Omega (X,Y)=d\omega (X,Y)+{1 \over 2}[\omega (X),\omega (Y)]}$

где X , Y — касательные векторы к P.

Существует и другое выражение для Ω: если X , Y — горизонтальные векторные поля на P , то ^[2]

${\displaystyle \sigma \Omega (X,Y)=-\omega ([X,Y])=-[X,Y]+h[X,Y]}$

где hZ означает горизонтальную составляющую Z , справа мы определили вертикальное векторное поле и порождающий его элемент алгебры Ли ( фундаментальное векторное поле ), и является обратной нормировочным коэффициентом, используемым по соглашению в формуле для внешней производной . ${\displaystyle \sigma \in \{1,2\}}$

Соединение называется плоским , если его кривизна равна нулю: Ω = 0. Эквивалентно, соединение является плоским, если структурную группу можно свести к той же базовой группе, но с дискретной топологией.

Форма кривизны в векторном расслоении

Если E → B — векторное расслоение, то ω также можно рассматривать как матрицу 1-форм, и приведенная выше формула становится структурным уравнением Э. Картана:

${\displaystyle \,\Omega =d\omega +\omega \wedge \omega ,}$

где находится клиновое произведение . Точнее, если и обозначить компоненты ω и Ω соответственно (так что каждая из них является обычной 1-формой, а каждая — обычной 2-формой), то ${\displaystyle \wedge }$ ${\displaystyle {\omega ^{i}}_{j}}$ ${\displaystyle {\Omega ^{i}}_{j}}$ ${\displaystyle {\omega ^{i}}_{j}}$ ${\displaystyle {\Omega ^{i}}_{j}}$

${\displaystyle \Omega _{j}^{i}=d{\omega ^{i}}_{j}+\sum _{k}{\omega ^{i}}_{k}\wedge {\omega ^{k}}_{j}.}$

Например, для касательного расслоения риманова многообразия структурная группа — это O( n ), а Ω — это 2-форма со значениями в алгебре Ли O( n ), т.е. антисимметричные матрицы . В этом случае форма Ω является альтернативным описанием тензора кривизны , т.е.

${\displaystyle \,R(X,Y)=\Omega (X,Y),}$

используя стандартные обозначения тензора римановой кривизны.

Личности Бьянки

Если – каноническая векторная 1-форма на расслоении реперов, то кручение формы связи представляет собой векторную 2-форму, определяемую структурным уравнением ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle \Theta }$ ${\displaystyle \omega }$

${\displaystyle \Theta =d\theta +\omega \wedge \theta =D\theta ,}$

где, как указано выше, D обозначает внешнюю ковариантную производную .

Первое тождество Бьянки принимает вид

${\displaystyle D\Theta =\Omega \wedge \theta .}$

Второе тождество Бьянки принимает вид

${\displaystyle \,D\Omega =0}$

и в более общем смысле действителен для любого соединения в основном пакете .

Тождества Бьянки можно записать в тензорной записи как: ${\displaystyle R_{abmn;\ell }+R_{ab\ell m;n}+R_{abn\ell ;m}=0.}$

Сжатые тождества Бьянки используются для вывода тензора Эйнштейна в уравнениях поля Эйнштейна , составляющих основную часть общей теории относительности . ^{[ нужны разъяснения ]}

Примечания

1. с тех пор . Здесь мы также используем соглашение Кобаяши для внешней производной одной формы, которая тогда равна ${\displaystyle [\omega \wedge \omega ](X,Y)={\frac {1}{2}}([\omega (X),\omega (Y)]-[\omega (Y),\omega (X)])}$ ${\displaystyle \sigma =2}$ ${\displaystyle d\omega (X,Y)={\frac {1}{2}}(X\omega (Y)-Y\omega (X)-\omega ([X,Y]))}$
2. Доказательство: ${\displaystyle \sigma \Omega (X,Y)=\sigma d\omega (X,Y)=X\omega (Y)-Y\omega (X)-\omega ([X,Y])=-\omega ([X,Y]).}$

Рекомендации

• Шошичи Кобаяши и Кацуми Номидзу (1963) Основы дифференциальной геометрии , Том I, Глава 2.5. Форма кривизны и уравнение структуры, стр. 75, Wiley Interscience .

Смотрите также

• Подключение (основной пакет)
• Базовое введение в математику искривленного пространства-времени
• Сокращенные личности Бьянки
• Тензор Эйнштейна
• Уравнения поля Эйнштейна
• Общая теория относительности
• Форма Черна-Саймонса
• Кривизна римановых многообразий
• Калибровочная теория